Endomorphismes remarquables d un espace vectoriel euclidien

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1 Edomorphismes remarquables d u espace vectoriel euclidie O se place das (E, < >), u espace vectoriel euclidie de dimesio, et o ote la orme associée à < >. Pour tout f L(E), o otera mat B (f) M (R) la matrice représetative de f das ue base B de E, et Sp R (f) le spectre de f das R. Efi, o otera D (R) l esemble des matrices diagoales de M (R). 1 Défiitios et propriétés 1.1 L adjoit d u edomorphisme Défiitio 1 - Pour tout edomorphisme f L(E), il existe u uique f L(E), appelé adjoit de f, tel que, pour tout (x, y) E 2, < f(x), y >=< x, f (y) >. Propositio 2 - Soiet λ R et, f et g L(E). Alors (i) (λ f + g) = λ f + g, (ii) (g f) = f g, (iii) (f ) = f. (iv) Si f GL(E), alors (f 1 ) = (f ) 1. Propositio 3 - Soit f L(E). Si F est u sous-espace vectoriel de E, alors F est stable par f si et seulemet si F est stable par f. Propositio 4 - Soit f L(E). Alors o a les propriétés suivates : (i) ker f = (Imf) et Imf = (ker f). (ii) rg (f ) = rg (f), tr(f ) = tr(f), det(f ) = det(f). Remarque 5 - Soiet f L(E) et B ue base orthoormée de E. Alors mat B (f ) = t (mat B (f)). 1.2 Les edomorphismes ormaux Défiitio 6 - Soit f L(E). O dit que f est ormal lorsque f et f commutet. Si B est ue base orthoormée de E et si A = mat B (f) avec f ormal, alors A est dite ormale et t A A = A t A. 1

2 Exemple 7 - La matrice est ormale. Propositio 8 - Si f L(E) est ormal, alors, pour tous x, y E, o a : < f(x), f(y) > = < f (x), f (y) >. E particulier, f(x) = f (x). 1.3 Les edomorphismes symétriques et ati-symétriques Défiitio 9 - Soit f L(E). Si f = f, o dit que f est auto-adjoit ou symétrique. Si f = f, o dit que f est ati-auto-adjoit ou atisymétrique. Das ue base B orthoormée, cela est équivalet à mat B (f) = t (mat B (f)), et à mat B (f) = t (mat B (f)). Remarque 10 - Les edomorphismes symétriques et les edomorphismes atisymétriques sot ormaux. Notatios 11 - O ote S(E) le sous-espace vectoriel des edomorphismes symétriques de L(E) et A(E) celui des edomorphismes atisymétriques de L(E). De même, o défiit S (R) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M (R) et A (R) celui des matrices atisymétriques de M (R). Propositio 12 - dim S(E) = dim S (R) = ( + 1)/2, et dim A(E) = dim A (R) = ( 1)/2. Corollaire 13 - L(E) = S(E) A(E), et M (R) = S (R) A (R). Défiitio 14 - Soit F u sous-espace vectoriel de E. O appelle projecteur orthogoal sur F, le projecteur sur F parallèlemet à F, et symétrie orthogoale par rapport à F, la symétrie par rapport à F parallèlemet à F. Efi, ue réflexio de E est ue symétrie orthogoale par rapport à u hyperpla de E. Propositio 15 - Soiet p L(E) u projecteur et s L(E) ue symétrie. Alors, (i) p est u projecteur orthogoal p S(E), (ii) s est ue symétrie orthogoale s S(E). Défiitio 16 - U edomorphisme f S(E) est dit positif lorsque, pour tout x E, < x, f(x) > 0. Si, de plus, < x, f(x) >= 0 x = 0, alors l edomorphisme symétrique f est dit défii positif. Notatios 17 - O ote S + (E) et S ++ (E) respectivemet l esemble des edomorphismes symétriques positifs et l esemble des edomorphismes symétriques défiis positifs de L(E). De même, o défiit S (R) + et S ++ (R) respectivemet l esemble des matrices symétriques positives et l esemble des matrices symétriques défiies positives de M (R). Exemple 18 - La matrice A = positive est symétrique positive mais pas défiie 2

