Chapitre 3 Nombres relatifs en écriture fractionnaire

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1 Chpitre 3 Nomres reltifs en ériture frtionnire Compétenes : Exemples 'tivités, ommentires :. Déut : 29/09 fin 10/10 Remrques : Ex N 7,8,12,15,18,19,20,62,95 p1 Interrogtion I 3 DM N 3 QCM poly ou 101 p8 DST n 3 poly 5/5 Démonstrtions : Ativités 1 ;2 ;3 ;5 ;6 et 7 I. Quotients e nomres reltifs et ériture frtionnire 1) Quotients égux Ativité 1 * - Démonstrtion, et k ésignent trois nomres reltifs ve 0 et k 0 On note q le quotient e pr, est à ire q D près l éfinition u quotient q D où : q k k Ainsi le nomre q, multiplié pr k, onne k k Don q k k Nous pouvons onlure que q et on que k. k k Propriété émontrée : Un quotient e eux nomres reltifs ne hnge ps lorsqu on multiplie ou l on ivise son numérteur et son énominteur pr un même nomre non nul. Autrement it :, et k ésignent trois nomres reltifs ve 0 et k 0 : k : k et k : k : : 3 11 Propriété mise : Quels que soient les nomres et ( 0), on : et Pge 1 sur 6

2 2) Prouits en roix Ativité 2 * Conjeture et émonstrtion 1)) et ) Les prouits «en roix» 89 et 612 sont égux. ) Je peux onjeturer que pour vérifier si eux nomres frtionnires sont égux il suffit e vérifier si leurs prouits en roix sont égux. 2),, et ésignent qutre nomres reltifs ve 0 et 0 ) On suppose que D près l propriété émontrée ns l tivité 1 nous pouvons érire que : et que Or on Les énominteurs es eux nomres prééents sont égux, on peut en éuire que leurs numérteurs sont égux. ) Si, lors 3),, et ésignent qutre nomres reltifs ve 0 et 0 Nous svons que D près l propriété émontrée ns l tivité 1 : Or on D près l propriété émontrée ns l tivité1 : (simplifition pr ) Don : Nous pouvons en onlure que : «Si, lors» Propriété et propriété réiproques émontrées :,, et ésignent qutre nomres reltifs ve 0 et 0 Si lors Et réiproquement Si lors Remrque : Lorsqu on psse e l églité à on it que l on érit «l églité es prouits en roix» Pge 2 sur 6

3 Les frtions et 90 sont-elles égles? et Nous onsttons que Les prouits en «roix» sont égux on Les frtions et sont-elles égles? et Nous onsttons que Les prouits en «roix» ne sont ps égux on II. Aition, soustrtion et éritures frtionnires 1) Dénominteurs égux Ativité 3 * Conjeture et émonstrtion Prtie ))L ériture éimle e est 1,25 et e est 0,5; 5 2 Nous en éuisons que l ériture éimle e est 0, ) 2) L propriété mise en 5 e : Pour luler l somme (ou l ifférene) e eux nomres en ériture frtionnire e même énominteur, on itionne (ou on soustrit) les eux numérteurs et on gre le énominteur ommun semle ussi s ppliquer ux nomres reltifs. Prtie 2, et ésignent trois nomres reltifs ve 0 On note q et q D près l éfinition u quotient q et q D où q q D près l propriété e simple istriutivité (ftoristion) : () q q Don q q Nous pouvons en onlure que Prtie )) L opposé e est 7 7 ) Nous en éuisons que 5 () ) On note q et q D près l éfinition u quotient q et q D où q q D près l propriété e simple istriutivité (ftoristion) : () q q Don q q. Nous pouvons en onlure que Pge 3 sur 6

4 Propriété émontrée: Pour itionner ( ou soustrire) eux nomres reltifs en ériture frtionnire e même énominteur, on itionne ( ou on soustrit) les numérteurs et on gre le énominteur ommun Autrement it :, et ésignent trois nomres reltifs ve 0 : Ativité 2) Dénominteurs ifférents 1) On ne peut itionner filement 2) ) ,5 9 3,5 9 5, et 8 6 ) Les eux frtions que l on peut itionner filement sont Le énominteur e es eux frtions est 2 Ce nomre est un multiple ommun à 8 et ) et ( 11) r les énominteurs sont ifférents et 2 2. Propriété mise : Pour itionner ( ou soustrire) eux nomres reltifs en ériture frtionnire qui n ont ps le même énominteur, on ommene pr les réuire u même énominteur. Nous pouvons lors ppliquer l propriété vue pour Aition, Soustrtion lorsque les énominteurs sont les mêmes III. Multiplition et éritures frtionnires Ativité 5 * Conjeture et émonstrtion Prtie ) ) L ériture éimle e est e 2,2 et elle e 7 est e 3,5 ; Nous en éuisons que l ériture éimle e : est 7, ) ) L propriété mise en 5 e : Pour multiplier eux nomres en ériture frtionnire, on multiplie les numérteurs entre eux et les énominteurs entre eux semle ussi s ppliquer ux nomres reltifs. Pge sur 6

5 Prtie 2,, et ésignent qutre nomres reltifs ve 0 et 0 On note q et q D près l éfinition u quotient nous vons : q et q Don : q q q q Le nomre q q, multiplié pr le nomre, onne Don : q q Nous pouvons en onlure que q q et on que Propriété émontrée : Pour multiplier eux nomres reltifs en ériture frtionnire, on multiplie les numérteurs entre eux et les énominteurs entre eux. Autrement it :,, et ésignent qutre nomres reltifs ve 0 et 0 : Remrque : il vut mieux éterminer le signe u prouit et simplifier vnt e multiplier Cs prtiulier :, et ésignent trois nomres reltifs ve 0 : Exemple : IV. Inverse un nomre non nul Ativité 6 * - Conjeture et émonstrtion 1) ( 2) , ,1 2) L inverse e 2 est 1 2, e 2 est 1 2, e 0,1 est 1 0,1 3) x est un nomre reltif non nul. 1 x1 x x 1. x x x, e est 1, e 1 est 1, e 1 est -1 L inverse u nomre x est 1 x ) et sont eux nomres reltifs non nul. L inverse u nomre est en effet 1 5) Le nomre 0 n ps inverse en effet il n existe uun nomre qui multiplié pr 0 onne 1. Pge 5 sur 6

6 Définition : Deux nomres reltifs sont inverses lorsque leur prouit est égl à 1. Propriété émontrée : x ésigne un nomre reltif non nul. L inverse e x est 1 x. Propriété émontrée : et ésignent eux nomres reltifs non nuls. L inverse e est Exemple : L inverse e 3 7 est 7 3. Remrque : Il ne fut ps onfonre l opposé un nomre et son inverse. 3 pour opposé 3 et pour inverse 1 3 V. Division et éritures frtionnires Ativité 7 * - Démonstrtion,, et ésignent qutre nomres reltifs non nuls. 1) 1 1 2) 1 : 3) «Diviser un nomre non nul revient à multiplier pr son inverse» ) : Propriété émontrée : Diviser un nomre non nul revient à multiplier pr son inverse. Autrement it : 1 et ésignent eux nomres reltifs ve 0 : : Exemple : 3 1 3: ,5 1,5 2 2 Cs prtiulier :,,, représentent qutre nomres reltifs ve 0, 0 et : : : : : Pge 6 sur 6