BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE 2

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1 MINISTERE DE L 'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR FACULTE DES SCIENCES. DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES OSMANOV Hmid KHELIFATI Sddek BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE PARTIE : INTEGRATION. INTEGRALE INDEFINIE et INTEGRALE DEFINIE vec rppels de cours, réponses et certins corrigés. EDITION

2 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Chpitre VIII. Intégrle indéfinie. Clcul intégrl. L intégrle indéfinie est le prolème inverse de l recherche de l dérivée d une fonction donnée.. Primitives. Intégrle indéfinie. VIII..Notion de primitives d une fonction. Soit f une fonction définie sur un intervlle I R. On cherche une fonction F définie et dérivle sur I vérifint: F f, I. () Définition. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F définie et dérivle sur I, vérifint l éqution (). Théorème. Si f dmet une primitive, lors elle en dmet une infinité et si F,G sont deu primitives de f sur I, lors il eiste une constnte c R telle que : F G c, I. VIII.. Intégrle indéfinie. Définition. On ppelle intégrle indéfinie de f sur I R l ensemle des primitives de f sur I, si elles eistent, qu on note f, I. Si F est une primitive de f, lors on écrit : f F c, c R. En prtique, on désigne souvent pr l intégrle indéfinie une certine fonction primitive u lieu de l ensemle des primitives de f. VIII.. Eistence de l intégrle indéfinie. Pour l eistence de l intégrle indéfinie d une fonction f, c est à dire d une primitive, on l condition suffisnte suivnte: Théorème. Toute fonction continue sur un intervlle dmet une primitive sur cet intervlle. Conséquence. Les fonctions élémentires réelles dmettent toutes des primitives. Remrque. Il eiste des fonctions n dmettnt de primitives u sens de l définition donnée..clcul intégrl.

3 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr L opértion de recherche de l intégrle indéfinie est ppelée intégrtion ou primitivistion et pour cel, on dit souvent intégrer une fonction u lieu de clculer son intégrle indéfinie. VIII.. Propriétés fondmentles de l intégrle indéfinie. Les propriétés suivntes sont vries: i) f g f g ; ii) f f, R; iii) f f ou d f f; iv) df F c; v) si f F c, lors f F c. VIII.5. Tle des principles intégrles indéfinies. A prtir de l tle des dérivées des fonctions élémentires, on étlit l tle suivnte des primitives de fonctions élémentires: i) c ; ii) c, R,, iii) log c, ; e e c, R; iv) log c ; v) sin cos c ; cos sin c, R; vi) cos tg c, k; sin ctg c, k, k Z; vii) rcsin c, rccos c,, ; viii) rctg c, rcctg c,, R ;

4 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr i) sh ch c, R; ch sh c, R; ) ch th c, R; sh cth c, ; i) log c rgsh c, R; ii) log c ; iii) log c rgth c, rgcth c.. VIII.6. Méthode directe d intégrtion. Cette méthode consiste, grâce u propriétés des intégrles et u trnsformtions sur l fonction à intégrer, à utiliser l tle des principles primitives. Eemples. sin sin cos rctg c. VIII.7. Méthode du chngement de vrile. Prmi les méthodes d intégrtion les plus effectives, il y l méthode du chngement de vrile qui consiste à écrire l fonction à intégrer f sous l forme f g.. On le théorème suivnt: Théorème. Soient f g., et t définie et dérivle sur un intervlle I R. Si l fonction t y gt dmet une primitive Gt sur un intervlle I t tel que I I t, lors l fonction f g dmet une primitive sur I et on f g. G c, c R. () En prticulier le théorème est vri si g, et sont continues. Méthode prtique. Soit à clculer f qui peut se mettre sous l forme f g telle que g dmet une primitive G, lors, d près le théorème, on

