Kit de survie - Bac ES

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1 Kit de survie - Bc ES. Étude du signe d une expression ) Signe de x + Ü Ü ½ Ò µ¼ Ò ½ 0) On détermine l vleur de x qui nnule x +, puis on pplique l règle : «signe de près le 0». ) Signe de x + x + c ܾ Ü Ü ½ 0) Ò ½ On clcule l discriminnt = c suf cs évidents) Si < 0, on pplique l règle : «toujours du signe de». ܾ Ü Ü Si = 0, on clcule l rcine doule : x ½ Ò ¼ Ò Ü½ ½ =. On pplique lors l règle : «toujours du signe de et s nnule pour x = x». ܾ Ü Ü ½ Ò ¼ Ò Si > 0, on clcule les deux rcines : x ܽ = et x µ¼ Ò Ü¾ ½ = +. On pplique lors l règle : «signe de à l extérieur des rcines». on suppose que x < x ) c) tilistion des vritions d une fonction pour déterminer son signe Les cs les plus clssiques : minimum positif) mximum négtif) f croissnte) f décroissnte) TES P.Brchet - /

2 d) Pour les utres expressions : Pour étudier le signe d une expression Ax) qui n est ps du premier, ni du second degré et près voir fctorisé u mximum) sur un intervlle I, on résout l inéqution Ax) 0 on cherche ce qui nnule l expression et où mettre les) signes) +). Étude du signe de ln x) sur I = ]0; + [. ln x 0 ln x lne ) x e x. On en conclut que l expression s nnule pour x = e et qu il fut mettre le signe + pour 0 < x < e : x 0 e ln x + +. Dérivtion Dérivées des fonctions usuelles : fx) = f x) = 0 fx) = x + f x) = fx) = x f x) = fx) = x f x) = x fx) = x f x) = x fx) = x f x) = x fx) = x f x) = x fx) = x f x) = x fx) = x f x) = x Opértions sur les fonctions dérivles : Fonction Fonction dérivée Fonction Fonction dérivée f + g f + g f f f k f k réel) k f f f g f g + f g f g. Tngente f f f g f g Si f est dérivle en lors une éqution de l tngente à C f u point d scisse est : y = f) + f )x ) Pour déterminer les scisses des éventuels points de C f où l tngente est prllèle à une certine droite d éqution y = mx + p, il suffit de résoudre l éqution f x) = m. les coefficients directeurs devnt être égux). Éqution fx) = k Si f est continue et strictement croissnte ou strictement décroissnte sur un intervlle I et si k est compris entre les vleurs de f ux ornes de I lors l éqution fx) = k dmet une unique solution x 0 dns I. Pour déterminer une vleur pprochée de x 0, on utilise l méthode du «lyge». l fonction f définie pr fx) = x + ln x est continue et strictement croissnte sur I = [,] cr f est dérivle et f x) = + > 0 sur I. De plus est compris entre f) = et f),7. On peut donc en x conclure que l éqution fx) = dmet une unique solution x 0 dns [,]. Pour déterminer une vleur pprochée de x 0 à 0 près, on lye l intervlle vec un ps de 0, : x,,,,,5,6,7,8,9 fx),9,8,56,7,90,07 On rrêté les clculs près,6 cr été «frnchi»pr fx). En effet, d près le tleu, f,5) < < f,6). On peut donc en déduire que :,5 < x 0 <,6. Conclusion :,5 est une vleur pprochée de x 0 pr défut à 0 près.,6 est une vleur pprochée de x 0 pr excès à 0 près. g TES P.Brchet - /

