: Correction du concours blanc n 1 de PTSI. x n. Définition de I n. est continue sur R. En déduire que I n existe pour n N.

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1 6-7 : Correction du concours blnc n de PTSI EXERCICE N O Durée conseillée : h5, brème envisgé 6 points On considère l suite réelle I n n N définie pr : n N, I n = x n dx Définition de I n. Justifier rigoureusement que f : x ] est continue sur R. En déduire que I n existe pour n N. x ] est continue sur R x x] est continue sur,+ x R, De plus : x R, l composée x ] est continue sur R = > donc, pr quotient, f est continue sur R Pour tout entier nturel n, x x n f x] est C sur R pr produit de fonctions continue. Étnt continue sur R, elle l est ussi sur,] de sorte que le réel I n existe pour n N... Prouver que I =. x I = dx = b. Recopier et compléter les... : Clculs de I et I x + dx = + L fonction sh est... et... sur R ussi elle rélise une... de R dns... ] = Pour tout réel y, l éqution sh x = y d inconnue x réel toujours... solution. En prticulier, sh x =... On connît ussi une reltion lint sh x et ch x qui est... ] = = I L fonction sh est continue et strictement croissnte sur R ussi elle rélise une bijection de R dns R. Pour tout réel y, l éqution sh x = y d inconnue x réel toujours une unique solution. En prticulier, sh x = x =. On connît ussi une reltion lint ch x et sh x qui est x R, ch x sh x = c. Résoudre sh t =. On résout sur R : sh t = e t e t = e t e t = X = e t vérifie X X = On résout X X = : = = 8 = ussi il y rcines X = = et X = + sh t = e t = X ou e t = X t X < ou t = ln + t = ln + L éqution sh t = possède une unique solution qui est t = ln + d. En posnt x = sh t, montrer que I = ln +. I = f xdx où f = x ]. On pose x = ϕt = sh t, dx = ch tdt On vérifie les hypothèses du chngement de vribles : ϕ est de clsse C sur,ln + ] et f est continue sur,] question. dx ln+ Aussi : I = = ch tdt ln+ ch tdt = cr + sh t = ch t + sh t ch t Or : ch t = ch t = ch t puisque ch t > donc I = ln+ dt = ln + = I x t ln + /9 LEROY- PTSI Pul Constns

2 Clculs de I et I 3 3. On montre sns difficulté et on ne demnde ps de le fire que le réel K n =. En remrqunt que x n+ = x n montrer que I n+ = K n I n. I n+ = x n+ dx = soit, pr linérité : I n+ = x n dx = x n dx x n dx x n dx utrement dit : I n+ = K n I n b. En utilisnt une intégrtion pr prties, montrer que : I n+ = n + K n x n dx existe pour n N pr linérité. I n+ = x n+ x dx = x dx. On fit une intégrtion pr prties vec : u x = x = x + x ux = + + = où u et v sont clirement C sur,] vx = xn+ v x = n + xn ] I n+ = xn+ n + x n dx = n + K n soit I n+ = n + K n x n+ c. Exprimer lors K n en fonction de I n. En déduire K, K puis I et I 3. On donc : K n I n = n + K n + n + K n = + I n K n = n + + I n Pour n = : K = + + I K = + ln + Pour n = : K = + + I K = 3 3 Et en utilisnt l reltion de 3.b : Pour n = : I + = + K I = ln + Pour n = : I + = + K I 3 = Justifier que : n N, I n Pour x,], x n et f x = Convergence de l suite I n donc xn f x et donc, pr positivité de l intégrle : I n b. Démontrer que I n est décroissnte et conclure sur l convergence de l suite I n. On étudie le signe de I n+ I n : I n+ I n = x n+ x n dx = x n x dx Pour x,], x n f x et x donc x n xf x et donc, pr positivité de l intégrle : n N, I n+ I n utrement dit l suite I n est donc décroissnte. L suite I n est décroissnte et minorée donc I n est une suite qui converge dns R c. Étblir que : n N, I n n +. En déduire l limite de l suite I n. On : x,], f x x n f x x n pr croissnce de l rcine pr décroissnce de l inverse cr x n > x En intégrnt l inéglité, il vient : x n f xdx x n n+ ] dx I n = n + n + soit n N, I n n + Avec., on l encdrement : n N, I n or lim = donc, pr le théorème des gendrmes, on n + n + n + conclut : lim I n = n + /9 LEROY- PTSI Pul Constns

3 EXERCICE N O Durée conseillée : 5 minutes, brème envisgé points On considère l fonction F définie pr : Fx = cos x Arccos tdt + sin x Arcsin tdt. Montrer que les fonctions g : t Arccos t] et h : t Arcsin t] sont définies et continues sur le même intervlle I de R qu on préciser. On sit que l fonction rcine crrée est définie sur,+ et que les fonctions Arccos et Arcsin sont définies sur,] Aussi : g t resp. ht existe t et t,] t et t t pr croissnce de l rcine crrée Le domine de définition de g et de h est donc I =,] u = t t] est C sur,] Arccos est C sur,] t,], t,] g = Arccos u est C sur,] u = t t] est C sur,] Arcsin est C sur,] t,], t,] h = Arcsin u est C sur,]. En introduisnt des primitives G et H des fonctions g et h, justifier l dérivbilité de F sur un intervlle J de R qu on préciser. Puisque, pour tout x réel, cos x et sin x sont des réels de,], on donc :,cos x],] et,sin x],] Or g et h sont continues sur,] donc les deux intégrles définissnt Fx existent pour tout x réel. Ainsi, F est définie sur R Comme g et h étnt continues sur,], on peut définir leurs primitives G et H et choisir pr exemple celles qui s nnulent en. On sit lors que les fonctions G et H sont dérivbles sur,] vec G = g et H = h et G = H = Méthode : on Fx = Gt ] cos x + Ht ] sin x = Gcos x G + Hsin x H = Gcos x + Hcos x = Fx Méthode : on sit que : x,], Gx = donc x R, Fx = cos x x Arccos t d t et Hx = Arccos t d t + sin x x Arcsin t d t Arcsin t d t = Gcos x + Hsin x = Fx On donc F = G v + H w vec : v = x cos x] est dérivble sur R G est dérivble sur,] G v : x Gcos x ] est dérivble sur R pr composition x R, cos x,] w = x sin x] est dérivble sur R et : H est dérivble sur,] H w : x Hsin x ] est dérivble sur R pr composition x R, sin x,] Finlement, pr somme, F est dérivble sur l intervlle J = R 3. Prouver ussi que : x J, F x = cos x sin x Arcsin sin x Arccos cos x En utilisnt l formule de l dérivée d une composée : x R, F x = v x G vx + w x H wx = cos x sin x Arccos cos x + sin x cos x Arcsin sin x ussi : x R, F x = cos x sin x Arcsin sin x Arccos cos x puisque R, =. Étudier l périodicité et l prité de F. Justifier que D =, π ] est un domine d étude suffisnt pour l étude de l fonction F On remrque que F est π périodique et pire R est centrée en puisque, pour tout x réel : Fx + π = = = cos x+π cos x cos x rccos t d t + rccos t d t + rccos t d t + sin x+π sin x sin x rcsin t d t F x = rcsin t d t = rcsin t d t = Fx = cos x cos x cos x rccos t d t + rccos t d t + rccos t d t + sin x sin x sin x rcsin t d t rcsin t d t rcsin t d t = Fx ussi il suffit lors d étudier l fonction F sur l intervlle D =, π ]. En effet, pr prité, on connît F sur π, π ] qui est d mplitude π et donc que, pr périodicité, on connît F sur R. 5. Simplifier F x sur le domine D. Que conclure pour l fonction F sur le domine J? Pour x, π ], cos x et sin x ussi : F x = cos x sin x Arcsinsin x Arccoscos x Mis x, π ] x π, π ] donc Arcsinsin x = x et x, π ] x,π] donc Arccoscos x = x Alors F x = cos x sin x x x = soit x, π ], F x = On sit donc que F est constnte sur, π ]. Pr prité, on sit que F est ussi constnte sur π, π ] symétrie d xe Ox pour l représenttion grphique puis, pr périodicité, on en déduit que l fonction F est une fonction constnte sur J = R trnsltions de vecteurs kπ #» ı où k Z du trcé sur π, π ] 3/9 LEROY- PTSI Pul Constns

4 π 6. Clculer F et préciser Fx pour tout x dns J. π F = π F = Arccos t d t + Arcsin t d t cr cos π = π sin = Arccos t + Arcsin t = Aussi, pr l reltion de Chsles, on : π d t = d t = π cr t,], Arccost + Arcsint = π ussi π F Puisque F est constnte sur R, en définitive : x R, Fx = π = π PROBLÈME Durée conseillée : h, brème envisgé points Les 3 prties de ce problème sont lrgement indépendntes entre elles. Dns ce problème, on note I 3 l mtrice identité de M 3 R et M désigne l mtrice crrée d ordre 3 à coefficients réels donnée pr : 5 6 M = On considère l mtrice A définie pr : A = 3 M I 3 On v lors étudier diverses méthodes pour le clcul de M n où n N. Prtie : une première méthode pour clculer M n.. Clculer A et A. Donner une reltion entre A et A et déduire à l ide de celle-ci que A n est ps inversible. A = 3 M I 3 = = = A ussi A = L L 3 L + L 3 L + L 3 l mtrice A On déduit de ces clculs l reltion A = A { AA + A I3 = AO 3,3 = A AA + I 3 = O 3,3 = A O 3,3 ussi donc A n est ps inversible A + I 3 O 3,3 { A A = A OU BIEN : A A = A I3 = A = A I 3 ussi donc A n est ps inversible. A I 3 OU BIEN : Pr l bsurde, si A est inversible, on peut multiplier pr A dns cette églité : A = A A A = A A = I 3 A = I 3 ce qui est bsurde donc A n est ps inversible b. Déterminer les réels u, u et u tel que M n = I 3 + u n A pour n {,,} On : M = I 3 = I 3 + A donc u = convient. Églement : A = 3 M I 3 M = M = I 3 + 3A donc u = 3 convient. Enfin, comme les mtrices I 3 et 3A commutent I 3 3A = 3A = 3A I 3 : M = I 3 + 3A = I 3 + 6A + 9A = I 3 + 6A 9A = I 3 3A et u = 3 c. Démontrer que, pour tout entier nturel n, il existe un réel u n tel que M n = I 3 + u n A L preuve permettr d étblir que l suite u n vérifie l reltion de récurrence n N, u n+ = 3 u n On démontre le résultt pr récurrence vec l hypothèse HR n : " u n R, M n = I 3 + u n A " - Initilistion : HR, HR et HR ont été vérifiée dns l question.b - Hérédité : On suppose HR n vrie donc que : M n = I 3 + u n A et on prouve HR n+. Pr définition : M n+ = M M n = M I 3 + u n A = M + u n MA mis on sit que M = I 3 + 3A donc M n+ = I 3 + 3A + u n I 3 + 3AA = I 3 + 3A + u n A + 3A et comme A = A, on : M n+ = I 3 + 3A + u n A 3A = I u n A utrement dit : M n+ = I 3 + u n+ A où u n+ = 3 u n R L hypothèse HR n+ est vrie si HR n est vrie - Conclusion : Pr principe de récurrence simple sur n, on peut conclure que : n N, u n R, M n = I 3 + u n A où l suite u n vérifie l reltion de récurrence demndée où L i est l ligne i de /9 LEROY- PTSI Pul Constns

