Chap.1 Systèmes linéaires en régime harmonique

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1 Chap.1 Systèmes linéaires en régime harmnique 1. Etudier un système linéaire. Analyse de Furier Imprtance de la répnse harmnique.1. Décmpsitin en série de Furier d un signal péridique.. Analyse de Furier d un signal physique nn péridique 3. Frmalisme cmplexe Fnctin de transfert 3.1. Rappel ntatins cmplexes, fnctin de transfert 3.. Répnse harmnique d un système linéaire : Méthdlgie 3.3. Applicatin à une entrée péridique nn sinusïdale 3.4. La fnctin de transfert pur truver l équatin différentielle 4. Critères de nn linéarité 4.1. Présence d éléments nn linéaires 4.. Enrichissement du spectre en fréquence 5. Applicatin au filtrage : 1 er rdre 6. Applicatin au filtrage : e rdre Intr : Ce chapitre reprend plusieurs ntins d électrcinétique de première année. L étude des systèmes linéaires ne cncerne pas que l électrnique, mais aussi la mécanique, la thermique tus les phénmènes régis par des équatins différentielles linéaires à cefficients cnstants. 1. Etudier un système linéaire Un système est linéaire et statinnaire (u invariant) si les grandeurs d entrée et de srtie snt reliées par une équatin différentielle linéaire à cefficients cnstants Ecrire mathématiquement la frme générale de ce type d équatin (1 entrée, 1 srtie) Qu appelle-t-n l rdre du système (u de l EDiff)? Rappeler les ntatins canniques de l ESSM pur les EDiff du 1 er et du e rdre. Nmmer les paramètres intrduits. Exemples de systèmes linéaires : - la plupart des circuits électriques de 1 e année avec R, L, C surces de tensin u curant (AO pssible) - un système masse-ressrt (type sismgraphe) - un mteur électrique (relatin entre curant d alimentatin et le cuple) - pièce chauffée par un radiateur (relatin entre la puissance d alimentatin et la température de la pièce) Tute l infrmatin sur le cmprtement du système linéaire est cntenue dans les cefficients de l EDiff. Le cmprtement d un système linéaire vérifie le principe de superpsitin. C est une cnséquence mathématique de la linéarité de l EDiff. 1 Mreggia PSI 13/14

2 On peut distinguer grssièrement deux types d étude des systèmes linéaires : sit la cmpsitin du système est cnnue, et sn EDiff aussi (n a pu l établir, cmme en première année) ; sit le système est une bîte nire dnt n cherche à cmprendre le cmprtement en la sumettant à divers signaux d entrée. Dans le premier cas, si n sait résudre l EDiff, la srtie peut être prédite pur une entrée dnnée. En première année, les cas EDiff 1 er et e rdre nt été vus, pur des entrées : cnstante, nulle u sinusïdale. Rappeler cmment résudre une EDiff du 1 er et e rdre avec nd membre cnstant Idem dans le cas d un secnd membre sinusïdal. Dans le deuxième cas, n peut étudier la répnse harmnique (ce chapitre) u indicielle (prchain chapitre) pur déterminer le cmprtement général du système, vire déterminer l EDiff qui régit sn cmprtement. On étudie ici la répnse harmnique des systèmes linéaires. Cntrairement aux apparences, cette étude est très générale, puisqu elle permet de déterminer la répnse du système à tut signal péridique (nn-sinusïdal) grâce à l analyse de Furier.. Analyse de Furier Imprtance de la répnse harmnique.1. Décmpsitin en série de Furier d un signal péridique Cette imprtance cnférée à l étude des signaux sinusïdaux est la cnséquence d un résultat mathématique très imprtant en physique : Tut signal péridique peut être décmpsé en une smme de signaux sinusïdaux Ces ntins mathématiques nt été intrduites au début du XIX e par le physicien et mathématicien Jseph Furier, lrs de ses travaux sur la prpagatin de la chaleur (au prgramme de spé). Lrsque l n décmpse un signal en ses cmpsantes sinusïdales, n parle d analyse harmnique, u analyse de Furier. Elle s applique à de très nmbreux dmaines de la physique : électrnique, étude du sn, ptique, ndes mécaniques, etc. L analyse de Furier est un util de base abndamment utilisé dans les télécmmunicatins (TV, radi, internet, téléphnie ). Seule la décmpsitin des signaux péridiques est au prgramme des classes prépa : n parle de décmpsitin en série de Furier. En physique, aucun calcul n est exigible, seule la cmpréhensin physique de cette décmpsitin est à cnnaître : Dnner l expressin de cette décmpsitin pur un signal de péride Repérer dans l expressin mathématique de cette décmpsitin : la «cmpsante de rang n» u «harmnique de rang n» la fréquence et l amplitude de l harmnique de rang n la «cmpsante cntinue» la valeur myenne le «fndamental» Rappeler ce que représente le spectre de Furier en amplitude. Exemples : créneau et triangle (animatin Gastebis).. Analyse de Furier d un signal physique nn péridique Dans le cas d un signal nn péridique, n peut décmpser le signal en une smme cntinue (une intégrale) de sinus : c est la transfrmée de Furier (ressemble beaucup à la transfrmée de Laplace). Une idée clef à retenir est que la largeur du spectre en fréquence est inversement prprtinnelle à la durée du signal : - une impulsin très brève cntient beaucup de fréquence - un signal sinusïdal infini (nn physique!) ne crrespnd qu à une seule fréquence Mreggia PSI 13/14

