PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement.

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1 Eercice. Découverte des fonctions définies pr une intégrle et premiers ps vers le téorème fondmentl du clcul intégrl. PARTE : Découverte de l fonction «ire sous l courbe» et conjecture sur s dérivée et c sont des réels quelconques. Soit f l fonction égle à c et soit F l fonction définie sur [ ;+ [ pr F ( = f (tdt. Eprimer F ( puis F ' ( en fonction de. Soit f l fonction définie sur R pr f (t= t +3 et soit F l fonction définie sur [0 ;+ [ pr F (= 0 f (tdt. Eprimer F ( puis F ' ( en fonction de. 3 Émettre une conjecture sur l dérivée d'une fonction de l forme F ( = fonction continue. f (tdt où f est une PARTE : Un eemple pour se fmiliriser vec l conjecture et cette drôle de fonction On dmet dns cette prtie que l conjecture fite dns l prtie précédente est vrie. On l démontrer dns un cs prticulier dns l prtie et dns le cs générl dns le cours. Soit F l fonction définie sur R pr F (= dt. (On ne cercer ps à eprimer F plus simplement. 0 +t De toute fçon on n'y rriverit ps!. 4 Utiliser l conjecture pour eprimer F ' ( en fonction de. 5 Déterminer le tbleu de signe de F sur R. 6 Déterminer l'éqution de l tngente T à l courbe c de F u point d'bscisse 0. 7 Dns cette question on v étudier l position reltive de c et T. Prouver que t R, +t. b En déduire que 0, F (. c Étblir un résultt du même type pour <0. d Conclure sur l position reltive de c et T selon les vleurs de. PARTE : Démonstrtion de l conjecture dns le cs de l fonction crré Soit f l fonction définie sur [;+ [ pr f (t =t. [Source : A. Reiss-Brde] On définit l fonction F sur [;+ [ pr F ( = f (tdt. 8 nterpréter l fonction F en terme d'ire. 9 Soit un réel positif et un réel strictement positif, justifier les inéglités : f ( F (+ F ( f ( +. 0 En déduire 0 >0 F ( + F ( De l même mnière, déterminer 0 <0. F ( + F ( Justifier que F est dérivble sur [;+ [ et préciser F ' (. 3 Soit G l fonction définie sur [;+ [ pr G( = 3 3. Clculer l dérivée de F G sur [;+ [. Que peut on déduire? b Déterminer F ( G( et en déduire F (. c Eprimer F (= f (tdt en fonction de G( et G (.. COURS T.S. Mme Helme-Guizon ttp://mtemtoques.weebly.com

2 Primitives et clculs d'intégrles T.S.. Notion de primitive A. Définition et Lien entre les différentes primitives d'une même fonction Définition. Soit f une fonction définie sur un intervlle. On Une fonction est souvent notée pr une lettre minuscule et l'usge est de ppelle primitive de f toute fonction F définie sur telle que noter les primitives pr l lettre F = f sur. mjuscule correspondnte. Eemple : est l dérivée de donc est une primitive de. Remrquons que les fonctions +5, +4 et 5,8 sont ussi des primitives de. Voilà pourquoi on dit UNE primitive et ps LA primitive. Cet eemple illustre en fit le cs générl : On psse toujours d'une primitive d'une fonction à une utre en joutnt une et, sur un intervlle, c'est même l seule fçon d'obtenir de nouvelles primitives à prtir d'une primitive connue. En effet, sur un intervlle deu primitives d'une même fonction diffèrent toujours d'une comme le dit le téorème suivnt : Propriétés. Lien entre les différentes primitives d'une même fonction Soit f une fonction dmettnt une primitive F sur un intervlle, lors : pour tout réel c, l fonction G définie pr G( =F ( +c est une primitive de f sur toute primitive de f est du type F (+c. Autrement dit, si f possède des primitives sur un intervlle, lors elle une infinité de primitives sur et il suffit de connître une primitive F de f pour toutes les connître. On dit prfois que F est unique à une dditive près. Démonstrtion : Soient F et G deu primitives de l fonction f sur. On, (G F '( =G ' ( F '( = f ( f (=0. étnt un intervlle G F est une fonction. l eiste donc un réel c tel que G F = c. D où le résultt G = F + c. Rppel : Si une fonction une dérivée nulle sur un intervlle lors cette fonction est sur l'intervlle. (Voilà pourquoi on se plce sur un intervlle. Et si on n'est ps sur un intervlle? Et bien deu primitives ne différent ps forcément d'une. Pr eemple, ln( if >0 F ( ={ ln( if <0 et ln( 3 if >0 G( sont deu primitives de l ={ ln( +5 if <0 fonction f définie sur R * pr f (= imis on ne peut ps psser de F à G en joutnt une. Conséquences 3. nterpréttion grpique : Soit f une fonction qui dmet une primitive F sur un intervlle. Si F =G+c, lors c F est l'imge de c G pr l trnsltion de vecteur c j. Les courbes représenttives de deu primitives de f se donc déduisent l'une de l'utre pr trnsltion selon un vecteur colinéire à l'es des ordonnées. L interpréttion grpique ci-dessus nous mène à nous demnder si l courbe représenttive d une des primitives psse pr un point M ( ; y 0 donné vec pprtennt à. En d utres termes, eiste-t-il une primitive F de f telle que F ( = y 0? COURS TS Mme Helme-Guizon ttp://mtemtoques.weebly.com

