Quelques éléments à propos du trou noir de Schwarzchild

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1 Quelques éléments à popos du tou noi de Schwazchild Jéôme Peez 8 août 05 Table des matièes Métique du champ cental stationnaie à symétie sphéique Ecitue des équations de la dynamique 3 Solution à l exteieu de la souce 5 4 Stuctue intene des astes compacts 6 5 Tous nois de Schwazschild 7 Métique du champ cental stationnaie à symétie sphéique Cas généal ds = g αβ x,x,x 3,x 4 dx α dx β g αβ x = g βα x : 0 composantes indépendantes... Métique stationnaie Il existe un champ de déplacement de gene temps qui laisse la métique invaiante. Métique stationnaie à symétie sphéique g 44 = g 44 x,x,x 3 k =,,3 g 4k = 0 g 44 = g 44 = A ds = A dt Bd dθ sin θd les fonctions A et B sont positives on pose donc A = e ν et B = e λ et la métique du champ cental stationnaie devient ds = e ν dt e λ d dθ sin θd il ne este plus qu à écie les équations d Einstein associées à cette métique...

2 Ecitue des équations de la dynamique Dynamique : Equations d Einstein G µν = R µν Rg µν = 8πG c 4 T µν Les composantes covaiantes non nulles du tenseu métique sont g tt = e ν g θθ = g = e λ g = sin θ les composantes contavaiantes s en déduisent diectement g tt = e ν g = e λ g θθ = g = sin θ de ces elations on peut calcule les chistoffel de pemièe espèce a,b,c = t,,θ, [bc,a] = g bc,a g ab,c g ac,b sachant que [bc,a] = [cb,a] il doit y avoi 3 exemplaies de cet animal... On emaque tès vite que si a b c alos [bc,a] = 0 Il faut ensuite calcule les chistoffel de seconde espèce a = g bc am [bc,m] = g am [bc,m] m=t,,θ, qui se amène ici à a = g bc aa [bc,a] Ces péambules étant effectués, il convient alos de calcule les composantes du Ricci µ µ µ ν µ ν R ij = R µ ijµ = µ j ij iµ µν ij jν iµ où il y a bien su sommation su les indices µ et ν. Pou fini, il ne estea plus qu à calcule le scalaie de coubue de cette métique R = R i i = g ji R ij qui se éduit ici à R = i=,t,θ, g ii R ii Indiquons sans les détaille quelques intemédiaies de calcul.

3 Les seuls chistoffels de seconde espèce non nuls sont plus leus symétiques = λ θθ = e λ = sin θe λ tt = v e ν λ θ θ = = = cotθ θ θ = sinθcosθ t t = ν Calculons à pésent et pa exemple, la composante du Ricci, nous avons vu que R = µ µ µ µ c est à die µ µ,ν µ ν µν µ µ,ν µ ν ν µ R = θ θ t t θ θ t t θ θ t t θ θ θ θ θθ θ θ θ t θt θ θ t t θ θ t t θ θ θ θ θ θ θ θ θ t t θ θ t θ t t t t θ θ t t t t t t t une fois les simplifications et les calculs effectués il este R = ν 4 ν λ ν λ on obtient de la même façon si le coeu vous en dit les autes composantes du Ricci, qui s avèe ici ête diagonnal [ R = ν ] 4 ν ν λ λ [ R tt = ν ] 4 ν ν λ λ e ν λ R θθ = [ e λ e λ λ ν ] R = [ e λ e λ λ ν ] sin θ 3

4 on calcule enfin le scalaie de coubue R = e λ R R θθ sin θ R e ν R tt = e λ [ ν ν ν λ 4 ν λ ] [ ] e λ nous en déduisons héoïquement les composantes du tenseu d Einstein, lui aussi diagonal pou cette métique G = ν e λ G tt = e ν λ λ G θθ = e λ G = G θθ sin θ eν ν ν λ ] [ ν le tenseu énegie imulsion est beaucoup plus simple à obteni, pou un fluide pafait de pession p et de densité d énegie ε nous avons avec dans le éféentiel de epos il vient immédiatement T = εp U U pǧ U = dm dτ = 0,0,0,cT T µν = diag pe λ, p p, sin θ,εe ν les équations d Einstein distinctes sont alos les suivantes : c 4 G = 8πGg T c 4 G tt = 8πGg tt T tt c 4 G θθ = 8πGg θθ T θθ en les emaniant quelque peu on obtient finalement ν e λ = 8πG c p 4 e λ λ = 8πG c 4 ε [ ] e ν λ [ν λ ] ν = 6πG p c 4 4

