Propagation d ondes électromagnétiques dans le vide. Equation de d Alembert et ses solutions

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1 Propagaion d onds élromagnéiqus dans l vid Plan I Définiion d un ond II III IV quaion d d Almbr ss soluions Ond plan ss propriéés Onds plans sinusoïdals 1 Définiion Grandurs araérisiqus Périod fréqun longuur d ond nombr d onds 3 Noaion ompl généralisaion 4 Conséqun d la noaion ompl

2 AZllagui-Tabbi I Définiion d un ond Un ond s un prurbaion ou déformaion qui s dépla ou qui s propag d un poin à un aur n ransporan d l énrgi d la quanié d mouvmn mpls : Ond méaniqu l long d un rssor C s un déformaion qui s propag l long d l a du rssor il s agi don d un ond maérill longiudinal Ond à la surfa d l au Lorsqu on j un pirr sur la surfa d l au il s form ds vagus C déformaion d l au s prpndiulair à l a d propagaion l ond s don maérill mais ransvrsal Ond l log d un olonn d ga Ond sonor On omprim un ga n rçan un for ériur sur l pison La déformaion du nombr d moléuls s propag l long d la olonn d ga L ond s don maérill longiudinal Ond élromagnéiqu OM C s un déformaion du oupl hamp élromagnéiqu B dans l mps dans l spa L ond s don non maérill II quaion d D Almbr C son ls équaions d propagaions dans l vid déjà éablis dans l hapir Dans l miliu vid ρ ; J ; μ μ ; on obin don : µ B B µ A A µ V V µ Applés équaions d D Almbr

3 II1 quaion d D Almbr à un dimnsion Pour un fonion f l Laplain d f s éri : f f Car la fonion n dépnd qu d la variabl C qui donn pour l équaion d d Almbr : f µ f L offiin : µ s homogèn à l invrs d un arré d un viss n m- /s - On pos don : ; Où s la élérié la viss d propagaion dans l vid µ 1 On a µ 4π 1 S I S I qui donn 31 8 m / s 36π II Soluion général d l équaion d d Almbr f f La soluion général d µ s : f F G F : rprésn un ond progrssiv qui s propag av un viss V vrs ls > G : rprésn un ond régrssiv qui s propag av un viss V vrs ls < III Ond plan dans l miliu vid ss propriéés III1 Définiion C s un ond don la surfa d ond s un plan Un surfa d ond s l nsmbl ds poins où l hamp élriqu ou magnéiqu a mêm innsié mêm dirion mêm sns n ou poin Pour un ond s propagan l long d l a O ous ls plans d équaions: 1 Son ls surfas d ond son ds plans parallèls au plan o qui son prpndiulairs à l a d propagaion Rmarqu :

4 A la bas ls onds élromagnéiqus son sphériqus surfas d onds sphèrs mais il suffi d s plar loin d la sour pour qu la surfa d ond dvin plan ainsi on pu onsidérr l ond omm éan plan III Propriéés d onds plans dans l miliu vid Grâ au équaions d Mawll on monr qu pour un ond s propagan vrs ls > où ls hamps élriqu magnéiqu son d la form : B on a ls propriéés suivans : 1 B ransvrss haun d u s prpndiulair à l a d propagaion B 3 B valabl n modul 4 B adpropagaion s un rièdr dir IV Onds plans sinusoïdals dans l miliu vid IV1 Définiion Un ond plan qui s propag vrs ls > a un hamp élriqu d la form : si n plus l ond s sinusoïdal l hamp élriqu sra d la form : os s l ampliud du hamp s la phas d l ond Rmarqu : Tou signal périodiqu pu êr déomposé n un somm d fonions sinusoïdals n plus d la on pu uilisr la noaion ompl pour failir ls aluls d où l inérê d éudir ls onds plans sinusoïdals IV Grandurs araérisiqus ds OPPS OPPS : Onds plans progrssivs sinusoïdals a Périod T fréqun f La périod T s l mps au bou duqul l hamp élriqu ou magnéiqu rpass par l mêm éa vibraoir - T La fréqun vérifi : f 1 T f s prim n s -1 ou n Hr : H b Pulsaion La pulsaion rprésn la viss angulair du vur «ournan» assoié au hamp sinusoïdal os

5 On obin : Longuur d ond λ Δα / Δ π / T πf ll rprésn la périod spaial : disan au bou d laqull l hamp élriqu ou magnéiqu rpass par l mêm éa vibraoir C s la disan parouru par l ond pndan un périod T à la viss d Nombr d ond λ T f C nombr rprésn l nombr d osillaion qu ffu l ond pndan un l d π On a : os os C qui donn : n fonion d la longuur d ond : π λ s prim n rad/m Rmarqu : On parlra plus ard du vur d ond don l modul s l sns son u d l a d propagaion π don la dirion λ V Noaion ompl généralisaion V1 Noaion ompl Grâ à la noaion ompl la manipulaion ds 7 équaions loals d élromagnéism ainsi qu ls équaions d propagaion dvin rès simpl n noaion ompl ls grandurs hamp élriqu hamp magnéiqu ponil vur l ponil élriqu s érivn : pour un OPPS qui s propag vrs ls > i i B B i A A i V V

6 Ls vrais grandurs phsiqus rprésnn ls paris rélls ds grandurs donnés idssus IV Généralisaion Pour un OPPS qui s propag dans l vid ou dans l air dans un dirion qulonqu l vur d ond a rois omposans qui prm d réérir ls grandurs i-dssus omm : OM i OM i OM i OM i V V A A B B Où : os : phas spaial d l ond Ls grandurs rélls dvinnn : os os os os 1 ϕ ϕ V V A A B B Rmarqu : Un OPPS qui s propag dans l plan o son hamp élriqu s éri : os Un OPPS qui s propag vrs ls > vérifi : os

7 IV3 Conséqun d la noaion ompl A l aid ds définiions ds opéraurs au ériurs ds grandurs n noaion ompl donnés i-dssus on monr qu : div i ro i grad V V i V i On n onlu don ls rlaions suivans : i i Rmarqu : n nan omp ds rlaions qu vérifin ls opéraurs iés i-dssus Ls équaions loals d élromagnéism hapir 1 n noaion ompl s érivn : ρ 1 i i B 3 B 4 B µ J iµ 5 i A B 6 i A iµv 7 i V ia Ls équaions d propagaion dans l vid hapir dvinnn : B A

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