Programmation des éléments nis P1 en 1D

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1 Notes du cours d'équtions ux Dérivées Prtielles de l'isima, deuxième nnée Progrmmtion des éléments nis P1 en 1D Gilles Leborgne 8 mrs 2005 Tble des mtières 1 Le problème 2 11 Le problème initil L'éqution initile L forme vritionnelle 2 12 Le problème discret ssocié Les fonctions de bse pour le problème discret L non comptibilité du problème initil Formultion vritionnelle pour le problème pproché Clcul prtique de l solution pprochée 4 2 L progrmmtion 5 21 Les f i Progrmmtion nturelle Progrmmtion en vue du cs n-d 6 22 Les M ij et R ij 7 23 Remrque sur les clculs d'intégrles 8 24 Exercice 8 1

2 2 1 Le problème 1 Le problème 11 Le problème initil 111 L'éqution initile On se plce sur un intervlle [, b] R vec < < b < Il s'git de résoudre numériquement l'éqution ux limites de SturmLiouville : { (p(x)u (x)) + q(x)u(x) = f(x), pour x [, b], CL, où p et q sont des fonctions positives et bornées Les conditions ux limites sont l'une des conditions suivntes : u() et u(b) sont connues (CL de Dirichlet), u () et u (b) sont connues (CL de Neumnn), u() et u (b) sont connues (CL mixtes DirichletNeumnn), plus générlement, p(x 0 )u (x 0 ) + λ x0 u(x 0 ) connue (CL mixte), pour x 0 = et b, et pour λ x0 R donné 112 L forme vritionnelle Formellement, on multiplie (11) pr une fonction v et on intègre sur [, b] Il vient : p(x)u (x)v (x) dx [p(x)u (x)v(x)] b + q(x)u(x)v(x) dx = f(x)v(x) dx, (12) CL Prise en compte des conditions ux limites : 2 cs 1 Si u est connu en (resp en b), lors il n'y ps à le clculer : il sut de prre dns (12) les v tels que v() = 0 (resp v(b) = 0) C'est le cs des conditions de Dirichlet 2 Sinon, u n'est ps connu en (resp en b), et il fut le clculer : on ne peut ps se contenter de considérer les v tels que v() = 0 (resp v(b) = 0) C'est le cs des CL de Neumnn et CL mixtes Exemple On suppose u() = g connu et p(b)u (b) + λ b u(b) = g b connu Le terme de bord s'écrit lors, schnt qu'on ne pr que les v tels que v() = 0 : [p(x)u (x)v(x)] b = p(b)u (b)v(b) 0 = g b v(b) λ b u(b)v(b) D'où (12) qui donne le problème : Trouver l fonction u telle que pour toute fonction v vérint v() = 0 : p(x)u (x)v (x) dx + λ b u(b)v(b) + q(x)u(x)v(x) dx = f(x)v(x) dx + g b v(b) Aynt supposé p et q L ([, b]), l'éqution ci-dessus n'est plus formelle dès que u et v sont pris dns H 1 ([, b]), ie dès que u, v, u et v sont dns L 2 ([, b]), ie de crré intégrble Le problème (12) s'écrit donc rigoureusement : Trouver u H 1 ([, b]) où u() = u tq v H 1 ([, b]) où v() = 0 : p(x)u (x)v (x) dx + q(x)u(x)v(x) dx + λ b u(b)v(b) = f(x)v(x) dx + g b v(b) Exercice 11 Réciproquement, montrer qu'une solution de (13) stisfit à (11) u sens des distributions 12 Le problème discret ssocié On souhite trouver une solution pprochée (numérique) u h de u On v chercher ici une solution u h qui est continue sur [, b] et qui est ne pr morceux progrmmtion P1 1D 2 8 mrs 2005 (11) (13)

