Exercices sur le logarithme népérien (1)

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1 TS On considère l fonction f : + ln et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un Eercices sur le logrithme népérien () repère O, i, j Sns clcultrice, clculer : ; B ln 5 ln 9 5 A ln 6 ln ln Sns clcultrice, simplifier : 5 7 A ln ln 5 ln 7 ln ln ; B ln ln ln ln Soit, b, c trois réels strictement positifs donnés 8 Écrire en fonction de ln, ln b, ln c les réels ln Simplifier l somme c, y ln ln b b, z ln b 99 S ln ln ln 8 5 Eprimer en fonction de ln et de ln 5 les nombres suivnts : ln ; ln 5 ; ln(,6) 6 On considère l fonction f : ln ) Déterminer l ensemble de définition D de f (on rédiger insi : «f () eiste si et seulement si») f ( ) ln ln? ) Pour quels de D peut-on écrire 7 On considère l fonction f : ln Étudier l prité de f 8 On considère l fonction f : ln ) Déterminer l ensemble de définition D de f ) Justifier que f est dérivble sur D et clculer f '( ) Etudier f (ensemble de définition, dérivée, tbleu de vrition, limites et conséquences grphiques pour C ) On considère l fonction f : b ln où et b sont des réels ) Clculer f ' ) Déterminer et b tels que l courbe représenttive C de f dns le pln muni d un repère O, i, j deu hypothèses : H : C psse pr le point A( ; ) H : C dmet en A une tngente prllèle à l droite d éqution réduite y = On considère l fonction f : + b + c ln où, b, c sont des réels ) Clculer f ' vérifie les ) Déterminer (sns utiliser l clcultrice) les réels, b, c tels que l courbe C de f dns le pln muni d un repère O, i, j vérifie les trois hypothèses : H : C psse pr le point A( ; ) H : C psse pr le point B( ; ln) H : C dmet en B une tngente horizontle N B : Cet eercice demnde de l persévérnce cr les clculs semblent un peu longs mis menés intelligemment, ils boutissent ssez vite 5 Démontrer que, pour tout, on : ln Indiction : fire le tbleu de vrition de l fonction f : ln sns les limites fin d en déduire son signe 6 Sns clcultrice, clculer le nombre A 5ln e ln ln e e 9 On considère l fonction f : ln ) Déterminer l ensemble de définition D de f ) Justifier que f est dérivble sur D et clculer f '( ) On note C l courbe d éqution y = ln dns le pln muni d un repère orthogonl O, i, j (c est-à-dire i j ) On note églement C, C, C les courbes d équtions respectives y = ln +, y = ln ( + ), y ln Recopier et compléter les phrses : «On psse de C à C pr» «On psse de C à C pr» «On psse de C à C en» On considère l fonction f : ln et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un repère O, i, j Déterminer l éqution réduite de l tngente T à C u point A d bscisse 7 On considère l fonction f : ln et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un repère orthonormé O, i, j ) Déterminer l ensemble de définition D de f ) Démontrer que f est dérivble sur D et clculer f '( ) ) Dresser le tbleu de vrition de f ) Déterminer les limites de f u bornes de son ensemble de définition Que peut-on en déduire pour C? 5 ) Donner le signe de f ; en déduire l position de C pr rpport à l tngente horizontle 6 ) Trcer C et l tngente horizontle en prennt cm pour unité grphique (fire un petit tbleu de vleurs) Vérifier sur l clcultrice grphique 8 Résoudre dns les équtions suivntes : ln () ; ln () 9 Résoudre dns l éqution ln ln ln Résoudre dns l éqution () ln ln () Indiction : utiliser le chngement d inconnue X = ln

2 Résoudre dns l éqution Résoudre dns l inéqution ln ln () ln ln ln () Résoudre dns y () le système ln ln y ln 5 () Déterminer les entiers nturels n tels que n,9 N B : Pour cet eercice, l clcultrice est obligtoire 5 On considère l fonction f : ln et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un repère O, i, j ) Déterminer l éqution réduite de l tngente T à C u point d bscisse ( > ) ) Déterminer l bscisse du point A de C en lequel l tngente psse pr le point B(, ) On rédiger insi «B T si et seulement si» Trcer cette tngente Vérifier sur l clcultrice grphique ou sur un ordinteur à l ide d un logiciel de trcé de courbes ln On considère l fonction f : ln ) Déterminer l ensemble de définition D de f f ' ) Justifier que f est dérivble sur D et clculer On considère l fonction f : ln ) Déterminer l ensemble de définition D de f ) Justifier que f est dérivble sur D et clculer ' f Dns les eercices à 6, on donne une fonction f Déterminer l ensemble de définition D de f et étudier les limites u bornes de D Préciser chque fois lorsque l on rencontre une forme indéterminée f : ln f : ln 5 ln f : 6 ln f : 6 On considère l fonction f : ln (on observer que f n est ps une fonction polynôme) On cherche l limite de f en + ) Donner l ensemble de définition D de f ) Identifier l forme indéterminée que l on rencontre ln ) Démontrer que pour tout, on : f ; en déduire lim f On détiller bien les clculs en veillnt à l présenttion 7 On considère l fonction On cherche l limite de f en + ) Donner l ensemble de définition D de f ) Identifier l forme indéterminée que l on rencontre f : ln 5 ln (on observer que f n est ps une fonction polynôme) ) Fctoriser f pr ln pour \ ; en déduire lim f 5 ln 8 On considère l fonction f : (on observer que f n est ps une fonction rtionnelle) ln On cherche l limite de f en + ) Donner l ensemble de définition D de f ) Identifier l forme indéterminée que l on rencontre ) Fctoriser f pr ln pour \ ; lim e 9 On considère l fonction f : ln ) Déterminer l ensemble de définition D de f ) Etudier les limites de f u bornes de D Vérifier sur l clcultrice grphique ou sur un ordinteur à l ide d un logiciel de trcé de courbes u numérteur et u dénominteur ; en déduire f ln On considère l fonction f : et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un repère O, i, j Démontrer que C dmet une symptote oblique en + ; étudier l position de C pr rpport à dns un tbleu

3 Corrigé Clculs d epressions vec des logrithmes népériens A ; B Simplifictions d epression littérles vec des logrithmes népériens ln ; y ln ln c ; z ln ln b Solutions détillée : Solution détillée : A ln 6 ln ln ln 6 ln 6 = ln 6 ln6 = A = ln 5 ; B = ln Solution détillée : A ln ln 5 ln 7 ln ln ln ln 5 ln ln 5 ln ln ln 5 ln ln ln 5 ln ln5 ln ln 5 ln ln5 ln ln 5 ln = ln B ln ln ln ln ln ln ln 5 ln 5 ln 7 ln 7 ln 9 = - ln 9 = ln B ln 5 ln 9 5 ln 5 ln 9 5 ln 9 5 ln 9 5 ln ln 9 5 ln 8 8 = ln = 8 Écrivons en fonction de ln, ln b, ln c les réels ln ln 8 8ln = ln S ln ln Solutions détillée : c y ln ln b b ln ln b ln c ln b = ln ln c 99 Simplifions l somme S ln ln ln 99 S ln ln ln ln ln ln ln 99 ln = ln c, y ln ln b b, z ln b z ln b ln b ln ln ln b Il s git d un procédé de clcul de somme pr «télescopge» ou simplifiction «en cscde» Il reste les termes des etrémités de l somme Ce procédé que nous retrouverons plus trd sert à étblir des formules sommtoires Autre méthode pr produit : 99 S ln ln ln ln On simplifie à l intérieur du produit 8 5 ln ln ln ln 5 ln ln 5; ln ln ln5 5 ; 6 ln,6 ln ln ln ln 5 ln ln 5 ln ln 5 5

4 Solution détillée : 8 Eprimons en fonction de ln et de ln 5 les nombres suivnts : ln ; ln 5 ; ln(,6) On présente les clculs en colonnes ln ln ln ln 5 ln ln 5 8 ln ln8 ln 5 5 ln ln5 ln ln 5 6 ) D ; ; (fire un tbleu de signes à l règle) ) L églité est vrie pour ; Solution détillée : f : ln ) Déterminons l ensemble de définition D de f f () eiste si et seulement si (rppel : l ccolde signifie «et») On dresse un tbleu de signes pour résoudre l inéqution 6 ln,6 ln ln 5 ln ln 5 ln ln 5 ln ln 5 ) Déterminons les réels D pour lesquels on peut écrire f ( ) ln ln On sit que : ( ; b) ln ln lnb b Donc l églité () est vlble pour tout réel tel tel que () 7 On commence pr cherche D f : pour cel on utilise un tbleu de signes (à l règle) c est-à-dire soit finlement pour tout réel D f = ] ; [ (est centré en (il ne fut ps oublier cette condition importnte) ; l fonction f est impire Solution détillée : f : ln Étudions l prité de f 8 ) D ) Solution détillée : f : ln ln f ' ) Déterminons l ensemble de définition D de f + D ) Justifions que f est dérivble sur D et clculer f '( ) Signe de + Signe de Signe de + + f est dérivble sur ps sur comme quotient de deu fonctions dérivbles sur, celle du dénominteur ne s nnulnt f '( ) ln u u ' v uv' (on utilise l formule de dérivtion d un quotient : ' v ) v ln D ; ;

5 9 ) D ) Solution détillée : f : ln f ' ln ) Déterminons l ensemble de définition D de f f () eiste si et seulement si D si et seulement si > ) Justifions que f est dérivble sur D et clculer f '( ) f est dérivble sur ps sur comme quotient de deu fonctions dérivbles sur, celle du dénominteur ne s nnulnt ln f '( ) ln On psse de C à C pr l trnsltion de vecteur j ; on psse de C à C pr l trnsltion de vecteur i ; on psse de C à C en conservnt l prtie située u-dessus de l e des bscisses c est-à-dire pour > et en effectunt l symétrique pr rpport à l e des bscisses de l prtie située en dessous c est-à-dire pour ; NB : L utilistion de l clcultrice ou d un logiciel de trcé de courbes est très intéressnte pour ce type d eercices T : y 5 Solution détillée : f : ln C : courbe représenttive de f Déterminons l éqution réduite de l tngente T à C u point A d bscisse D f est dérivble sur comme somme de deu fonctions dérivbles sur f '( ) 6 f () ln f '() 6 = 5 T pour éqution y f '()( ) f () soit y = c est-à-dire y = 5 f : + ln Étudions f (ensemble de définition, dérivée, tbleu de vrition, limites et conséquences grphiques pour C ) L ensemble de définition de f est D f est dérivble sur comme somme de fonctions dérivbles sur f ' (présenttion préférble en colonne) Il n y ps besoin de trnsformer dvntge l epression de f ' donc f est strictement croissnte sur Signe de f ' pour lire le signe de l dérivée pour > + Vritions de f f ' + Remrque : il n est ps forcément utile d voir recours à l dérivée pour déterminer le sens de vrition de f u et v ln Considérons les fonctions u et v définies pr L fonction u est strictement croissnte sur ] ; +[ L fonction v est strictement croissnte sur ] ; +[ f u v Donc f est strictement croissnte sur ] ; +[ lim f ; lim f Détil du clcul des limites u bornes de l ensemble de définition : on effectue l limite d une somme Donc pr limite d une somme A compléter pour - Donc pr limite d une somme +

6 On met les limites dns le tbleu de vrition L courbe représenttive C de f dns un repère dmet l e des ordonnées pour symptote verticle On visulise l courbe C sur clcultrice ou sur ordinteur à l ide d un logiciel de trcé de courbe 5 L dérivée doit être donnée sous l forme f ' pour pouvoir étudier le signe de f ' On dresse le tbleu de vrition de f sur (fire ttention de mettre une double brre sur l dernière ligne u niveu du ; pr contre, on ne descend ps les brres simples) Fire les flèches de vritions à l règle + f : + b ln (, b) et b sont des prmètres b ) ; f ' (ttention, f n est ps une fonction polynôme) Penser à trduire l hypothèse H pr f ' (en effet, le nombre dérivé de f en est égl u coefficient directeur de l tngente à C u point A et pour coefficient directeur ) Ne ps utiliser l éqution réduite de l tngente qui complique beucoup les choses On trouve ; b Remrque : on peut ussi «fire» un système f : + b + c ln (, b, c), b, c sont trois prmètres ) f est dérivble sur comme somme de fonctions dérivbles sur (ttention, f n est ps une fonction c polynôme) ; f ' b () ) On étblit le système suivnt : b c ln ln () c () Il s git d un système linéire de trois équtions à trois inconnues On le résout pr substitution puis l on effectue une vérifiction (obligtoire pour les systèmes linéires de trois équtions à trois inconnues) () donne : b ( ) () donne : c ( ) En remplçnt dns () on obtient lors : ln ln ( ) ln ( ) donne : ln ln soit ou encore ; ln ( ) donne lors : b ( ) donne lors : c On obtient donc ; b c On vérifie que ces solutions conviennent (vérifiction à fire pr écrit) Signe de + Signe de déno + + Signe de Vritions de f Pour les lignes «Signe de f ' + f '» et «Vritions de f», on met une double brre (schnt que l «proi» de guche sert pour l première brre, il n y donc qu une brre à jouter) f (on met cette vleur dns le tbleu de vrition) On ne cherche ps les limites de f u bornes de son ensemble de définition cr elles ne servent ps pour répondre à l question D près le tbleu de vrition, f dmet un mimum globl sur égl à (obtenu pour ) On peut donc en conclure que f soit ln soit ln 6 A On utilise l églité ln e = et les règles lgébriques sur l fonction logrithme népérien 7 ) D ) certine puissnce entière : ) Tbleu de vrition ln f ' (on utilise l formule de dérivtion d une fonction à une n n u ' nu' u ) + Signe de ln + + Signe de + + Signe de f ' + +

7 Vritions de f C L dérivée de l fonction f s nnule en f est strictement croissnte sur ) Pour déterminer les limites de f u bornes de son ensemble de définition, on utilise les limites de référence de l fonction ln j O i lim f ; lim f ; C dmet l e des ordonnées pour symptote verticle f ' donc C dmet une tngente horizontle u point d bscisse 5 ) On : Comme Le signe de f, cette tngente est confondue vec l e des bscisses f est le même que celui de ln + Signe de ln + Signe de ln + C est u-dessus de l e des bscisses pour ; ; C est u-dessous de l e des bscisses pour ; ; C coupe l e des bscisses u point d bscisse (L courbe C trverse l tngente horizontle ; on dit que le point A d bscisse est un point d infleion de C ) Pour l position reltive de C pr rpport à l e des bscisses, on peut fire un tbleu ou fire des phrses Nous dmettrons sns démonstrtion que l courbe C présente une brnche prbolique de direction (O) en + ce qui permet de trcer convenblement l brnche infinie de l courbe C L tngente u point d bscisse est déjà trcée (puisqu elle est confondue vec l e des bscisses) 8 Ne ps oublier les conditions d eistence Commencer pr donner les conditions d eistence fin d étblir l ensemble de résolution S S e e Autre méthode : ln = ln = ln ln ln e e e ou e ; 9 Ne ps oublier les conditions d eistence : On doit voir : soit soit 6 ) f,5 (vleur rrondie u centième),,,66 On représente les intervlles sur un même e (droite réelle en utilisnt différentes couleurs) On cherche les qui vérifient les conditions «réunies» On résout l éqution dns l intervlle ] ; +[ L ensemble des solutions de l éqution est S = { } NB : On peut utiliser le discriminnt réduit ou les rcines évidentes Rppel :

8 b c b b ' ' b' c er b' ' b' ' cs : ' L éqution dmet rcines distinctes dns : et e b' cs : ' L éqution dmet rcine double dns : e cs : ' L éqution n ps de rcine dns On peut ussi dire que e est un quotient à termes positifs dont le numérteur est plus grnd que le e dénominteur (cr e + > e ) ; pr conséquent, ce quotient est plus grnd que e S e Pour les conditions d eistence, fire un tbleu de signes Attention : ou Pour l résolution de l inéqution, fire un tbleu de signes S ; Commencer pr l condition d eistence : On doit voir Le domine de résolution est donc ] ; + [ On pose X = ln (chngement d inconnue) L éqution () s écrit X X ( ) Considérons le polynôme X X Son discriminnt est égl à donc ( ) dmet deu solutions distinctes dns : X et X Or X = ln Donc () ln ou ln ln ln e ou ln ln e e ou e Ces deu solutions pprtiennent bien à l ensemble de résolution Donc l ensemble des solutions de l éqution () est S e ; e (cr e ) e + SGN de + SGN de + + SGN de + + On peut ussi dire que est un polynôme qui dmet et pour rcines évidentes Ce polynôme est donc du signe du coefficient de c est-à-dire positif suf pour entre les rcines On peut ussi utiliser l représenttion grphique de l fonction crré Solution détillée : Résolvons dns l inéqution ln ln ln () Il fut vérifier que e pprtient u domine de résolution soit en utilisnt l clcultrice soit en fisnt l e différence vec (cr le domine de résolution est ] ; +[ donc on compre e vec ) et en montrnt que e cette différence est strictement positive (mieu qu vec l clcultrice) e e e ; e donc e d où e soit e e e Attention, il s git d un système non linéire L seule méthode possible est l méthode de substitution S 5, 5 ; 5, 5 Autre méthode :

9 y ln y ln 5 y ln y ln 5 y y 5 On cherche deu réels et y connissnt leur somme () et leur produit (5) On sit donc que et y sont solutions de l éqution X X 5 (E) Le discriminnt de (E) est égl à = Les solutions de (E) sont X 5 et X 5 Rppel : Soit et y deu nombres de somme S et de produit P et y sont solutions de l éqution du second degré X SX P On utilise le logrithme népérien ; les entiers nturels cherchés sont les entiers nturels supérieurs ou égu à 66 Solution détillée : Déterminons les entiers nturels n tels que,9 n () 5 f : ln e C : courbe représenttive de f dns un repère O, i, j du pln ) Déterminons l éqution réduite de l tngente T à C u point d bscisse ( > ) T pour éqution y = f () ( ) + f () soit T : y ln y ( ) ln ou encore y ln ) Déterminons l bscisse du point A de C en lequel l tngente psse pr le point B(, ) B T si et seulement si y B B ln si et seulement si ln si et seulement si ln = si et seulement si = e T psse pr B il fut et il suffit que soit égl à e On peut prticulriser et y pour un point de l droite (il fut bien évidemment que ce soit le même point) ya ln e Le point A pprtient à l courbe C donc A e, () n ln (,9) ln n ln ln,9 (en effet,,9 < donc ln,9 < ) ln D près l clcultrice, on : 65,56 ln,9 B j O i A Or n donc () n 66 C Remrque : Le plus petit entier nturel n tel que,9 n est 66 On peut ussi utiliser le fit que A pprtient à T Pr contre, utiliser le fit que A pprtient à l fois à C en écrivnt l éqution ln ln e ne conduit à e rien du tout

10 6 ) D ) On rencontre une forme indéterminée du type : " " ) Le but de cette question est lever l indétermintion Il s git d une «fctoristion forcée» lim f 7 ) D ) On rencontre une FI du type " " lim f ) L technique du chngement de vrible est possible mis à éviter pour l instnt 8 ) D \ ) On rencontre une FI du type " " e ) lim f 5 ; ; 9 ) D Il y trois bornes pour l ensemble de définition :,, + On étudie l limite de f en (uniquement à droite cr l fonction est n est ps définie pour des vleurs de inférieures à ), l limite de f en pr vleurs supérieures et inférieures (à guche et à droite) ln g + Signe de ln + Signe de + + ln Signe de + C est u-dessus de C est u-dessous de Position de C C et sont pr rpport à sécntes u point d bscisse ) lim f ; lim f ; ln f : lim f ; lim f C est u-dessous de pour ; ; C est u-dessus de pour ; d bscisse ln ) f () eiste si et seulement si ln si et seulement si ; C et sont sécntes u point e si et seulement si Solution détillée : Reconnissnce d symptote oblique On observe l forme de l epression de l fonction f ln f prtie ffine prtie qui tend vers qund + (limite de référence) On observe que cette epression est constituée d une prtie ffine et d une prtie qui tend vers Pour démontrer que l courbe dmet une symptote oblique, on effectue un clcul de limite ln lim f lim (limite de référence) donc on en déduit que C dmet l droite d éqution y = + pour symptote oblique en + (précision qu il ne fut ps oublier de donner) Etudions l position de C pr rpport à On pose g f D \ e ) f est dérivble sur D cr c est le quotient de deu fonctions dérivbles sur D, l fonction figurnt u dénominteur ne s nnulnt ps sur D ) \ e f ' ln ) D ; ) f est l composée d une fonction ffine (non nulle) suivie de l fonction logrithme népérien donc f est dérivble sur D ; f ' (formule du cours donnnt l dérivée de ln b ou dérivée de ln u où u u ' est une fonction : ln u ' ) u D ; lim f ; lim f (FI du type ; il fut fire une réécriture : ln f )

11 D ; lim f (FI du type : écrire f ln et on utilise lim f (ps de problème ; limite d un produit) 5 D fire chque limite ; il fut détiller l même réécriture) lim ln lim 6 D ; écrire f ln lim donc pr limite d un quotient lim f lim f lim ln ) ; (écrire : f qui n est ps une limite de référence) ; lim f ln lim (on utilise l limite de référence ln ) lim ln ) ; lim f ln et (on utilise (FI du type ; Rédction pour les ensembles de définition : présenttion à l ide d une chîne d équivlences «f () eiste si et seulement si f () et ps f! si et seulement si si et seulement si» Ne ps confondre CE (conditions d eistence) pour les équtions et les inéqutions et ensemble de définition d une fonction Eercices 6 et 7 : Pour étudier l ensemble de définition, on est obligé d nlyser les types de problèmes qui se posent Tbleu de signes : je demnde qu ils soient fits à l règle (ps à min levée!)