ESPACES EUCLIDIENS. 2. Pour tout x E, l application y a ϕ( x, est linéaire (linéarité de ϕ à droite). 2. (symétrie). 0 (positivité).

Transcription

1 sacs uclds SPACS UCLIDINS Das ou l char, désg u sac vcorl rél d dmso f I - Produ scalar ) Défo Défo : O all rodu scalar sur ou form ϕ bléar, symérqu, déf osv, c s-à-dr ou alcao d das qu vérf : Pour ou y, l alcao x a ϕ s léar léaré d ϕ à gauch) Pour ou x, l alcao y a ϕ s léar léaré d ϕ à dro) 3 ϕ = ϕ y, symér) 4 x ϕ osvé) 5 x ϕ = x = Noao : ϕ x, = < xrcc : Vérfr qu ls xmls suvas so ds rodus scalars xml : xml : < x y > =, x y sur = < P, Q > = P ) Q ) d sur = [X ] xml 3 : < M, N > = Tr MN) sur = M, [ ] Défo : O all sac vcorl ucld ou sac vcorl rél d dmso f, mu d u rodu scalar Rmarqu : O u défr u rodu scalar sur u sac vcorl qu s as d dmso f, ar xml : b < f, g > = f ) g ) d sur = C [ a, b]) avc a < b U sac vcorl rél mu d u rodu scalar s u sac réhlbr ) xrsso marcll Das u bas B =,, ) d, our ous vcurs = x a x y = x y < y > = < x, y > = x y <, > Doc avc X = M Y = M : = = = = x y Proréé : S B =,, ) s u bas d A la marc carré symérqu) d ordr d coffcs a, = <, >, alors : < y > = XAY xrcc : Pour chacu ds xmls d rodu scalar, dérmr la marc A our la bas caoqu d l sac vcorl cosdéré II - Norm ucld assocé ) Défo Défo : S s u sac vcorl ucld, o all «orm» ucld assocé au rodu scalar l alcao d das déf ar : x x = < x > xrcc : Pour chacu ds xmls d rodu scalar, dérmr l xrsso d la «orm» ucld Cahr LAIDBUR - 3 y :

2 sacs uclds xrsso marcll : S B =,, ) s u bas d A la marc carré d ordr d coffcs a, = <, >, alors : x x = XAX dfa XAX ) Proréés Prmèrs Proréés : avc so uqu élém) x x = x = x λ λx = λ x Démosrao : x x = x = d arès l axom 5 x λ λx = < λ λx > = λ < x > doc λ x = λ x Idés rmarquabls : x, x y = x y < Démosrao : x, x y = x y < < x y, x y > = x y x y = < x y, x y > = < x > < y > < y, x > < y, Or < x, y > = < y, x > Doc : x y = x y < x y = < x y, x y > = < x > < y > < y, x > < y, Doc : x y = x y < < x y, x y > = < x > < y > < y, x > < y, y > = x y Idé du arallélogramm : x, x y x y = x y Démosrao : vd aoua ls dux rmèrs égalés Idés d olarsao : < y > = x y x y ) x, < y > = x y x y ) < y > = x y x y ) 4 Démosrao : vd à arr ds dés rmarquabls Rmarqu : La «orm» a éé déf à arr du rodu scalar, ls dés d olarsao rm d xrmr l rodu scalar à arr d la «orm» Iégalé d Cauchy-Schwarz : x, < y > x Démosrao : λ λx y Il y a égalé s sulm s x y so coléars Doc : λ λ x λ < y > y S x =, alors x =, doc y < y > = x y = D lus x y so coléars, qul qu so y S x, alors o a u olyôm du scod dgré λ qu chag as d sg Doc so dscrma s égaf ou ul 4 x 4 x y Doc x y > x y Or : = <, y > ) y <, Cahr LAIDBUR - 3