3 3 1 Le problème 121 Les fonctions de bse pour le problème discret Décrivons l'espce des fonctions C 0 ([, b]; R) nes pr morceux On commence pr prtger [, b] en n intervlles : [, b] = n i=1 I k où I k = [x k 1, x k ] vec = x 0 < x 1 < x n = b Et on note P 1 l'ensemble des fonctions continues sur [, b] qui sont nes sur chque I k On dénit ensuite les fonctions de bse (les fonctions chpeux) reltives à cette prtition Ce sont les fonctions continues dns [, b] qui sont nes sur chque I k (des fonctions de P 1 ), qui vérient : i, j = 0,, n, ϕ i (x j ) = δ ij Donc : i = 1,, n 1, ϕ 0 (x) = x 1 x dns [x 0, x 1 ], x 1 x 0 ϕ 0 (x) = 0 dns [x 1, x n ], ϕ i (x) = 0 dns [x 0, x i 1 ] [x i+1, x n ], ϕ i (x) = x x i 1 x i x i 1 dns [x i 1, x i ], ϕ i (x) = x i+1 x x i+1 x i dns [x i, x i+1 ], ϕ n (x) = 0 dns [x 0, x n 1 ], ϕ n (x) = x x n 1 dns [x n 1, x n ] x n x n 1 Ensuite, on montre fcilement que (ϕ i ) i=0,,n est une bse de l'ensemble P 1 : toute fonction g P 1 s'exprime de mnière unique sous l forme de ces composntes réelles (c j ) j=0,,n : g(x) = j=0 c j ϕ j (x), où c i = g(x i ) pour i = 0,, n (Vériction immédite : une telle somme nie de fonctions continues est continues, les c j vlent g(x j ) et l fmille (ϕ i ) i=0,,n est trivilement libre) On donc P 1 = Vect{ϕ 0,, ϕ n }, espce vectoriel de dimension n+1, et connître une fonction g dns P 1, c'est connître ses composntes c j sur l bse (ϕ i ) i=0,,n 122 L non comptibilité du problème initil On cherche une solution u h P 1 de (11) Cel semble bsurde En eet, u h n'est ps dérivble ux points x i, et il est encore plus mbitieux de considérer s dérivée seconde : il y pprition de msse de Dirc ux points x i et (11) n'est plus une éqution fonctionnelle 123 Formultion vritionnelle pour le problème pproché On commence pr remrquer que les fonctions f P 1, ie les fonctions continues sur [, b] qui sont nes pr morceux, sont bien dns l'espce H 1 ([, b]) Le problème (13) est bien dpté pour les fonctions P 1 : si u h et v h P 1, lors u h et v h H 1 ([, b]), et il est sensé d'essyer de résoudre le problème pproché : Trouver u h P 1 où u h () = u tq v h P 1 vérint v h () = 0 : p(x)u h(x)v h(x) dx + q(x)u h (x)v h (x) dx + λ b u h (b)v h (b) = f(x)v h (x) dx + g b v h (b) (14) progrmmtion P1 1D 3 8 mrs 2005

4 4 1 Le problème 124 Clcul prtique de l solution pprochée Schnt que les (ϕ i ) i=1,,n forment une bse de : le problème (14) s'écrit de mnière équivlente : P 1 = {v h P 1 : v h () = 0}, Trouver u h P 1 où u h () = u tq pour tout i = 1,, n : p(x)u h(x)ϕ i(x) dx + q(x)u h (x)ϕ i (x) dx + λ b u h (b)ϕ i (b) = f(x)ϕ i (x) dx + g b ϕ i (b) (15) Ce problème est en fit un système de n équtions, écrit ici comme étnt les n lignes indicées pr i, pour i = 1,, n Et l solution u h est cherchée dns P 1 : elle est donc décomposble sur l bse (ϕ i ), ie il existe n+1 réels c j (les composntes) tels que : u h (x) = c j ϕ j (x), j=0 et u h est connue si on connît les c j Clculons-les L CL de Dirichlet nous donne imméditement c 0 : u h () = u h (x 0 ) = c j ϕ j (x 0 ) = c 0, cr pr dénition des ϕ j on ϕ j (x i ) = δ ij Donc c 0 = u l première condition ux limites Il reste les n utres composntes (c j ) j=1,n de u h à clculer On les clcule à l'ide des n équtions (15) : on remplce u h pr s vleur n j=0 c jϕ j (x) pour obtenir : j=0 Trouver les c j, j = 1,, n tq pour tout i = 1,, n : ( j=0 p(x)ϕ j(x)ϕ i(x) dx) c j + = ( j=0 f(x)ϕ i (x) dx + g b ϕ i (b) On dénit lors les mtrices de rigidité R et de msse M pr : et on pose : R = [R ij ] 0 i n = [ 0 j n M = [M ij ] 0 i n = [ 0 j n c = c 0 c n q(x)ϕ j (x)ϕ i (x) dx)c j + λ b c n δ in p(x)ϕ j(x)ϕ i(x) dx] 0 i n, 0 j n q(x)ϕ j (x)ϕ i (x) dx + λ b c n δ in ] 0 i n, 0 j n, f f(x)ϕ 0(x) dx = f(x)ϕ n(x) dx (16) (17) (18) Les composntes 1 à n du vecteur c sont les inconnues du problème (l composnte c 0 est connue), et f est un vecteur clculble à prtir des données du problème Et notons : R = [R ij ] 1 i n, M = [Mij ] 1 i n, 1 j n 1 j n R 0 = [R i0 ] 1 i n (1ère colonne de R), M0 = [M i0 ] 1 i n (1ère colonne de M), c 1 c = c n (l'inconnue du problème), progrmmtion P1 1D 4 8 mrs 2005 f = f 1 f n

