Un schéma d ordre deux pour la résolution de l équation de Landau-Lifchitz par éléments finis

Transcription

1 Un schéma d ordre deux pour la résoluton de l équaton de Landau-Lfchtz par éléments fns E. Krtsks, F. Alouges, J.C. Toussant SMAI 2011, Gudel 24 ma 2011

2 2/20 Plan 1 L équaton LLG 2 De l ordre I à l ordre II 3 Applcaton : le problème standard du NIST

3 Équaton de Landau-Lfchtz Modèle du mcromagnétsme pour les matéraux ferromagnétques Mleu contnu Ω R 3 Amantaton M M s = m : Ω S 2 L équaton LLG 3/20

4 Équaton de Landau-Lfchtz Modèle du mcromagnétsme pour les matéraux ferromagnétques Mleu contnu Ω R 3 Amantaton M M s = m : Ω S 2 m = γµ 0 m H eff + αm m t t m n = 0 dans Ω sur Ω localement m tend à s algner sur H eff α > 0 coeffcent d amortssement L équaton LLG 3/20

5 Proprétés m t = γµ 0 m H eff + αm m t m(x, t) = 1 est conservé H eff = 2A µ 0 M s m } {{ } + 2K (m u)u +H d (m) + H ext µ 0 M } s {{ } H e (m) H a (m) L équaton LLG 4/20

6 Proprétés m t = γµ 0 m H eff + αm m t m(x, t) = 1 est conservé H eff = 2A µ 0 M s m } {{ } + 2K (m u)u +H d (m) + H ext µ 0 M } s {{ } H e (m) H a (m) EDP non lnéare avec des termes non locaux et une contrante non convexe... Forme admensonnée, H eff = m +... m t = m m + αm m t L équaton LLG 4/20

7 Dfférentes formes Forme de Glbert m t αm m t = m m L équaton LLG 5/20

8 Dfférentes formes Forme de Glbert m t αm m t = m m Autre forme αm t + m m t = m ( m m)m En multplant par m t et ntégrant : α m t 2 = 1 d 2 dt m 2 L équaton LLG 5/20

9 Dfférentes formes Forme de Glbert m t αm m t = m m Autre forme αm t + m m t = m ( m m)m En multplant par m t et ntégrant : α m t 2 = 1 d 2 dt m 2 Forme de LL (1 + α 2 )m t = m m + α( m ( m m)m) L équaton LLG 5/20

10 Solutons fables m H 1 (Ω [0, T], S 2 ) est une soluton fable de LLG ss φ H 1 (Ω [0, T]) m t φ α En effet m m t φ = m m x φ x ( ) x m m x = m 2 m = m m. x 2 L équaton LLG 6/20

11 Solutons fables m H 1 (Ω [0, T], S 2 ) est une soluton fable de LLG ss φ H 1 (Ω [0, T]) m t φ α En effet 1 m(t) 2 + α 2 ( x m m T 0 m m t φ = ) x = m 2 m x 2 m 2 t 1 2 m m x φ x = m m. m(0) 2 Comment fare un schéma en respectant la contrante? L équaton LLG 6/20

12 Un premer schéma explcte Idée [Alouges] : tester par une foncton orthogonale à m en tout pont formulaton plan tangent αm t + m m t = m ( m m)m m n m(n δt), m n = m n φ avec, m n = 1, K n = {w = w φ, w m n = 0}. De l ordre I à l ordre II 7/20

13 Un premer schéma explcte Idée [Alouges] : tester par une foncton orthogonale à m en tout pont formulaton plan tangent αm t + m m t = m ( m m)m m n m(n δt), m n = m n φ avec, m n = 1, K n = {w = w φ, w m n = 0}. Pour tout n 0, Trouver v n K n tel que w K n ( ) α v n w + m n v n w = m n w De l ordre I à l ordre II 7/20

14 Un premer schéma explcte Idée [Alouges] : tester par une foncton orthogonale à m en tout pont formulaton plan tangent αm t + m m t = m ( m m)m m n m(n δt), m n = m n φ avec, m n = 1, K n = {w = w φ, w m n = 0}. Pour tout n 0, Trouver v n K n tel que w K n ( ) α v n w + m n v n w = m n w Poser m n+1 = m n+1 φ, avec m n+1 = mn + δt v n m n + δt v n De l ordre I à l ordre II 7/20

15 Un premer schéma explcte Le problème (*) est lnéare. Il possède une soluton unque v n qu converge (fablement) vers δt une soluton fable de (LL) quand δt 0, δx 0, et 0. δx 2 Proche d un schéma explcte pour l équaton de la chaleur. Dffcle à utlser en pratque (δt mnuscules... ) De l ordre I à l ordre II 8/20

16 Un premer schéma explcte Le problème (*) est lnéare. Il possède une soluton unque v n qu converge (fablement) vers δt une soluton fable de (LL) quand δt 0, δx 0, et 0. δx 2 Proche d un schéma explcte pour l équaton de la chaleur. Dffcle à utlser en pratque (δt mnuscules... ) Schémas mplctes à tératon non lnéare [Bartels-Prohl] : ncondtonnellement stables mas la méthode de Newton converge pour δt suffsamment pett δx 2 schéma mplcte à tératon lnéare? De l ordre I à l ordre II 8/20

17 Un premer schéma explcte Le problème (*) est lnéare. Il possède une soluton unque v n qu converge (fablement) vers δt une soluton fable de (LL) quand δt 0, δx 0, et 0. δx 2 Proche d un schéma explcte pour l équaton de la chaleur. Dffcle à utlser en pratque (δt mnuscules... ) Schémas mplctes à tératon non lnéare [Bartels-Prohl] : ncondtonnellement stables mas la méthode de Newton converge pour δt suffsamment pett δx 2 schéma mplcte à tératon lnéare? n 0, Trouver v n K n tel que w K n α v n w + m n+1 v n w = m n+1 w non lnéare... De l ordre I à l ordre II 8/20

