TS Exercices sur le logarithme népérien (1) repère O, i,

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1 On considère l onction : TS Eercices sur le logrithme népérien () repère O, i, j Sns clcultrice, clculer : ; B ln 5 ln 9 5 A ln 6 ln ln Sns clcultrice, simpliier : A ln ln 5 ln 7 ln 0 ln ; Soit, b, c trois réels strictement positis donnés 5 7 B ln ln ln ln c, y ln ln b b, z ln b 99 Simpliier l somme S ln ln ln Eprimer en onction de ln et de ln 5 les nombres suivnts : ln 000 ; ln 5 ln 0,6 8 Écrire en onction de ln, ln b, ln c les réels ln 6 On considère l onction : ln ) Déterminer l ensemble de déinition D de (on rédiger insi : «) Pour quels de D peut-on écrire ln ln? 7 On considère l onction : ln Étudier l prité de 8 On considère l onction : ln ) Déterminer l ensemble de déinition D de ) Justiier que est dérivble sur D et clculer ' 9 On considère l onction : ln ) Déterminer l ensemble de déinition D de ) Justiier que est dérivble sur D et clculer ' ; 0 On note C l courbe d éqution y ln i j ) On note églement C, C, C les courbes d équtions respectives y ln y ln Recopier et compléter les phrses : «On psse de C à C pr» «On psse de C à C pr» «On psse de C à C en» eiste si et seulement si») dns le pln muni d un repère orthogonl O, i, j, y ln, (c est-à-dire ln Déterminer l éqution réduite de l tngente T à C u point A d bscisse et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un On considère l onction : ln et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un repère O, i, j Étudier (ensemble de déinition, dérivée, tbleu de vrition, limites et conséquences grphiques pour C ) On considère l onction : b ln où et b sont des réels ) Clculer ' ) Déterminer et b tels que l courbe représenttive C de dns le pln muni d un repère O, i, j deu hypothèses : H : C psse pr le point A ; H : C dmet en A une tngente prllèle à l droite d éqution réduite y On considère l onction : b c ln où, b, c sont des réels ) Clculer ' vériie les ) Déterminer (sns utiliser l clcultrice) les réels, b, c tels que l courbe C de dns le pln muni d un repère O, i, j vériie les trois hypothèses : H : C psse pr le point A H : C psse pr le point B ; ; ln H : C dmet en B une tngente horizontle N B : Cet eercice demnde de l persévérnce cr les clculs semblent un peu longs mis menés intelligemment, ils boutissent ssez vite 5 Démontrer que, pour tout, on : ln Indiction : ire le tbleu de vrition de l onction : ln sns les limites in d en déduire son signe 6 Sns clcultrice, clculer le nombre 7 On considère l onction : A 5ln e ln ln e e ln et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un repère orthonormé O, i, j ) Déterminer l ensemble de déinition D de ) Démontrer que est dérivble sur D et clculer ' ) Dresser le tbleu de vrition de ) Déterminer les limites de u bornes de son ensemble de déinition Que peut-on en déduire pour C? 5 ) Trcer C et l tngente horizontle en prennt cm pour unité grphique (ire un petit tbleu de vleurs) Vériier sur l clcultrice grphique 8 Résoudre dns les équtions suivntes : ln 0 () ; ln 0 () 9 Résoudre dns l éqution ln ln ln ()