5 5 2 L progrmmtion Avec ces nottions, le problème (16) s'écrit : { Trouver c R n : ( R + M) c = f c0 ( R 0 + M 0 ), système résolu pr exemple vec une méthode de type LU Conclusion : On vient de trouver c On reconstitue donc l fonction cherchée : u h (x) = c j ϕ j (x) Il reste à dessiner cette fonction : tout logiciel usuel de clcul permet un tel dessin Remrque 12 D'un point de vue prtique, souvent on n'extrit ps R de R, mis on pose : (CL) =, R = R + (CL), M = M + (CL), f = et on résout : { Trouver c R n+1 : i= c 0 f 1 f n ( R + M) c = f On impose insi l vleur c 0 indirectement : le terme 10 7 étnt très grnd devnt les termes de l première ligne de R et de M, l première ligne de ce problème permet de trouver c 0 vec une très bonne pproximtion l progrmmtion est insi simpliée (peu dns le cs 1-D mis beucoup plus dns les cs 2-D et 3-D pr exemple) Remrque 13 Une utre méthode très proche de celle de l remrque précédente consiste à poser : 10 7 ( 0 0 ) ˆR = ( 0 0 ) [R ij ] 1 i n, ˆM = 0 [M ij ] 1 i n 1 j n 1 j n 0 0 et on résout : { Trouver c R n+1 :, ˆf = 10 7 c 0 f 1 f n ( ˆR + ˆM) c = ˆ f L condition ux limites c 0 est lors clculée de mnière excte Bien sûr, u lieu de 10 7 on peut prre tout simplement 1, mis prre 10 7 permet dns une méthode de résolution de type LU vec pivot d'voir un grnd pivot en première plce 2 L progrmmtion L progrmmtion consiste en le clcul des mtrices M de msse et R de rigidité, insi que du vecteur second membre f, voir (17) et (18) 21 Les f i Il s'git de clculer, voir (18), pour 0 i n : f i = f(x)ϕ i (x) dx = k=1 xk x k 1 f(x)ϕ i (x) dx On note, pour une fonction g quelconque, et I k = [x k 1, x k ] le k-ième intervlle : S k (g) = g(x) dx = I k xk,, (19) x k 1 g(x) dx (21) progrmmtion P1 1D 5 8 mrs 2005

6 6 2 L progrmmtion Et on remrque que le support des fonctions ϕ i est dns I i Ii+1 Donc pour i=0 et i=n il reste : f 0 = x1 Et, pour 1 i n 1 : f i = x 0 f(x)ϕ 0 (x) dx = S 1 (fϕ 0 ), f n = xi x i 1 f(x)ϕ i (x) dx + xi+1 xn x n 1 f(x)ϕ n (x) dx = S n (fϕ n ) x i f(x)ϕ i (x) dx = S i (fϕ i ) + S i+1 (fϕ i ) 211 Progrmmtion nturelle L'lgorithme est élémentire : 1- les extrémités sont clculées à prt : f(0)= S 1 (fϕ 0 ) et f(n)= S n (fϕ n ) 2- les f i pour i = 1,, n 1 : for i=1 à n-1, % pour chque point intérieur, f(i)= S i (fϕ i ) + S i+1 (fϕ i ) Cette progrmmtion élémentire pose problème dns le cs d'éléments nis dns le pln (cs 2-D) ou dns l'espce (cs 3-D) Regrdons pour simplier le cs 2-D vec un millge tringulire : les fonctions chpeu de bse ϕ i P 1 sont dénies comme étnt continues sur R 2, nes sur chque tringle, et vlnt 1 u noeud i, et 0 ux utres noeuds (les noeuds étnt pr dénition les sommets des tringles) Et donc les fonctions chpeu ont leur support qui est l'union des tringles dont un sommet est le noeud i L boucle précédente : for i=1 :n-1 n'est lors ps fcile à progrmmer : il fut commencer, pour chque noeud i à répertorier les tringles djcents, vnt de fire les clculs d'intégrle Une méthode plus simple est donnée u prgrphe suivnt 212 Progrmmtion en vue du cs n-d Sur chque intervlles I k on doit clculer les intégrles S k (fϕ i ), mis uniquement pour i = k ou i = k + 1, les utres cs donnnt des intégrles nulles Ainsi pour le premier intervlle k = 1, on doit clculer : 1- S 1 (f, ϕ 0 ) (pour voir f 0 ), 2- S 1 (f, ϕ 1 ) (pour voir l première prtie de f 1 ) Pour le second intervlle k = 2, on doit clculer : 1- S 2 (f, ϕ 1 ) (pour compléter f 1 ), 2- S 2 (f, ϕ 2 ) (pour voir l première prtie de f 2 ) Et on continue, d'où l'lgorithme : f(0)=0 % initilistion à 0 de f 0 for k=1 à n, % on prcoure les n intervlles f(k 1) = f(k 1) + S k (f, ϕ k 1 ) % seconde prtie de f k 1 f(k) = S k 1 (f, ϕ k ) % première prtie de f k Notez qu'vec cette progrmmtion, les termes de bord f 0 et f n se tritent de l même mnière que les termes intérieurs (on n' ps eu à les progrmmer à prt) Noter qu'en vue du cs n-d et des éléments nis P l pour l 2, on progrmme en fit : f=0 % initilistion à 0 de f for k=1 à n, % on prcoure les n intervlles f(k 1) = f(k 1) + S k (f, ϕ k 1 ) % prticiption à f k 1 f(k) = f(k) + S k 1 (f, ϕ k ) % prticiption à f k progrmmtion P1 1D 6 8 mrs 2005

7 7 2 L progrmmtion 22 Les M ij et R ij Il s'git de clculer, voir (18) : R ij = p(x)ϕ j(x)ϕ i(x) dx et M ij = Regrdons pr exemple M ij (R ij se tritnt de l même mnière) On : M ij = k=1 I k q(x)ϕ j (x)ϕ i (x) dx = q(x)ϕ j (x)ϕ i (x) dx T k (i, j), où on posé T k (i, j) = I k q(x)ϕ j (x)ϕ i (x) dx Aynt le support de ϕ l inclu dns [x l 1, x l+1 ] = I l Il+1, il vient : D'où : M ij = (I i Ii+1 ) (I j Ij+1 ) M ii = T i (i, i) + T i+1 (i, i) M i,i 1 = T i (i, i 1) M i,i+1 = T i+1 (i, i+1), k=1 q(x)ϕ j (x)ϕ i (x) dx j {i 1, i, i+1} : M ij = 0, Comme dns le prgrphe 212, il est judicieux de fire une boucle sur les intervlles (surtout en vue d'une progrmmtion en 2D ou en 3D) : insi pour le premier intervlle k = 1, on clcule : 1- T 1 (0, 0) pour voir M 00, 2- T 1 (1, 0) pour voir M T 1 (0, 1) pour voir M T 1 (1, 1) pour voir l première prtie de M 11 Pour le second intervlle k = 2, on clcule : 1- T 2 (1, 1) pour compléter M 11, 2- T 2 (2, 1) pour voir M T 2 (1, 2) pour voir M T 2 (2, 2) pour voir l première prtie de M 22 Et on continue, d'où l'lgorithme : M=0 % initilistion de 0 de l mtrice M for k=1 à n, % on prcoure les n intervlles M k 1,k 1 = M k 1,k 1 + T k (k 1, k 1) % seconde prtie de M k 1,k 1 M k,k 1 = T k (k, k 1) % clcul de M k,k 1 M k 1,k = T k (k 1, k) % clcul de M k 1,k M k,k = M k,k + T k (k, k) % première prtie de M k,k Notez que l mtrice M est symétrique, donc on M k,k 1 = M k 1,k, et il est susnt de clculer l'un de ces deux termes pourr voir l'utre sns clcul En 2-D cepnt, il n'y ucune rison pour que l mtrice M ou l mtrice R soient symétriques (on demnde seulement que (R + M) soit coercitive, voir le cours d'éléments nis) Noter qu'en vue du cs n-d et des éléments nis P l pour l 2, on progrmme en fit : M=0 % initilistion de 0 de l mtrice M for k=1 à n, % on prcoure les n intervlles M k 1,k 1 = M k 1,k 1 + T k (k 1, k 1) % prticiption à M k 1,k 1 M k,k 1 = M k,k 1 + T k (k, k 1) % prticiption à M k,k 1 M k 1,k = M k 1,k + T k (k 1, k) % prticiption à M k 1,k M k,k = M k,k + T k (k, k) % prticiption à M k,k Et cette structure de progrmme est conservée pour des éléments nis Pl, cs l 2, en n-d progrmmtion P1 1D 7 8 mrs 2005

8 8 2 L progrmmtion 23 Remrque sur les clculs d'intégrles Il est judicieux d'écrire son propre petit progrmme de clcul d'intégrle, pr exemple à l'ide de l méthode de simpson : β α α+β g(α) + 4g( 2 g(x) dx (β α) ) + g(β) 6 Cette formule est excte pour tout g polynôme de degré inférieur ou égl à 3, et est en O((β α) 4 ) pour toute fonction C 4 Comme pour nous les intervlles d'intégrtion sont les ]α, β[=]x k 1, x k [ de longueur h = x k x k 1 petite, cette formule donne de bons résultts En fit, pour des éléments nis P 1, qui donnent des résultts de précision O(h), il sut de considérer l méthode d'intégrtion des trpèzes : β α g(x) dx (β α) g(α) + g(β), 2 qui est excte pour les polynômes de degré 1 et en O((β α) 2 ) = O(h 2 ) pour les fonctions C 2, et comme on doit fire l somme n k=1 de termes en O(h 2 ) vec n = h, 1 l précision obtenue est en O(h) Cepnt, l méthode de Simpson n'est guère plus coûteuse (u moins en 1-D), et permet de considérer l'intégrtion des éléments nis P 3 24 Exercice Exercice 21 Vérier que les fonctions chpeu dénies Ÿ 121 sont dns H 1 ([, b]) Réponse Regrdons pr exemple l fonction ϕ 3 (un chpeu) Cette fonction ϕ 3 est continue sur [, b], donc de crré continue, donc de crré intégrble L fonction ϕ 3 pr contre n'est ps dérivble u sens clssique Mis elle l'est u sens des distributions : on, pour toute fonction ψ C ([, b]), notnt T ϕ3 l distribution régulière ssociée à ϕ 3 : (T ϕ3 ), ψ déf = ϕ 3, ψ = x3 x4 ϕ 3 (x)ψ (x) dx = ϕ 3 (x)ψ (x) dx ϕ 3 (x)ψ (x) dx, x 2 x 3 puisque ϕ 3 est nulle sur [x 0, x 2 ] [x 4, x n ] Et ϕ 3 est ne sur [x 2, x 3 ] et sur [x 3, x 4 ], de dérivée 1 vlnt respectivement x 3 x 2 et 1 x 4 x 3 Donc, près intégrtion pr prties : (T ϕ3 ), ψ = = x3 1 x 2 x 3 x 2 ψ(x) dx + x4 x 3 1 x 4 x 3 ψ(x) dx ( 1 ]x2,x x 3 x 3 [ 1 1 ]x3,x 2 x 4 x 4 [)ψ(x) dx 3 Et donc (T ϕ3 ) est l distribution régulière ssociée à l fonction 1 x 3 x 2 1 ]x2,x 3[ 1 x 4 x 3 1 ]x3,x 4[ (c'est l dérivée usuelle là où elle pouvit être clculée, ie illeurs qu'ux coins x 2, x 3 et x 4 ) On l note simplement (T ϕ3 ) = ϕ 3 Et l fonction en esclier ϕ 3 est bien de crré intégrble (elle est dénie en esclier presque prtout donc intégrble pour l mesure de Lebesgue) On fit les mêmes clculs pour toutes les fonctions ϕ i pour i = 0,, n, les fonctions demichpeu ϕ 0 et ϕ n ne posnt ps de problème prticulier (il n'y qu'un terme à intégrer pr prties u lieu de deux), puis toute fonction de P 1 étnt combinison linéire des ϕ i, toute fonction de P 1 est églement dns H 1 ([, b]) progrmmtion P1 1D 8 8 mrs 2005

