S.Boukaddid Ondes électromagnétiques MP2

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1 S.Boukddid Ondes électromgnétiques MP2 Guide d'onde à section rectngulire Tble des mtières 1 Générlité Définition Onde trnsverse électrique-onde trnsverse mgnétique Conditions ux limites Guide d onde à section rectngulire Modélistion Notion du mode de propgtion Modes TE n, Modes TE 0,m Modes TE n,m / 7

2 S.Boukddid Ondes électromgnétiques MP2 1 Générlité 1.1 Définition Définition : Un guide d onde est une portion d espce vide ou remplie pr un diélectrique (milieu isolnt et limité pr un conducteur supposée prfit,il sert à cnliser l OEM dns cette portion de l espce sns dissiption de son énergie. Le guide d onde est invrint pr trnsltion dns une direction qui ser l direction de propgtion de l OEM. Exemples cble coxil Guide cylindrique guide rectngulire 1.2 Onde trnsverse électrique-onde trnsverse mgnétique une onde électromgnétique est dite trnsverse électrique (TE si le chmp électrique est perpendiculire à l direction de propgtion une onde électromgnétique est dite trnsverse mgnétique (TM si le chmp mgnétique est perpendiculire à l direction de propgtion une onde électromgnétique est dite trnsverse électromgnétique (TEM si le chmp électrique et mgnétique sont perpendiculire à l direction de propgtion 1.3 Conditions ux limites Considérons l OEMPPH de l forme : E = E 0 expi (ωt kz vec E 0 e z l composnte tngentielle du chmp électrique doit être nulle sur les bords du guide donc E 0 doit être nul sur les bords,donc nécessiremet doit dépendre des coordonnées x, y,donc l onde plne plne ne peut être solution de ce problème il est de même pour le chmp mgnétique (continuité de l composnte normle Conclusion : les conditions ux limites interdisent l propgtion des ondes électromgnétiques plnes progressives monochromtiques et imposent une forme plus complexe. 2 / 7

3 S.Boukddid Ondes électromgnétiques MP2 2 Guide d onde à section rectngulire 2.1 Modélistion le guide d onde à section rectngulire est constitué de qutres plnes métlliques prfitement conducteurs : x = 0, x =, y = 0 et y = b,l longuer de ce guide est infini suivnt Oz. x O z b y 2.2 Notion du mode de propgtion Définition : On ppelle mode de propgtion toute solution de l éqution de propgtion vérifint les conditions ux limites du guide d onde. chque mode de propgtion est crctérisé pr deux entiers n,m N n : crctérise l quntifiction de l mplitude en x m : crctérise l quntifiction de l mpltide en y si l mplitude de l onde ne dépend ps de l une des vribles en le remplce pr l indice 0 Modes TE n,m : dns ces modes l onde électromgnétique est trnsverse électrique,et l mplitude de l onde dépend des deux vribles x et y Modes TM n,m : dns ces modes l onde électromgnétique est trnsverse mgnétique,et l mplitude de l onde dépend des deux vribles x et y 2.3 Modes TE n,0 on suppose qu il y ps de dissiption de l énergie électromgnétique donc l mplitude du chmp électrique ne dépend ps de z On cherche le chmp électrique sous l forme E = f (xexpi (ωt kg z e y l éqution de propgtion dns le vide : E 1 c 2 2 E 2 t = 0 3 / 7