2 0 Résoudre dns l éqution ln ln 0 () Indiction : utiliser le chngement d inconnue X ln Résoudre dns l éqution Résoudre dns l inéqution ln ln () ln ln ln () Résoudre dns y 0 () le système ln ln y ln 5 () Déterminer pr le clcul les entiers nturels n tels que N B : Pour cet eercice, l clcultrice est obligtoire n 0,9 0 5 On considère l onction : ln et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un repère O, i, j ) Déterminer l éqution réduite de l tngente T à C u point d bscisse ( 0 ) ) Déterminer l bscisse du point A de C en lequel l tngente psse pr le point B(0 ; ) On rédiger insi : «B T si et seulement si» Trcer cette tngente 6 On considère l onction : ln (on observer que n est ps une onction polynôme) On cherche l limite de en + ) Donner l ensemble de déinition D de ) Identiier l orme indéterminée que l on rencontre ln ) Démontrer que pour tout, on : ; en déduire lim On détiller bien les clculs en veillnt à l présenttion ln 0 On considère l onction : et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un repère O, i, j Démontrer que C dmet une symptote oblique en + ; étudier l position de C pr rpport à dns un tbleu Vériier sur l clcultrice grphique ou sur un ordinteur à l ide d un logiciel de trcé de courbes On considère l onction : ln ln ) Déterminer l ensemble de déinition D de ) Justiier que est dérivble sur D et clculer ' On considère l onction : ln ) Déterminer l ensemble de déinition D de ) Justiier que est dérivble sur D et clculer ' Dns les eercices à 6, on donne une onction Déterminer l ensemble de déinition D de et étudier les limites u bornes de D Préciser chque ois lorsque l on rencontre une orme indéterminée : ln Il s git des bornes ouvertes : ln ln ln 5 : 6 : 7 On considère l onction : On cherche l limite de en + ) Donner l ensemble de déinition D de ) Identiier l orme indéterminée que l on rencontre ln 5 ln (on observer que n est ps une onction polynôme) ) Fctoriser pr ln pour \ ; en déduire lim 8 On considère l onction : 5 ln (on observer que n est ps une onction rtionnelle) ln On cherche l limite de en + ) Donner l ensemble de déinition D de ) Identiier l orme indéterminée que l on rencontre ) Fctoriser pr ln pour \ ; lim e 9 On considère l onction : ln u numérteur et u dénominteur ; en déduire ) Déterminer l ensemble de déinition D de ) Étudier les limites de u bornes de D Vériier sur l clcultrice grphique ou sur un ordinteur à l ide d un logiciel de trcé de courbes

3 Corrigé Clculs d epressions vec des logrithmes népériens A 0 ; B 0 A ln 6 ln ln A ln 6 ln 6 A ln 6 ln 6 A 0 Simpliictions d epressions A ln 5 ; B ln A ln ln 5 ln 7 ln 0 ln ln ln 5 ln ln 5 ln ln ln 5 ln ln ln 5 ln ln5 ln ln 5 ln ln5 ln ln 5 ln A ln B ln ln ln ln ln ln ln 5 ln 5 ln 7 ln 7 ln 9 ln 9 ln B ln 5 ln 9 5 B ln 5 ln 9 5 B ln 9 5 ln 9 5 B ln B ln 9 5 B ln 8 80 B ln B 0 On noter que l on pplique deu ois une identité remrquble durnt le clcul Simpliictions d epression littérles vec des logrithmes népériens ln ; y ln ln c ; z ln ln b Solutions détillée : 8 Écrivons en onction de ln, ln b, ln c les réels ln ln 8 8ln ln S ln 00 ln 0 Solutions détillée : c y ln ln b b ln ln b ln c ln b y ln ln c 99 Simpliions l somme S ln ln ln S ln ln ln 00 S ln ln ln ln 99 ln00 S ln00 c, y ln ln b b, z ln b z ln b ln b ln ln ln b Il s git d un procédé de clcul de somme pr «télescopge» ou simpliiction «en cscde» Il reste les termes des etrémités de l somme Ce procédé que nous retrouverons plus trd sert à étblir des ormules sommtoires Autre méthode pr produit : 99 S ln ln ln00 ln On simpliie à l intérieur du produit 5 8 ln000 ln0 ln0 ln 5 ln ln 5; ln ln ln5 5 ; 6 ln 0,6 ln ln ln ln 5 ln ln 5 ln ln