3 sacs uclds 3 D lus, s <, l olyôm s aul as Par cor, s =, l olyôm adm u rac λ, doc λ x y =, doc y = λ x, doc x y so coléars Iégalé ragular ou d Movs) : x, x y x y Démosrao : x, x y x y ) = < y > x y ) Or : x, < y > < y > x y Doc : Doc : x y x y car c so ds réls osfs y x y ) x Coséquc : La «orm» ucld s b u orm car ll vérf : x x = x = x λ λx = λ x 3 x, x y x y 3) Dsac ucld assocé Défo : S s u sac vcorl ucld, o all dsac ucld assocé au rodu scalar l alcao d das déf ar : d = y x Ls roréés suvas so coséqucs ds roréés d la orm Proréés : x, d = x = y x, d = d y, 3 x, y, d d d y, égalé ragular) La drèr s ob rmarqua qu z x = z y 3 Proréé : y, d d y, d Démosrao : alqua l égalé ragular : d d d z, doc : d d y, d d y, d y, d doc : d y, d d Défo : La dsac d u élém x d à u ar o vd A d s d A) = If d / y A { } ff { d / y A} s u ar o vd d ossèd u bor férur III - Orhogoalé ) Orhogoalé d dux vcurs Défo : Dux vcurs x y d so orhogoaux s < x, y > =, doc moré ar Doc ll Rmarqu : Tou vcur s orhogoal au vcur ul ff : x < > =< > =< > < > doc x, > = < Théorèm d Pyhagor : Dux vcurs x y d so orhogoaux s sulm s : x y = x y Démosrao : vd avc l u ds dés d olarsao ) amll orhoormal Défo : U famll dux orhogoaux I ) d vcurs s orhogoal s ls vcurs so dux à C s-à-dr :, ) I <, > = Doc, ) I <, > = δ, Cahr LAIDBUR - 3

4 sacs uclds 4 Théorèm d Pyhagor : S,, ) s u famll orhogoal d vcurs, alors : Démosrao : = = < = = =, > = <, > = δ =, Théorèm : Tou famll orhogoal qu co as l vcur ul s lbr Démosrao : So ) I u famll orhogoal d vcurs ll qu I S u famll d réls λ ) I vérf λ =, alors : I <, λ > = I I Doc : I λ <, > =, doc I λ car, > = s Or I, doc I, doc I λ =, =, = I < Défo : U famll ) I d vcurs s orhoormal ou orhoormé) s ls vcurs so uars d orm ) dux à dux orhogoaux D arès c qu récèd, ou famll orhoormal s lbr Récroqum, ou famll lbr u êr «orhoormalsé» Procédé d orhoormalsao d Gram-Schmd : S,, ) s u famll lbr d,, u vcurs, alors l xs u uqu famll orhoormal u ) d vcurs qu vérf : P, T Vc,, ) = Vc u,, u ) P, T <, u > Démosrao : O raso ar récurrc Ialsao : Pour =, so u famll lbr ) Doc : Vc ) = Vc u) λ u = λ car lbr) Doc : : <, > = λ, doc < u > λ u > = <, λ > = λ <, < u, u > = < λ, λ > = λ <, > = λ Or la famll u ) s orhoormal s sulm s u =, doc s Doc l xs u uqu famll soluo : u =, > λ = Hérédé : So * l qu la roréé so vérfé So,, ) u famll lbr Il s ag d rouvr u famll orhoormal,, u ) u d vcurs qu vérf : P, T Vc,, ) = Vc u,, u ) P, T <, u > Cc équvau à rouvr : u famll orhoormal u,, u ) d vcurs qu vérf : P, T Vc,, ) = Vc u,, u ) P, T <, u > u vcur u qu vérf : Vc,, ) = Vc u,, u ) P, T < u, u > = 3 u = Cahr LAIDBUR - 3