4 S.Boukddid Ondes électromgnétiques MP2 l éqution crctéristique : r 2 + ω2 cs n 1 : k g > k 0 l solution : f (x = Aexp des constntes d 2 ( f ω 2 dx 2 + c 2 k2 g f = 0 c 2 k2 g = 0 r 2 = k 2 g k2 0, vec k2 0 = ω2 c 2 ( ( x kg 2 k0 2 + C exp x kg 2 k0 2, vec A et B sont l continuité de l composnte tngentielle du chmp électrique en x = 0 et x = : f (0 = 0 et f ( = 0 [ ( ( ] f (0 = 0 A + C = 0 f (x = A exp x kg 2 k0 2 exp x kg 2 k0 2 [ ( ( ] f (b = 0 A exp kg 2 k0 2 exp kg 2 k0 2 = 0 A = 0 f (x = 0 Conclusion : pour k g > k 0 il n y ps de propgtion de l onde électromgnétique dns le guide Cs n 2 : k g < k 0 ( ( l solution : f (x = A x k0 2 k2 g + C ( f (0 = 0 A = 0 f (x = C x k0 2 k2 g ( ( f ( = 0 C k0 2 k2 g = 0 vec n N on pose C = E n f (x = E n x x k 2 0 k2 g k 2 0 k2 g = nπ ;n N kg 2 = k2 n = ω2 2 c 2 k0 2 k2 g = 0 k0 2 k2 g = nπ et E = E n x (ωt k g z e y à z = cte, l onde est sttionnire ( vibrnt sur plce vec une pulstion ω et nπ une mplitude E n x à x = ct e,l onde est monchromtique et progressive dns le sens des z croissnts les modes TE n,0 sont crctérisés pr des pulstions de coupure ω nc il y propgtion : kg 2 > 0 ω2 2 c 2 > 0 ω > ωcn = nπc pulstions de coupure des TE n,0 : ω nc = nπc Conclusion : L existence des conditions ux limites entrîne une quntifiction des vecteurs d onde. À chque vleur de n correspnd un mode de propgtion différent,et une pulstion de coupure u dessous de lquelle ce mode ne se propge ps. 4 / 7

5 S.Boukddid Ondes électromgnétiques MP2 Exemples mode TE 1,0 : k1 2 = ω2 c 2 π2 2 ; ω 1c = πc mode TE 2,0 : k2 2 = ω2 c 2 4π2 2 Chmp mgnétique r ot E = E = B t près tout clcul fit on trouve ; ω 2c = 2πc B x = k ( g nπ ω E n x (ωt k g z B y = 0 B z = E n ω x (ωt k g z le chmp mgnétique n est ps perpendiculire à direction de propgtion ( e z,donc n est ps trnsversl Conclusion : dns un guide d onde à section rectngulire le mode TEM n existe ps Vitesse de phse-vitesse de groupe vitesse de phse : v ϕ = ω k g vitesse de groupe : v g = dω dk g v ϕ v g : il y dispersion v ϕ = v g = c 1 1 c ( ωnc ω ( ωnc ω v ϕ.v g = c 2 2 > c 2 < c 2.4 Modes TE 0,m on cherche le chmp électrique sous l forme E = f (yexpi (ωt kg z e x les résultts restent les mêmes,il suffit de remplcer n pr m et x pr y et pr b l reltion de dispersion kg 2 = ω2 ( mπ 2 c 2 b 5 / 7

6 S.Boukddid Ondes électromgnétiques MP2 le chmp électrique les fréquences de coupure le chmp mgnétique B x = 0 E = Em ( mπ b y (ωt k g z e x ω mc = mπc b B y = k ( g mπ ω E m b y (ωt k g z B z = mπ ( mπ bω E m b y (ωt k g z 2.5 Modes TE n,m le chmp électrique doit vérifié les conditions ux limites mπ E = E1 (x( b y expi (ωt k g z e x + E 2 (y x expi (ωt k g z e y di v E = 0 de 1 (x ( mπ dx b y + de 2 (y d y E 1 (x = E 10 x ;E 2 (y = E 20 x = 0 ( mπ b y ; n E 10 + m b E 20 = 0 vec m,n 0 [ ( mπ E = E 10 x b y e x + E 20 si m = 0, E = E 20 x expi (ωt k g z e y si n = 0, ( mπ E = E 10 b y expi (ωt k g z e x l éqution de propgtion pour l composnte suivnt Ox E x (x, y 1 2 E x (x, y c 2 t 2 = 0 [ 2 ] ( x y z 2 + ω2 c 2 E 10 x 2 ( mπ 2 kg 2 + ω2 b c 2 = 0 [ (nπ kg 2 = ω2 2 ( mπ ] 2 c 2 + b les pulstions de coupure pour TE n,m (nπ 2 ( mπ ω m,n,c = c + b ( mπ ] b y x e y expi (ωt k g z ( mπ b y expi (ωt k g z = 0 si < b : ω c,min = πc b : pulstion de coupure du mode TE 0,1 2 6 / 7

7 S.Boukddid Ondes électromgnétiques MP2 si πc 1 b < ω < πc b 2 : seule le mode TE 0,1 se propge dns le guide,on dit qu il s git d un guide monomode le mode pour lequel k g est plus grnd est ppelé le fondmentl,ici TE 0,1 7 / 7