4 8 Eprimons en onction de ln et de ln 5 les nombres suivnts : ln000 ; ln 5 ; ln(0,6) On présente les clculs en colonnes ln000 ln0 ln0 ln 5 ln ln 5 ln00 0 ln ln ln ln8 ln 5 5 ln ln5 ln ln 5 ) D ; ; (ire un tbleu de signes à l règle) ) L églité est vrie pour ; : ln ) Déterminons l ensemble de déinition D de 0 eiste si et seulement si 0 (rppel : l ccolde signiie «et») On dresse un tbleu de signes pour résoudre l inéqution 0 6 ln 0,6 ln 00 ln 5 ln ln 5 ln ln 5 ln ln 5 ) Déterminons les réels D pour lesquels on peut écrire ln ln ; b ln ln lnb b On sit que : 0 Donc l églité () est vlble pour tout réel tel que 0 réel tel que () c est-à-dire soit inlement pour tout 7 On commence pr cherche D : pour cel on utilise un tbleu de signes (à l règle) D ; (est centré en 0 (il ne ut ps oublier cette condition importnte) ; l onction est impire : ln Étudions l prité de On commence pr chercher l ensemble de déinition D de 0 eiste si et seulement si 0 On dresse un tbleu de signes pour résoudre l inéqution Signe de Signe de Signe de 0 + Signe de Signe de 0 + Signe de D ; D ; ;

5 D est centré en 0 ] ; [ ln ln ln (utorisé cr et sont strictement positis) ln ln 9 ) D ) : ln ' ln Donc est impire Registre grphique : l courbe représenttive de dns un repère quelconque dmet le point O pour centre de symétrie 8 ) D ; ) : ln ' ln ) Déterminons l ensemble de déinition D de 0 eiste eiste 0 D ) Justiions que est dérivble sur D et clculons ' est dérivble sur ps sur comme quotient de deu onctions dérivbles sur, celle du dénominteur ne s nnulnt ) Déterminons l ensemble de déinition D de 0 eiste si et seulement si 0 si et seulement si 0 D ) Justiions que est dérivble sur D et clculons ' ' ln ln ln est dérivble sur ps sur comme quotient de deu onctions dérivbles sur, celle du dénominteur ne s nnulnt Attention : n est ps une onction rtionnelle à cuse de l présence du ln ln ' u u ' v uv' (on utilise l ormule de dérivtion d un quotient : ' v ) v ln 0 Fonctions ssociées à l onction logrithme népérien On psse de C à C pr l trnsltion de vecteur j On psse de C à C pr l trnsltion de vecteur i On psse de C à C en conservnt l prtie située u-dessus de l e des bscisses c est-à-dire pour et en eectunt l symétrique pr rpport à l e des bscisses de l prtie située en dessous c est-à-dire pour 0 ; NB : L utilistion de l clcultrice ou d un logiciel de trcé de courbes est très intéressnte pour ce type d eercices

6 T : y 5 : ln C : courbe représenttive de Déterminons l éqution réduite de l tngente T à C u point A d bscisse D est dérivble sur comme somme de deu onctions dérivbles sur Remrque : il n est ps orcément utile d voir recours à l dérivée pour déterminer le sens de vrition de u et v ln Considérons les onctions u et v déinies pr L onction u est strictement croissnte sur ]0 ; +[ L onction v est strictement croissnte sur ]0 ; +[ u v Donc est strictement croissnte sur ]0 ; +[ Pour déterminer les limites de u bornes de l ensemble de déinition, on eectue l limite d une somme lim donc pr limite d une somme lim ln (provient de l limite de réérence lim ln ' 6 lim ln ' T pour éqution y ' : + ln soit y 5 5 c est-à-dire y 5 Étudions (ensemble de déinition, dérivée, tbleu de vrition, limites et conséquences grphiques pour C ) L ensemble de déinition de est est dérivble sur D comme somme de onctions dérivbles sur ' (présenttion préérble en colonne) Il n y ps besoin de trnsormer dvntge l epression de ' 0 donc est strictement croissnte sur Signe de ' pour lire le signe de l dérivée pour > Vritions de ' + + lim lim ln donc pr limite d une somme lim 0 On met les limites dns le tbleu de vrition L courbe représenttive C de dns un repère dmet l e des ordonnées pour symptote verticle On visulise l courbe C sur clcultrice ou sur ordinteur à l ide d un logiciel de trcé de courbes b ) 0 ; ' ) Penser à trduire l hypothèse H pr ' (en eet, le nombre dérivé de en est égl u coeicient directeur de l tngente à C u point A et pour coeicient directeur ) Ne ps utiliser l éqution réduite de l tngente qui complique beucoup les choses On trouve ; b Remrque : on peut ussi «ire» un système : b ln (, b) et b sont des prmètres