5 sacs uclds 5 4 <, u > La famll,, ) s lbr car ll s xra d u famll lbr Doc, d arès l hyohès d récurrc, l xs u uqu famll orhoormal u,, u ) d vcurs qu vérf P, T Vc,, ) = Vc u,, u ) P, T <, u > Il rs doc à dérmr l vcur u Or Vc,, ) = Vc u,, u ), doc Vc,, ) = Vc u,, u, ) Doc la codo s vérfé ss : u Vc u,, u, ), doc ss : λ,, λ ) u = λu λ u λ Or u,, u ) s orhoormal, doc : P, T < u, u > = λ λ < u >, P, T λ = λ < u, Doc la codo s vérfé ss : >, doc ss u = v où v = < u, > u λ,, v car la famll ) s lbr, doc aar as à Vc,, ) doc à Vc u,, u ) Doc la codo 3 s vérfé ss λ = v <, v, u > = λ < > Or, T < v, u > = < u, > < u, > u doc P, T < v, u > = =, doc : v =<, v > Doc Doc la codo 4 s vérfé ss λ > P,, u v > = λ < Doc l xs u uqu vcur u soluo : u = v où v = < u, > u v Doc l xs u uqu famll orhoormal u,, u ) soluo Cocluso : La roréé s démoré our ou r * Das la raqu : O commc ar dérmr u famll orhogoal qu l o orm su O os u =, us v = < u, > u u = v = v O vrra qu ls coffcs corrsod à la roco orhogoal d sur l sous-sac Vc u,, u ) xrcc : Pour chacu ds xmls d rodu scalar, vérfr qu la famll doé s lbr, l orhoormalsr : 3 xml : =,, ), =,, ) =,, ) das = xml : P =, P = X P 3 = X X sur = [ X ] xml 3 : M =, M =, M 3 = M 4 = sur [ ] = M 3) Bas orhoormal S la famll,, ) s u bas, o arl d bas orhoormal ou orhoormé) Tou sac ucld s d dmso f, doc ossèd u bas qu l o u orhoormalsr O obdra u famll lbr aya l mêm ombr d vcurs, doc u bas Doc : Théorèm : Tou sac ucld ossèd u bas orhoormal ou orhoormé) Tou famll orhoormal u êr comléé u bas orhoormal O comlè la famll orhoormal doc lbr) u bas, o orhoormals c bas Par cosruco, ls rmrs vcurs so cosrvés Par cosruco, sur u bas orhoormal, la marc assocé au rodu scalar s la marc dé Cahr LAIDBUR - 3

6 sacs uclds 6 Doc sur u bas,, ) orhoormal : < y > = XY = x y doc, s,, ) s u bas orhoormal : < x, > = x Doc sur u bas,, ) orhoormal : x = < > O dédu u xrsso d la marc d u domorhsm u car l coffc a, d sa marc s la -èm comosa d u ) Coséquc : S,, ) s u bas orhoormal d, s u s u domorhsm d, sa marc A a our coffcs a = <, u ) >, doc sa rac s : Tr u) = Tr A) = <, u ) > 4) Orhogoalé d dux ars, Défo : Dux ars o vds A B d so orhogoals s : x, A B < y > = Tou vcur d A s orhogoal à ous ls vcurs d B Défo : O all orhogoal d u ar o vd A d l smbl ds vcurs A = x / y A < y > = d qu so orhogoaux à ous ls vcurs d A : { } arculr : { } = { } = ff : s l sul vcur orhogoal à ous ls vcurs d xrcc : Pour chacu ds xmls récéds, dérmr l orhogoal d A : xml : A = x / x = A =, X xml : { } xml 3 : A = { I } Proréé : Pour ou ar o vd A d, A s u sous-sac vcorl d ff, A A s sabl ar combaso léar à caus d la léaré du rodu scalar Théorèm : Pour ou form léar ϕ sur u sac ucld, l xs u uqu a l qu : x ϕ = < a > Coséquc : L alcao qu à a assoc la form léar ϕ : x a < a > s u somorhsm r so dual * Coséquc : L orhogoal d u vcur o ul d s u hyrla d Récroqum, ou hyrla d s l orhogoal d au mos u vcur o ul Démosrao : So,, ) u bas orhoormal d ϕ u form léar xsc : x ϕ = < > ϕ ) = < ϕ ) > Doc l xs a = ϕ ) l qu x ϕ = < a > Ucé : suosos qu : x ϕ = < a > = < b > Doc x < a b > = Doc, our x = a b : a b =, doc a = b La coséquc s évd ar léaré à dro du rodu scalar La coséquc s évd car l oyau d u form léar o ull s u hyrla S H = { a}, o dra qu a s u vcur ormal à H Cahr LAIDBUR - 3