3 5. Convexité Définition Étnt donné une fonction f dérivle sur un intervlle I. f est dite convexe sur I si s coure représenttive est entièrement située u dessus de chcune de ses tngentes. f est dite concve sur I si s coure représenttive est entièrement située en dessous de chcune de ses tngentes. Étnt donné une fonction f deux fois dérivle sur un intervlle ]; [. Si, pour tout x de ]; [, f x) 0 lors f est convexe sur ]; [. Si, pour tout x de ]; [, f x) 0 lors f est concve sur ]; [. Si f x) s nnule en chngent de signe en un point x 0 de ]; [ lors l coure de f dmet un point d inflexion en x 0 l coure trverse l tngente en ce point). 6. Logrithme ) s ln x n existe que si x > 0 Si > 0 et > 0 : ln) = ln + ln ; ln ln e = ; ln = 0 ; lne n ) = n n entier) ) ) = ln ; ln = ln ln ; ln α ) = α ln ; ln = ln Signe du logrithme : ln x < 0 si 0 < x < ; ln x > 0 si x > ln = ln = ; ln < ln < ; ln ln Pour les équtions et inéqutions vec logrithme, ne ps oulier de commencer pr définir les conditions d existence les expressions contenues dns un logrithme doivent être strictement positives). Exemples d équtions et d inéqutions : ln x + ln = 5. Condition d existence : x > 0. { } Avec cette condition : ln x + ln = 5 ln x) = 5 ln x) = lne 5 ) x = e 5 x = e5 e 5. S = ln x + ). Condition d existence : x + > 0 x >. Avec cette condition : ln x + ) ln x + ) ln e x + e x e. S = ] ; e ] ) Dérivées ln x) = x ; ln u) = u u u > 0) 7. Exponentielle ) s lnx + 5x + ) ) = x + 5 x + 5x + y = e x ln y = x ; ln e x ) = x ; e ln x = x pour x > 0) Pour tout x, e x > 0 ; e 0 = ; e = e Pour tous réels et : e e = e + ; e = e ; e = e = ; e < e < ; e e e e = e e ) = e TES P.Brchet - /

4 Exemples d équtions et d inéqutions : e x e x = 0 X X = 0 vec X = e x. = 6 ; X = ou X =. D où, e x = impossile) ou e x = x = ln. S = {ln } e x < 5e x e x < 5 e x ex < 5 cr e x > 0) x < ln 5 x < ln 5. S = ) Dérivées e x ) = e x ; e u ) = u e u Exemples : e x ) = e x ; 8. Puissnces e x +) = x e x + Pour tous réels et vec > 0 : = e ln ; ln = ln Pour tout réel > 0 et pour tout entier n > : n = n ; n ) n = Exemples : x = 5 ln x ) = ln 5 x ln = ln 5 x = ln 5 ln Pour tout x, x ) = e x ln ) = ln e x ln = ln x. 9. Primitives ] ; ln 5 F est une primitive de f sur un intervlle I si F est dérivle sur I et si pour tout x de I, F x) = fx). Si F 0 est une primitive de f sur intervlle I lors toutes les primitives de f sur I sont de l forme F x) = F 0 x) + C où C est une constnte réelle. Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Primitives des fonctions usuelles : F représente une primitive de f) [. fx) = F x) = x fx) = x F x) = x fx) = F x) = ln x x fx) fx) = x F x) = x fx) = x F x) = x = x F x) = x fx) = x F x) = x fx) = x F x) = x fx) = e x F x) = e x Formules générles : forme de f une primitive de f exemples x) 0)) x) 0)) fx) = x ln x F x) = ln x) fx) = x + ) F x) = x + ) fx) = xx + ) F x) = x + ) fx) = x x F x) = + ) x + 7 fx) = 7x + ) F x) = 7x + ) x) > 0) fx) = F x) = x + x + e e fx) = e x+5 F x) = e x+5 TES P.Brchet - /