7 ) Clculons ' est dérivble sur 0 ; d près les règles d opértions sur les dérivées (somme et produit pr un réel) On utilise le it que l onction ln est dérivble sur 0 ; 0 ; ' ) H : C psse pr le point A( ; ) b (ttention, n est ps une onction polynôme) H : C dmet en A une tngente prllèle à l droite d éqution réduite y On dit plutôt «condition» que «hypothèse» Déterminons et b H permet d écrire que () b ln ' () H permet de dire que le coeicient directeur de l tngente en A pour coeicient directeur donc on : ' () b ' Compte tenu de ', Conclusion : = et b = ' donne b donc b On peut donc donner l epression de : ln ) C : courbe de dns un repère O, i, j H : C psse pr le point A( ; ) H : C psse pr le point B( ; ln) H : C dmet en B une tngente horizontle Déterminons, b, c H permet d écrire H permet d écrire H permet d écrire ce qui se trduit pr b (cr ln 0 ) ln ce qui se trduit pr b cln ln c ' 0 ce qui se trduit pr 0 b () On étblit le système suivnt : b c ln ln () c 0 () Il s git d un système linéire de trois équtions à trois inconnues On le résout pr substitution puis l on eectue une vériiction (obligtoire pour les systèmes linéires de trois équtions à trois inconnues) () donne : b (') () donne : c (') En remplçnt dns () on obtient lors : ln ln (') ln (') donne : ln ln soit ou encore ; ln (') donne lors : b (') donne lors : c : b c ln (, b, c) On obtient donc ; b c On vériie que ces solutions conviennent (vériiction à ire pr écrit) On obtient donc l epression de l onction suivnte : ln, b, c sont trois prmètres ) Clculons ' est dérivble sur polynôme) comme somme de onctions dérivbles sur (ttention, n est ps une onction c '

8 5 Démontrons que ln L inéglité ln est équivlente à ln 0 Considérons l onction : ln D (on peut donner cet ensemble de déinition directement sns détiller l recherche) est dérivble sur comme diérence de onctions dérivbles sur ' L dérivée doit être donnée sous l orme ' pour pouvoir étudier le signe de ' On dresse le tbleu de vrition de sur (ire ttention de mettre une double brre sur l dernière ligne u niveu du 0 ; pr contre, on ne descend ps les brres simples) Fire les lèches de vritions à l règle A On utilise l églité ln e et les règles lgébriques sur l onction logrithme népérien Clculons A A 5ln e ln ln e e A 0ln e ln e ln e A 0 A 7 : ln ) Déterminons l ensemble de déinition D de Signe de + num 0 D Signe de 0 déno + + Signe de Vritions de ' + 0 Pour les lignes «Signe de '( )» et «Vritions de», on met une double brre (schnt que l «proi» de guche sert pour l première brre, il n y donc qu une brre à jouter) 0 (on met cette vleur dns le tbleu de vrition) On ne cherche ps les limites de u bornes de son ensemble de déinition cr elles ne servent ps pour répondre à l question 0 ) Démontrons que est dérivble sur D et clculons ' ln ' (on utilise l ormule de dérivtion d une onction à une certine puissnce entière : n n u ' nu' u ) ) Dressons le tbleu de vrition de 0 + Signe de ln Signe de D près le tbleu de vrition, dmet un mimum globl sur égl à 0 (obtenu pour ) On peut donc en conclure que 0 soit ln + 0 soit ln Signe de Vritions de L dérivée de l onction s nnule en est strictement croissnte sur '

