THEOREME DE GAUSS, ENERGIE POTENTIELLE, DIPOLE ELECTROSTATIQUE

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1 THEOREME DE GAUSS, EERGIE OTETIELLE, DIOLE ELECTROSTATIQUE I. Calcul de cham a le théoème de Gauss. otion de flu : ael a) Flu élémentaie Flu élémentaie de E à taves l'élément de suface ds(m ) de cente M : d (M) E(M).dS(M) E(M).dS.cos(E,dS) Ce flu est ootionnel à la nome du cham E en M est ootionnel à l aie ds de l élément de suface considéé déend de l angle (E,dS) est algébique : d> (E,dS) [,/] ; d (E,dS) [/;] b) Flu à taves une suface oientée non femée Une telle suface est caactéisée a son contou. ou défini un flu (algébique) à taves cette suface, on doit l oiente, ce qui équivaut à oiente son contou. Le contou ayant été oienté, l'oientation de la nomale en un oint M de est donnée a la ègle du tie-bouchon : le sens ositif de la nomale en M est le sens dans lequel en M, ogesse un tie-bouchon qu'on toune dans le sens ositif de. (On eut utilise aussi la ègle de la main doite : la main doite étant osée su, le sens + de «sotant a les doigts», le sens + de la nomale en un oint M de la suface est donné a le ouce : il «sot» du ouce). Soit une suface oientée. Face + ds(m) E(M) Flu de E à taves M M d(m) M E(M).dS(M) Face - Le flu du cham de vecteu E à taves une suface est «gand» si en chaque oint de le cham est intense et nomal à la suface (et de même sens). Cas aticulies : Le cham E (M) est unifome su toute la suface E. M ds(m) Si de lus la suface est lane, (notons S son aie et n son vecteu nomal unitaie) alos 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle

2 E.Sn EScos(E, n) Le flu est d autant lus gand que le cham est intense, que la suface est gande et que l angle ente le cham et la nomale est oche de zéo (i.e. que les lignes de cham ecent «nomalement», dans le sens de n ). Si de lus la suface est nomale au cham alos =E S La valeu absolue du flu est simlement le oduit de la nome du cham a l aie de la suface considéée. Le flu est une gandeu algébique : =E S si les lignes de cham ecent la suface dans le sens de n ; = - E S si les lignes de cham ecent la suface dans le sens oosé. Le cham E (M) n est as unifome mais il est colinéaie au vecteu ds(m ) en chaque oint M : E(M) En(M) n et ds(m) ds.n(m). Alos le calcul du flu se simlifie ca dans l intégale, le oduit scalaie s écit comme un simle oduit : M E (M). ds n c) Flu sotant à taves une suface femée Rael : Concètement, on aelle suface femée une enveloe délimitant un volume donné : c est une suface ou laquelle on eut défini l intéieu et l etéieu. On aelle flu sotant à taves une suface femée, l intégale de suface : sot E(M).dSet (M) M Remaque : où S (M) d et est le vecteu suface élémentaie de centé su M, oienté ves l etéieu de. on écise qu il s agit d une intégale su une suface femée a le symbole. On dit qu un cham est à flu consevatif si son flu est nul à taves toute suface femée.. Théoème de Gauss : énoncé Le flu à taves une suface femée imaginaie, du cham céé a une distibution souce D, est égal au quotient a de la chage de la atie de D située à l'intéieu de Q int. Q E().dS() Ce théoème se démonte en atant d'une chage onctuelle et en utilisant le incie de sueosition. E : cham d une chage onctuelle Remaques : int Ce ésultat s alique même en égime non emanent. On dit que le cham électique n est as à flu consevatif en ésence de chages. Il est «à flu consevatif» uniquement dans une égion vide de chage. Ce théoème constitue une oiété dite «intégale» du cham électique ca il fait inteveni une intégale (flu). Ce théoème ne emet de calcule E que si on eut imagine une suface «de Gauss» où les oduits scalaies E.dS s eiment simlement. ou que le théoème soit eloitable, il faut que la distibution ésente «un haut degé de symétie» ; on eut alos touve une suface femée où E est soit nomal, soit colinéaie à ds. 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle

3 . Cham d une shèe chagée unifomément en volume Soit une shèe de cente O, de ayon R, unifomément chagée en volume de densité volumique de chage de chage 4 totale Q R Soit M un oint quelconque de l esace. Tout lan contenant la doite OM est lan de symétie ou la distibution de chage que constitue le noyau. Le cham en M aatient donc à tous ces lans : il est adial. a ailleus la distibution de chage étant invaiante a toute otation autou de O, les comosantes non nulles du cham, ainsi que le otentiel électostatique, ne déendent as des coodonnées angulaies mais uniquement de la distance à O : E(M) E () On choisit comme suface de Gauss, une suface en aot avec les syméties de la distibution souce : shéique de cente O assant a le oint M où on cheche le cham, donc de ayon. u Aliquons le théoème de Gauss à la shèe de cente O, assant a le oint M (donc de ayon ) : () E.dS Q int Le flu du cham E à taves cette suface femée est : E.dS E ()u.dsu Calcul de Q int ( cas) E ()ds E () ds E ().4 M est à l intéieu de (<R ): Q int 4 Q Q : E ou R () R 4 R 4 R Q M est à l etéieu de : Q int QtotD Q R E () ou R 4 Remaques : * Continuité de E () en =R * à l etéieu de la shèe (distibution à symétie shéique), le cham céé est le même que celui d une chage onctuelle concentant la chage totale et lacée au cente de la distibution. 4. Cham d un cylinde infini chagé unifomément en volume Soit un cylinde infini d ae Oz, de ayon R, chagé unifomément en volume avec la densité volumique de chage. Soit M un oint quelconque de l esace, où on cheche le cham. Soit (,,z) ses coodonnées cylindiques d ae Oz. Le lan assant a M et contenant Oz est lan de symétie de la distibution. Le cham en M aatient donc à ce lan : E =. Le lan assant a M et nomal à Oz est lan de symétie de la distibution. Le cham en M aatient donc également à ce lan E z =. Seule la comosante adiale du cham est non nulle. a ailleus la distibution est invaiante a otation autou de Oz et a tanslation selon Oz : la comosante non nulle du cham, E, ne déend as de ni de z. E E () u. On choisit la suface de Gauss en aot avec les syméties de la souce : on la end cylindique d ae Oz assant a M (de ayon ) ; elle doit ête femée : on la feme a deu disques et d ae Oz. 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle

4 Qint Aliquons le théoème de Gauss au cylinde femé, assant a M, d ae Oz de longueu h. E.dS. Le flu du cham à taves les sufaces ciculaies et eendiculaies à l ae donc de vecteu nomal aallèle à l ae est nul (d aès la question écédente le cham est eendiculaie à l ae). Le flu se éduit donc au flu à taves la aoi latéale de ce cylinde femé, lat. z lat h M u =n E E.dS E.dS E.dS l E.dS l E.dS l E ()u.dsu M est à l intéieu de : Qint h : E () ou R E () l ds E ().h M est à l etéieu de : Q Q R h R int totd E () ou R On véifie que le cham est continu à la tavesée de la distibution et qu il est nul su l ae. E () en / (R/ R 5. Cham d un lan infini unifomément chagé en suface Considéons une nae lane chagée unifomément en suface avec la densité sufacique. On enda = ou équation de cette nae. Soit M(,y,z) un oint quelconque de l esace. Tout lan nomal à la suface chagée et assant a M est lan de symétie de la distibution. Le cham en M aatient donc à tous ces lans, il est donc nomal à la suface chagée : selon O. La distibution étant invaiante a tanslation le long de Oz ou Oy, E (M) ne déend que de. 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle 4

5 Le lan de la suface chagée étant lan de symétie, le cham admet la même symétie : calculons le cham en M d abscisse ositive. Considéons comme suface de Gauss le cylinde d ae nomal à la suface chagée, femé a deu disques et assant esectivement a M et son symétique M a aot à la suface chagée. u est un vecteu unitaie oienté de la suface ves M. D aès le théoème de Gauss E.dS Q int D aès les considéations écédentes, le flu du cham à taves la suface latéale est nul: M S O E.dS E.dS M E ().dzdy E () ddy E ()S Ici, Q int =S, on déduit : E =/ Le cham céé a un lan infini unifomément chagé en suface est unifome dans chaque demi-esace et othogonal au lan : E(M) HM HM où H est le ojeté de M est le lan. 6. Etude du condensateu lan. Caacité du condensateu lan a) Condensateu lan : définition Un condensateu lan est fomé de deu laques lanes aallèles (A ) et (A ), situées à une distance l une de l aute «e», faible devant les autes dimensions. Soit V et V leus otentiels esectifs, Q et Q leus chages esectives. On note S l aie de chacune des sufaces en egad. Il est constitué de deu amatues lanes aallèles «tès gandes» (on néglige les effets de bod). On note A l amatue d équation =, A celle d équation =e. D aès la symétie de la distibution, les équiotentielles sont des lans =cst (on néglige les effets de bod), les lignes de cham des segments aallèles à O : E(M) E (M). u V A A V >V e E(M) M équiotentielles 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle 5