5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr pose t, dt. Dns ce cs, on f gtdt Gt c G c. Eemple. Clculer F sin.cos. Remrquons tout d ord que sin.cos sin sin sin dsin. Ainsi, en posnt t sin, on otient : sin.cos t dt t/ c sin/ c. Prfois le chngement de vrile n est ps visile et on peut, dns certins cs, poser t. Plus précisément, on le théorème suivnt: Théorème. Soient f une fonction continue sur I et : J I une fonction inversile telle que C J. Alors, en posnt t, on otient l formule f ft tdt gtdt Gt c, () vec t, tdt et G une primitive de g. On revient ensuite à l vrile en remplçnt t, d où f G c. () Cette méthode est dite méthode de sustitution. Eemple. Clculer. Dns cet eemple, le chngement de vrile n est ps / visile et il est préférle d utiliser le théorème en fisnt le chngement suivnt: t tgt. Dns ce cs, on dt cos t, /, cos t et en remplçnt dns l intégrle, on otient, près quelques trnsformtions trigonométriques: cos t / cos t dt cos tdt sint c. Comme t rctg, lors on l résultt: / sinrctg c c. Remrques. ) Le choi du chngement de vrile doit être judicieu et seule l prtique du clcul intégrl permet de le déterminer. ) Comme dt d dns le théorème, il est préférle d écrire l intégrle sous l forme: f gd F c. ) Nous conseillons u lecteur de vérifier les résultts otenus en clculnt leurs dérivées qui

6 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr doivent être égles u fonctions à intégrer. VIII.8. Méthode d intégrtion pr prties. Un grnd nomre d intégrles se clculent pr l méthode d intégrtion pr prties qui est donnée pr le théorème suivnt: Théorème. Soient u, v deu fonctions dérivles sur un intervlle I R telles que l fonction u v dmet une primitive sur I. Alors l fonction uv dmet une primitive sur I et on : uv uv u v. (5) En prticulier le théorème est vri si u,v C I. Symoliquement, on écrit: u dv u.v v du. Remrques. ) Le choi de cette méthode n de sens que si l intégrle figurnt dns le memre de droite de l formule (5) est fcile à clculer. ) Le choi des fonctions u et v doit être judicieu et ce n est que pr l prtique des eercices que l on pourr plus fcilement fire ce choi. ) L prtique montre qu un on nomre d intégrles susceptiles d être clculées pr l méthode d intégrtion pr prties peuvent être clssées en trois groupes: ) f log, f rcsin, f rccos, frctg, frccos, frctg,...dns le cs où f dmet une primitive;. P cos, P sin, Pe où P est un polynôme R, dns ce cs, on pose u P; c. e cos, e sin, R, sinlog, coslog,, R. Eemples. Comme pour les eemples précédents, l constnte ritrire est désignée pr l lettre c R. ) rctg. Posons u rctg et v. Alors on

7 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr u et v et, d près l formule d intégrtion pr prties: rctg rctg rctg rctg rctg rctgc c rctg c. ) I n log n. Posons u log et v n. Alors on : u n, v et d près l formule d intégrtion pr prties: n n log n n log n n n n log c. n ) Etlissons une formule récurrente pour clculer l intégrle I n dt t, n. n On, en intégrnt pr prties : I n dt t t n t n t dt n t n t t n t dt t n t n t ni n n n I n, d où l on déduit l formule de récurrence suivnte: I n t t n n k I n, n. Comme I n se clcule en fonction de I n, I n en fonction de I n et insi de suite, lors il revient, en fin de compte, à clculer I qui est égle à: I dt t rctg t c.. Intégrtion de frctions rtionnelles. Les frctions rtionnelles forment une clsse importnte de fonctions dont l intégrle se clcule pr les méthodes précédentes et dont l intêret réside dns le fit que: / l intégrtion de nomreuses fonctions non rtionnelles se rmène à celle de frctions rtionnelles pr des chngements de vriles; / il eiste une méthode générle d intégrtion d une frction rtionnelle qui consiste, près l voir trnsformée, à intégrer une somme finie de frctions plus simples. Pour cel, rppelons le théorème sur l décomposition d une frction rtionnelle réelle en une somme finie de frctions, ppelées éléments simples.