9 ) Déterminons les limites de u bornes de son ensemble de déinition Pour déterminer les limites de u bornes de son ensemble de déinition, on utilise les limites de réérence de l onction ln lim ln donc pr limite d un produit lim ln donc pr limite d un produit 0 lim lim 0 On en déduit que C dmet l e des ordonnées pour symptote verticle Pour ller plus loin : L courbe présente églement d illeurs un deuième point d inleion (utre que le point de coordonnées ( ; 0)) On s en rend compte visuellement en chngent de enêtre grphique ln ln Pr clcul, on obtient : '' On voit que l dérivée seconde s nnule en et e Donc C dmet les points d bscisse e et e pour points d inleion 5 ) Trcé de l courbe 0,5 (vleur rrondie u centième) 0, 0 0,,66 C j O O i L tngente u point d bscisse est déjà trcée (puisqu elle est conondue vec l e des bscisses) On ' 0 donc C dmet une tngente horizontle u point d bscisse Comme 0, cette tngente est conondue vec l e des bscisses Comme est strictement croissnte sur l intervlle 0 ;, C est u-dessus de l e des bscisses pour ; ; C est u-dessous de l e des bscisses pour 0 ; ; C coupe l e des bscisses u point d bscisse (L courbe C trverse l tngente horizontle ; on dit que le point A d bscisse est un point d inleion de C ) L courbe C présente une brnche prbolique de direction (O) en + cr on peut démontrer que lim 0 On vériie sur clcultrice grphique 8 Ne ps oublier les conditions d eistence Commencer pr donner les conditions d eistence in d étblir l ensemble de résolution S S e e ; Résolvons dns l éqution ln 0 () Condition d eistence : On doit voir : 0 On résout donc l éqution () dns

10 () ln ln ln e e L ensemble des solutions de () est S e Résolvons dns l éqution ln 0 () Condition d eistence : On doit voir : 0 On résout donc l éqution () dns () ln ln ln ln e e L ensemble des solutions de () est S e Autre méthode : ln 0 ln ln ln e ln e e ou e 9 Ne ps oublier les conditions d eistence : 0 On doit voir : 0 soit 0 soit On représente les intervlles sur un même e (droite réelle en utilisnt diérentes couleurs) On cherche les qui vériient les conditions «réunies» Rppel : b c 0 0 b b ' ' b' c er b' ' b' ' cs : ' 0 L éqution dmet rcines distinctes dns : et e b' cs : ' 0 L éqution dmet rcine double dns : 0 e cs : ' 0 L éqution n ps de rcine dns Résolvons dns l éqution ln ln ln Commencer pr l condition d eistence () 0 On doit voir : 0 soit soit 0 On résout l éqution () dns l intervlle ] ; + [ () ln ln 5 0 ou 5 ] ; + [ et 5 ] ; + [ L solution pour solution (unique solution) Donc l ensemble des solutions de l éqution () est S 0 Résolvons dns l éqution Commencer pr l condition d eistence On doit voir 0 Le domine de résolution est donc ]0 ; + [ ln ln 0 () On résout l éqution dns l intervlle ] ; + [ On pose X ln (chngement d inconnue) L ensemble des solutions de l éqution est S NB : On peut utiliser le discriminnt réduit ou les rcines évidentes L éqution () s écrit X X 0 () Considérons le polynôme X X Son discriminnt est égl à 9 6 5

11 0 donc () dmet deu solutions distinctes dns : 5 5 X et X Or X ln Donc () ln ou ln ln ln e ou ln ln e e ou e Ces deu solutions pprtiennent bien à l ensemble de résolution Donc l ensemble des solutions de l éqution () est S e ; e (cr e ) e () ln ln ln e e e e e e e e e e e () ln ln ln ln e ln ln ln e e e e e e e e e e e e On peut ussi un progrmme sur clcultrice pour déterminer les rcines d un polynôme du second degré Une méthode usse : () ln ln 0 ln 0 ln ln ln e e Résolvons dns l éqution Conditions d eistence : 0 On doit voir : soit 0 ln ln () On résout l éqution dns l intervlle ] ; + [ soit Il ut vériier que e pprtient u domine de résolution soit en utilisnt l clcultrice soit en isnt l e diérence vec (cr le domine de résolution est ] ; +[ donc on compre e vec ) et en montrnt que e cette diérence est strictement positive (mieu qu vec l clcultrice) e e e e donc e 0 d où e 0 e soit e e On peut ussi dire que e est un quotient à termes positis dont le numérteur est plus grnd que le e dénominteur (cr e e ) ; pr conséquent, ce quotient est plus grnd que L ensemble des solutions de (l) est e S e Pour les conditions d eistence, ire un tbleu de signes Attention : ou Pour l résolution de l inéqution, ire un tbleu de signes S ; 0 0