3 Propriétés 4. l eiste une unique primitive de f pssnt pr un point donné Soit f une fonction définie sur un intervlle dmettnt des primitives sur. et y 0 sont deu réels fiés vec pprtennt à. f dmet une unique primitive F 0 sur vérifint l condition initile F 0 ( = y 0. Démonstrtion : Soit F une primitive de f sur, F est fiée. Toutes les primitives G de f sont de l forme G=F+c. Condition nécessire : Supposons qu'une primitive G de f stisfsse l condition G( =y 0. G est une primitive de f donc il eiste une nombre c tel que,g(=f ( +c. Pour =, ceci entrîne y 0 =F ( +c c est à dire c= y 0 F (. On donc nécessirement,g(=f ( + y 0 F (. F étnt fiée, il y donc u plus une primitive qui convient. [l eiste u plus une solution u problème] Condition suffisnte : On vérifie que l fonction F 0 : F (+y 0 F ( est une primitive de f qui vérifie F 0 ( = y 0. [l eiste u moins une solution u problème] B. Primitives des fonctions usuelles (A connître pr cœur! Une lecture inverse du tbleu des dérivées des fonctions de référence nous donne le tbleu suivnt : LA FONCTON (fonction, vec R fié n où n Z et n u ' cosu vec u dérivble sur ADMET POUR PRMTVES LES FONCTONS Fonctions usuelles Avec des composées et des opértions SUR L NTERVALLE R R si n 0 ] ; 0[ ou ]0; [ si n<0 ]0; [ ] ; 0[ ou ]0;+ [ u ' sin u vec u dérivble sur u ' u n (où n Z, n vec u dérivble sur et, si n<0, pour tout de, u( 0 u ' vec u dérivble sur et, u pour tout de, u( >0 u ' e u vec u dérivble sur u ' vec u dérivble sur et u, u(>0 OU, u(<0 Remrque : L primitive d un produit ne ser ps obtenue en prennt le produit des primitives : en effet l dérivée d un produit n est ps le produit des dérivées. COURS TS Mme Helme-Guizon ttp://mtemtoques.weebly.com