18 Le θ schéma m n+1 = mn + δt v n m n + δt v n mn + δt v n + O(δt 2 ) α v n w + (m n + δt v n ) v n w = (m n + δt v n ) w De l ordre I à l ordre II 9/20

19 Le θ schéma m n+1 = mn + δt v n m n + δt v n mn + δt v n + O(δt 2 ) α v n w + (m n + δt v n ) v n w = (m n + δt v n ) w θ [0, 1] : n 0, Trouver v n K n tel que w K n α v n w + m n v n w + θ δt v n w = m n w Poser m n+1 = m n+1 φ, avec m n+1 = mn + δt v n m n + δt v n De l ordre I à l ordre II 9/20

20 Stablté et normalsaton Pour w H 1 tel que w 1 p.p. on a w w 2 w 2 De l ordre I à l ordre II 10/20

21 Stablté et normalsaton Pour w H 1 tel que w 1 p.p. on a w w 2 w 2 Q: est-ce toujours vra en dscret? Pour w = w φ avec w 1 a-t-on w w φ 2 w 2? De l ordre I à l ordre II 10/20

22 Stablté et normalsaton Pour w H 1 tel que w 1 p.p. on a w w 2 w 2 Q: est-ce toujours vra en dscret? Pour w = w φ avec w 1 a-t-on w w φ 2 w 2? Réponse [Bartels]: Ou, en P 1, s le mallage est de Delaunay (2D) ou d angles dédraux nféreurs à π (3D) (**) 2 De l ordre I à l ordre II 10/20

23 Le schéma d ordre II A pror l étape de normalsaton empêche une formulaton d ordre II ( m + δt v = 1 + δt 2 2 v 2 + O(δt 4 ) ) De l ordre I à l ordre II 11/20

24 Le schéma d ordre II A pror l étape de normalsaton empêche une formulaton d ordre II ( m + δt v = 1 + δt 2 2 v 2 + O(δt 4 ) ) Idée : Trouver v m tel que sot exact à l ordre II. m + δt v m + δt v = m(t + δt) + O(δt 3 ) De l ordre I à l ordre II 11/20

25 Le schéma d ordre II A pror l étape de normalsaton empêche une formulaton d ordre II ( m + δt v = 1 + δt 2 2 v 2 + O(δt 4 ) ) Idée : Trouver v m tel que sot exact à l ordre II. m + δt v m + δt v = m(t + δt) + O(δt 3 ) On trouve v = m t + δt 2 Π m m tt (la normalsaton ajoute exactement δt 2 2 Π m m tt) De l ordre I à l ordre II 11/20

26 Le schéma d ordre II n 0, Trouver v n K n tel que w K n αv n w + m n v n w + δt v n w 2 δt m n+s 2 v n w = m n w 2 De l ordre I à l ordre II 12/20

27 Le schéma d ordre II n 0, Trouver v n K n tel que w K n αv n w + m n v n w + δt v n w 2 δt m n+s 2 v n w = m n w 2 Poser m n+1 = m n+1 φ, avec m n+1 = mn + δt v n m n + δt v n De l ordre I à l ordre II 12/20

28 Le schéma d ordre II n 0, Trouver v n K n tel que w K n αv n w + m n v n w + δt v n w 2 δt m n+s 2 v n w = m n w 2 Poser m n+1 = m n+1 φ, avec m n+1 = mn + δt v n m n + δt v n Contrôle de l énerge pour s = 1, au prx d une légère non lnéarté De l ordre I à l ordre II 12/20

29 Le schéma d ordre II n 0, Trouver v n K n tel que w K n αv n w + m n v n w + δt v n w 2 δt m n+s 2 v n w = m n w 2 Poser m n+1 = m n+1 φ, avec m n+1 = mn + δt v n m n + δt v n Contrôle de l énerge pour s = 1, au prx d une légère non lnéarté Pour s = 0, le schéma nécesste la résoluton d un problème lnéare mas n est pas robuste. De l ordre I à l ordre II 12/20

30 Applcaton : problème standard du NIST Code FELLGOOD Dynamque de l amantaton dans une plaquette de Permalloy Paramètres physques amantaton à saturaton µ 0 M s = 1 T constante d échange A = J/m longueur caractérstque l = = 5.7 nm 2A µ 0 M 2 s rdm/std4/spec4.html Applcaton : le problème standard du NIST 13/20

31 Mallage Applcaton : le problème standard du NIST 14/20

32 Protocole état ntal S : équlbre obtenu en dmnuant à 0 un champ saturant (111) dynamque de l amantaton sous champ à partr de l état S (α = 0.01) Applcaton : le problème standard du NIST 15/20

33 Comparason EF/DF réference DF Mcro3D (L. Buda) Applcaton : le problème standard du NIST 16/20

34 Convergence en pas de temps ordre II d = max,n m n+1 m n Applcaton : le problème standard du NIST 17/20

35 Comparason ordre 1 / ordre 2 Applcaton : le problème standard du NIST 18/20

36 Comparason ordre 1 / ordre 2 Applcaton : le problème standard du NIST 19/20

37 Conclusons Schéma robuste d ordre II en temps Gan d un facteur 10 par rapport à l ordre I Ordre I en espace FMM ou NFFT pour le champ démagnétsant Melleurs précondtonneurs? Applcaton : le problème standard du NIST 20/20