7 sacs uclds 7 Proréé : Pour ous ars o vds A B d : A A - { } - - Démosrao : B B A ) A Vc A) A Sul l vcur ul s orhogoal à lu-mêm Doc A A { } O suos qu A B Alors, s x B : B x y Doc arculr : y A < y > =, doc y <, > = x A Doc B A x A y A < y > =, doc y A x A < y, x > = Doc y A y A ), doc A A ) Doc Vc A) A ) car u sous-sac vcorl Ao! O a ouours A A ), mas l y a as ouours égalé A ) s D mêm : A = B rouv as A = B xml : dmso 3 das u bas orhoormal, s u v so dux vcurs d, l alcao x a d u, v, s u form léar sur Doc l xs u uqu a l qu : x d u, v, = < a, x > C s l rodu vcorl a = u v 5) Sous-sacs vcorls orhogoaux Rmarqu : L orhogoal d s oé ou Das l cas ds sous-sacs vcorls, o a d aurs roréés : Théorèm : S s u sac vcorl réhlbr s s u sous-sac vcorl d d dmso f, alors so sulémars : = O dra qu s l sulémar orhogoal d Démosrao : La roréé s évd s = { } ou s = Das ls aurs cas, s dm =, adm u bas orhoormal,, ) So Doc x So = λ y = u élém d < z, > = < > < y, > = < > Doc s P, T λ = < >, alors Doc Doc z z = x y λ <, > = < x s décomos x = y z avc y = < > das > λ z = D lus = { }, doc = s l sul sulémar d qu lu so orhogoal c qu usf l om) G,, ff, s =, l xs u bas d qu s réuo d u bas ) d d u bas,, ) d G s G s orhogoal à, ls vcurs,, ) so ous orhogoaux à, doc aar à das a mêm dmso Doc G = Doc G s clus Théorèm : S s u sac vcorl ucld d dmso s G so ds sous-sacs vcorls d, alors : - dm dm = - = ) G) = G G) = G G = G) Cahr LAIDBUR - 3

8 sacs uclds 8 Démosrao : dm dm = car O sa déà qu G G G, doc Doc : G) G = ) dm = dm ) car G) = ) G) G Ivrsm, s x G, l s orhogoal à ou vcur d à ou vcur d G, doc à ou somm d u vcur d d u vcur d G, doc à ou vcur d G Doc G G) G = Vc G), doc G G) = ) So x G Doc x = a b avc a b G Doc : y G < y > = < a, y > < b, Or < a, y > = car y < b, y > = car y G Doc y G < y > = Doc x G) Doc G G) D lus, s dm =, dm G = q dm G = r, alors dm G) = q r dm Doc Doc G ) = dm dmg dm G ) = dm dm G dm dm G G = G) ) = ) q) [ q r)] = r = dm G) Coséquc : Pusqu ls sous-sacs so sulémars, o u défr la roco sur suva la symér ar raor à suva Défo : O all roco orhogoal sur la roco sur suva ll a évdmm ous ls roréés ds rocos, qulqus roréés arculèrs : Proréés : S s la roco orhogoal sur u sous-sac vcorl, alors : - x x - x, <, y > = < > - x y x x y - x = d ) Démosrao : x x = [ x ] où [ x ] Doc : x = x, doc x, doc x x x = [ x ] y y = [ y ] Doc <, y > = <, > <, y > Or [ y ], doc <, y > = <, > ar symér : < x, > = <, > = <, x y x y = [ x ] [ y] Or [ x ] [ y] Doc x y = x y, doc x y x x = d ) s l mmum d la dsac d x aux éléms y d Doc : x = d ) s l sul o où c mmum s a Coséqucs : S,, ) s u bas orhoormal d : - x = < > - Iégalé d Bssl : x < > ) Cahr LAIDBUR - 3 x G)