12 + SGN de 0 + SGN de SGN de Attention, il s git d un système non linéire L seule méthode possible est l méthode de substitution S 5, 5 ; 5, 5 Résolvons dns y 0 () le système ln ln y ln 5 () On peut ussi dire que est un polynôme qui dmet et pour rcines évidentes Ce polynôme est donc du signe du coeicient de c est-à-dire positi su pour entre les rcines On peut ussi utiliser l représenttion grphique de l onction crré Résolvons dns l inéqution Conditions d eistence : On doit voir 0 ln ln ln () soit ( ou ) et ( 0 ) soit On résout donc l inéqution dns ; () ln ln 0 (le polynôme clcultrice) L ensemble des solutions de () est S ; dmet pour rcines et ; on peut utiliser un progrmme sur Ce système est un système non linéire de deu équtions à deu inconnues Conditions d eistence de solutions : On doit voir 0 et y 0 On résout donc le système dns y 0 ln y ln 5 y 0 ln y ln 5 y 0 y 5 On cherche deu réels et y connissnt leur somme (0) et leur produit (5) On sit donc que et y sont solutions de l éqution X 0X 5 0 (E) En eet, si deu nombres ont pour somme S et pour produit P, lors ils sont solutions de l éqution du second degré X SX P 0 Autre çon : 6 Le discriminnt de (E) est égl à Les solutions de (E) sont X 5 et X 5 L ensemble des solutions du système est 5, 5 ; 5, 5 S Rppel : Soit et y deu nombres de somme S et de produit P et y sont solutions de l éqution du second degré X SX P 0 On urit pu observer dès le début que ce système est «symétrique» : si ( ; y) est solution, lors (y ; ) est ussi solution d où l répercussion dns l ensemble des solutions

13 On utilise le logrithme népérien ; les entiers nturels cherchés sont les entiers nturels supérieurs ou égu à 66 n Déterminons pr le clcul les entiers nturels n tels que 0,9 0 () : ln C : courbe représenttive de dns un repère O, i, j du pln ) Déterminons l éqution réduite de l tngente T à C u point d bscisse ( 0 ) On utilise l onction logrithme népérien () ln 0,9 n ln n ln (0,9) ln 0 n ln0 ln 0,9 0 (cr l onction ln est strictement croissnte sur ]0 ; + [) (en eet, 0,9 donc ln 0,9 0 ) ln0 D près l clcultrice, on : 65,56 ln 0,9 Or n donc () n 66 (cr le plus petit entier nturel supérieur ou égl à Remrque : n Le plus petit entier nturel n tel que 0,9 0 est 66 ln0 ln 0,9 est 66) T pour éqution y ' soit y ln ou encore y ln ) Déterminons l bscisse du point A de C en lequel l tngente psse pr le point B(0, ) B B T si et seulement si yb ln si et seulement si 0 ln si et seulement si ln si et seulement si e T psse pr B il ut et il suit que soit égl à e On peut prticulriser et y pour un point de l droite (il ut bien évidemment que ce soit le même point) ya ln e Le point A pprtient à l courbe C donc L énoncé demndit de résoudre l eercice pr le clcul A e, Sinon, on urit pu le résoudre vec l clcultrice : - soit pr essis successis près voir déini pr l suite de terme générl 0,9 n ; - soit pr l progrmmtion (progrmme clssique de détermintion de vleur seuil vec un «While») B j O i A C 5 ) T : y ln ) On peut ussi utiliser le it que A pprtient à T Pr contre, utiliser le it que A pprtient à l ois à C et à T en écrivnt l éqution conduit à rien du tout ln ln e e ne