3 3. Frmalisme cmplexe Fnctin de transfert 3.1. Rappel ntatins cmplexes, fnctin de transfert L expérience mntre qu un système linéaire sumis à une entrée sinusïdale dnne en régime permanent établi (le régime transitire est terminé) un signal de srtie sinusïdal de même fréquence. Ecrire mathématiquement la frme du signal de srtie. Nmmer les différents paramètres. Définir mathématiquement le déphasage entre la srtie et l entrée (u avance de phase ). Définir mathématiquement le signal cmplexe, l amplitude cmplexe du signal. A partir de l amplitude cmplexe, cmment retruve-t-n la phase à l rigine et l amplitude réelle? Définir la fnctin de transfert du système linéaire. L exprimer en fnctin des cefficients de l EDiff du système linéaire. Lrsque l n cnsidère la fnctin de transfert cmme un simple util de calcul, n purra remplacer la ntatin par la ntatin utilisée en SI (transfrmée de Laplace). 3.. Répnse harmnique d un système linéaire : Méthdlgie Cmment calculer le gain, le gain en db? Quelle infrmatin physique dnne le gain? Cmment calculer le déphasage? Définir le diagramme de Bde. Définir les pulsatins de cupure à 3dB. Définir la bande passante (qualitativement, puis math). Ci-dessus les étapes classiques pur étudier la répnse harmnique, d un filtre en élec par exple : (Parfis) Estimer la nature du filtre en s aidant des circuits équivalents à BF et HF Truver l expressin de la FT Etude asympttique de la FT directement, puis en déduire le gain et le déphasage asympttique Calculer le gain et le déphasage (pur tute fréquence) Truver les fréquences de cupure. En déduire la bande passante Applicatin à une entrée péridique nn sinusïdale Exercice : On cnsidère une tensin péridique (nn sinusïdale) e(t), de péride T, appliquée en entrée d un filtre. Le filtre délivre une tensin de srtie s(t) au circuit en aval. A. Dnner l expressin de la fréquence f, puis de la pulsatin, du signal e(t) en fnctin de sa péride T. Dans le tableau ci-dessus, n dnne les caractéristiques des différentes cmpsantes sinusïdales du signal péridique d entrée : Fréquence 1 f f 3 f 4 f Amplitude (V) Phase à l rigine (rad) On précise que les harmniques de fréquence supérieures à 4f snt tutes d amplitude nulle. B. A l aide du tableau, dnner l expressin mathématique du signal e(t) sus frme de série de Furier. Qu appelle-t-n la cmpsante cntinue? le fndamental? les harmniques? C. Purqui la phase à l rigine n est-elle pas précisée pur les cmpsantes de fréquence nulle et de fréquence égale à f? 3 Mreggia PSI 13/14

