Mécanique des Milieux Continus Les coordonnées curvilignes

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1 1 Mécanique des Milieux Continus Les coodonnées cuvilignes Jusqu à pésent nous avons tavaillé avec le système de coodonnées catésiennes ectangulaies (, x 2, x 3 ) ou (x i ) en abégé. Cependant, pou de nombeuses applications patiques, il est plus natuel et aisé de tavaille avec un système de coodonnées cuvilignes (en paticulie, pou l imposition des conditions aux fontièes). Les deux systèmes de coodonnées cuvilignes les plus couants sont le système cylindique et le système sphéique. 1 Définition Plutôt que de epée la position d un point P pa ses coodonnées ectangulaies (x i ), nous pouvons utilise des coodonnées cuvilignes (α i ) telles que les coodonnées cylindiques (, θ, z), ou les coodonnées sphéiques (, φ, θ) définies su les figues ci-dessous. Ces coodonnées cuvilignes sont eliées aux coodonnées ectangulaies pa une elation biunivoque dans leu domaine d application. 1.1 Coodonnées cylindiques x 3 g z g θ P e 3 g z e 2 O x 2 e θ 1 Domaine: = (x x 2 2) 1/2 = cos θ θ = actan x 2 x 2 = sin θ (1.1) z = x 3 x 3 = z > 0 0 θ < 2π

2 3 VECTEURS DE BASE EN UN POINT P 2 L axe = 0 est une ligne singulièe pou le changement de coodonnées. 1.2 Coodonnées sphéiques x 3 g g θ e 3 φ P g φ e 1 O θ e 2 x 2 = (x x x 2 3) 1/2 = sin φ cos θ Domaine: φ = actan (x2 1 + x2 2 )1/2 x 3 x 2 = sin φ sin θ (1.2) θ = actan x 2 x 3 = cos φ > 0 0 < φ < π 0 θ 2π Les axes φ = 0 et φ = π sont des lignes singulièes pou le changement de coodonnées. 2 Sufaces et lignes de coodonnées Une suface de coodonnées est le lieu des points suivant lequel seules deux coodonnées cuvilignes vaient. Ainsi, en coodonnées cylindiques, ces sufaces sont données pa des cylindes ciculaies ( = R), des demi-plans issus de l axe Ox 3 (θ = Θ), et des plans pependiculaies à ce même axe (z = Z). En coodonnées sphéiques, ces sufaces sont des sphèes ( = R), des demi-plans (θ = Θ) et des cônes (φ = Φ). L intesection de deux sufaces de coodonnées définit une ligne de coodonnée, suivant laquelle une seule coodonnée vaie. En tout point P, il passe 3 sufaces de coodonnées et autant de lignes de coodonnées. 3 Vecteus de base en un point P 3.1 Définition Le vecteu position d un point P elie l oigine O du système de coodonnées catésiennes à ce point P. Il s écit OP = x = ē1 + x 2 ē2 + x 3 ē3 ou x i ēi (3.3)

3 3 VECTEURS DE BASE EN UN POINT P 3 En coodonnées cuvilignes, on définit les vecteus de base au point P comme étant les 3 vecteus unitaies tangents aux lignes de coodonnées passant pa le point P et diigés selon la diection de l accoissement de la coodonnée cuviligne coespondante. En vetu de la définition des lignes de coodonnées, ces vecteus sont donnés pa x ḡ i = α i x. (3.4) α i Pou appel, un indice souligné indique qu il n y a pas lieu d effectue une sommation. Coodonnées cylindiques Avec on touve x = cos θ ē1 + sin θ ē2 + z ē3 (3.5) ḡ = cos θ ē1 + sin θ ē2 ḡ θ = sin θ ē1 + cos θ ē2 (3.6) ḡ z = ē3 La décomposition de x dans cette nouvelle base vient diectement: Coodonnées sphéiques Avec on touve x = ḡ + z ḡz (3.7) x = sin φ cos θ ē1 + sin φ sin θ ē2 + cos φ ē3 (3.8) ḡ = sin φ cos θ ē1 + sin φ sin θ ē2 + cos φ ē3 ḡ φ = cos φ cos θ ē1 + cos φ sin θ ē2 sin φ ē3 (3.9) ḡ θ = sin θ ē1 + cos θ ē2 La décomposition de x dans cette base s écit simplement x = ḡ (3.10) Impotante emaque: En coodonnées catésiennes, les coodonnées (x i ) d un point sont aussi les composantes de son vecteu position Ceci n est plus vai en coodonnées x. cuvilignes! Il est faux d écie x = ḡ + θ ḡθ + z ḡz ou x = ḡ + φ ḡφ + θ ḡθ et seules les expessions (3.7) et (3.10) sont coectes.