6 Les amatues étant suosées «infinies», la distibution souce de E est invaiante a tanslation aallèlement au amatues : La comosante E en M(,y,z) ne déend que de. ous admettons que les chages Q et Q sont éaties unifomément et de façon sufacique, su les sufaces en egad, et qu elles sont oosées. Q =-Q ; =- =-Q /S=Q /S b) Calcul du cham électique otons E et E les chams céés a chacune des deu distibutions sufaciques. D aès le aagahe écédent, en un oint de l esace inte amatues, E et E ( u ) u E. u D aès le théoème de sueosition, le cham E ente les amatues est la somme de E et E. Q E E : le cham est unifome dans l esace inte amatue ; notons-le E u. u u Eu S E gadv c) Calcul du otentiel dv : on déduit : E : V=-E +cst d Soit uisque V(=) est noté V : V()=-E +V : le otentiel est une fonction affine de. a ailleus V(=d)=V, on déduit : V V d E Ode de gandeu : V -V = V, d=cm, E = 5 V/m d) Caacité Q Q Définition : le aot est indéendant de la dd V -V. V V V V aelée caacité du condensateu, s eimant en faad F. C est une caactéistique du condensateu, On a vu E Q V V u u Eu u S d On déduit la caacité du condensateu lan : S e Q C V V II. Enegie otentielle électostatique. Relation ente tavail et otentiel Soit Q une chage "test" se délaçant d un oint A à un oint B dans le cham électostatique d'une distibution souce D. Le tavail de la foce de Coulomb qu elle subit eut se mette sous la fome : 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle 6

7 W AB F.dl Q AB E.dl Q V(B) V(A) QV(A) V(B) Ce tavail est indéendant du chemin suivi ente A et B : la foce de Coulomb est une foce consevative. Le tavail su un acous femé est nul.. Enegie otentielle Le tavail écédent eut s écie : E (B) E (A) E (A) E (B) W avec E (M) QV(M) +cst Rq * Le tavail de la foce subie a la chage test Q dans un cham électostatique est moteu si et seulement si son énegie otentielle diminue, il est ésistant si elle augmente. * L énegie otentielle est définie à une constante additive ès. Si la distibution souce est d etension finie, on fait le choi du otentiel absolu : l énegie otentielle d une chage lacée tès loin de la distibution est nulle : la constante est ise nulle. ou une distibution souce d etension finie, l énegie otentielle d une chage Q lacée en un oint M est : E (M)=QV(M) : c est le oduit de la chage Q a le otentiel électostatique en M III. Diôle électostatique. Définition Un diôle électostatique est une distibution fomée de chages oosées, q ositive (soit le oint où elle est lacée) et q négative (soit le oint où elle est lacée), dont la distance mutuelle est tès faible devant la distance à laquelle on étudie les effets du diôle. lus généalement, le diôle électostatique constitue un modèle simle de distibutions dont la chage totale est nulle, mais dont le baycente des chages ositives et le baycente des chages négatives ne sont as confondus. C est le cas a eemle dans la molécule HCl, globalement neute, à cause des électonégativités difféentes des deu atomes. Remaque : Cette distibution souce est invaiante a otation autou de la doite. On choisit donc cette doite comme ae Oz ou défini les coodonnées shéiques de cente O, O étant le milieu de. Le lan contenant un oint M quelconque et les deu oints et est lan de symétie de la distibution : le cham en M aatient à ce lan : sa comosante E est nulle. La distibution étant invaiante a otation autou de, le otentiel et les comosantes non nulles du cham en un oint M(,,) sont indéendantes de la coodonnée (cf figues ci-dessous). z u u E (, ) E M(,, ) E (, ) E O u. Moment diolaie Que ce soit ou les effets qu il cée ou bien les actions qu il subit, le diôle intevient a la gandeu : 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle 7