5 Recherche prtique d une primitive : Pour les fonctions usuelles, on utilise directement les formules. Pour utres fonctions, il fut d ord identifier l forme qui ressemle le plus à l fonction. Si on l forme excte, on utilise directement l formule correspondnte. Dns le cs contrire, on écrit l forme excte qu il fudrit pour l fonction f et on rectifie en multiplint pr le coefficient déqut. Soit f définie pr fx) = e x+. On pense à l forme e dont une primitive est e ). On écrit que fx) = ex+ } {{ } forme excte 0. Clcul intégrl Soit f une fonction continue sur un intervlle I : Pour tous et de I, ne primitive de f est donc F définie pr F x) = ex+. fx) dx = [F x)] = F ) F ) où F est une primitive de f sur I. e ln x dx = x [ ln x) ] e = ln e) ln ) =. s de l intégrle : Pour f et g continues sur un intervlle I et pour, et c de I : fx) dx = fx) dx. c c fx) dx + fx) dx = fx) dx Reltion de Chsles) f + g)x) dx = fx) dx + gx) dx linérité de l intégrle) Pour tout réel k, kf)x) dx = k Si et si fx) 0 sur [,] lors Si et si fx) 0 sur [,] lors Si et si fx) gx) sur [,] lors fx) dx linérité de l intégrle) fx) dx 0 fx) dx 0 fx) dx gx) dx Vleur moyenne d une fonction sur un intervlle Si f est continue sur [,], l vleur moyenne de f sur [,] est égle à fx) dx Clculs d ires f et g sont deux fonctions continues sur [,]. Si pour tout x [,], fx) gx) lors l ire de l prtie du pln comprise entre les coures de f et g et les droites d éqution x = et x = est égle à gx) fx) dx en unités d ire. «intégrle de l plus grnde moins l plus petite» ) Si pour tout x [,], fx) 0 lors l ire de l prtie du pln comprise entre l coure de f, l xe des scisses et les droites d éqution x = et x = est égle à fx) dx en unités d ire. Si pour tout x [,], fx) 0 lors l ire de l prtie du pln comprise entre l coure de f, l xe des scisses et les droites d éqution x = et x = est égle à fx) dx en unités d ire. TES P.Brchet - 5/

6 Remrques : Pour voir l ire en cm, il fut multiplier le résultt en unités d ire pr : l vleur en cm d une unité sur l xe des scisses) l vleur en cm d une unité sur l xe des ordonnées). Pour déterminer l ire entre deux coures, il fut d ord étudier leur position reltive sur l intervlle en question.. Proilités ) Générlités Lors d une expérience létoire : L univers Ω est l ensemle des résultts possiles. n événement A est une prtie de l univers. n événement élémentire est un événement ne comportnt qu un seul élément. L événement contrire de l événement A est l événement noté A formé de tous les éléments de Ω n pprtennt ps à A. L événement A B noté ussi «A et B» ) est l événement formé des éléments de Ω pprtennt à A et à B. L événement A B noté ussi «A ou B» ) est l événement formé des éléments de Ω pprtennt u moins à l un des événements A ou B. Deux événements A et B sont dits incomptiles si A B =. Si Ω = {e,e,,e n } et si à chque résultt possile e i on ssocie un nomre pe i ) tel que 0 pe i ) et pe ) + pe ) + + pe n ) =, on dit que l on défini une loi de proilité sur Ω. L proilité d un événement est l somme des proilités des événements élémentires qui le constituent. Pour tous événements A et B : p ) = 0 ; p Ω) = 0 pa) ; p A ) = pa) ; pa B) = pa) + pb) pa B) si A et B sont incomptiles, pa B) = pa) + pb)) Dns le cs de l équiproilité, pa) = n d éléments de A n de cs fvorles n d = éléments de Ω n de cs possiles Tirge u hsrd d une crte dns un jeu de crtes vec les événements : pl crte tirée est un roi ) = = pl crte tirée est un coeur ) = 8 8 = pl crte tirée est un roi et un cœur ) = pl crte tirée est un roi ou un cœur ) = 8 + = ) Proilités conditionnelles Définition Etnt donné deux événements A et B B ) d un univers Ω : On ppelle proilité de B schnt A, le réel noté p A B) tel que p A B) = pa B) pa) Pour tous événements non vides ) A et B : 0 p A B) ; p A B = pa B) n de cs fvorles pour A B Dns le cs de l équiproilité, p A B) = n de cs fvorles pour A pa B) = pa) p A B) = pb) p B A) Formule des proilités totles Si A, A,, A n sont des événements non vides deux à deux incomptiles et dont l union est égle à Ω on dit lors qu ils forment une prtition de l univers) lors pour tout événement B : pb) = p A B) + + p A n B) = pa ) p A B) + + pa n ) p An B) TES P.Brchet - 6/

7 Représenttion à l ide d un rre pondéré pa) x p B) A p B) B A = pa B) pa) pa) A A p B) A p B) A p B) A B B B pa B) + pa B) + pa B) = pb) pa) A p B) A B p B) A B somme égle à Règles de construction et d utilistion des rres pondérés : Sur les premières rnches, on inscrit les p A i ). Sur les rnches du type A i B, on inscrit p Ai B). Le produit des proilités inscrites sur chque rnche d un chemin donne l proilité de l intersection des événements plcés sur ce chemin. L somme des proilités inscrites sur les rnches issues d un même nœud est égle à loi des nœuds). L proilité d un événement E est l somme des proilités des chemins qui outissent à E. n sc contient des jetons de trois couleurs, l moitié de lncs, le tiers de verts et le sixième de junes. 50% des jetons lncs, 0% des jetons verts et 0% des jetons junes sont ronds. Tous les utres jetons sont crrés. On tire u hsrd un jeton. ) Construction de l rre : 0,5 rond 6 B V J 0,5 0, 0,7 0, 0,6 crré rond crré rond crré ) Schnt que le jeton tiré est lnc, quelle est l proilité pour qu il soit crré? L lecture directe de l rre nous donne que p B C) = 0,5. c) Quelle est l proilité pour que le jeton tiré soit rond? pr) = 0,5 + 0, + 6 0, = 5. d) Schnt qu il est rond, quelle est l proilité pour qu il soit lnc? pb R) p R B) = = 0,5 pr) 5 = 5. c) Indépendnce en proilité Définition Deux événements A et B sont dits indépendnts si pa B) = pa) pb). Ce qui revient à dire que p A B) = pb) ou p B A) = pa) TES P.Brchet - 7/

8 d) Loi numérique ssociée à une expérience létoire On considère une expérience létoire où à chque résultt possile on peut ssocier un réel X. On note x i les vleurs possiles de X et p i l proilité que X prenne l vleur x i. Définir l loi de proilité de X, c est donner sous forme d un tleu) l proilité de chcun des événements X = x i. Espérnce mthémtique de X : EX) = n p i x i = p x + + p n x n i= n ) Vrince de X : V X) = p i x i ) Ex)) = p x ) + + p n x n ) Ex)) i= Écrt-type de X : σx) = V x) On lnce un dé. Le joueur ggne 6 euros s il otient un ou un «6» et il perd euros dns le cs contrire. Soit X le gin du joueur. Loi de proilité de X : X ne peut prendre que les vleurs - et 6. On px = ) = 6 = et px = 6) = 6 = x i - 6 p i l somme doit être égle à ) EX) = ) + 6 = ; V X) = ) + 6) e) Loi inomile ) = et σx) = 9 = 8 Définition On ppelle épreuve de Bernoulli toute expérience létoire ne présentnt que deux issues possiles contrires l une de l utre). On ppelle schém de Bernoulli toute répétition d épreuves de Bernoulli identiques et indépendntes. Lncer un dé vec pour issues contrires «otenir un 6» et «ne ps otenir un 6» est une épreuve de Bernoulli. Lncer le dé 0 fois est un schém de Bernoulli on répète l épreuve de Bernoulli). Pr contre, si on s intéresse ensemle ux six événements «otenir le chiffre n«n 6), ce n est plus une épreuve de Bernoulli. Remrques : Les deux issues contrires d une épreuve de Bernoulli se note en générl S pour «succès«) et S. L proilité que S soit rélisé est noté en générl p l proilité de S est lors p)). Pour s ssurer que l on ien ffire à un schém de Bernoulli, il fut vérifier que chque expérience prise isolément n dmet que deux issues possiles contrires l une de l utre), que le «succès«toujours l même proilité d pprître et qu il y ien indépendnce entre chcune des épreuves de Bernoulli successives. p p n S S épreuves p p p p S S S S Étnt donné une épreuve de Bernoulli où l proilité d otenir un succès S est p et le schém de Bernoulli consistnt à répéter n fois de mnière indépendnte cette épreuve. Si note X l vrile létoire qui à chque issue possile du schém de Bernoulli ssocie le nomre de fois où est ppru un succès S, l loi de proilité de X est ppelée loi inomile de prmètres n et p et est notée Bn,p). Proilité d otenir k succès : px = k) = n k ) pk p) n k k entier tel que : 0 k n) Espérnce de X : EX) = np Si on lnce 7 fois de suite un dé et si on note X le nomre de 6 otenus, on répète 7 fois l épreuve de Bernoulli : «otenir un 6 proilité : ) - ne ps otenir un 6». 6 X suit donc l loi inomile de prmètres n = 7 et p = 6. L proilité d otenir exctement trois fois un «6» est égle à : 7 ) 6) 5 6). TES P.Brchet - 8/

9 L proilité de n otenir que des «6» est égle à : ) 7 ) 6 7 L proilité de n otenir ucun «6» est égle à : 5 6 L espérnce de X nomre moyen de «6» que l on peut espérer otenir en répétnt un grnd nomre de fois l expérience létoire) est égle à np = 7 6. f) Loi uniforme Définition On dit qu une vrile létoire X suit l loi uniforme sur [ ; ] lorsque pour tout intervlle I, inclus dns [ ; ], l proilité de l événement «X pprtient à I» est égle à l ire du rectngle de se I et de huteur. On peut considérer que p X I) = x I I dx. «ire sous l coure») Si une vrile létoire X suit l loi uniforme sur [ ; ] lors pour tous réels α et β inclus dns [ ; ], on : p α X β) = β α α β p X α) = p X α) = α α p X β) = p β X ) = β β p X = α) = 0 on les mêmes résultts vec des inéglités strictes) Si une vrile létoire X suit l loi uniforme sur [ ; ] lors l espérnce de X est égle à +. g) Loi normle Définition On dit qu une vrile létoire X suit l loi normle d espérnce µ et d écrt-type σ lorsque pour tout intervlle I l proilité de l événement «X pprtient à I» est égle à l ire sous l coure sur I de l fonction f définie pr fx) = σ π e 0,5 fx) x µ σ ) α I TES P.Brchet - 9/