8 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr VIII.9. Décomposition d une frction rtionnelle en éléments simples. Théorème fondmentl de décomposition. Soient P Q une frction rtionnelle telle que degp degq et Q m m... k m k p q n p q n... p l q l n, vec,,..., k, p, q, p, q,..., p, q R, m, m,..., m k, n, n,..., n N et i p i q i, i,,...,. Alors l frction rtionnelle P Q se décompose en une somme finie unique d éléments simples de première et deuième espèces comme suit: P Q A A... A m m A A... A m m... A k k M N p q M N p q A k k... A kmk k m k M N p q... M n N n p q n M N p q... M n N n p q n... M N p q M N p q... M n N n p q n. vec A,A,...,A kmk, M,N,M,N,...,M n,n n R, i p i q i, i,,...,. De mnière condensée, cette décomposition s écrit k P Q i m i j A ij i j i n i j M ij N ij p i q i j. VIII.. Méthode des coefficients indéterminés. Eemple. Pour déterminer les coefficients A ij, M ij et N ij, on une méthode générle, dite méthode des coefficients indéterminés qu on illustre pr l eemple suivnt: soit à décomposer l frction régulière P Q. D près le théorème, on l formule de décomposition suivnte :

9 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr A B M N A B M N A M B N M B M N A B N. En identifint coefficients dns les numérteurs, on otient le système d équtions linéires suivnt: A M B M N B M N A B N. Ce système dmet une solution unique : A, B, M et N. D où l décomposition :. Remrque. L méthode des coefficients indéterminés peut s vérer longue et prfois il vut mieu ppliquer l méthode d élimintion dns le cs où le dénominteur Q n dmet que des rcines réelles: Q m m... k m k, i j si i j. Dns ce cs, les coefficients A ij sont données pr l formule suivnte A ij m i j! d m ij P Q i m i i, i,...,k, j,...,m i. VIII.. Méthode d intégrtion d une frction rtionnelle. Soit à intégrer une frction rtionnelle P Q. Premier cs: si P est régulière (i.e.. degp degq, lors, d près le théorème Q fondmentl, on l décompose en une somme finie d éléments simples qui sont de l forme: A m, M N p q, A,,M,N R, m,n N, n p q. En fonction de m et n, intégrer une frction rtionnelle régulière revient à clculer qutre types d intégrles, à svoir: type I : A A log c cs m ; type II: A m A c cs m ; m m type III: M N cs n ; p q

10 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr type IV: M N cs n. n p q Algorithme de clcul des intégrles de types III et IV. Schnt que p q q p et en posnt q p, on peut écrire : p q p q p p. Pour le clcul des intégrles de types III et IV, on pose t p et on dt. VIII.. Eemple. Clculer. L frction rtionnelle P Q étnt régulière, on peut l décomposer en éléments simples suivnt l formule : A B C M N Pr l méthode des coefficients indéterminés, on otient: A, B, C, M, N, R, S. D où: R S.. Pour les intégrles de types I et II, on otient : log c, c, c. Pour les intégrles de types III et IV, écrivons d ord : 9 t. En posnt t et et, on otient t t dt t t dt logt rctg t c, dt t

11 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr t t dt t t dt dt t. L dernière intégrle se clcule d près l formule de récurrence de l eemple ) du n o VIII.8. Finlement, on trouve près rrngement des termes que log 9 rctg log c. Deuième cs. Si degp degq, lors en fisnt l division euclidienne, on otient P Q S Q R, degr degq, telle que S est un polynôme et R une frction rtionnelle régulière et, lors on Q P Q S R Q.. Intégrtion de certines clsses de fonctions irrtionnelles. Certines fonctions irrtionnelles peuvent se rmener à une intégrtion de frctions rtionnelles pr un chngement de vrile. VIII.. Polynôme et frction rtionnelle de deu vriles. Définition. On ppelle polynôme de deu vriles u, v de degré n toute epression de l forme: Pu,v u v u uv v... n u n où,,..., n R. n, u n v... n v n, Définition. On ppelle frction rtionnelle de deu vriles u, v tout rpport de deu polynômes des vriles u et v. Une frction rtionnelle est donc une epression de l forme Ru,v Pu,v Qu,v,