5 d. Déterminer u n en fonction de l entier nturel n puis en déduire M n en fonction de n. L suite u n est rithmético-géométrique. On résout l éqution ux limites : r = 3 r 3r = 3 r = On introduit v n où v n = u n r et on montre que v n est une suite géométrique : n N, v n+ = u n+ r = 3 u n 3 r = u n r = v n de sorte que n N, v n = v n utrement dit : n N, u n = u n or u = donc n N, u n = n. Pr suite : n n n+ n+ M n = I 3 + u n A = n n = n n = M n n + n n n J est l mtrice de M 3 R telle que J = Prtie : une seconde méthode pour clculer M n... Montrer que M est une combinison linéire de J et de I 3 On cherche des réels et b tels que : J + bi 3 = M + b + b + b Ainsi : = 3 et b = soit M = 3J I 3 = b = 5 = 6 = 3 + b = + b = = 3 b = = 3 + = 5 3 = 6 3 = b. Déterminer les réels α n et β n tels que M n = α n I 3 + β n J pour n {,} M = I 3 = I 3 + J donc α = et β = et, d près., M = M = I 3 + 3J donc α = et β = 3 c. Étblir lors que : n N, α n,β n R, M n = α n I 3 + β n J. αn+ L démonstrtion permettr d étblir que : n N, = 3 β n+ α n. Soit l hypothèse HR n «α n,β n R, M n = α n I + β n J» Initilistion : HR et HR ont déjà été vérifiée. Hérédité : Prouvons HR n HR n+. On suppose donc qu on connît α n et β n telle que : M n = α n I + β n J M n+ = M n M = α n I 3 + β n J I 3 + 3J = α n I 3 + 3α ni 3 J β n J I 3 + 3β n J or J = J cf question 3. soit : M n+ = α n I 3 + 3α n J β n J + 3β n J = α n I 3 + 3α n + β n J { On retrouve une reltion M n+ αn+ = α n = α n+ I 3 + β n+ J où ussi HR n+ est vérifiée. β n+ = 3α n + β n Conclusion : Pr récurrence simple sur n, on : n N, α n,β n R, M n = α n I + β n J { αn+ = α n αn+ α n et : n N, n N, = β n+ = 3α n + β n 3 d. Expliciter α n en fonction de n. β n+ L reltion mtricielle de 3.c entrîne que : n N, α n+ = α n. L suite α n n est donc géométrique de rison ussi : n N, α n = α n = n soit n N, α n = n e. Montrer que β n suit l reltion : n N, β n+ = β n β n+. Expliciter lors β n en fonction de n. { αn+ = α n L reltion mtricielle de 3.c conduit u système : n N, β n+ = 3α n + β n Aussi : β n+ = 3α n+ + β n+ = 6α n + β n+ = 3α n + β n+ = β n+ β n + β n+ = β n+ + β n On donc bien : n N, β n+ = β n β n+. L suite β n suit donc une reltion de récurrence linéire d ordre. L éqution crctéristique est r = r r + r =. On remrque que est une rcine évidente. Le produit des rcines vut qui est donc l utre rcine. Aussi : λ,µ R, n N, β n = λ + µ { { { n β = λ + µ = µ = λ On précise λ et µ cr : β = 3 λ µ = 3 λ = = µ 3λ = 3 β n β n Finlement : n N, β n = n 5/9 LEROY- PTSI Pul Constns

6 f. Retrouver le résultt de.d pour le clcul de M n M n = n I 3 + n n + n + n J = n n + n n n n + n Les coefficients en dehors de l digonle coïncident vec ceux de l question.d. Pour les coefficients digonux : n + n = + n = n+, n + n = et enfin n + n = + n = n On donc bien retrouvé le résultt du.d OU BIEN : M n = n I 3 + n J or I 3 J = A J = I 3 A donc : n I 3 + n J = n I 3 + n I 3 A = n + n I 3 + n A = I 3 + u n A Finlement : n N, M n = α n I 3 + β n J = I 3 + u n A donc on bien le résultt de.d Prtie 3 : une troisième méthode pour clculer M n 3.. Déterminer J et en déduire l mtrice J n pour tout entier nturel n J = = J L L 3 L + L + L 3 L + L 3 où L i est l ligne i de l mtrice J On donc J = J et lors, pr une récurrence immédite vec l hypothèse HR n : " J n = J ", on démontre que : n N, J n = J et on sit que J = I 3 b. Prouver que, pour tout entier nturel n, on : 3 k n k = n k k= Pour tout n N, on écrit en utilisnt l formule du binôme : n 3 k n k = 3 k n k 3 n = 3 + n n = n n = n k k k= k= c. Étblir, en développnt, que 3J I 3 n est une combinison linéire de J et de I 3 On : 3J I 3 = 6J I 3 = 6J et I 3 3J = 6I 3 J = 6J de ce fit : 3J I 3 = I 3 3J utrement dit les mtrices 3J et I 3 commutent On peut donc utiliser l formule du binôme schnt que I 3 k = k I 3 pour tout entier nturel k, 3J k = 3 k J k = 3 k J pour tout entier nturel k non nul et enfin 3J = I 3 on donc pour n : n 3J I 3 n = 3J k I 3 n k = I 3 n I k J n k I 3 k= k k= k }{{} = utrement dit : 3J I 3 n = n I k n k J = n I 3 + n J k= k L églité est encore vrie pour n = : 3J I 3 = I 3 et I 3 + J = I 3 + J = I 3 On donc obtenu que : n N, 3J I 3 n = α n I 3 + β n J où α n = n et β n = n d. Retrouver lors l écriture M n = α n I 3 + β n J pour n N où α n et β n sont les réels expliciter dns l prtie. En., on vu que : M = 3J I 3 et, vec 3.c, on donc : M n = α n I 3 + β n J où α n = n et β n = n sont bien les réels de l prtie. 6/9 LEROY- PTSI Pul Constns

7 Remrques suite à l correction des copies Générlités. Attention, n est ps une brévition de "pour tout". Autrement dit, vous ne pouvez ps l utiliser dns une phrse en frnçis du type "f est C x dns R" mis uniquement dns l écriture symbolique d une proposition mthémtiques.. Le musée des HORREURS : voici, ci dessous, des énormités que j i pu trouver dns vos copies «e t e t = ln e t e t = ln t t = ln...» utrement dit ln + b = ln + lnb c est bien connu! «x x] est continue sur R» Est-ce bien sérieux? Arcsin = x et s vrinte : «= Arcsin x» Rppelons que : Arcsin x = u x De ce fit : Arcsin x = Arcsin ux = = vec ux = x u x x b b f xg xdx = f xdx Contre-ex : x dx xdx b b b f x g xdx et s vrinte : g x dx = f xdx b g xdx Tout ç est bien sûr DU GRAND DELIRE! 3 x et, de même : x dx x dx xdx puisque Pour M et A des mtrices réelles de M 3 R, «M = I 3 + u A u = M I 3 A puisque x»quel SENS lorsque A est une mtrice? A Si A est inversible, on «pourrit»dire que c est son inverse mis l nottion qui été retenu est A et ps mis ici A A n est même ps inversible! 3. Lorsque vous utilisez une propriété de l intégrle, il fut l nommer linérité, positivité, croissnce, etc Le résultt de«négtivité de l intégrle» n existe ps! { t,b], f t b f tdt s obtient pr positivité de l intégrle même si on conclut... b. Le cours n est ps connu pour beucoup d entre vous. Il est indmissible de ne ps connître le domine de continuité de Arccos ou de Arcsin, de ne ps connître les propriétés élémentires des fonctions ch et sh, de ne ps reconnître et svoir retrouver l expression d une suite rithmético-géométrique. Sur l exercice. Vous êtes nombreux à voir construit f = w v u vec w = x x ], v = x x] et u = x ] lors qu il est plus simple de voir f =. Autrement dit d utiliser le théorème usuel de composition puis celui de quotient plutôt que d utiliser deux fois le théorème de v u composition. Je rppelle que l définition de hx ne suffit ps pour ssurer l existence de.. Il s gissit de reconnître une primitive usuelle : u u b hxdx : l continuité est nécessire! b. C est du cours mis il fut respecter l logique de l phrse! sh est C et dérivble n est ps suffisnt pour ffirmer que sh rélise une bijection... c. Du grnd clssique : ttention à l rédction souvent lborieuse... d. Les questions b et c étient préprtoires à ce chngement de vribles. Pour les bornes de l vrible t, il convenit de trouver α et β tel que shα = α = cf b et shβ = qui une unique solution obtenue en c. Il fllit ensuite bien justifier les diverses simplifiction : + sh t = ch t = ch t = ch t 3.. N oubliez ps de citer l propriété de l intégrle utilisée. b. N oubliez ps de citer les hypothèses pour mener une IPP. c. Attention! Pour clculer K schnt que K n = n + + I n, on substitue n = prtout et ps prtiellement! Aussi : K = + + I... Avec les reltions de 3 et 3b, on peut donc clculer de mnière itértive tous les termes des suites I n et K n : vec I et I 3, on clcule K et K 3 puis I et I 5, etc.... Il fut citer l propriété de l intégrle utilisée. Pour l positivité et l croissnce, pensez à signler que vous indiquez insi voir vérifié que les bornes sont correctement ordonnées De même, lorsque vous utiliser un théorème d encdrement/des gendrmes, il fut le préciser! 7/9 LEROY- PTSI Pul Constns

8 Sur le problème.. Très peu d élèves prouvent correctement que A n est ps inversible à prtir de l reltion A = A Des bêtises relevées dns les copies : «L mtrice n est ps inversible cr il y un zéro sur l digonle» C est FAUX : pr exemple, P = est inversible cr P = I d où P = P et pourtnt P n que des zéros sur l digonle... On ne peut conclure sur l inversibilité à l ide des coefficients de l digonle uniquement pour les mtrices digonles et les mtrices tringulires! «L mtrice n est ps inversible cr il n y ps de reltions lint A, A et I» C est FAUX! L erreur ici est de trnsformer une condition suffisnte en une condition nécessire : A = αi + βa vec α A est inversible cr on peut lors trouver B vec AB = I mis n ps de rélité... b. Beucoup de mldresses dns l rédction : Vos sont rrement justifiés. Vous écrivez, pr exemple : M = I 3 + u A I 3 + 3A = I 3 + u A 3A = u A 3 = u Or, sns plus de justifictions, je peux lire : 3A/ = u A/ 3 = u en "simplifint" pr A ce qui est logiquement FAUX puisque A n est ps inversible! En fit, c est l églité des mtrices coefficients pr coefficients qui ssurent 3A = u A 3 = u Pour obtenir M I 3 3A, vous vez générlement développer M = I 3 + 3A pr le binôme : il fut donc préciser que I 3 et A commutent! c. L utilistion de l formule du binôme vi M n = I+3A n n urit de pertinence que si on vit su clculer A k simplement C est tout l intérêt pour M = I+N vec N nilpotente. Ici, certins ont voulu exploiter l reltion A = A et ils ont essyé, pour cel, de séprer les indices pirs et les indices impirs dns l somme 3 k A k donnnt des expressions en : k= k n n n M n = 3 p A p n + 3 p+ A p A Cel ne serit possible que si n est pir sinon n n est ps entier p= p p= p + et, qund bien même, le problème n ps beucoup vncé puisqu on ne sit ps simplifier A p... Le sujet vit pourtnt préprer le terrin l question initilisnt nturellement une récurrence. Attention à l formultion de l hypothèse de récurrence : ps de n dns celle-ci c est déprimnt de devoir encore et encore le répéter Attention églement u busif : M n = I 3 + u n A M n+ = I 3 + u n AM mis est fux cr vous ne svez ps si M est inversible! d. Il n y eu que trop peu de réponse correcte à une question d ppliction directe du cours... mis encore fut-il connître le cours cependnt..... L expression combinison linéire été ssez bien comprise. b. Certins perdent du temps à refire le même risonnement qu en.. Attention ux équivlents busifs! c. L hypothèse de récurrence doit être clirement formulée. Je relève encore beucoup trop de n dns les hypothèses de récurrence. Pour l hérédité, il fllit remrquer que J = J reltion qui étit mise en évidence dns l prtie suivnte de toute fçon d. Je ne compte plus le nombre de fois où j i dû jouter les prenthèses pour prler de l suite α n et ps du réel α n. Attention à ne ps confondre les suites géométriques telles que u n+ = qu n et d expression