14 À prtir de cet eercice, voir le corrigé détillée beucoup plus loin 6 ) D ) On rencontre une orme indéterminée du type : " " ) Le but de cette question est lever l indétermintion Il s git d une «ctoristion orcée» lim 7 ) D ) On rencontre une FI du type " " lim ) L technique du chngement de vrible est possible mis à éviter pour l instnt 8 ) D \ ) On rencontre une FI du type " " e ) lim 5 0 ; ; 9 ) D Il y trois bornes pour l ensemble de déinition : 0,, + On étudie l limite de en 0 (uniquement à droite cr l onction est n est ps déinie pour des vleurs de inérieures à 0), l limite de en pr vleurs supérieures et inérieures (à guche et à droite) 0 Reconnissnce d symptote oblique ln : Démontrons que C dmet une symptote oblique en + On observe l orme de l epression de l onction ln prtie ine prtie qui tend vers 0 qund + (limite de réérence) On observe que cette epression est constituée d une prtie ine et d une prtie qui tend vers 0 Pour démontrer que l courbe dmet une symptote oblique, on eectue un clcul de limite ln lim lim 0 (limite de réérence) donc on en déduit que C dmet l droite d éqution y pour symptote oblique en + (précision qu il ne ut ps oublier de donner) Étudions l position de C pr rpport à dns un tbleu ) lim 0 ; lim 0 ; 0 lim ; lim On pose g ln g( ) 0 + Signe de ln + 0 Signe de ln Signe de + 0 C est strict u-dessus de C est strict u-dessous de Position de C C et sont pr rpport à sécntes u point d bscisse 0 ; g 0 soit 0 donc ; g 0 soit 0 donc

15 Donc : - C est strictement u-dessous de pour ; - C est strictement u-dessus de pour 0 ; - C et sont sécntes u point d bscisse Ou mieu : - C est strictement u-dessous de sur l intervlle ; - C est strictement u-dessus de sur l intervlle 0 ; - C et sont sécntes u point d bscisse Le crctère «symptote» de ne concerne que le voisinge de + Rien n empêche cependnt d étudier l position de C pr rpport à sur le domine tout entier Vériions sur l clcultrice grphique On vériie vec l clcultrice grphique \ e ' : ln( ) ln ln ln ln ln ln ln ) Déterminons l ensemble de déinition D de eiste si et seulement si 0 si et seulement si D ; : ln ln (on observer que n est ps une onction rtionnelle) ) Déterminer l ensemble de déinition D de ln 0 eiste si et seulement si 0 ln si et seulement si 0 D \ e e si et seulement si 0 ) Justiions que est dérivble sur D et clculer '( ) est dérivble sur D cr c est le quotient de deu onctions dérivbles sur D, l onction igurnt u dénominteur ne s nnulnt ps sur D ) Justiions que est dérivble sur D et clculons '( ) est l composée d une onction ine (non nulle) suivie de l onction logrithme népérien donc est dérivble sur D ; '( ) (ormule du cours donnnt l dérivée de ln( + b) ou dérivée de ln u où u est u ' une onction : ln u ' ) u D ; lim ; lim 0 0 D ; lim lim 0 0 (FI du type ; il ut ire une réécriture : ln ) lim ln 0 ) ; (FI du type «0» : écrire ln et on utilise (ps de problème ; limite d un produit) 5 D ire chque limite ; il ut détiller l même réécriture) lim ln 0 lim 0 0 ln lim 0 donc pr limite d un quotient lim 0 0 (écrire : qui n est ps une limite de réérence) ; lim ln lim 0 ln et (on utilise

