Partie 1 - Calcul d une probabilité

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Partie 1 - Calcul d une probabilité"

Sébastien Germain
il y a 7 ans
Total affichages :

1 Essec mths 3 voie E Option économique Mthémtiques Essec 2014 (mths 3) vendredi 8 mi 2014 Ce problème est constitué de trois prties. Les résultts de l prtie 1 sont utilisés dns les prties 2 et 3. Les prties 2 et 3 sont indépendntes entre elles. Dns tout le sujet, I =],b[ est un intervlle ouvert non vide de R, où et b sont réels ou infinis. On dit qu une densité vérifie l hypothèse CSP(I) lorsque f est : continue sur I ; strictement positive sur I ; nulle en dehors de I. On écrir lors simplement : f est CSP(I). On dmettr que les principux résultts du cours concernnt l indépendnce des vribles létoires discrètes s ppliquent églement ux vribles létoires à densité. Prtie 1 - Clcul d une probbilité On considère dns cette prtie : X une vrible létoire réelle continue à vleurs dns I, de fonction de réprtition F et dmettnt une densité de probbilité f qui est CSP(I). U une vrible létoire qui suit une loi uniforme sur ]0,1[ et qui est indépendnte de X. une fonction continue sur I à vleurs dns [0,1]. On se propose d étblir l formule suivnte : On définit sur I l fonction Ψ pr : P([U h(x)]) = P(U < h(x)) = Ψ(x) = P([X x] [U h(x)]) 1) Pour tous réels x et y dns I rels que x < y, on pose M(x,y) = mx h(t) et m(x,y) = min h(t). t [x,y] t [x,y] : Soit x dns I. Justifier que pour tout y dns l intervlle ]x,b[, il existe α y dns l intervlle [x,y] tel que M(x,y) = h(α y ). b: En déduire : lim y x M(x,y) = h(x). y>x c: Montrer de même que, pour tout y dns I, lim x y M(x,y) = h(y). x<y On montrerit de mnière nlogue (on ne demnde ps de le vérifier) : et lim x y m(x,y) = h(y). x<y 2) Soit x et y deux réels de I tels que x < y. : Étblir l inclusion suivnte entre évènements : lim y x m(x,y) = h(x) y>x En déduire l inéglité : [x < X y] [u h(x)] [x < X y] [U M(x,y)] Ψ(y) Ψ(x) (F(y) F(x))M(x,y)

2 Essec mths 3 voie E b: Étblir une minortion nlogue pour Ψ(y) Ψ(x), puis l encdrement F(y) F(x) Ψ(y) Ψ(x) m(x,y) F(y) F(x) M(x, y) c: Montrer que Ψ est dérivble sur I, et exprimer s dérivée en fonction de f et h. 3) : En déduire que, pour tout x et y dns I : Ψ(y) Ψ(x) = y x b: Étblir : pour tout x dns I, Ψ(x) F(x), puis montrer : lim x Ψ(x) = 0. En déduire : x I Ψ(x) = x c: Étblir : pour tout x dns I, P([X > x] [U h(x)]) = P([U h(x)]) Ψ(x). En déduire : lim Ψ(x) = P([U h(x)]) puis x b P([U h(x)]) = 4) Montrer que P([U < h(x)]) = 1 P([1 U 1 h(x)]), en déduire : P(U < h(x)) = Prtie 2 - Le modèle économique de Leontiev fermé Soit α et β deux nombres réels pprtennt à l intervlle ]0,1[. On s intéresse à un modèle économique composé de trois secteurs d ctivité S 1, S 2 et S 3. On suppose que : pour produire une unité de biens du secteur 1, il fut α unités du secteur 1 et α unités du secteur 2. pour produire une unité de biens du secteur 2, il fut β unités du secteur 1 et α unités du secteur 3. pour produire une unité de biens du secteur 3, il fut β unités du secteur 2 et β unités du secteur 3. On dir que ce modèle est vible s il existe des quntités de productions x 1, x 2 et x 3 des secteurs respectifs S 1, S 2 et S 3, strictement positives et telles que chque secteur soit excédentire en quntité. 5) : Montrer que le modèle est vible si et seulement s il existe x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0, tels que x 1 > αx 1 + βx 2 x 2 > αx 1 + βx 3 x 3 > αx 2 + βx 3 α β 0 b: On considère l mtrice A = α 0 β. Montrer que le modèle est vible si et seulement 0 α β s il existe une mtrice colonne X à composntes strictement positives telle que l mtrice colonne X AX n que des composntes strictement positives.