9 sacs uclds 9 ff : Doc Doc x doc x = <, > x x = = = = < ) > = < > = = < > ), d où l égalé car x x xrcc : Calculr l mmum d a b) d our a b réls O rmarqu qu a b) d = X ax b our l rodu scalar < P, Q > = P ) Q ) d das l sac [ ] Doc a b) d sra mmum X quad X ax b) l sra Or c orm rrés la dsac r l olyôm X u élém qulcoqu du sous-sac [ X ] = Doc c mmum s a ss ax b s l roé orhogoal d a our bas, X ) qu l o orhoormals, 3 X 3) Doc : X ) = < X, > < X, 3 X 3 > 3 X 3) Doc : X ) = < X, > 3 < X, X > X ) Or < X, > = d = 3 Doc l roé orhogoal d l mmum chrché s : X sur < X, X > = ) d = = 3 6 X sur s d = 6 8 X ) = X ) = X 3 6 Défo : O all symér orhogoal ar raor à la symér ar raor à suva S s u hyrla, la symér orhogoal ar raor à s alé réflxo ll a évdmm ous ls roréés ds symérs, qulqus roréés arculèrs : Proréés : S s s la symér orhogoal ar raor à u sous-sac vcorl, alors : - x s = x - x, < s, y > = < s > Démosrao : O uls s = Id où s la roco orhogoal x s = [ x] où [ x] Doc : s = x = x = x, doc s = x x x = [ x ] y y = [ y ] Doc < s, y > = <, y > < y > = < > < y > = < s > IV - domorhsms ) Ado d u domorhsm Théorèm : a doé u domorhsm u d u sac ucld, l xs u uqu domorhsm u * d l qu : x, < u, y > = < u * > Cahr LAIDBUR - 3

10 sacs uclds Défo : C domorhsm u * s all l ado d l domorhsm u Démosrao : So,, ) u bas orhoormé d La marc A d u das c bas s A = ) avc a = <, u ) > a,, Doc < u, y > = AX ) Y = X AY ) = < u * > où u * s l domorhsm d d marc A Il rs à morr l ucé Suosos dux domorhsms soluos : u * u ** Doc x, < u * > = < u ** >, doc < x, u * u ** > = Doc y u * u ** = car l s orhogoal à ous ls vcurs d Doc y u * = u **, doc u * = u ** xmls : Ls rocos orhogoals ls symérs orhogoals so égals à lur ado O dra qu lls so auoados Proréés : S A s la marc d u das u bas orhoormal, la marc d u * das la mêm bas s A Coséqucs : u *)* = u, rg u ) = rg u*), r u ) = r u*), d u ) = d u*) u a u * s u domorhsm d L ) uo v)* = v * ou * u s u auomorhsm ss u * s u auomorhsm u *) = u ) * u u * o ls mêms valurs rors mêm olyôm caracérsqu Kr u *) = Im u) Im u *) = Kr u) Démosrao : Ls rmèrs so ls roréés d la rasoso ds marcs x Kr u*) u * =, doc x Kr u*) y < y, u * > = Doc x Kr u*) y < u, x > =, doc x Doc Kr u : u *) = Im u) alqua à * Kr u*) x Im u) Kr u ) = Im u*), doc Im u *) = Kr u) Théorèm : U sous-sac vcorl s sabl ar u s sulm s s sabl ar u * Démosrao : So u sous-sac sabl ar u Doc x u Doc y x < u, y > =, doc < x, u * > = Doc y u * Doc s sabl ar u * L équvalc s obu alqua c qu récèd à u * arculr, u hyrla d vcur ormal a s sabl ar u s sulm s a s u vcur ror d u *, ou cor u vcur o ul a s vcur ror d u s sulm s so hyrla orhogoal s sabl ar u * ) domorhsm auoado Défo : U domorhsm u d s auoado ou symérqu) s u * = u L smbl ds domorhsms auoados d s oé S ) Défos équvals : U domorhsm u s auoado ss x, < u, y > = < u > U domorhsm s auoado ss sa marc das u bas orhoormé s symérqu xmls : Ls rocos orhogoals ls symérs orhogoals U rocur s auoado s sulm s l s ag d u roco orhogoal ff, so s u rocur auoado ar raor à arallèlm à G G < y > = <, y > = < > = < > = Doc G = Tou rocur auoado s orhogoal ) S dm =, alors S ) s u sous-sac vcorl d L ) dms ) = car ls marcs so symérqus Cahr LAIDBUR - 3

