1 Exercice sur les intégrales. 2 Exercice Correction de l'exercice Exercice 6

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1 Exercice sur les itégrales Exercice O cherche à résoudre l'équatio ty (t + y (t y (t O eectue le chagemet de variable x t, o cherche doc les solutios sous la forme : ( z (x z t y (t Calculer y,y e foctio de t,z,z Résoudre l'équatio 3 Correctio de l'exercice y [ z ( t ] t z ( t y [ z ( t ] [ t z ( t ] t t z ( t + Doc y [ z ( t ] t t z ( t + t z ( t ty (t + y (t y (t t [ z ( t ] + [ z ( t ] ( z t [ ty (t + y (t y (t t ( t t z t + ( ] [ t z t + ( t z t ] z ( t ty (t + y ( ( (t y (t z t z t z (x z (x O résoud l'équatio z z, l'équatio caractéristique est x d'où x ± ( t t z t Doc z Ae x + Be x et y Ae t + Be t Exercice 6 Soit M M (C motrer que (M 'est pas iversible (M admet ue valeur propre ulle. Soit A (a ij ue matrice de M (C telle que i {,...,} a ii > a ( ij i Motrer que A est iversible.

2 5 Correctio de l'exercice 6 si M admet ue valeur propre ulle alors X tel que MX doc M 'est pas iversible. Réciproquemet, si M 'est pas iversible alors X tel que MX doc est valeur propre de M. a... a x y soit X C X AX Y... a... a x y i {,...,} tel que x i max { x,..., x } doc j {,...,} x i x j Avec ces otatios, y i Or o sait que a ii > k ( i Fialemet < a ii x i a ik x k a ii x i + a ik x k k i a ij doc a ii x i > ( i ( i a ij x i }{{} vrai car x i > (X a ij x j a ii x i + ( i a ijx j ( i a ij x j y i doc y i > d'où y i O e déduit que Y puisque qu'ue de ses coordoées est o ulle, doc AX Ce raisoemet est vrai quelque X, doc X C X AX doc A est iversible. 6 Exercice Soit u polyôme P C [X] P (x c i X i soit (r i i l'esemble de ses racies, motrer que : i i r i ( c c Soit B M (Z soit (λ i i C l'esemble de ses valeurs propres, motrer que λ i det B i 3 O pose A I + αb avec α >, o suppose que A I, motrer que i {,...,} λ i < Correctio de l'exercice Comme P C [X] P est scidé doc P (X r i e développat cela doe : i

3 P c i det (B λi (X r i c X c ( i i r i X c ( (X λ i ( λ + ( ( i det (B λi ( λ + ( tr (B λ det B r i doc i } {{ } c 3 λ est ue valeur propre de B, doc X tel que BX λx AX (I + αb X X + αbx ( + αλ X A X A (AX ( + αλ AX ( + αλ X λ i λ doc i i λ i i r i ( c c λ i det B Par récurrece, o motre que A X ( + αλ X or, d'après l'éocé A X I X X Doc ( + αλ X X et [( + αλ ] X Comme X ( + αλ Doc + αλ doc + αλ car + αλ R + O e déduit que αλ αλ + αλ + + doc λ α < Ce raisoemet est vrai pour toute valeur propre de B, doc i {,...,} λ i < 8 Exercice 8 a Soit E u C ev de dimesio. F est u sous espace vectoriel de E, o suppose que u L (E Démotrer que x E λ C x et u (x λx b O suppose e plus que F est u sous espace stable de u à savoir u (F F O s'itéresse à la restrictio de u à F oté u F par costructio u F L (F Démotrer que x F λ C x et u (x λx Soit deux edormophismes u et v de E. O suppose que u v v u D'après a x E λ C x et u (x λx par coséquet ker (u λe {} Démotrer que ker (u λe est u sous espace stable de v. 3 E déduire que u et v ot u vecteur propre commu. 9 Correctio de l'exercice 8 3

4 a soit P le polyôme caractéristique de u. P C [X], ce polyôme est doc scidé, il possède au mois ue racie complexe, o e déduit que u possède au mois ue valeur propre, D'où x E λ C x et u (x λx b Par déitio u F L (F,E, u F : F E mais puisque u (F F u F (F F Doc u F L (F. O applique le résultat précédet e remplaçat u par u F et E par F : x F λ C x et u (x λx Rappel : e est l'edormorphisme idetité : x E e (x x quelque soit la base choisie pour E, la matrice associée à e das cette base est la matrice idetité. d'après a, l'edormorphisme u possède au mois ue valeur propre λ. Par coséquet : ker (u λe {} Soit x ker (u λe par déitio u (x λx Or u et v commutet : u (v (x v (u (x λv (x par coséquet, v (x est u vecteur propre de u associé à la valeur propre λ d'où v (x ker (u λe O e déduit que v (ker (u λe ker (u λe doc ker (u λe est stable par v. 3 ker (u λe est stable par v doc d'après b, v ker(u λe admet u vecteur propre : x ker (u λe tel que x et v (x µx où µ C Comme x ker (u λe, o a égalemet u (x λx, x est u vecteur propre commu à u et v. Exercice O cherche à résoudre l'équatio ( y y y y y + y ( ( ( y y Pour cela o déit Y Y y y M Avec ces otatios, o vérie que Y MY Pour résoudre ce système, o cherche à diagoaliser M : ( λ det (M λi det λ ( + λ λ λ λ }{{} (λ + (λ polyôme caractéristique de (