12 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr où P, Q sont des polynômes des deu vriles u, v. Dns le cs où u, v sont des fonctions de l vrile, lors R, est dite frction rtionnelle de et. Eemples. Ru,v u uv 5v u v u ; R, 5, u, v ; Rsin,cos cos sin cos sin cos sin 6. Remrques. Dns l eemple, l fonction R R, est une fonction irrtionnelle de l vrile seulement. 5 VIII.. Intégrles de l forme fonction R est irrtionnelle en. Posons On otient, près clcul: d où R, n t n c d, c d R, n t n dtn ct n, R où R est une frction rtionnelle en t. c d c d. dtn ct n,t, d c. Dns ce cs, l nd ctn ct n nd ct n ct n dt, dt R tdt, Eemple. Clculer l intégrle I. En posnt t, on otient près clcul t t, 6t t dt, d où... 6 t t t dt t t dt. L dernière intégrle est une intégrle d une frction rtionnelle en t qu on peut résoudre pr l méthode eposée précédemment. Le résultt trouvé est:

13 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr log t t t rctg t c, vec t. Remrque. L méthode précédente peut se générliser u intégrles de l forme: m m m k n, n,..., n k, R, c d c d c d en posnt t r c d, où r PPCMn,n,...,n k, c est à dire le plus petit commun multiple de n,n,...,n k. Eemple. Clculer l intégrle. Dns ce cs, on 5 d, c, n, n 5 et PPCM,5. En posnt t, on otient, près clcul t 5, 5 t, t 9 dt, d où 5 dt t 5 t. L résolution de cette intégrle d une frction rtionnelle donne 5 log 5 5 c. 5 5 VIII.5. Intégrles de différentielles inômiles de l forme m n p, où m, n, p sont des nomre rtionnels et, des nomres réels. On démontre que ces intégrles peuvent être rmenées à des intégrles de fonctions rtionnelles dns les trois cs suivnts ) Si p est entier, lors on pose z k où k est le dénominteur commun des frctions m et n. ) Si m est entier et p frctionnire, lors on pose n z k où k est le n dénominteur de p. ) Si m n et p sont des nomres frctionnires mis l somme m n p est un nomre entier, lors on pose n n z k, où k est le dénominteur de l frction p. Remrque. En dehors de ces trois cs cités, l intégrle d une différentielle inômile ne peut être eprimée à l ide de fonctions élémentires. VIII.6. Intégrles de l forme R, c. Dns ce cs, y c vec, et l fonction R est une fonction irrtionnelle en.

14 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Méthodes de sustitution d Euler. On une méthode générle d intégrtion pour clculer ce type d intégrle qu on peut trnsformer en une intégrle d une frction rtionnelle pr des chngements de vrile de trois types. i Première sustitution d Euler. Cs. On pose lors c t. Etudions le cs c t. En élevnt u crré les deu epressions et en simplifint les clculs, on otient t c t, t t c c, t t c dt. t t En remplçnt ces epressions dns l intégrle, on otient R t c t, t t c t t c t t où R est une frction rtionnelle en t. Les utres cs se tritent de l même mnière. dt R tdt, ii Deuième sustitution d Euler. Cs c. On pose lors c t c. Etudions le cs c t c. Après clcul, on otient c t, c t t c c, c t t c t t t En remplçnt ces epressions dns l intégrle, on otient R c t c t t c, c t t c dt R t t t tdt, où R est une frction rtionnelle en t. dt. iii) Troisième sustitution d Euler. Cs où le trinôme c deu rcines réelles distinctes, c est à dire que c et donc c. On pose lors c t ou t. Etudions le cs c t. Après clcul, on otient t, t c, t t En remplçnt ces epressions dns l intégrle, on otient t t dt.