11 sacs uclds Proréé : Ls sous-sacs rors d u domorhsm auoado so dux à dux orhogoaux Démosrao : So λ µ dux valurs rors dscs d u x y < u, y > = λ < y > < x, u > = µ < λ µ Or u s auoado Doc x y λ µ ) < y > =, doc < x, y > = λ µ Proréé : Tou domorhsm auoado d u sac ucld ossèd au mos u valur ror réll Démosrao : So u u domorhsm auoado d marc A= A das u bas orhoormal Il a au mos u valur ror λ évullm comlx car so olyôm caracérsqu a au mos u rac comlx So x u vcur ror assocé X sa marc O a u = λx AX = λx Noos X la marc do ls éléms so ls cougués d cux d X Comm A s u marc symérqu réll, o a : AX = λx, doc XA = λ X Doc : XAX = λ XX XAX = λ XX Doc λ λ) XX = x Or s X = M, alors X X = x Doc λ = λ Doc λ s réll x Coséquc : Tous ls valurs rors d u so rélls Théorèm scral : Tou domorhsm auoado s dagoalsabl bas orhoormal Corollar : Tou marc symérqu réll s dagoalsabl Démosrao : Noos λ,, λ ls valurs rors d u,,, ls soussacs rors assocés So = somm drc car ls valurs rors so dscs) s sabl ar u car ous ls sous-sacs rors so sabls Doc s sabl ar u * = u Doc u / s u domorhsm auoado d, doc s { }, l ossèd au mos u valur ror réll doc au mos u vcur ror qu sra auss vcur ror d u Or c s mossbl usqu = { } Doc = { } = Doc u s dagoalsabl car = Das chaqu sous-sac ror, o u chosr u bas orhoormal d vcurs rors, doc la réuo d cs bass s u bas orhoormal d 3) domorhsms orhogoaux Défo : U domorhsm u d s orhogoal s u * o u = uo u* = Id L smbl ds domorhsms orhogoaux d s u sous-grou d GL ) alé grou orhogoal d oé O ) Défos équvals : U domorhsm u s orhogoal ss u s bcf u = u * U domorhsm u s orhogoal ss : x, < u, u > = < 3 U domorhsm u s orhogoal ss : x u = x 4 U domorhsm u s orhogoal ss u rasform u ou) bas orhoormal u bas orhoormal Démosrao : O a vu qu O ), d maèr évd, la comosé d dux domorhsms orhogoaux s u domorhsm orhogoal L équvalc avc s évd C s la défo d la bcvé d la récroqu Cahr LAIDBUR - 3