4 3 VECTEURS DE BASE EN UN POINT P Popiétés impotantes Base locale Les vecteus de base au point P dépendent de la position du point P. Ceci se voit claiement pa inspection des expessions de ces vecteus. A pati des équations (3.6) pou le système cylindique et des équations (3.9) pou le système sphéique, on obtient facilement l expession des déivées patielles spatiales des vecteus de base: Système cylindique ḡ ḡ θ ḡ z = 0 ḡθ = 0 = ḡθ ḡθ θ = ḡ = 0 ḡθ z = 0 ḡz = 0 ḡz θ = 0 ḡz z = 0 Système sphéique ḡ ḡ φ ḡ θ = 0 ḡφ = 0 = ḡφ ḡφ φ = ḡ = ḡθ sin φ ḡφ θ = ḡ θ cos φ ḡθ = 0 ḡθ φ = 0 ḡθ θ = ḡ sin φ ḡφ cos φ Base othonomée d oientation diecte Les vecteus de base au point P foment une base othonomée d oientation diecte. Les matices de changement de base depuis la base catésienne ectangulaie ēi sont donc othogonales, de déteminant +1, et dépendent de la position du point P : coodonnées cylindiques A(, θ, z) = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ (3.11) coodonnées sphéiques A(, φ, θ) = sin φ cos θ sin φ sin θ cos φ cos φ cos θ cos φ sin θ sin φ sin θ cos θ 0 (3.12) Impotante emaque: En coodonnées cuvilignes, les matices de changement de base (3.11) et (3.12) ne peuvent pas ête utilisées pou effectue un changement de coodonnées comme cela est pemis en coodonnées catésiennes. Les changements de coodonnées se font en utilisant (1.1) ou (1.2).

5 4 OPÉRATIONS DIFFÉRENTIELLES Composantes des tenseus Tout tenseu (quel que soit son ode) peut ête expimé pa ses composantes dans le système de coodonnées cylindique ou sphéique, comme on peut le faie dans le système de coodonnées ectangulaies. Puisque la base locale est othonomée, nous pouvons applique les ègles de multiplication des vecteus unitaies et des dyades unitaies. 4 Opéations difféentielles 4.1 L opéateu Nous allons maintenant echeche l expession de l opéateu en coodonnées cuvilignes. En coodonnées ectangulaies, nous l avions défini comme suit = ē1 + ē2 + ē3 x 2 x 3 ou ē i. (4.13) x i Pou expime les opéateus difféentiels elatifs aux coodonnées catésiennes (x i ) en fonction des opéateus difféentiels elatifs aux coodonnées cuvilignes (α i ), on applique la ègle de déivation des fonctions composées: En appliquant cette ègle, on touve = α j. (4.14) x i x i α j pou les coodonnées cylindiques = (cos θ) ( + sin θ ) θ + (0) z = (sin θ) ( ) cos θ x 2 + θ + (0) z = (0) x 3 + (0) θ + (1) z pou les coodonnées sphéiques = (sin θ cos φ) ( ) ( cos θ cos φ + θ + sin φ ) sin θ z = (sin θ sin φ) ( ) ( ) cos θ sin φ cos φ x 2 + θ + sin θ z = (cos θ) ( x 3 + sin θ ) θ + (0) z (4.15) (4.16) En injectant les expessions (3.6) et (4.15) dans l expession (4.13) du gadient en coodonnées catésiennes, on obtient l expession de en coodonnées cylindiques: = ēx x + ē y y + ē z z = (ē cos θ ēθ sin θ) ((cos θ) ( + sin θ ) ) θ +(ē sin θ + ēθ cos θ) ((sin θ) ( + + cos θ ) ) + ēz θ z