4 D. Tracer le spectre de Furier du signal e(t). On rappelle que le spectre de Furier représente l amplitude de chaque cmpsante sinusïdale en fnctin de la fréquence (diagramme en «bâtnnets»). Dans le tableau ci-dessus, n dnne les caractéristiques du filtre pur des valeurs particulières de la fréquence, crrespndant aux fréquences des cmpsantes du signal d entrée : Ici, le gain n est pas en décibels. Fréquence 1 f f 3 f 4 f Gain,5,3,1,1 Déphasage (rad) 4,1 -,5 E. A partir des dnnées du tableau, tracer l allure du gain en fnctin de la fréquence. Cnclure quant à l effet du filtre sur l amplitude du signal. F. A l aide de ce tableau et de l expressin établie à la questin, dnner l expressin mathématique du signal de srtie s(t) La fnctin de transfert pur truver l équatin différentielle On peut retruver l EDiff à partir de la FT, en transfrmant les en.tute l infrmatin sur le système linéaire est dnc cntenue dans l expressin de sa FT. Celle-ci est aussi utile cmme simple util de calcul, même si n n étudie pas la répnse harmnique. 4. Critères de nn linéarité 4.1. Présence d éléments nn linéaires Si le système est cmpsé d éléments nn-linéaires, sn cmprtement glbal sera vraisemblablement nn linéaire. En électrnique, les circuits avec dides, multiplieur ne snt pas linéaires. Les circuits à AO peuvent être nn linéaires si les défauts de l AO se manifestent : saturatin en tensin / en curant, slew rate. On ntera qu en physique, aucun cmpsant n est linéaire au sens strict du terme. La résistance d un cnducteur dépend de la température, dnc du curant qui la traverse (cf. effet Jule). Cet effet est faible, et suvent négligeable en TP. 4.. Enrichissement du spectre en fréquence Un système nn linéaire enrichit le spectre en fréquence du signal qui lui est sumis : la srtie pssède des cmpsantes en fréquence qui ne snt pas présentes en entrée. Exemple : Circuit RC série alimenté par un GBF délivrant une tensin sinusïdale : la srtie aux brnes de C est aussi sinusïdale et de même pulsatin. Qu bserve-t-n si n intrduit une dide en série avec le RC? 4 Mreggia PSI 13/14

5 5. Applicatin au filtrage : 1 er rdre En utilisant les circuits équivalents BF et HF, retruver cmment n réalise un passe-bas avec un RC. Idem pur le passe-haut. Passe-bas du 1 er rdre : Passe-haut du 1 er dre : Etudier ces deux filtres avec la méthde dnnée précédemment. Ces filtres permettent-ils dans certains cnditins de réaliser les pératins de dérivatin et primitive? Dnner la frme du signal de srtie pur l entrée 6. Applicatin au filtrage : e rdre En utilisant les circuits équivalents BF et HF, retruver cmment n réalise un passe-bas avec un RLC série. Idem pur le passe-bande. Il existe plusieurs ntatins canniques pur les e rdre. Il n est pas nécessaire de les cnnaître par cœur. Ntins clefs Savirs : Définitin système linéaire statinnaire Ecriture cannique des EDiff 1 er et e rdre + nms des paramètres assciés Frmule décmpsitin en série de Furier + vcabulaire asscié Frmalisme cmplexe vu en sup Critères de nn linéarité Savirs faire : Appliquer l effet d un filtre à un signal péridique nn-sinusïdal Etudier un filtre, vu en sup : FT, Bde, bande passante, etc. 5 Mreggia PSI 13/14