12 sacs uclds Doc O ) GL ) D lus O ) car O ) co Id La comosé d dux domorhsms orhogoaux s u domorhsm orhogoal car : v o u) * o vo u) = u * ov * ovo u = u * oid o u = u * ou = Id s u v so orhogoaux s u s orhogoal, sa récroqu u = u * s orhogoal car S u s orhogoal, l cosrv l rodu scalar car : x, < u, u > = < u * o u) > = < u *)* = u Récroqum s u cosrv l rodu scalar : x, < u, u > = < Or x, < u, z > = < u * > Doc : < u, u > = < u * o u) >, doc < y > = < u * o u) > Doc : y u * o u) = y usqu l égalé s vra our ou x Doc u * ou = Id Doc u s orhogoal S u s orhogoal, l cosrv l rodu scalar, doc la orm Récroqum, s u s u domorhsm qu cosrv la orm : < u, u > = [ u u u u ] = [ x y x y ] = < y > car u s léar doc u u = u x Doc u cosrv l rodu scalar, doc s orhogoal Il s évd qu s u s orhogoal, l cosrv l rodu scalar la orm, doc rasform ou bas orhoormal u bas orhoormal Récroqum s u s u domorhsm qu rasform la bas orhoormal,, ) u ),, u ), alors : bas orhoormal ) x Doc x = < > x = < > ) u = < > u ) u = < > ) = x Rmarqu : Tou alcao d das qu cosrv l rodu scalar s léar ff, our ous x y d, ou λ rél : u λx λu u = u λx λ u < u λx, u > λ < u, u > Or u cosrv l rodu scalar, doc la orm Doc : u λx λu u = λx y λ x y u λ < u λx, u > λ < λx y, x > < λx y, y > λ < y > = Doc u λ x = λu u Par cor, la léaré s dssabl our ls aurs défos xml : S dm =, ls suls domorhsms orhogoaux so ± Id xml : La symér orhogoal ar raor à u sous-sac vcorl s u domorhsm orhogoal ff, ous ls vcurs x y d s décomos x = x x y = y y, l o a : s = x x s = y y Doc : < s, s > = < x x, y y > = < x, y > < x, y > = < x y > xml :, Théorèm : S u s u domorhsm orhogoal d, alors S ) {, } ff, s λ s u valur ror d u x u vcur ror assocé : Doc u = λ x Or u cosrv la orm x Doc λ = u u = λx Corollar : U domorhsm u s orhogoal s sulm s sa marc A das u bas orhoormal s vrsbl vérf A = A Cahr LAIDBUR - 3

13 sacs uclds 3 ff, la marc d u * s A Défo : U marc A M ) s orhogoal s ll vérf AA = I ll s doc vrsbl so vrs s A = A L smbl ds marcs orhogoals d M ) s u sous-grou d GL ) alé grou orhogoal d ordr oé O ) U domorhsm u d s u domorhsm orhogoal s sulm s sa marc das u bas orhoormal s orhogoal ou marc d chagm d bass orhoormals s u marc orhogoal Théorèm : S A s u marc orhogoal, alors : d = ± A ) { λ / λ = } S La rmèr égalé s évd car d A = d A So λ u valur ror d A X u vcur ror assocé Doc X AX = λx La marc A s réll, doc AX = λx, doc X A = λ X Doc X AAX = λλ XX Or AA = I Doc λλ) XX = Doc λ λ = car X Doc λ = La récroqu d c héorèm s évdmm fauss Défo : O all roao ou domorhsm orhogoal u l qu d u = L smbl ds roaos s u sous-grou d O ) alé grou sécal orhogoal oé SO ) ff, SO ) car Id s u roao, la comosé d dux roaos s u roao car d u o v) = d u)d v), la récroqu d u roao s u roao car d u ) = d u Rmarqu : L smbl ds domorhsms orhogoaux d dérma s as u grou car la comoso s as r 4) domorhsms orhogoaux dmso a c So A u marc orhogoal d ordr : A = ll qu AA = I b d Ls vcurs colos d A so uars orhogoaux bas orhoormal) θ θ c = b c = b Doc! θ ] π, π] a b = c d = ±, doc ou d = a d = a Théorèm : U marc carré d ordr s orhogoal s sulm s ll s d cos θ s θ cos θ s θ la form A = ou A = où θ s uqu modulo π s θ cos θ s θ cos θ Das l rmr cas d A = das l scod cas d A = Théorèm : So u u domorhsm orhogoal d marc A das u bas orhoormal, ) cos θ s θ S sa marc s d la form A =, u s la roao d agl d msur θ s θ cos θ cos θ s θ S sa marc s d la form A =, u s la réflxo ar raor à la s θ cos θ θ θ dro D d bas s cos ff, das l duxèm cas A s symérqu A = I, doc u o u = Id, doc u s u symér, d lus Kr u Id ) Kr u Id ) so orhogoaux O u rmarqur qu dmso l grou SO ) s commuaf : la comosé ds roaos d agls θ θ ' s la roao d agl θ θ' Cahr LAIDBUR - 3 A