u n = u p q n p où u p premier terme et les suites rithmétiques telles que u n+ = u n + r d expression u n = u p + n pr où u p premier terme e. Obtenir l reltion de récurrence double souvent posé problème lors que c est une question très clssique vu en TD. Ensuite, vous reconnissez en générl une suite récurrente linéire double et l méthode été ssez bien restituée ux erreurs de clculs prés dns les ou dns les expression Ne ps confondre le résultts sur les suites doubles vec celui sur les EDL. f. RAS 3.. Attention ux conclusions trop hâtive : J = J permet de conclure, pr une récurrence l mot "récurrence" doit pprître même si celle-ci n est ps réellement rédiger...que, pour n entier nturel non nul, J n = J mis ttention J = I 3 J b. L églité demndée ressemble presque à l formule du binôme suf qu elle commence à lors que l formule du binôme commence à. On rjoute donc clssiquement les termes mnqunt et on compense...du très clssique! 8/9 LEROY- PTSI Pul Constns

9 c. Le "En développnt" signle qu on v utiliser l formule du binôme pour les mtrices : on n oublie ps lors qu il fut vérifier l commuttivité des mtrices.les questions précédentes conduisent à isoler le termes k = de l somme où 3J k = 3 k J k ne vut ps 3 k J mis 3 J = I 3. Il reste ensuite à simplifier les puissnces de mtrices selon les règles usuelles et à réinvestir 3.b. d. Trivil si on réussi c cr M = 3J I 3. Sur l exercice. Que d HORREURS sur les fonctions Arcsin et Arccos! Pr exemple : «Arccos est continue sur,π]» et, de fçon nlogue : «Arcsin est continue sur π, π ]» Il y confusion ici entre le domine de définition/continuité de l fonction qui est,] et le domine des vleurs prises pr l fonction. On rppelle que : Arccos :,],π] est continue sur,] et dérivble sur ], et que : Arcsin :,] π, π ] est continue sur,] et dérivble sur ], «Arccos est l bijection réciproque de l fonction cos» L fonction cosinus n est ps bijective : c est l restriction de l fonction cosinus à,π] qui est bijective! De même, Arcsin est l bijection réciproque de l restriction de l fonction sinus à π, π ].. Là ussi, des énormités où certins confondent encore! primitive et dérivée... Même si le sujet les introduit, il fut justifier l existence de G et H. Cel nécessite un rgument de continuité de g et h et ç tombe bien cr c est ce qui été fit en. Ensuite, il fllit obtenir, en utilisnt ces primitives : Fx = Gt ] cos x + Ht ] sin x = Gcos x G + Hsin x H Les constntes G et H disprissent à l dérivtion mis le plus simple étit encore de choisir, pour les primitives G et H, celles qui s nnulent en Conclure à l dérivbilité de F pr somme est nettement insuffisnt cr, vnt l somme, il y de l composition : F G+H mis F = G u + H v où ux = cos x et vx = sin x Toutes références à l dérivbilité de g ou h est ici totlement hors sujet : c est l dérivbilité de G et H qui est utile et celle-ci est nturelle puisqu il s git de primitive. 3. Il s gissit lors d ppliquer fois l formule de l dérivée d une composée.. Le domine d étude étit donné ussi il s gissit surtout d expliquer comment connître F sur?r à prtir de s connissnce sur, π ] 5. Là encore, c est souvent le pssge de F est constnte sur D à F est constnte sur R qui n est ps clirement précisé. 6. Pour cette question, il fllit connître l reltion du cours lint Arccos x et Arcsin x qui est : x,], Arccos x + Arcsin x = π 9/9 LEROY- PTSI Pul Constns