5 Les valeurs propres de M sot - et. O cherche maiteat les vecteurs propres de M : O résoud : MX X ( x y {( x+y x x y x y U vecteur propre associé à la valeur propre - est MX X {( x+yx xy x y U vecteur propre associé à la valeur propre est O pose P ( o a P MP ( ( (.. D M P DP Par coséquet Y MY Y P DP Y P Y DY Z DZ avec Z P Y O vérie que Z P Y (voir ote à la de l'exercice ( a Z (t ( ( (t a (t a (t {( b D (t b (t b (t a a b b Les foctios a et b vériet chacue ue équatio diéretielle liéaire du ordre : O reviet à Y e utilisat la relatio : Y P Z : ( ( y Ae t P y Be t {( a(tae t b(tbe t {( y Ae t +Be t yae t +Be t Fialemet, o trouve y Ae t + Be t ordre à coeciets costats. ce qui correspod à la solutio d'ue équatio liéaire du secod Note : Soit deux foctios réelles x et y ( x (t O déit le vecteur X (t o déit la dérivé de X comme suit : X y (t (t ( x (t y (t Peut écrire que (MX MX? ( a b Pour le démotrer, o pose M c d Doc MX ( ax (t + by (t cx (t + dy (t ( [ax (t + by (t] [cx (t + dy (t] ( ax (t + by (t cx (t + dy (t (MX 5

6 Par coséquet : (MX MX Ce résultat s'éted aux matrices de dimesios quelcoques. 6

7 Correctio du devoir d'aalyse Exercice 3 3 k k si ( k k k ( k si k f ( k avec f (x x si (x C'est ue somme de Riema. O itègre par partie : l lim + l cos + k si k [ x si(x l cos + si ] ( k x si (x dx si(x dx cos + si + [ ] x cos(x + x cos (x dx [ ] cos(x cos + si + cos 3chx + shx + 3 ex + e x + ex e x + e x + e x + O pose u e x x l u dx du u F F dx 3chx + shx + du ( u O pose v u+ 6 F 8 Doc 6 dv v + 8 dx e x + e x + du u + u + u du ( u u v 6 du dv 6 6 arcta v + C 8 dx 3chx + shx arcta ex arcta u+ + C 6 ( u+ 6 + C du u + + u du + du u + u + 3 La foctio f (x e x si x est impaire doc ex si xdx e x si xdx. Il sut de faire le chagemet de variable u x pour le démotrer Doc ex si xdx

8 Exercice O itègre par partie : u [ π f (t si (t dt u [f ( f (π] + ] f (t cos (t π + π f (t π f (t cos (t dt cos (t dt La foctio f est C sur l'itervalle fermé [,π], sa dérivée est cotiue sur [,π], elle est doc borée : M tel que t [,π] f (t M Comme t [,π] cos (t D'où t [,π] f (t cos (t M Et π f (t cos (t dt π f (t cos (t dt πm Comme u [f ( f (π] + π f (t cos (t dt D'où Doc u [ f ( + f (π + πm] lim u + 3 Correctio du devoir d'algèbre 3. Exercice a M b O applique le pivot de Gauss à la matrice M étape : L L + L o obtiet la matrice étape : L 3 L 3 L o obtiet la matrice Doc rag (M et dim ker f 8

9 O remarque que f (e + f (e 3 f (e doc f (e + e 3 e O e déduit que vect (e + e 3 e ker f comme dim ker f, ker f vect (e + e 3 e c d'après b rag (f (f (e,f (e est ue famille libre, I f vect (f (e,f (e I f vect ( e + e,e + e 3 d P N P MP O iverse P e résolvat le système : L x + + z a L x + + z b L 3 y z c O remplace das L x a b O remplace das L 3 y c a + b D'où P L + L z a + b Par calcul, o trouve P MP N Exercice O cherche (a,b R tels que af + bf x R a si x + b cos x Par coséquet : pour x a si x + b cos x b pour x a si x + b cos x a La famille (f,f est doc libre. (f,f est libre, et puisque E V ect (f,f, elle est géératrice de E. (f,f est ue base de E. D'où dim E 3 g (x si ( x + π si x cos π + cos x si π f (x + f (x g (x cos ( x + π cos x cos π si x si π f (x + f (x 9

10 Doc { g f + g f + f f V ect (g,g V ect (f,f E O cherche à motrer que la famille (g,g est libre. O cherche (a,b R tel que ag + bg x R a si ( x + π + b cos ( x + π Par coséquet : pour x π a si ( x + π + b cos ( x + π b pour x π a si ( x + π + b cos ( x + π a La famille (g,g est doc libre, dim [V ect (g,g ] Or puisque V ect (g,g E et que dim E V ect (g,g V ect (f,f P ( ( P 5 Pour calculer P o résoud le système : { L x + y a L x + y b P Doc : ( { f f ( g g + L + L y a + b L L x a b g g (