1 ère S Valeur absolue (2)

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1 1 èe S Valeu absolue () Objectif : epende la notion de valeu absolue mais sous un aspect algébique. I. Epession de la valeu absolue d un éel suivant son signe 1 ) Démonstation est un éel quelconque. 1 e cas : 0 valeu absolue de = Eemple : e cas : 0 valeu absolue de = Eemple : ) Règle = ) Eecice d 0, 0 d 0, 0 Ecie sans bae de valeu absolue A 0 ca Donc A. B 1 si ca 1 si 0 ègle qui pemet d enleve les baes de valeu absolue II. Epession de la distance de deu éels à l aide de la valeu absolue 1 ) Règle La distance ente deu éels a et b est donnée pa la fomule d a ; b a b. ) Démonstation 1 e cas : a b d a, b a b a b a b e cas : a b d a, b b a a b a b b a Conclusion : dans les deu cas, on a : d a ; b a b ) Eemples d(1 ; ) = 1 d( ; ) = d( ; 1) = + 1 III. Résolutions d équations et d inéquations avec des valeus absolues en utilisant un ae 1 ) Eemple 1 Résoude l équation = (1). (1) signifie que la distance ente et est égale à. Donc B 1 B 1 B 1 d(0 ; ) = 1 5 L ensemble des solutions de (1) est S 1 = {1 ; 5}. 1

2 ) Eemple Résoude l inéquation 5 (). () signifie que la distance ente et 5 est inféieue ou égale à. L ensemble des solutions de () est S = [ ; 8]. ) Eemple Résoude l inéquation + 1 > 4 (). (5 ) 5 8 (5 +) () signifie que la distance ente et 1 est stictement supéieue à L ensemble des solutions de () est S IV. Valeu absolue et acine caée 1 ) Démonstation ; 5 ;. 4 ) Rappel Pou tout éel 0 V. Popiétés algébiques de la valeu absolue 1 ) Valeu absolue d un poduit Règle Pou tous éels et y, on a : y = y. La valeu absolue d un poduit est égale au poduit des valeus absolues. Démonstation y = y y y y. ) Valeu absolue d un quotient Règle Pou tous éels et y (y 0), on a : y. y La valeu absolue d un quotient est égale au quotient des valeus absolues. ) Règle si 0 si 0 Démonstation y = y y y y y Pou tout éel, Cas paticulie Pou tout 0, on a : 1 1. ) Eemples

3 ) Valeu absolue d une somme (inégalité tiangulaie) Règle Pou tous éels et y, on a : y y. La valeu absolue d une somme est inféieue ou égale à la somme des valeus absolues. Démonstation Pincipe : les deu membes de l inégalité sont positifs ou nuls ; pou les compae, il suffit de compae leus caés. y y y y y y y y y y y On a : y y (tout nombe est inféieu ou égal à sa valeu absolue). Donc y y. Pa suite, y y y y. On a donc y y. Pa suite, y y. En généal, la valeu absolue d une somme n est pas égale à la somme des valeus absolues. Eemple : = 5 et y = y 5 y Les deu ésultats sont difféents. VI. Valeu absolue et intevalle 1 ) Cente et ayon d un intevalle [a ; b] a b Définitions a b Cente de cet intevalle : c Longueu de cet intevalle : b a (difféence ente la bone supéieue et la bone inféieue) b a Rayon d un intevalle : Eemple : [1 ; 7] Cente : 4 Longueu : 6 Rayon : [a ; b] équivaut à a b b a ) Lien ente intevalle et valeu absolue a a b b b a b a a a a + appatient à l intevalle de cente a et de ayon ( >0) équivaut à a On etient : a équivaut à a a Eemple : équivaut à équivaut à 5 5 6

4 VII. Distance de deu points su un ae 1 ) Epession est un ae de epèe (O, I). Soit A et B deu points de d abscisses espectives a et b. O I A B a b La distance AB est égale à la distance des éels a et b. AB = b a ) Illustation gaphique de l inégalité tiangulaie et y sont deu éels quelconques. b a ) Eecices a),155 est une valeu appochée de à Encade.,155 0, 04,155 0,04,151, pès. b) On sait que,64,68. Si l on pend comme valeu appochée de le nombe,66, quelle est alos la pécision?, 66 0,0, 66 0, 0 Donc,66 est une valeu appochée de à,64,66,68 0,0 0,0 10. ) Attention à ne pas confonde valeu eacte et valeu appochée A B O I y AB AO OB (inégalité tiangulaie pou les points) y y y y VIII. Valeu appochée 1 ) Définition est un éel donné. Eemple : ABC est un tiangle ectangle en A tel que AB = et AC = 1. Le théoème de Pythagoe donne BC 10. Gâce à la calculatice, on touve : 10, est la valeu eacte de BC., est une valeu appochée de BC à 10 1 pès. IX. Valeu aondie 1 ) Eemple On dit qu un nombe a est une valeu appochée de à la pécision pou epime que la distance ente et a est inféieue ou égale à. d(, a) soit a ou encoe a a +. a a a + =, à 1 décimale,1 à décimales,14 à décimales,14 à 4 décimales,1416 valeu aondie de 7 8

5 ) Règle Pou aondi un nombe à la e décimale, on egade la 4 e décimale : Si la 4 e décimale est 0, 1,, ou 4, alos on gade la e décimale. Si la 4 e décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9, alos on augmente de 1 la e décimale. ) Remaque Pou 1, cetaines calculatices affichent 0, C est une valeu aondie. On ne peut jamais ête sû que la denièe décimale soit juste. On écia : 1 0, On utilise le signe d égalité avec tois petits points qui signifient que toues les décimales sont eactes mais qu il y a d autes décimales qui ne sont pas écites. On peut aussi écie 1 0, (valeu aondie à 9 10 ). X. Valeus décimales appochées pa ecès et pa défaut Eemple pa défaut valeu décimale appochée de pa ecès 1 à 10 pès,1,1,, à 10 pès,14,14,15,15 à 10 pès,141,141,14,14 9