3 Essec mths 3 voie E ) : Vérifier que α + β est vleur propre de A et déterminer le sous espce vectoriel ssocié. b: En déduire que si α + β < 1, lors le modèle est vible. On dmet pour l suite que le modèle est vible si et seulement si le spectre de A est inclus dns ] 1,1[ 7) : Montrer que le modèle est vible si et seulement si α + β < 1. b: Déterminer les vleurs propres de A utres que α + β, et vérifier qu elles sont dns l intervlle ] 1,1[. 8) On suppose, dns cette question seulement, que α est une vrible létoire qui suit l loi uniforme sur ]0,1[ et que β est une vrible létoire à vleurs dns ]0,1[, dmettnt une densité de probbilité f qui est CSP(]0,1[). En utilisnt les résultts de l prtie 1, montrer que l probbilité que le modèle soit vible vut 1 E(β). 9) On suppose désormis que α et β sont tels que le modèle est vible. Pour i = 1,2 ou 3, on note y i le coût de production d une unité de bien dns le secteur i, et y i + z i, le prix de vente d une unité de bien du secteur i. L mrge z i est ppliquée uniquement en cs de vente à un utre secteur, l cht à l intérieur d un même secteur se fisnt u prix coûtnt y i. On définit les deux mtrices lignes : Y = ( ) ( ) y 1 y 2 y 3 et Z = z1 z 2 z 3 insi que l mtrice 0 β 0 crrée B = α 0 β 0 α 0 : Étblir l reltion mtricielle (1) : Y = Y A + Z B. b: Justifier sns clculs l inversibilité de I 3 A. En déduire que pour Z fixé, il existe un unique Y vérifint l reltion (1) Prtie 3 - Simultion de vribles létoires L pluprt des lngges informtiques possèdent un générteur de nombres létoires. En Pscl pr exemple, on dispose de l instruction rndom. Ces générteurs produisent une suite de vribles létoires indépendntes de loi uniforme sur ]0,1[. On propose dns l suite deux méthodes permettnt de simuler des lois continues quelconques en utilisnt ces générteurs létoires. Jusqu à l fin du problème : on note Z une vrible létoire continue à vleurs dns I, de fonction de réprtition G et dmettnt une densité g qui est CSP(I). 3 - Simultion pr l méthode d inversion 10) : On note H l restriction de G à I. Montrer que H rélise une bijection de I sur ]0,1[. On note H 1 l bijection réciproque. Dresser le tbleu de vrition de H 1. Soit U une vrible létoire suivnt l loi uniforme sur ]0,1[ On pose X = H 1 (U), et on note F l fonction de réprtition de X. b: Montrer que pour tout x dns I, F(x) = G(x). c: En déduire que X suit l même loi que Z. 11) Simultion de lois exponentielles. On suppose dns cette question que Z suit une loi exponentielle de prmètre λ > 0. : Expliciter l intervlle I et les fonctions g, G et H 1.

4 Essec mths 3 voie E b: Écrire une fonction Pscl d en-tête function expo(lmbd:rel):rel qui simule l loi exponentielle. 12) Simultion de l loi de Lplce. On cherche dns cette question à simuler une vrible létoire de densité g donnée pr : x R g(x) = 1 2 e x (densité de Lplce). Soit Y une vrible létoire suivnt une loi exponentielle de prmètre 1. Soit V une vrible létoire indépendnte de Y suivnt l loi uniforme sur { 1,1}, ce qui signifie P([V = 1]) = P([V = 1]) = 1 2. On pose X = VY. : Vérifier que g est une densité de probbilité qui est CSP(R). b: Étblir : pour tout x 0, P([X > x]) = 1 P([Y > x]) ; 2 pour tout x 0, P([X x]) = 1 P([Y x]) ; 2 c: En déduire une expression de l fonction de réprtition de X. d: Conclure que X est une vrible létoire continue dmettnt g comme densité. e: Compléter l fonction Pscl suivnte pour qu elle simule l loi de Lplce : function lplce:rel; vr y,v:rel; begin y:=expo(1); v:=rndom; if... then lplce := y else lplce :=... ; end; 3b - Simultion pr l méthode du rejet Dns l méthode dite du rejet, pour simuler l loi de Z de densité g (voir les nottions en prémbule de l prtie 3), on commence pr déterminer une loi de probbilité que l on sit simuler, de densité f qui est CSP(I), et qui vérifie : il existe une constnte c > 0 telle que x I,g(x) c f (x). 13) Montrer qu il existe une fonction h continue sur I et à vleurs dns [0,1] telle que, pour tout x I, g(x) = c f (x)h(x). On considère lors : une suite de vrible létoires (U k ) k N qui suivent une loi uniforme sur ]0,1[. une suite de vrible létoires (X k ) k N à vleur dns ],b[ ynt toutes l même loi de densité de probbilité f et de fonction de réprtition F. On suppose de plus que pour tout entier n 1, les vribles X 1,...,X n, U 1,...,U n sont mutuellement indépendntes. On définit N l vrible létoire prennt comme vleur le premier indice k vérifint U k h(x k ). 14) En utilisnt l prtie 1, prouver l églité, pour tout k N : P([U k h(x k )]) = 1 c. En déduire que N suit une loi géométrique dont on préciser le prmètre, l espérnce et l vrince.

5 Essec mths 3 voie E On définit l vrible létoire X comme étnt l vleur de X N, c est à dire l vleur de X k pour le premier indice k vérifint U k h(x k ). 15) Soit x I. : Soit n N. Exprimer l événement [X x] [N = n] à prtir des événements [X n x] [U n h(x n )] et [U k > h(x k )] pour k [[1,n 1]]. b: En utilisnt l question 3) b :, montrer que, pour tout n N : P([X n x] [U n h(x n )]) = 1 c G(x) c: En déduire P([X n x] [N = n]) en fonction de c et de G(x). d: Montrer finlement : P([X x]) = G(x). 16) Conclure. 17) Simultion de l loi normle. Dns cette question, Z suit l loi normle centrée réduite, donc I = R. Soit f l densité de Lplce (question 12), définie pr x R f (x) = 1 2 e x. : Donner une densité g de Z qui est CSP(R). b: Étudier les vritions sur ]0,+ [ de l fonction : x e x x2 /2. c: Expliciter une constnte c > 0 telle que, pour tout x 0 : g(x) c 2 e x. d: En déduire que pour tout x réel, g(x) c f (x). e: Expliquer lors comment mettre en plce l méthode du rejet pour simuler l loi normle centrée réduite. On expliciter l fonction h introduite à l question 13. f: Compléter l fonction Pscl suivnte pour qu elle simule l loi normle centrée réduite : function normle : rel; vr x,u:rel; begin repet x:=lplce; u:=rndom; until... ; normle :=...; end;

Documents pareils

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion