Fonctions vectorielles, arcs paramétrés

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1 Chapire Foncions vecorielles, arcs paramérés 0 Foncions réelles Eercice 0 Soi f : R R dérivable e elle que f ne s annule pas Prouver que f ne peu êre périodique Eercice 02 Monrer que si f es définie, dérivable sur R e T-périodique (T > 0) alors f es aussi T- périodique Eercice 0 Soi la foncion f définie par 2 sin f ()= si 0 0 si = 0 Monrer que f es dérivable sur R mais que f n adme pas de limie en 0 En déduire que si une foncion adme un DL(0,n) alors sa dérivée n adme pas forcémen un DL(0,n ) Eercice 04 Oral CCP PC Pour ]0, ], on défini : ϕ()= Calculer ϕ () e monrer que ϕ défini une bijecion de ]0,] vers [0,+ [ 2 On noe u la bijecion réciproque de ϕ (a) Monrer que : [0,+ [, (u()) + u() =0 (b) On adme que u es de classe C sur [0,+ [ Monrer que pour ou [0,+ [, u u() ()= (u()) 2 + (a) Monrer que u() + (b) Déerminer un équivalen en + de u() / 4 Déerminer la naure de + ( 0 u()) 2 d 5 Monrer que : (, y) (R + ) 2, u() u(y) y 6 Monrer que la suie définie par a n+ = u(a n ) e a 0 R es convergene Déerminer sa limie l Eercice 05 Mines 2005 Soi f C 2 (R,R) On suppose que f e f son bornées sur R On pose M 0 = sup f () e M 2 = sup f () R R Monrer que f es bornée sur R e que si M = sup R f () alors M 2 M 0 M 2 Eercice 06 Mines 995,2000,2002 pour, X 996 pour 2 Soien n N, a R e f une applicaion de classe C n sur [a,+ ] On suppose que f e f (n) son bornées sur R Monrer que oues les dérivées d ordre à n son elles-aussi bornées sur R 2 On suppose que Monrer que : lim f ()=l R e lim f (n) ()=0 + + i,n, lim f (i) )=0 +

2 Eercice 07 Monrer que la foncion f : [ [ 0, π 4 R ean (+ π 4 es dérivable au poin = 0 e calculer f (0) Eercice 08 Monrer que la foncion f : R R définie par e ( ) 2 sin e 2 si 0 f ()= 0 sinon ) ln(cos()) possède un développemen limié à ou ordre mais n es pas deu fois dérivable en 0 Eercice 09 TPE 2009, Mines 20 Soi f C 2 ([0,]) vérifian f (0)=0 On pose : n N, S n = n f k=0 ( k n 2 ) Uiliser la formule de Taylor avec rese inégral pour monrer que la suie (S n ) n N converge e déerminer sa limie Eercice 00 Cenrale 20 Soi f C (R) vérifian que f (0)= f (0)=0 e elle qu il eise a > 0 avec f (a)=0 On noe (C) la courbe représenaive de f Monrer qu il eise un poin de (C) aure que l origine en lequel la angene passe par l origine Eercice 0 ESPCI 2005 Soi f C (R) elle que f () l R La foncion f possède--elle une limie finie en + +? Eercice 02 CCP 2007 Trouver oues les foncions f coninues de R dans R qui s annulen en un poin au moins e qui vérifien l équaion (, y) R 2, f (+y)+ f ( y)=2f ()f (y) Indicaion 0 : Inroduire F une primiive de f e prouver l égalié (a,b,, y) R, F(b+y)+F(b y) F(a+y) F(a y)=2f (y)(f(b) F(a)) En déduire alors que f es soluion d une équaion différenielle d ordre 2 e discuer Eercice 0 X 995, ENGEES 200 Soi f : R + R coninue elle que : Monrer que f es la foncion nulle a R +, R +, 0 f () a 0 f ()d Eercice 04 TPE 2005 n Soi n N sin(p) e soi f n : On cherche la plus peie valeur n R + elle que f n p= aeigne un maimum local en n Calculer n p 2 Calculer lim f n( n ) (On donnera la réponse sous forme d inégrale) n + Eercice 05 Mines 200 Soi f de classe C 2 sur [a,b] On suppose que f (a)= f (b)=0 e on pose M=sup f [a,b] () Monrer que : 02 Foncions vecorielles b a f ()d M(b a) 2 Eercice 06 Soi f une applicaion dérivable sur un inervalle ouver I à valeurs dans R n e soi a I ( Calculer lim f (a+ h 2 ) f (a+ h) ) ( ) puis lim f (a+ h) f (a h) h 0 h h 0 2h Eercice 07 On désigne par de le déerminan dans la base canonique de R 2 e par ( ) un produi scalaire sur R 2 Soien f, g,h C (I,R) où I es un inervalle non rivial de R Monrer que ϕ=de ( f, g ) C (I,R) e calculer ϕ 2 Monrer que les foncions suivanes son de classe C sur I e calculer leur dérivée : (a) ( f de(f, g ) ) ; (b) de ( f,de ( g,h ) k ) Eercice 08 On considère le mouvemen d un poin M() dans le plan au cours du emps On suppose que ce mouvemen es décri par une foncion vecorielle f : I P de classe C 2 e ne s annulan pas appelée veceur posiion du poin M On a donc : I, OM()= f () On appellera veceur viesse e veceur accéléraion du poin M à l insan les veceurs v () := f () e a () := f () On suppose que le mouvemen du poin M es circulaire de cenre O, c es-à-dire que OM() es consane Monrer qu alors les veceurs posiion e viesse son orhogonau pour ou I 2 On suppose mainenan que le mouvemen du poin M() es à accéléraion de cenre O, ce qui signifie que à chaque insan, son( veceur accéléraion es colinéaire à son ) veceur posiion Monrer alors que de OM(), v () es consane 2

3 Monrer que si le mouvemen du poin M es à la fois circulaire e à accéléraion de cenre O alors il es uniforme (c es-à-dire que la norme de son veceur viesse es consane) Eercice 09 Soien u, v, w C 2 ([a,b],r) vérifian u(b) v(b) w(b) u(a) v(a) w(a) u (a) v (a) w (a) = 0 Monrer qu il eise un réel c ]a,b[ el que u(b) v(b) w(b) u(a) v(a) w(a) u (c) v (c) w (c) = 0 Eercice 020 Pour ou R, on pose : 2 2! 0 D n ()= 2! 2! n n! 2 2! Monrer que la foncion D n es dérivable e calculer D n () En déduire D n() Eercice 02 Soi P : R O n (R) une applicaion dérivable sur R Monrer que pour ou R, la marice P() T P () es anisymérique e en déduire que si n es impair, pour ou R, on a P n () O n (R) Eercice 022 Soien E un K-espace vecoriel de dimension finie e f : R E une applicaion dérivable en 0 On suppose que pour ou R, f (2)=2f () Monrer que f es linéaire Eercice 02 Soien n N e u L(R n ) Monrer que l applicaion ϕ : de(id E +u) es dérivable en 0 puis calculer ϕ (0) Eercice 024 Trouver les foncions f définies sur R e valeurs dans R n elles que : α ],+ [, (, y) R 2, f () f (y) y α où es la norme euclidienne sur R n Eercice 025 CCP 2007 On considère une applicaion M : R O n (R) dérivable e elle que M(0) = I n Monrer que M (0) es anisymérique Eercice 026 On considère le sysème différeniel (S) : dx d = AX où A M (R) es une marice de rang 2 e X : X() es une applicaion de classe C de R dans R La foncion X éan une soluion de (S), la courbe inégrale de X es l ensemble des poins X() où décri R Monrer que les courbes inégrales son planes e siuées dans des plans parallèles 0 Courbes en coordonnées carésiennes Eercice 027 On considère la courbe paramérée (γ) définie par () = cos( 2 ) y() = ln( sin ) z() = e Quelle es la angene à (γ) au poin M de paramère = 0? Eercice 028 Soi λ R e soi (γ) la courbe paramérée définie par () = e λ y() = sin λ+ 2 2 Déerminer les valeurs de λ pour lesquelles le poin de paramère = 0 es un poin régulier de la courbe ( γ ) Donner une équaion de la angene en ce poin Eercice 029 Mines 20 Soien (a, a, a,b,b,b,c,c,c ) R 9 On considère la courbe paramérée (γ) définie par : () = a 2 + a + a y() = b 2 + b + b z() = c 2 + c + c Monrer que (γ) es une courbe plane Eercice 00 On considère la courbe paramérée (γ) définie par : () = ( )(+ 2) ( 2) y() =

4 n^ n^ Déerminer les branches infinies de (γ) en éudian les limies quand end vers 0 de Eercice 08 Courbe de Lissajou y() y() () puis de y() a() avec a= lim e 0 =,2, ()=sin (2) + () Éudier la courbe paramérée définie par y ()=cos() 2 Achever l éude de (γ) e la consruire avec soin On précisera l allure de (γ) au voisinage du poin de paramère = 0 e on déerminera les coordonnées du poin double ()= sin Eercice 0 Éudier la courbe paramérée définie par +cos 2 Tracer les courbes paramérées définies par : Eercice 09 Lemniscae de Bernoulli sin cos y()= +cos 2 () = sin () = cos eo_racrice Eercice 040 y() = cos ; 2 () = cos 2 Tracrice y() = sin ; + ln(sin ) On considère la courbe paramérée Γ donnée par : y() = cos sin ()= h Eercice 02 y()= Éudier la courbe paramérée : ch () = cos y() = sin ( e appelée racrice ) Donner le domaine de définiion de e y Eercice 0 2 Monrer que Γ adme une propriéé de symérie qui perme de réduire son éude à un Éudier la courbe paramérée : inervalle qu on précisera () = sin Éudier les variaions de e y y() = sin 4 Éudier les branches infinies de Γ 2+cos 5 Préciser la naure du poin A de paramère 0 ainsi que la angene en ce poin Eercice 04 Éudier la courbe paramérée donnée par : 6 Tracer la courbe ()= (a) Pour ou réel > 0, déerminer une équaion carésienne de la angene D à Γ au poin M() de paramère y ()= + 2 (b) Cee angene recoupe l ae des abscisses en un poin N() don on déerminera les coordonnées (c) Déerminer la disance M() N() Eercice 05 Folium de Descares ()= (d) Préciser la naure du mouvemen du poin N() Éudier la courbe paramérée définie par + y()= 2 Eercice 04 + Eercice 06 On se donne la courbe paramérée ()= Éudier la courbe paramérée définie par 2 ()=2+ y()= Γ : 2 2 y()= 2 Eercice ()=cos Préciser le domaine de définiion de f : ((), y()) Éudier ensuie les variaions Éudier la courbe paramérée Γ définie par y()=sin ; de e de y en foncion du paramère 2 (a) Quelle es la naure des branches infinies de Γ lorsque end vers± 2 Déerminer une équaion carésienne de la angene D à Γ au poin de paramère (b) Monrer que lorsque end vers Déerminer l inersecion de la droie D avec les aes de coordonnées e calculer la 2 (respecivemen 2 ), Γ possède une asympoe don on précisera l équaion Préciser la posiion de la courbe par rappor à cee longueur du segmen obenu asympoe de la angene en ce poin 4

5 (c) Tracer le suppor de Γ Eercice 042 Bicorne () = sin2 Éudier la courbe donnée par : 2+sin y () = cos Eercice 04 Éudier la courbe paramérée : ()= y()= 2 On monrera l eisence d une parabole asympoe Eercice 044 Consruire la courbe paramérée : ()= 2 y()= 2 Déerminer ensuie les coordonnées du poin double I e monrer que les angenes en I son orhogonales Eercice 045 Consruire la courbe () = + y() = 2 + Eercice 046 On considère la famille de courbes paramérées : Faire l éude de C 0 ()=cos + m sin 2 y()=sin + m cos 2 Pour quelles valeurs de m, la courbe C m adme-elle des poins saionnaires? Trouver l équaion paramérique de l ensemble des poins saionnaires e représener ce ensemble Eercice 047 On considère la courbe paramérée Γ : () = 2 2 y() = 2 2 Tracer cee courbe e éudier le poin saionnaire 2 Écrire l équaion carésienne de la angene à Γ en un poin M() ordinaire À quelle condiion sur, 2 les angenes issues des poins ordinaires M( ) e M( 2 ) son-elles orhogonales? 4 Soi un poin M Trouver une condiion nécessaire pour que de M soien issues deu y angenes orhogonales à Γ Eercice 048 Oral CCP PC Soi Γ l arc paraméré défini par : () = 2 2 y() = + Vérifier que quand ± alors () ± e que y() end vers une limie finie Que peu-on en déduire pour la courbe Γ? 2 Déerminer des consanes non nulles a e b elles que lim ± () ay() b = 0 On di que la droie d équaion =ay+ b es asympoe à Γ Eercice 049 Oral Cachan PT () = sin 2 Éudier e racer la courbe de représenaion paramérique y() = (+cos )sin Tracer les angenes au poins pariculiers 2 Soien M ((), y()) e M 2 ((+π), y(+π)) Monrer que OM e OM 2 son orhogonau Donner une équaion paramérée par X() e Y() du lieu C des milieu de [M,M 2 ] 4 Simplifier ( X() 2) 2+ (Y()) 2 e en déduire une équaion carésienne de C ainsi que sa naure Eercice 050 EA PC 202 ( Le plan P es rapporé à un repère orhonormal R = O, i, ) j Soi D la courbe d équaion : () = 2cos() cos(2) y() = 2sin sin(2) Soi D la parie de la courbe correspondan à [0,π] Monrer que l on obien oue la courbe D à parir de D Préciser clairemen oues les ransformaions géomériques uilisées 2 (a) Eprimer sin(2) e cos(2) en foncion de sin e cos (b) Monrer que la courbe D présene deu poins singuliers pour = 0 e = 0 que l on déerminera On noe I le poin de paramère 0 5

6 (c) Donner l allure de la courbe au voisinage de O : on précisera une équaion de la angene en ce poin ainsi que la posiion de la courbe par rappor à cee angene (d) Monrer que le veceur u 0 = i + j es un veceur direceur de la angene T à D en I Écrire une équaion de T dans le repère R On adme que I es un poin de rebroussemen de première espèce (e) Soien C e C 2 les cercles de cenre Ω = (,0) e de rayons respecifs R = e R 2 = i Vérifier que la droie T passe par le poin Ω ii Déerminer D C iii Soi J le poin de D de paramère π Monrer que D es angene à C 2 au poin J iv Tracer dans P muni du repère R les courbes D, C, C 2 e T v Monrer que la courbe D es invariane par la roaion de cenre Ω e d angle 2π vi Calculer la longueur de D Eercice 05 On se donne la courbe paramérée Γ : ()=2+ 2 y()= 2 2+ Préciser le domaine de définiion de f : ((), y()) Éudier ensuie les variaions de e de y en foncion du paramère 2 (a) Quelle es la naure des branches infinies de Γ lorsque end vers ± (b) Monrer que lorsque end vers 2 (respecivemen 2 ), Γ possède une asympoe don on précisera l équaion Préciser la posiion de la courbe par rappor à cee asympoe de la angene en ce poin (c) Tracer le suppor de Γ Eercice 052 Éudier la courbe paramérée : ()= y()= 2 2 On monrera l eisence d une parabole asympoe Eercice 05 Consruire la courbe paramérée : ()= 2 y()= 2 Déerminer ensuie les coordonnées du poin double I e monrer que les angenes en I son orhogonales Eercice 054 Consruire la courbe () = + y() = 2 + Eercice 055 On considère la famille de courbes paramérées : Faire l éude de C 0 ()= cos + m sin y()=sin + m cos 2 Pour quelles valeurs de m, la courbe C m adme-elle des poins saionnaires? Trouver l équaion paramérique de l ensemble des poins saionnaires e représener ce ensemble Eercice 056 On considère la courbe paramérée Γ : () = 2 2 y() = 2 2 Tracer cee courbe e éudier le poin saionnaire 2 Écrire l équaion carésienne de la angene à Γ en un poin M() ordinaire À quelle condiion sur, 2 les angenes issues des poins ordinaires M( ) e M( 2 ) son-elles orhogonales? 4 Soi un poin M Trouver une condiion nécessaire pour que de M soien issues deu y angenes orhogonales à Γ 6

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