3 Propositio 19 - O a les propriétés élémetaires suivates : (i) Pour tout M M (R), t M M S (R). + (ii) Pour tout M GL (R), t M M S ++ (R). (iii) Pour tous S 1, S 2 S (R), + S 1 + S 2 S (R). + (iv) Pour tout (S 1, S 2 ) S (R) + S ++ (R), S 1 + S 2 S ++ (R). 1.4 Les edomorphismes orthogoaux ou isométries Défiitio 20 - Soit f L(E). O dit que f est orthogoal lorsque f f = f f = id E. De faço équivalete, o dit que f est ue isométrie. Notatios 21 - O ote O(E) l esemble des edomorphismes orthogoaux de L(E), et O (R) l esemble des matrices orthogoales de M (R). Propositio 22 - Les ciq propositios suivates sot équivaletes : (i) f O(E) (ii) (x, y) E 2, < f(x), f(y) >=< x, y >. (iii) x E, f(x) = x. (iv) L image par f de toute base orthoormée de E est ue base orthoormée de E. (v) Il existe ue base orthoormée B de E telle que f(b) est ue base orthoormée. Remarque 23 - Tout f O(E) est ormal, et det(f) = ±1. Remarque 24 - Toute symétrie orthogoale est u edomorphisme orthogoal. Mais id E est l uique projecteur orthogoal qui est u edomorphisme orthogoal. Défiitio 25 - (O(E), ) est u sous-groupe de (GL(E), ) appelé groupe orthogoal. Défiitio 26 - L esemble SO(E) = {f O(E) det(f) = 1}, mui de la loi, est appelé groupe spécial orthogoal. (SO(E), ) est u sous-groupe distigué de (O(E), ). De même, l esemble SO (R) = {M O (E) det(m) = 1} mui de la loi est u sous-groupe distigué de (O (R), ). Les élémets de SO(E) sot appelés isométries directes. O défiit égalemet l esemble O (E) = {f O(E) det(f) = 1} qui est pas u groupe, aisi que O (R) = {M O (E) det(m) = 1}. Les élémets de O (E) sot appelés isométries idirectes. Exemple 27 - La matrice A = La matrice B = La matrice C = 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 1/ / 2 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 0 appartiet à SO 3 (R). est das O 3 (R) mais appartiet pas à SO 3 (R). est telle que det(c) = 1 mais elle appartiet pas à O 3 (R). Propositio 28 - Soiet B et B deux bases orthoormées de E. Alors, la matrice de passage de B à B est ue matrice orthogoale. 3

4 2 Réductio des edomorphismes remarquables 2.1 Les edomorphismes ormaux Propositio 29 - Soit f L(E) ormal. Si E λ est u sous-espace propre de f associé à ue valeur propre λ, alors E λ est stable par f. Propositio 30 - Soiet E de dimesio 2 et f L(E) ormal. Si f admet pas de valeur propre réelle alors, das toute base orthoormée B de E, il existe (a, b) R R tel que mat B (f) = ( a b b a ). Théorème 31 - Soit f L(E) ormal. Alors, il existe ue base orthoormée B de E telle que λ 1 (0) mat B (f) = λ r τ 1 (0) τ s, avec r, s N tels que r + 2s =, λ i R pour tout i 1, r, et pour tout j 1, s, τ j = ( a j b j ) M b j a 2 (R) avec a j, b j R. j 2.2 Les edomorphismes symétriques et ati-symétriques Théorème 32 - Soit f S(E). Alors, il existe ue base orthoormée de vecteurs propres pour f et toutes les valeurs propres de f sot réelles. Théorème 33 (Versio matricielle) - Soit M S (R). Alors il existe ue matrice P O (R) et D ue matrice diagoale réelle telle que D = P 1 M P. Corollaire 34 - Soiet f S(E) et M S (R). Alors, (i) f S + (E) Sp R (f) R +, et M S (R) + Sp R (M) R +. (ii) f S ++ (E) Sp R (f) R +, et M S ++ (R) Sp R (M) R +. Applicatio 35 - L applicatio exp S (R) S ++ (R) est u homéomorphisme. Propositio 36 - [Décompositio polaire] Pour tout A M (R), il existe P O (R) et S S + (R) telles que A = P S. Si, de plus, A GL (R), alors le couple (P, S) est uique. Propositio 37 - [Pseudo-réductio simultaée] Soiet A S ++ (R) et B S (R). Alors il existe (P, D) GL (R) D (R) tel que t P A P = I et t P B P = D. Propositio 38 - [Log-cocavité du détermiat] Soiet A, B S ++ (R) et α, β R tels que α + β = 1. Alors, det(α A + β B) (det A) α (det B) β. Il y a égalité si et seulemet si 4

5 A = B et α ]0, 1[. Applicatio 39 - [Ellipsoïde de Joh-Loewer] Soit K u compact de R d itérieur o vide. Alors, il existe u uique ellipsoïde cetré e 0 de volume miimal coteat K. Propositio 40 - [Factorisatio de Cholesky] Soit A S ++ (R). Alors il existe ue uique matrice T M (R) triagulaire supérieure à coefficiets diagoaux strictemet positifs telle que A = t T T. Applicatio 41 - [Iégalité d Hadamard] A = (a i,j ) S + (R), det A a 2 i,i. i=1 Théorème 42 - Soit f A(E). Alors, il existe ue base orthoormée B de E telle que 0 mat B (f) = (0) 0 τ 1 (0) τ s, avec s N et, pour tout i 1, s, τ i = ( 0 b i b i 0 ) M 2(R) avec b i R. 2.3 Les edomorphismes orthogoaux Théorème 43 - Soit f O(E). Alors, il existe ue base orthoormée B de E telle que R(θ 1 ) mat B (f) = (0) R(θ r ) ε 1 (0) ε s, avec r, s N, pour tout j 1, s, ε j { 1, 1}, et pour tout i 1, r, R(θ i ) = ( cos θ i si θ i ) M si θ i cos θ 2 (R) avec θ i R tel que θ i k π, k Z. i Corollaire 44 - f O(E), Sp R (f) { 1, 1}. Propositio 45 - [Décompositio QR] Soit A GL (R). Alors, il existe u uique couple (Q, R) avec Q O (R) et R ue matrice triagulaire supérieure à coefficiets diagoaux strictemet positifs tel que A = Q R. Propositio 46 - SO 2 (R) = {R θ ; θ R} et O 2 (R) = {R θ ; θ R} {S ϕ ; ϕ R}, e otat R θ = ( cos θ si θ si θ cos θ ) la rotatio de cetre O et d agle θ, et S cos ϕ si ϕ ϕ = ( si ϕ cos ϕ ) la symétrie orthogoale par rapport à la droite d agle polaire θ/2. 5

6 Propositio 47 - Soit E u espace vectoriel de dimesio 3. L edomorphisme f O(E) est ue rotatio d agle θ R lorsqu il existe ue base orthoormée B de E telle que mat B (f) = cos θ si θ 0 si θ cos θ O appelle axe de cette rotatio, la droite dirigée et orietée par le premier vecteur de la base B. Propositio 48 - Soit E u espace vectoriel de dimesio 3. L edomorphisme f O(E) est ue réflexio lorsqu il existe ue base orthoormée B de E telle que mat B (f) = Théorème 49 - Soiet E u espace vectoriel de dimesio 3, f O(E) et E λ le sousespace propre de f associé à la valeur propre λ { 1, 1}. O a (1) Si det f = 1, alors f est ue rotatio de E d axe E 1 dot l agle o orieté θ est doé par tr(f) = cos θ. (2) Si det f = 1, alors soit f est ue réflexio de E par rapport à E 1, soit f est la composée d ue rotatio de E d axe E 1, dot l agle o orieté θ est doé par tr(f) = cos θ, et de la réflexio par rapport à E 1. Remarque 50 - L agle θ peut être orieté e choisissat si θ du même sige que det(i, f(i), u) avec u E 1 (ou E 1 ) et i E 1 (ou E 1 ). Exemple 51 - Soit f u edomorphisme de R 3 dot la matrice das la base caoique {i, j, k} est A = La matrice A est pas symétrique doc f est la composée d ue rotatio d axe dirigé et orieté par (i + j), d agle 2π/3 [2π], et d ue réflexio par rapport au pla d équatio x + y = Quelques propriétés algébriques et topologiques Propositio 52 - O (R) est compact. Propositio 53 - L eveloppe covexe de O (R) das M (R) est la boule uité. Propositio 54 - O (R) a deux composates coexes SO (R) et O(R). Propositio 55 - SO (R) est coexe par arcs et compact. Propositio 56 - Le groupe SO 2 (R) est commutatif. 6

7 Propositio 57 - Les sous-groupes fiis de SO 2 (R) sot cycliques et de la forme {R 2kπ/, k 1, } avec N et R 2kπ/ la rotatio d agle 2kπ/. Propositio 58 - Les sous-groupes fiis de O 2 (R) sot soit cycliques, soit isomorphes au groupe diédral. Propositio 59 - Le groupe SO 3 (R) est simple. 4 Complémet : autres propriétés Propositio 60 - Soit f S(E). O a f = sup f(x) = sup < f(x), x >. x =1 x =1 Applicatio 61 - Pour tout A = (a i,j ) M (R), e otat λ 1,..., λ les valeurs propres de t A A, o a : i=1 λ i = a 2 i,j. i,j=1 Applicatio 62 - Pour tout A = (a i,j ) S (R), e otat λ 1,..., λ les valeurs propres de A, o a : i=1 λ 2 i = a 2 i,j. i,j=1 Référeces Gourdo, X., Les maths e tête, Algèbre, éd. Ellipses. Moier, J.-M., Algèbre MPSI, éd. Duod. Moier, J.-M., Algèbre MP, éd. Duod. Fraciou, S., Giaella, H., & Nicolas, S., Algèbre 3, éd. Cassii. 7