10 Remrque : L ire totle sous l coure est égle à on dit que f est une densité de proilité) et l coure est symétrique pr rpport à l espérnce µ. On donc l sitution suivnte : Aire=0,5 µ p X µ) = 0,5 p X µ) = 0,5 Si une vrile létoire X suit l loi normle d espérnce µ et d écrt-type σ lors pour tous réels α et β, on : p α X β) = TI : DISTR nd+vars) ; normlcdf α,β,µ,σ) CASIO : Menu STAT ; DIST ; NORM ; NCD vec Lower : α ; pper : β ; σ : σ ; µ : µ p X α) = TI : normlcdf 0 99,α,µ,σ) CASIO : NCD vec Lower : 0 99 ; pper : α ; σ : σ ; µ : µ α β p X β) = TI : normlcdf β,0 99,µ,σ) CASIO : NCD vec Lower : β ; pper : 0 99 ; σ : σ ; µ : µ clcultrice α Vleurs remrqules : p µ σ < X < µ + σ) = 0,68 ; p µ σ < X < µ + σ) = 0,95 ; p µ σ < X < µ + σ) = 0,997 pour tester s clcultrice) Si X suit l loi normle d espérnce µ = 58 et d écrt-type σ = 6, on doit voir : p 5 X 6) 0,68689 ; p X 55) 0,0858 ; p X 6) 0,59 Le dimètre X des rres métlliques sortnt d un telier suit l loi normle d espérnce mm le dimètre ttendu) et d écrt-type 0,08 mm. n client refuse d cheter des tues dont le dimètre ne serit ps compris entre,9 mm et, mm. On cherche à déterminer le pourcentge de tues cceptés pr le client. p,9 X,) 0,888, donc 88,8% des tues sont cceptés pr le client. ne vrile létoire suivnt une loi normle est telle que p X < ) = 0,067 et p X < ) = 0,59. On peut en déduire que p X > ) = p X ) = 0,9 et p < X < ) = p X < ) p X < ) = 0,09.. Échntillonnge ) Intervlle de fluctution à 95% Étnt donné une popultion dns lquelle l proportion connue d un certin crctère est p. Si on prélève, vec remise, un échntillon de tille n dns cette popultion lors il y 95% de chnce dns certines conditions) que l proportion f du crctère u sein de cet échntillon pprtienne à l intervlle : [ ] p p) p p) p,96 ; p +,96 n n Cet intervlle est ppelé intervlle de fluctution à 95% de l échntillon ssocié à l proportion p. β TES P.Brchet - 0/

11 ) Prise de décision à prtir d un intervlle de fluctution Étnt donné une popultion dns lquelle on suppose que l proportion d un certin crctère est p. Si on prélève, vec remise, un échntillon de tille n dns cette popultion et si l fréquence réelle oservée f du crctère dns cet échntillon est comprise dns l intervlle de fluctution lors on dit qu on ccepte u seuil de 95% l hypothèse que l proportion réelle du crctère dns l popultion est ien p dns le cs contrire, on dit qu on rejette l hypothèse). n cndidt pense que 5% des électeurs lui sont fvorles. On prélève vec remise un échntillon de 500 électeurs : 7% des électeurs interrogés de cet échntillon se déclrent fvorle u cndidt en question. L intervlle de fluctution de l échntillon ssocié à l proportion de 5% est [0,76 ; 0,56] cr 0,5 0,8 0,5 0,8 0,5,96 0,76 et 0,5 +,96 0, ,7 étnt en dehors de l intervlle de fluctution, on peut rejeter u seuil de 95% l hypothèse du cndidt selon lquelle 5% des électeurs lui sont fvorles. c) Estimtion pr un intervlle de confince On cherche à connitre une estimtion de l proportion p inconnue d un certin crctère u sein d une popultion. Pour cel, on prélève vec remise un échntillon de tille n u sein de l popultion et on note f l proportion oservée du crctère u sein de l échntillon. Il y lors 95% de chnce dns certines conditions) que l proportion p du crctère u sein de l popultion totle soit comprise dns l intervlle : [ f ; f + ] n n Cet intervlle est ppelé intervlle de confince à 95% ssocié à l proportion f. n sondge rélisé sur un échntillon de 000 personnes ttriue à un cndidt un score de 8%. L intervlle de confince à 95% ssocié à cette proportion oservée de 8% dns l échntillon est [,8% ;,%] cr 0,8 0,8 et 0,8 + 0, Suites ) Suites rithmétiques On psse d un terme u terme suivnt en joutnt toujours le même nomre r ppelé rison de l suite. Pour tout n : n+ = n + r ; n = 0 + nr ; n = p + n p)r Si pour tout n, n+ n = constnte lors n ) est une suite rithmétique de rison égle à l constnte. Soit n ) l suite rithmétique de er terme 0 = et de rison r =. 0 = 0 + 0r = + 0 = ; = 0 + r = + = 0 Pour tout n, n = 0 + nr = + n. ) Suites géométriques On psse d un terme u terme suivnt en multiplint toujours pr le même nomre q ppelé rison de l suite. Pour tout n : n+ = q n ; n = q n 0 ; n = q n p p Si pour tout n, n+ n = constnte lors n ) est une suite géométrique de rison égle à l constnte. p + p+ + + n = p qn p+ de termes qn = er terme pour q ) q q Soit n ) l suite géométrique de er terme 0 = 5 et de rison =. = q 0 = 5 = 80 ; 0 = q 0 0 = 0 5 = 50 Pour tout n, n = q n 0 = 5 n = 5 9 = 555. ttention : le n de termes est égl à 9 ps à 8!) TES P.Brchet - /

