Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

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1 Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se limiter, pour simplifier, u cs des espces de Hilbert réels. 1 Rppels 1.1 Théorème. (Théorème de projection) Soit F un sous-espce vectoriel fermé d un espce de Hilbert E. Pour tout x E il existe un élément et un seul de F, noté P F (x) et ppelé projection orthogonle de x sur F, qui rélise l infimum inf{ x y y F }, c est à dire x P F (x) x y y F. L projection P F (x) est crctérisée pr les propriétés (1) z = P F (x) { z F, y, x z = 0, y K, c est à dire x z F. De plus, l ppliction P F : E F est linéire, de norme Théorème. (Théorème de représenttion de Riesz) Soit ϕ E une forme linéire continue sur l espce de Hilbert E. Alors, il existe un vecteur u ϕ E et un seul tel que De plus, on x E, ϕ(x) = x, u ϕ E. ϕ E := sup{ ϕ(x) x E, x E 1} = u E. Autrement dit, l ppliction ϕ u ϕ rélise une isométrie linéire de E (muni de l norme du dul) sur E. Du théorème de représenttion on peut en prticulier déduire l existence et l unicité, pour tout opérteur linéire continu u : E F, d un opérteur linéire continue u : F E, ppelé l djoint de l opérteur linéire u, tel que (2) x E, y F, u(x), y F = x, u (y) E.

2 2 Théorème de Lx Milgrm Définitions : Soit : E E IR une forme bilinéire. On dit que est continue (sur E) s il existe une constnte C telle que (3) x, y E, (x, y) C x E y E, est E -coercive s il existe une constnte α > 0 telle que (4) x E, α x 2 E (x, x), est symétrique si (5) x, y E, (y, x) = (x, y). 2.1 Lemme. Soit u : E F une ppliction linéire continue telle qu il existe 0 < < b vérifint x E u(x) F b x E, x E. Alors, u est injective et d imge fermée (c est à dire que u(e) est fermée dns F ). 2.2 Théorème. (Théorème de représenttion de Lx Milgrm) Soit : E E IR une forme bilinéire, continue et coercive sur E et soit ϕ une forme linéire continue sur E. Alors, il existe un élément u ϕ et un seul de E tel que x E, (x, u ϕ ) = ϕ(x). De plus, l ppliction qui à ϕ ssocie u ϕ est linéire continue. Si on suppose de plus que l forme est symétrique, lors l élément u ϕ est crctérisé comme étnt l unique élément de E qui minimise l fonctionnelle J(x) := 1 (x, x) ϕ(x) Exercice. Montrer que le théorème de Lx Milgrm est un corollire direct du théorème de représenttion de Riesz dns le cs où l forme bilinéire est symétrique. 2.4 Exercice. Soit A Sym 2,+ (IR n ) une mtrice symétrique réelle, définie positive. 1) Montrer que cette mtrice définit une forme bilinéire symétrique (x, y) = t xay, symétrique et coercive sur IR n. Déduire du théorème de Lx Milgrm que l on peut résoudre l éqution Ax = b, pour tout b IR n en minimisnt l fonctionnelle J(x) = 1 t 2 xay t b x. 2) Refire le même trvil mis sns utiliser le théorème de lx Milgrm. 2.5 Exercice. On considère l espce vectoriel réel E = { u C 1 ([0, 1], IR) u(0) = u(1) = 0 }, muni du produit sclire 2

3 u, v 1 = 1 0 { u v + u v} dt, où u désigne l dérivée de l fonction u et on note 1 l norme ssociée. On se donne une fonction continue q : [0, 1] IR + et une fonction continue f : [0, 1] IR. 1) Montrer que l ppliction E E (u, v) (u, v) IR, définie pr (u, v) = 1 0 { u v + q u v} dt, est une forme bilinéire, symétrique, continue et coercive sur (E, 1 ). 2) Montrer que E u 1 0 f u dt définit une forme linéire continue sur (E, 1). 3 Appliction à l étude du problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Soit [, b] IR. On se donne deux fonctions continues f, q : [, b] IR. On suppose, pour simplifier, qu il existe un nombre δ > 0 tel que q(x) δ pour tout x [, b]. On s intéresse u problème suivnt. (6) Trouver une fonction u dns C 2 ([, b]) telle que ü(x) + q(x) u(x) = f(x) dns ], b[, u() = u(b) = 0, où u désigne l dérivée du dx. Unicité. On peut priori remrquer que l on l unicité pour le problème (6). En effet, si u 1 et u 2 sont deux solutions de (6), l fonction w := u 1 u 2 vérifie (ẇ2 (x) + q(x) w 2 (x) ) dx = 0, d où l on déduit imméditement, compte tenu des hypothèses fites sur q, que w 0. Mise sous-forme vritionnelle. Supposons trouvée une solution u du problème (6). Après multipliction de l éqution de Sturm Liouville pr une fonction v C 1 ([, b]) telle que v() = v(b) = 0 quelconque, intégrtion, puis intégrtion pr prties, on trouve (7) u v + q u v = f v v C 1 ([, b]) tq v() = v(b) = 0. Considérons l espce A := C 0 (], b[) muni de l norme 1 de l Exercice 2.5. Sur cet espce, l forme bilinéire de l Exercice 2.5 est symétrique, continue et coercive pour l norme 1, et l forme linéire ϕ est continue. Pour pouvoir ppliquer le théorème de Lx Milgrm, il fut compléter (A, 1 ). L espce H 1 0 (], b[). Pour interpréter le complété de (A, 1 ), on introduit l espce produit 3