8 q vecteu moment diolaie. qa moment diolaie, en C.m L unité SI du moment diolaie est le C.m. A l échelle d une molécule, q est de l ode de gandeu de la chage élémentaie et a de la taille d un atome. L ode de gandeu des moments diolaies moléculaies est donc de chimie le debye (symbole D) de valeu D,6. C. m 9 C. m. Ainsi, on éfèe utilise comme unité usuelle en. otentiel céé V est la somme des otentiels céés a chacune des deu chages : q V 4 M 4 q M O M O OM donc M O OM a O.OM 4 a cos a a cos M 4 emie ode en a/. / a cos a 4 /. a cos en faisant un déveloement limité au On obtient de même : M a a cos 4 / a cos a 4 /. a cos D où q q q a cos V. 4 M 4 M 4 cos V(M) 4. 4 (On véifie que V ne déend as de. 4. Cham céé Un fomulaie nous donne : gad V V V. On déduit V sin E gadv E E E cos 4 sin 4 5. Lignes de cham et sufaces équiotentielles Les lignes de cham sont oientées, elles sont en ouge ; les équiotentielles sont en bleu. On emaquea l équiotentielle aticulièe V= qui est le lan z= (i.e. =). 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle 8

9 Ci-dessous les adesses d un tès bon site d animation. htt:// htt:// 6. Action d'un cham etéieu su le diôle igide a) Actions subies dans un cham électique unifome i. Résultante nulle F qe ( q)e. La ésultante des foces de Coulomb qui s eecent su lui est : Le toseu des actions eecée a un cham électique unifome su un diôle électostatique est un coule. ii. Moment du coule O (qe) O ( qe) q E E. 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle 9

10 E moment du coule subi a un diôle électostatique dans un cham électique unifome Les actions électiques ont donc tendance à oiente le diôle de façon que son moment soit de même sens et de même diection que le cham électique (coule nul avec équilibe stable). b) Action d un cham électique non unifome La ésultante des foces n est alos en généal as nulle (on ne eut as mette E en facteu comme au a i)). Elle s écit (à admette) : F (.gad)e avec.gad... y y z z Si le diôle est oienté selon E ( et E colinéaies), la ésultante des foces de Lalace tend alos à l entaîne ves les égions de cham intense. c) Enegie otentielle On calcule l énegie otentielle du diôle dans le cham etéieu : E qv qv q V V q dv q gadv.dl q E.dl qe. dl qe.. E E.E Les actions électiques ont donc tendance à oiente le diôle de façon que son moment soit de même sens et de même diection que le cham électique (E minimale). IV. Analogie avec la gavitation. Foce de Coulomb et de ewton Elles décivent esectivement : L action électostatique d une chage onctuelle q située en O su une aticule de chage q située en un oint M : f coulomb qq 4 u L action d une masse onctuelle m situé en O su une masse m située en M : f newton mm G u où G est la constante de gavitation univeselle On emaque que la foce de gavitation est toujous attactive, tandis que la foce de Coulomb est attactive si le oduit q q est négatif, éulsive si q q est ositive. Ces deu foces sont des foces centales, elles sont consevatives, elles admettent les énegies otentielles esectives : qq E(M) et 4 m m (M) G E L analogie est les deu foces se tansmet su les chams électique et de gavitation esectivement : 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle

11 f coulomb f newton q qe(m) avec E(M) u cham électostatique cée en M a la chage onctuelle q en O. 4 m mg(m) avec G(M) G u cham de gavitation céé en M a la masse onctuelle m en O.. Théoème de Gauss ou la gavitation Le cham de gavitation ésentant des oiétés analogues à celles du cham électostatique, le théoème de Gauss s alique aussi en faisant la tansosition suivante : La chage intéieue Q int devient la masse intéieue M int La constante multilicative se change en (- 4 G ). On obtient l énoncé suivant : Théoème de Gauss ou la gavitation : Le flu à taves une suface femée imaginaie, du cham de gavitation céé a une distibution de masse D, est égal au oduit de la atie de la masse de D intéieue à, M int, a la constante (-4 G ). G().dS() 4GM int 4.b. électostatique : théoème de gauss, énegie otentielle, diôle