B E et Bi Bj pour i j et si A est un evenement de E alors p(a) p(a B ) p(a B )... p(a B ) p(b ) p(a /B ) p(b ) p(a /B )... p(b ) p(a /B ).

Transcription

1 Rappel : (E,p(E),p) est u espace probabilisé fii. O a: p(e), p( ), p(a) p(a), p(a B) p(a) p(b) p(a B) Probabilité coditioelle : A et B sot deux évèemets tels que p(b). p(a B) p(a / B) et doc p(a B) p(b) p(a / B). p(b) Loi des probabilités totales : Si B,B,...,B est ue partitio de E c.a.d. i 2 i B E et BiBj pour i j et si A est u eveemet de E alors p(a) p(a B ) p(a B )... p(a B ) 2 p(b ) p(a /B ) p(b ) p(a /B )... p(b ) p(a /B ). 2 2 Variable aléatoire : (E,p(E),p) est u espace probabilisé fii. O appelle variable aléatoire ou aléa umérique toute applicatio X de das. 2 X( ) x,x,...,x est l'esemble des valeurs prises par X. L'applicatio p :x p(x x ) est appelée la loi X i i de probabilité de X. O appelle foctio de répartitio de X la foctio F défiie sur par F(x) p(x x). Vu l'aspect imprivisible de X, o l'appelle variable aléatoire. E Lige Pour s iscrire : Page sur 5

2 Applicatio : O cosidère ue pièce de moaie truquée de telle faço que la probabilité d avoir le côté «pile» soit le double de celle d avoir le coté «face». /Calculer la probabilité d apparitio de chaque coté. 2 /O cosidère deux sacs S et S 2.Le premier cotiet trois boules rouges et quatre boules jaues, La deuxième cotiet deux boules rouges et deux boules jaues. O lace la pièce de moaie ;si le coté visible est «pile»,o tire trois boules simultaémet de S et si le coté visible est «face»,o tire deux boules simultaémet de S 2. Soit X l aléa umérique correspodat au ombre de boules jaues tirées. Détermier la loi de probabilité de X. Solutio : / Notos F l évèemet : "avoir le coté face" et P : : "avoir le coté pile". O a p(f)+p(p)= doc a p(f)+2p(f)= doc p(f)=/ et par suite p(p)=2/ 2 /p(x ) p(p (X )) p(f (X )) p(p) p((x ) /P) p(f) p((x ) /F) C C C C 6 p(x ) p(p (X )) p(f (X )) p(p) p((x ) /P) p(f) p((x ) /F) CC CC C C 6 p(x 2) p(p (X 2)) p(f (X 2)) p(p) p((x 2) /P) p(f) p((x 2) /F) CC C C C 6 p(x ) p(p (X )) p(f (X )) Loi biomiale : p(p) p((x ) /P) p(f) p((x ) /F) C C 6 7 Si o a ue successio de épreuves idetiques et idépedates. E Lige Pour s iscrire : Page 2 sur 5

3 Si chaque épreuve doe exclusivemet issue à u succès S avec la probabilité p et à u échec E avec la probabilité -p. Si X est l aléa umérique qui pred pour valeurs le ombre d apparitio du succès S. O dit alors que X suit la loi biomiale de paramètres et p. La loi de probabilité de X est : p(x ) C p ( p) ; L espérace mathématique de X est E(X)=.p et sa variace est V(X)=.p.(-p) Applicatio : O jette ue pièce de moaie truquée de telle sorte que la probabilité d avoir le côté pile est 2/5, ciq fois de suite. Soit X la variable aléatoire qui pred pour valeur le ombre d apparitio du côté pile. les valeurs prises par X sot,,2,,4et5. La loi de probabilité de X est p(x ) C p ( p) ; =5, p=2/5 et par suite V(X) p( p) p(x ) C ( ) ; et E(X) p 5 Rappelos que das le cas d ue variable aléatoire X e gééral o a : E(X) x p et V(X) x p E(X) i i i i i i L'écart type est (X) V(X). 2 2 E(X) désige la moyee de X. V(X) ous doe ue idée sur la dispersio de la variable par rapport à sa moyee. Exemples de lois cotiues : -La loi uiforme : E Lige Pour s iscrire : Page sur 5

4 f(x) b a sur a,b. c,d iclu das Soit u itervalle a,b. La foctio défiie sur a,b par s'appelle la desité de la loi de probabilité uiforme O appelle probabilité uiforme sur a,b, l'applicatio qui à tout itervalle d a,b associe le réel p c,d f(x)dx d c O a p(c X d) et p(x c). b a O a aussi p c,d p c,d. Défiitio : Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi de probabilité uiforme p sur l itervalle a,b O appelle foctio de répartitio de X, l'applicatio F:, 2-La loi expoetielle : c si x a x F(x) p a X x si x a,b si x b Soit u réel strictemet positif. X est ue variable aléatoire modélisée par la loi expoetielle de paramètre. La foctio défiie par f(x)= la desité de la loi de probabilité expoetielle de X sur.o a : p(x c) e c a b p(a X b) e e p( X b) e Défiitio : a b b O appelle foctio de répartitio de X, l'applicatio F:, e x s appelle Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi de probabilité expoetielle p de parametre. x si x F(x) p X x si x,.. Applicatio : U appareil de mesure évalue l'épaisseur e cm de pièces mécaiques. L'expériece prouve que l'épaisseur de pièces peut être modélisée par ue variable aléatoire X qui suit la loi E Lige Pour s iscrire : Page 4 sur 5

5 uiforme das l'itervalle [2,2,8]. - Calculer p(x 2,6) et p(2, X 2,5). 2- Les pièces sot acceptées si leur épaisseur est supérieure à 2,4cm. Quelle est la probabilité pour qu'ue pièce soit acceptée? - Ue pièce a ue épaisseur supérieure à 2,2cm. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit acceptée? Applicatio 2 : Ci-cotre la représetatio graphique de la desité de probabilité f d ue variable aléatoire X qui suit ue loi expoetielle de paramètre λ. / Expliciter f(x), la desité de la loi expoetielle de X.. 2/ Calculer p(2 X 5) et p(x ).,4 Solutio : / f(x)= e x et f()=,4 doc λ =,4 et par suite f(x)= 4, e 4, x 2/ p(2 X 5) = e e =,4., 42, 45 p(x )=, 4 e =,8. E Lige Pour s iscrire : Page 5 sur 5