5 on peut en fait encoe simplifie ces équations en écivant que le tenseu énegie impulsion est à divegence covaiante nulle µ a a T µa = 0 a T µa T ab ab T ab µb qui founit la elation contenue mais non explicite dans les équations d Eisntein p ν pε = 0 qui pemet de touve la fomulation définitive de note système e λ ν λ = 8πG pε c 4 ν = p pε e λ λ = 8πG c 4 ε 3 Solution à l exteieu de la souce Dans ce cas ε = p = 0, la denièe équation s écit e λ λ e λ = d d e λ = et s intège en la pemièe équation s écit e λ = κ et s intège en la métique s écit donc à l extéieu de la souce ν λ = 0 λ = ν cste e ν = κ e λ = κ κ ds = κ κ dt d κ dθ sin θd le choix des constantes se fait pa contact avec la métique en champ faible, et donc pou, nous devons avoi κ κ = g 44 = ψ 5

6 en symétie sphéique euclidienne le potentiel loin d une souce M est donné pa ψ = GM en identifiant, il vient κ = convention κ = GM et nous obtenons la métique dite de Schwazschild 96 cée à l extéieu d un cops à symétie sphéique pa lui-même ds = GM dt d GM dθ sin θd ce n est pas la métique la plus généale au voisinage d un cops gave,... En 99, Reisne-Nodstøm touvent la métique à l extéieu d un cops de chage Q dans un champ électomagnétique ds = GM Q dt dθ sin θd d GM Q Enfin en 963, Ke et Ke-Newman touvent la métique d un cops de chage Q en otation de moment cinétique pa unité de masse a qui en coodonnées de Boye-Lindquist s écit = GM a Q et ρ = a cos θ ds = ρ dt asin θd sin θ ρ [ a d adt] ρ d ρ dθ qui est à la base de l étude des étoiles elativistes en otation. 4 Stuctue intene des astes compacts En etenant les leçons appises à l extéieu du cops nous effectuons le chagement de vaiable e λ = m avec m = GM 6

7 la quantité M epésentant la masse contenue dans la sphèe de ayon. La toisième équation s écit alos analogue de la vesion Newtonienne bien connue dm d = 4π ε dm d = 4π ρ on peut aussi élimine ν ente les deux pemièes équations, il vient [ [ ] M 4 ] dp pε d = G 3 π33p ] [ GM qui généalise l équation d équilibe hydostatique newtonienne chèe aux étoiles classiques dp d = GρM 5 Tous nois de Schwazschild Dans la métique de Schwazschild, ds = GM dt on constate que la composante d GM g = GM de la métique devient singulièe pou le ayon de Schwazschild s = GM dθ sin θd pou la plupat des objets s est plus petit que leu taille, pou le soleil alos que s = GM =,96 km R = 6, km pou que l objet soit entièement occlus dans son ayon de Schwazschild, il faut que sa densité moyenne ρ soit telle que 4 3 π ρ3 s > M 7

8 soit ρ = 3 [ ] c 6 M 3πG 3 M =.8 06 g.cm 3 M i.e. 0 fois supéieue à la densité du noyau atomique! Un objet occlus dans son ayon de Schwazschild est appelé tou noi de Schwazschild. Quid de la singulaité? Un cetain nombe de emaques :., θ, et t ne sont pas des quantités physiques mais uniquement des coodonnées destinées à epée les évènements : Si est la distance au cente et t le temps, ce n est que dans note vision classique, et losque s leu intepétation peut change et leu sens physique deveni obscu!. les composantes de la métique ne sont d apès le pincipe d équivalence que des potentiels, le fait qu il deviennent singulies peut ne pas ête génant si les effets physiques associés ne le sont pas. En ce qui concene la singulaité de Schwazschild un apide exament pemet de voi qu elle ne pose pas de poblèmes, mis à pat les aspects déoutants dûs à son caactèe elativiste. La singulaité est essentiellement due à un mauvais choix de coodonnées, pou un mouvement adial θ = cste et = cste le changement de vaiables u = esch v = essh u = essh v = esch t s s t s s t s s t s s si > s si < s pemet d obteni une epésentation égulièe de l espacetemps de Schwazschild ds = 43 s e [ s dv du ] l étude de la composante temps d un mouvement géodésique de chute libe adiale en coodonnées classiques d t t dt ds d t ds ds = 0 est intégable et monte que pou un obsevateu fixe, le cops en chute libe passea l hoizon = s au bout d un temps infini, alos que l obsevateu attaché au cops passea l hoizon en un temps fini et sans encombes si ce n est les effets de maée, et le fait que sa coodonnée d espace devient t et sa coodonnée de temps devient!. 8