14 sacs uclds 4 D aur ar, la comosé d u roao d u réflxo s u réflxo Doc ou roao s comosé d dux réflxos Théorèm : dmso, ou domorhsm orhogoal s comosé d u ou dux réflxos 5) domorhsms orhogoaux dmso 3 O sa qu : S u ) {, } So = { x u = x} / l smbl ds vcurs varas ou cor l sous-sac ror assocé à la valur ror s S u) s u sous-sac vcorl d dm 3 dm = 3 dm D lus, ls rsrcos d u à à so ds domorhsms orhogoaux r cas : dm = 3 Doc u = Id u SO) èm cas : dm =, doc dm = Doc u / s Id, u = Id aucu vcur o ul d s vara) Doc u s la réflxo ar raor à l xs u bas orhoormal,, ) d 3 où la marc d u s d la form A = 3èm cas : dm =, doc dm = Doc u / s Id, u s u roao car aucu vcur o ul d s vara Doc l xs u bas orhoormal,, ) d où la marc d u s d la 3 form A = cosθ s θ u s la roao d ax d agl θ s θ cosθ Comm la roao la u s comosé d dux réflxos las ar raor à ds dros D D d, u s comosé d dux réflxos ar raor aux las P = Vc, D ) P = Vc, D ) 4èm cas : dm =, doc = So a b = ua) Comm u a as d vcur vara, l vcur b a s o ul So H l la d vcur ormal b a s H la réflxo ar raor à H u s orhogoal, doc b = a Doc < b a, b a > = b a = Doc b a) H b a) H Or : b = b a) b a), doc s H b) = b a) b a) = a Doc s H o u) a) = a Doc s H o u s u domorhsm orhogoal qu a au mos u vcur vara, c qu ous ramè à l u ds cas récéd C s as l rmr cas, car so o aura u = sh, doc = H C s as l duxèm cas, car so o aura u = s H o s comosé d dux réflxos ar raor à ds las, doc H G H G =, c qu s as ossbl our dux las dmso 3 Doc s H o u s u roao d ax gdré ar a Doc u s comosé d u réflxo d u roao, doc d ros réflxos Théorèm : dmso 3, ou domorhsm orhogoal s comosé d u, dux ou ros réflxos, doc { } G Cahr LAIDBUR - 3

15 sacs uclds 5 4èm cas : dm =, doc = L olyôm caracérsqu d u s d dgré 3, doc a au mos u rac réll qu s as car = { } Or S u ) {, } Doc ) s valur ror d u So G l orhogoal du sous-sac ror assocé à ) Doc dmg So s G la symér orhogoal ar raor à G Doc x G s = x Doc so u s u domorhsm orhogoal l qu : x G so u) = x O s doc ramé à l u ds cas récéds car H = { x / so u) = x} co G, doc s d dmso suérur ou égal à S dm H = 3, alors s o u = Id, doc u = s, doc = G = { }, doc G =, doc u = Id S dm H =, alors s o u = sh réflxo ar raor à H Doc u = so sh Cahr LAIDBUR - 3