12 c) Limite de q n vec q > 0 si 0 < q < lors lim n + qn = 0. si q > lors lim n + qn = +. si q = lors lim n + qn =. Exemples ): n lim = + cr >. n + lim n + ) n ) = cr 0 < <, donc lim ) n n + = 0 et lim n n + ) =. d) Suites rithmético-géométriques : n+ = n + Soit n ), l suite définie pr 0 = et n+ = n +. ) Représenter grphiquement les premiers termes de l suite. On trce d ord l droite d éqution y = x + et l droite d éqution y = x. On prt de 0 en scisse : l ordonnée du point de l coure correspondnt à cette scisse nous donne [) sur le grphique]. Pour déterminer = f ), il nous fut rttre sur l xe des scisses [) sur le grphique] en utilisnt l droite d éqution y = x. Dès lors, est l ordonnée du point de l coure d scisse [) sur le grphique]. Pour poursuivre l construction, on répète le procédé en rttnt sur l xe des scisses... y=x ) ) y= x + ) 0 0 ) Montrer que l suite V n ) définie pr V n = n est géométrique. Pour tout n, V n+ = n n+ V n n = + n = n n = n ) = n. V n ) est donc géométrique de rison q =. 0 c) En déduire l expression de V n, puis ) de n en fonction de n. n Pour tout n, V n = q n V 0 = cr V 0 = 0 = = ). ) n V n = n n = V n + = + d) Déterminer l limite de ) l suite n ). n lim n = lim + = cr 0 < n + n + < ). } {{ } 0 e) Déterminer l expression de S n = n en fonction de n. S n = V V V n + = V 0 + V + + V n + n + ). Or V n ) est géométrique, donc, V 0 +V + +V n = V 0 ) n+ = ) ) n+ D où, S n = + n + ). ) n+ = ) ) n+. TES P.Brchet - /

13 . Pourcentges Prendre x % d une grndeur revient à l multiplier pr 5 % de 60 = = x 00. L proportion en pourcentge d une prtie A pr rpport à un totl B est égle à : A B 00 en %). L proportion en pourcentge de 8 pr rpport à 0 est égle à 5%, cr = 5. Augmenter une grndeur de x % revient à l multiplier pr + x Diminuer une grndeur de x % revient à l multiplier pr x 00). 00). Exemples : - ugmenter une vleur de 0 % revient à l multiplier pr + 00) 0 =,. - le prix d un produit vlnt 5 euros près une isse de 6 % est égl à 00) 6 5 = 0,9 5 =, euros. - Diminuer une grndeur de 5 %, puis l ugmenter de 0 % revient à l multiplier pr : ) ) = 0,85, =,0. Rppel : les pourcentges ne s joutent ps lors d évolutions successives ) Remrque : Si on ugmente chque nnée une vleur de x %, on utilise une suite géométrique de rison + x Si on diminue chque nnée une vleur de x %, on utilise une suite géométrique de rison x Vrition d une grndeur en pourcentge = vleur finle vleur initile vleur initile 00. n produit pssnt de 6 à 7 euros suit une husse de,5%, cr =,5. TES P.Brchet - /

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