4 . Lien entre primitives et intégrles A. Les intégrles permettent de construire une primitive de n'importe quelle fonction continue Propriétés 5. Soit f une fonction continue sur un intervlle, et un réel de. L fonction F définie sur pr primitive de f qui s'nnule en. F (= Démonstrtion dns le cs où f est croissnte (Le cs générl est dmis. Soit et un réel tel que +. + F ( + F ( = f (td t f (td t= f (td t est une primitive de f ; c'est l'unique + f (td t+ + f (td t= f (td t pr Csles. Premier cs : >0. Comme f est croissnte, t [, + ], on f ( f (t f ( +. En intégrnt cette reltion, pr l propriété de conservtion de l'ordre qund les bornes sont dns le bon sens, on obtient f ( d t f (t d t f ( +d t càd f ( F ( + F ( f ( +. En divisnt pr >0, on f ( F ( + F ( 0 0 f ( +. Comme f est continue en, 0 0 >0 f ( += f ( et grâce u téorème des gendrmes, on en déduit F ( + F ( = f ( 0. Deuième cs : <0, comme f est croissnte, t [ +, ], on f ( + f (t f (. En intégrnt cette reltion, pr l propriété de conservtion de l'ordre qund les bornes sont dns le bon sens (Attention! Avec <0, on +<, on obtient f ( +d t f (td t f ( d t càd f ( + [ F ( + F ( ] f ( En divisnt pr >0, on f ( + F ( + F ( 0 0 f ( Comme f est continue en, 0 0 >0 f ( += f ( et grâce u téorème des gendrmes, on en déduit F ( + F ( = f ( 0. Finlement, 0 <0 0 F ( + F ( = 0 >0 F ( + F ( = f ( 0 donc F ( + F ( = f ( 0 ce qui prouve que F est dérivble en vec F ' ( = f (. Remrque : On donc prouvé que toute fonction continue sur un intervlle dmet une primitive sur mis cel ne veut ps dire que seules les fonctions continues ont des primitives: il eiste des fonctions non continues qui en dmettent ussi. Pr eemple, on peut prouver (fites-le! que l fonction F définie pr {F ( = sin( si 0 est continue et dérivble sur R et qu'elle pour dérivée fonction définie pr F (0=0 {f (= sin( cos ( si 0 f (0=0 comme primitive.. Or f n'est ps continue en 0 (prouvez-le et pourtnt elle dmet F COURS TS Mme Helme-Guizon ttp://mtemtoques.weebly.com 3

5 B. Les primitives donnent une métode très efficce de clcul d'intégrles On déduit de P5 le résultt suivnt, probblement le plus importnt du cpitre : Téorème fondmentl du clcul intégrl 6. Soit f une fonction continue sur un intervlle contennt et b et soit F une primitive quelconque de f. On lors b f (td t=f (b F (. Prtique : l suffit donc d'être cpble de trouver une primitive de f pour pouvoir clculer l'intégrle! Cel vut vriment le coup de connître le tbleu donnnt les primitives des fonctions usuelles, non? Nottion : L différence F (b F ( peut se noter [ F (] b. On rédige donc souvent les clculs sous b l forme f (tdt=[ F (] b=f (b F ( ce qui permet d'indiquer l primitive utilisée. Pr eemple on 6 écrit d=[ln ] 6 =ln 6 ln =ln 3. Limites de l métode : Évidemment il n'est ps possible d'utiliser cette métode de clcul d'intégrle lorsque l'on ne connît ps de primitive eplicite ( = eprimble vec les fonctions usuelles de l fonctions à intégrer. C'est le cs, pr eemple de l fonction e étudiée rencontrée dns l'utilistion de l loi normle (On s'est contenté de vleurs pprocées de l'intégrle.. Appliction : Les ROC qu'on vit dû lisser de côté fute des outils mtémtiques nécessires. L espérnce de l loi normle vut zéro Propriété [ 7]. Espérnce d'une loi normle centrée réduite Si une vrible létoire Z suit une loi normle centrée réduite, lors son espérnce est E (Z =0 (d'où le qulifictif «centrée» ; 0 y Elle est définie pr E (Z t ϕ (td t+ t ϕ (td t vec R, ϕ (= y + 0 π e.. Loi normle :ntervlles centrés sur l moyenne de probbilité donnée Propriété [ 8]. [ ROC!] Soit Z une v.. qui suit une loi normle centrée réduite et soit e ]0;[. l eiste un unique nombre strictement positif u e tel que P ( u e Z u e = e Sources : Cours de Lbomts, cours de M. Reiss-Brde, mnuel Trnsmts, mnuel Mt', mnuel Repères. Tble des mtières.notion de primitive... A. Définition et Lien entre les différentes primitives d'une même fonction... B. Primitives des fonctions usuelles (A connître pr cœur!...3.lien entre primitives et intégrles...4 A.Les intégrles permettent de construire une primitive de n'importe quelle fonction continue...4 B.Les primitives donnent une métode très efficce de clcul d'intégrles...5.appliction : Les ROC qu'on vit dû lisser de côté fute des outils mtémtiques nécessires...5.l espérnce de l loi normle vut zéro...5.loi normle :ntervlles centrés sur l moyenne de probbilité donnée COURS TS Mme Helme-Guizon ttp://mtemtoques.weebly.com 4