16 6 D ; écrire (on utilise l limite de réérence lim 0 0 ln ) lim ln 0 0 ) ; lim (FI du type ; Rédction pour les ensembles de déinition : présenttion à l ide d une chîne d équivlences «eiste si et seulement si et ps! si et seulement si si et seulement si» 6 : ln ) Ensemble de déinition L onction est l composée d une onction rtionnelle suivie de l onction logrithme népérien types de problèmes : - le quotient doit eister ; - le quotient doit être strictement positi 0 eiste si et seulement si (l ccolde signiie «et») 0 On dresse un tbleu de signes pour résoudre l inéqution 0 Ne ps conondre CE (conditions d eistence) pour les équtions et les inéqutions et ensemble de déinition d une onction Eercices 6 et 7 : Pour étudier l ensemble de déinition, on est obligé d nlyser les types de problèmes qui se posent Tbleu de signes : je demnde qu ils soient its à l règle (ps à min levée!) SGN de 0 num + SGN de + 0 déno + + SGN de ) Pour quels de D peut-on écrire ln ln + 0 num + ()? + L églité ln ln lnb est vlble pour > 0 et b > 0 b 0 L églité () est vlble pour tout réel tel que c est-à-dire soit inlement 0

17 Eercices 8 et 9 : Pour les ensembles de déinition, on étudie les types de problèmes qui se posent On dns le cours que ln ne peut s eprimer à l ide des symboles lgébriques usuels ; une onction vec un (ou plusieurs) ln n est ps une onction rtionnelle «Une onction est dérivble sur D» signiie qu il eiste une onction dérivée sur D Il n eiste qu une onction logrithme népérien ; dire «est dérivble comme onction logrithme népérien» est u On utilise les règles sur les sommes, produits, quotients de onctions dérivbles Solution détillée du 8 : ln ) Ensemble de déinition Il y deu types de problèmes : - le ln doit eister ; - le doit être non nul 0 eiste si et seulement si 0 si et seulement si 0 D ) Dérivbilité et dérivée (rppel : l ccolde signiie «et») n est ps une onction rtionnelle (quotient de deu onctions polynômes) Pour justiier l dérivbilité, on est donc obligé d utiliser les règles sur les opértions de onctions dérivbles Ceci est propre à l Terminle cr l pluprt des onctions étudiées en ère étient des onctions polynômes ou rtionnelles (à prt, quelques onctions trigonométriques) Considérons les onctions u et v déinies pr u ln et v L onction u est dérivble sur ]0 ; +[ (premières lignes du cours sur l onction logrithme népérien : «l onction logrithme népérien est dérivble sur ]0 ; +[) L onction v est dérivble sur donc pr restriction sur ]0 ; +[ et ne s nnule ps sur cet intervlle ln ln ' Solution détillée du 9 : ln ) Ensemble de déinition Il y deu types de problèmes : - le ln doit eister ; - le + doit être non nul 0 eiste si et seulement si 0 0 si et seulement si si et seulement si 0 D ) Dérivbilité et dérivée Considérons les onctions u et v déinies pr u ln et v L onction u est dérivble sur ]0 ; +[ L onction v est dérivble sur donc pr restriction sur ]0 ; +[ et ne s nnule ps sur cet intervlle u v D près l règle sur les quotients de onctions dérivbles sur un intervlle, est dérivble sur ]0 ; + [ u ' v uv ' On pplique l ormule ' v ' ln ln ln ln ln u v D près l règle sur les quotients de onctions dérivbles sur un intervlle, est dérivble sur ]0 ; +[ Version courte pour justiier l dérivbilité : est dérivble sur ]0 ; + [ comme quotient de onctions dérivbles sur ]0 ; +[ (celle du dénominteur ne s nnulnt ps sur cet intervlle) u ' v uv ' On pplique l ormule ' v

18 6 ) D ) On rencontre une orme indéterminée du type : " " ) : ln + (on observer que n est ps une onction polynôme) On cherche l limite de en + ) Déterminons l ensemble de déinition D de D ) Identiions l orme indéterminée que l on rencontre lim lim donc on rencontre une orme indéterminée du type : " " lim ln ) Démontrons que pour tout ln ln Déduisons-en lim ( ), on : ln (ctoristion orcée) lim ln ln lim 0 (provient de l limite de réérence lim 0 donc pr limite d une somme lim 0 ln lim lim ln lim donc pr limite d un produit lim