6 4 OPÉRATIONS DIFFÉRENTIELLES 6 et, apès avoi simplifié, on touve finalement = ē + 1 ē θ θ + ē z z (4.17) Un développement analogue utilisant les expessions (3.9) et (4.16) pemet de touve l expession de en coodonnées sphéiques = ē + 1 ē φ φ + 1 ē θ sin φ θ (4.18) 4.2 Utilisation de l opéateu nabla Celle-ci doit ête effectuée avec soin ca les opéations difféentielles potent à la fois su les composantes les vecteus de base qui, en coodonnées cuvilignes, ne sont pas constants Gadient d un champ scalaie f Il suffit d applique la fomules (4.17) ou (4.18) suivant que f est expimé en coodonnées cylindiques ou des coodonnées sphéiques Gadient d un champ vectoiel v Il faut teni compte du fait que les opéateus de déivation dans les fomules (4.15) et (4.16) doivent ête appliqués tant aux composantes de v qu aux vecteus de base du système de coodonnées cuvilignes choisi. Apès de longs calculs, on obtient finalement Coodonnées cylindiques ( = u ū) ( = 1 u ū)θ θ u θ ( ū)z = u z ( = u θ ū)θ ( = 1 u θ ū)θθ θ + u ( ū)zθ = u θ z ( = u z ū)z ( = 1 u z ū)θz θ ( ū)zz = u z z Coodonnées sphéiques ( = u ū) ( = 1 u ū)φ φ u φ ( ū)θ = 1 sin φ u θ u θ ( = u φ ū)φ ( = 1 u φ ū)φφ φ + u ( = 1 u φ sin φ ū)θφ θ u θ tan φ ( = u θ ū)θ ( = 1 u θ ū)φθ φ ( ū)θθ = 1 sin φ u θ θ + u + u φ tan φ Divegence d un champ vectoiel v La divegence d un champ vectoiel est égal à la tace du gadient de ce champ: ce qui en notation indicielle s écit On obtient donc = t ( (4.19) v v) = ( ii (4.20) v v)

7 4 OPÉRATIONS DIFFÉRENTIELLES 7 en coodonnées cylindiques = v v + 1 v θ θ + v + v z z (4.21) en coodonnées sphéiques = v v + 1 v φ φ + 1 v θ sin φ θ + v φ tan φ + 2v (4.22) Rotationnel d un champ vectoiel v Le poduit vectoiel se définit comme suit: = v ɛ : ( v)t (4.23) où est le pseudo-tenseu de pemutation. Il est défini de manièe identique dans tout ɛ système de coodonnées: (ɛ) ijk = ɛ ijk où ɛ ijk est le symbole de pemutation. En notation indicielle, cette définition s écit ( v) i = ɛ ijk (( v) T ) kj = ɛ ijk ( v) jk (4.24) et nous constatons qu en coodonnées catésiennes, nous etouvons bien la fomulation classique Coodonnées cylindiques ( v) i = ɛ ijk v k x j En utilisant les ésultats de la section (4.2.2) nous calculons = (( θz ( zθ )ḡ + (( z ( z )ḡθ + (( θ ( θ )ḡz v v) v) v) v) v) v) = ( 1 v z v θ v θ z ) ḡ + ( v z v z ) ḡ θ + ( v θ 1 v θ + v θ ) ḡ z (4.25) Coodonnées sphéiques De la même façon, on calcule = (( φθ ( θφ )ḡ + (( θ ( θ )ḡφ + (( φ ( φ )ḡθ v v) v) v) v) v) v) = ( 1 v θ v φ 1 v sin φ θ + v θ ) ḡ + ( 1 sin φ v θ v θ v z ) ḡ φ + ( v φ 1 v φ + v φ ) ḡ θ (4.26)

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