9 9 2 L progrmmtion %%%%%% % progp1_tousm : progrmme de clcul de l solution du probleme % du Lplcien en 1-D vec elts finis P1, vec subroutines %%%%%% % % Résolution de : % -bet u'' + lph u = f % pour les CL de Dirichlet homogenes; % sur l'intervlle [,bb] =0, bb=pi, n=10, h=(bb-)/n; bet=1, lph=1, f='fb', % fonction pour membre de droite (voir fichierm) % Initilistion des mtrices K de rigidté, et M de msse K = sprse(n+1,n+1); M = K; % Assemblge : for k = 1:n % Considértion du kieme intervlle h=+(k-1)*h; bh=+ k *h; for il =1:2, % il=ilocl ig = k-1 + il; % ig=iglobl for jl = 1:2, % jl=jlocl jg = k-1 + jl; % jg=jglobl K(ig,jg) = K(ig,jg) + integsimpson('pdpdbb',h,bh,h,bh,il,jl); M(ig,jg) = M(ig,jg) + integsimpson('ppbseb',h,bh,h,bh,il,jl); % Mtrice de membre de guche : K=bet*K+lph*M; % Assemblge du membre de droite : F=sprse(n+1,1); for k = 1:n % Considértion du kieme intervlle h=+(k-1)*h; bh=+ k *h; for il =1:2, % il=ilocl ig = k-1 + il; % ig=iglobl F(ig) = F(ig) + integsimpson('ppbsef',h,bh,h,bh,il); % Membre de droite % Prise en compte des conditions de Dirichlet homogène, pr pénlistion : K(1,1)=10^7; K(n+1,n+1)=10^7; F(1)=0; F(n+1)=0; % Prise en compte des conditions de Dirichlet homogène, de mnière excte : % sprintf('conditions ux limites de Dirichlet') % K=K([2:n,2:n]); progrmmtion P1 1D 9 8 mrs 2005

10 10 2 L progrmmtion % M=M([[2:n,2:n]]); % F=F([2:n]); % et dns l solution on doit fire : % u(2:n+1)=u;u(1)=0;u(n+2)=0; % Clcul de l solution : u=k\f; % Dessin du grphe de l solution u(x) : x=:(bb-)/n:bb;plot(x,u) % LE PROGRAMME CI-DESSUS DOIT ETRE DANS UN FICHIER SEPARE function pbseb=pbseb(x,i,,b) % les deux fonctions phi_i de bse d'un élément fini P1, i=1,2, sur l'intervlle [,b] % (les deux demi-chpeux) if (i<1 i>2),error('il n''y que deux fonctions de bse sur [x_{i-1},x_i]'), if (i==1) pbseb=1-(x-)/(b-); else pbseb=(x-)/(b-); function ppbseb=ppbseb(x,,b,i,j) % produit phi_i*phi_j des fonctions de bse sur l'intervlle [,b], <b : ppbseb=pbseb(x,i,,b)*pbseb(x,j,,b); function pdbseb=pdbseb(x,i,,b) % les derivees phi_i' des deux fonctions de bse, i=1,2, sur l'intervlle [,b] % Voir les fonctions de bse pbsebm if >=b, error(' doit etre inferieur b'), if (i<1 i>2),error('il n''y que deux fonctions de bse'), if (i==1) pdbseb=-ones(size(x))/(b-); else pdbseb=ones(size(x))/(b-); function pdpdbb=pdpdbb(x,,b,i,j) % produit phi_i'*phi_j' des dérivées des fonctions de bse sur l'intervlle [,b], <b, % pour obtenir l'intégrnt de \int_^b phi_i'(x)phi_j'(x) dx pdpdbb=pdbseb(x,i,,b)*pdbseb(x,j,,b); progrmmtion P1 1D 10 8 mrs 2005

11 11 2 L progrmmtion function ppbsef=ppbsef(x,,b,i) % produit phi_i(x)*f(x) % pour obtenir l'intégrnt de \int_^b pbseb(x)*fb(x) dx ppbsef=pbseb(x,i,,b)*fb(x); function y=fb(x) % fonction pour le membre de droite %y=ones(size(x)); y=10*x^0; function vl=integsimpson(fun,,b,vrrgin) % intégrtion de fonction fun pr simpson sur [,b] c=(+b)/2; y=fevl(fun,[ c b],vrrgin{:}); f=y(1); fc=y(2); fb=y(3); vl=(b-)*(f+4*fc+fb)/6; progrmmtion P1 1D 11 8 mrs 2005