4 muni du produit sclire E = L 2 (], b[) L 2 (], b[) s ( (v 1, w 1 ), (v 2, w 2 ) ) = v 1, v w 1, w 2 0 où l indice 0 fit référence u produit sclire L 2, et de l norme ssociée s. On considère églement l injection j de A dns E donnée pr j(v) = (v, v). Il est clir que j est une isométrie linéire de (A, 1 ) sur son imge dns (E, s ). On définit l espce H 1 0 (], b[) comme étnt l dhérence de j(a) dns E, muni de l structure hilbertienne induite. Interpréttion de l espce H0 1 (], b[). Pour tout (v, w) H0 1, il existe une suite {v n } L de A telle que v 2 L n v et v 2 n w. On montre lors fcilement que (8) v ϕ = w ϕ, ϕ C 0 (], b[). Il résulte d un résultt du cours d intégrtion que l fonction w L 2 est déterminée de mnière unique pr l fonction v L 2 et pr l reltion (8). On dit que l fonction v dmet l fonction w pour dérivée fible dns L 2. On vérifie sns difficulté qu une fonction v C 1 ([, b]) dmet une dérivée fible dns L 2 et que cette dérivée fible est égle (presque prtout) à l fonction v. Pour cette rison, on noter églement v l dérivée fible de l fonction v dns L 2, si elle existe. Le cs échént, on écrir w f = v. D près ce qui précède, on peut donc noter v l élément (v, w) H 1 0 où w f = v. On peut lors donner un sens u produit sclire, 1 sur H 1 0 (vec l nottion de l Exercice 2.5), et on voit qu il coincide vec l restriction du produit sclire s. On peut de même introduire le produit sclire, 0 sur H 1 0 et étendre à H 1 0 l forme bilinéire et l forme linéire ϕ de l Exercice 2.5. Pr densité de j(a) dns H 1 0, on déduit que est bilinéire, symétrique, continue et coercive sur H 1 0 muni que l norme 1 et que l forme linéire ϕ est continue. Appliction du théorème de Lx Milgrm dns H 1 0. Les hypothèses du théorème de Lx Milgrm pour ( H 1 0,, ϕ ) sont stisfite et on peut donc en déduire qu il existe une unique fonction u H 1 0 telle que ou, plus précisément (, v) = ϕ(v) v H 1 0 (9)! u H 1 0 tq u v + q u v = f v v H 1 0, où u, v désignent les dérivées fibles dns L 2. L fonction u est L 2 et les fonctions f, q sont continues. Il en résulte que l fonction qu f est elle ussi L 2. On déduit lors de (9) que l fonction w := u est L 2, qu elle dmet elle ussi une dérivée fible dns L 2 et que l on ẇ = f q u, 4

5 ce que nous écrirons ü = f q u. Nous vons donc démontré (10) ü + q u = f u sens fible dns ], b[. Condition de Dirichlet et H 1 0. Il est fcile de voir que l injection nturelle est une ppliction linéire continue de (A, 1 ) dns (C 0 ([, b]), ). Il en résulte imméditemment une injection nturelle de (H 1 0, 1 ) dns (C 0 ([, b]), ). En prticulier, étnt donnée v H 1 0, il existe une unique fonction continue ṽ telle que v = ṽ presque prtout. Il résulte de l densité de j(a) dns H 1 0 que ṽ() = ṽ(b) = 0. Pour cette rison, nous dirons que les éléments de H 1 0 ont une trce nulle sur le bord de ], b[. Conclusion. Les constructions précédentes nous ont permis de montrer qu il existe une unique solution vritionnelle du problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville, c est à dire une unique fonction u H 1 0 (], b[) vérifint (9). Cette fonction est églement une solution fible de l éqution de Sturm Liouville, c est à dire qu elle vérifie l éqution (10) ou encore u ( v + q v ) = f v v C 0 (], b[). Enfin, l fonction u vérifie l condition u bord de Dirichlet (nnultion en et b), u sens où s trce sur le bord est nulle. Remrquons que l unicité d une solution C 2 telle que vons démontrée plus hut résulte églement du théorème de Lx Milgrm. Resterit à montrer (et c est l objet de l troisième prtie du premier devoir à l mison) que l solution vritionnelle u est en fit de clsse C 2 et qu elle vérifie l éqution (6). L formultion vritionnelle des problèmes ux limites elliptiques, telle que nous l eposerons dns l suite du cours, reprend essentiellement les idées ci-dessous (vec une difficulté supplémentire pour le pssge d une solution vritionnelle à une solution clssique). Pierre Bérrd Institut Fourier UMR 5582 UJF CNRS www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberrd/ 5

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