15 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr t t où R est une frction rtionnelle en t., t t t t dt R tdt, Remrque. L méthode des sustitutions d Euler est générle pour ces types d intégrles, mis elle peut mener à des clculs fstidieu. Il peut eister des méthodes plus simples et plus judicieuses pour l résolution de certines intégrles de ce type (voir VIII. 7, cs V). Eemple. Clculer l intégrle I. Dns cet eemple, on c. Fisons l première sustitution d Euler en posnt t. Elevons les deu epressions u crré et simplifions les termes identiques t t t t t t t, d où t t t t, t t t dt, tt t. En remplçnt ces epressions dns l intégrle I et près simplifiction, on otient t t dt dt tt t t t t tt t dt log t log t c. t t d où log c. 5. Intégrtion de certines clsses de fonctions trnscendntes. VIII.7. Intégrles de l forme: Rsin,cos, où Rsin,cos étnt une fonction trnscendnte en. Pour ce type d intégrle, on peut fire le chngement de vrile universel : t tg rctgt. On dns ce cs: tg tg sin t, cos tg t tg t t, dt t.

16 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr En remplçnt ces epressions dns l intégrle, on otient: R t t, t t dt R t tdt, où R est une frction rtionnelle en t. Eemple. Clculer I 5 cos. Posons t tg. On cos t t, dt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle I, on otient t 5 cos 5 t t dt dt t rctg tg c. t Remrque. L méthode générle eposée pour ce type d intégrle peut mener à des clculs prfois très longs. Pour cel, il eiste des méthodes plus efficces et plus simples pour clculer ces intégrles si l fonction R possède certines propriétés. Voici quelques cs: I. ) Si R sin,cos Rsin,cos, on peut poser t cos, ) Si Rsin,cos Rsin,cos, on peut poser t sin, ) Si R sin,cos Rsin,cos, on peut poser t tg. Ce dernier cs est vlle si on Rsin,cos. II. Intégrles de l forme sin m cos n. Cs m,n Q. En posnt u sin ou u cos, on se rmène à une intégrle de différentielle inômile. Cs m,n Z. ) Si l un des deu eposnts est pir et l utre impir, on peut poser t cos. ) Si m k et n, lors on peut poser t cos et l intégrle devient t t k dt. k ) Si m k, n, lors on peut poser t tg et on se rmène u cs I.), ou ien comme sin cos, cos cos lors l intégrle devient sin p cos q p q cos cos. En développnt l epression sous l dernière intégrle, on otient des intégrles suivnt les puissnces pires et impires de cos. Alors, on peut ppliquer le cs )., Eemple.. On pose t tg et lors sin cos cos tg t, sin t t, dt t. En remplçnt dns l intégrle, on otient:

17 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr sin cos t dt t t t dt t tg tg C. tg t t C III. Intégrles de l forme sin cos. Dns ce cs, on pplique les formules de trigonométrie suivntes: sin cos sin sin, sin sin cos cos, cos cos cos cos. IV. Intégrles de l formes sin n et cos n. Dns ce cs, on peut linériser les fonctions à intégrer suivnt les formules: n N, cos n n cos n C n cosn...cosn, n n p, sin n n cos n C n cosn n C n cosn... cosn n n p, sin n n sin cos n C n cosn C n cosn... où C k n n! k!n k!. Eemple. Clculer cos. On cos cos cos cos Eemple. Clculer I cos cos sin sin C. 8 sin cos sin sin. En posnt cos sin t t t t tg, on otient dt t tdt t

18 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr dt t rctgt c rctg(tg ) c. V. Intégrtion des intégrles éliennes de l forme R, c à l ide de trnsformtrions trigonométriques si et c. On peut montrer que cette intégrle se rmène à une intégrle de l forme R sint,cos tdt comme suit: ) Si et c, lors R, c R, c Rt, m t n dt, où m, n c. En posnt mt n tgz, on otient une intégrle de l forme R sinz,cos zdz. ) Si et c, lors R, c Rt, m t n dt. En posnt t n mcos z, on otient une intégrle de l forme R sinz,cos zdz. ) Si et c, lors R, c Rt, n m t dt. En posnt t m n sinz, on otient une intégrle de l forme R sinz,cos zdz. ) Lorsque et c, lors l fonction à intégrer n ucun sens. otient Eemple. Clculer l intégrle cos tdt 6 cos 6 t dt cos t. En posnt sint, cos tdt, on C C. tgt C sint cos t VIII.9. Intégrle de fonctions trnscendntes de l forme Re. Dns ce cs, on pose t e, et lors on dt e t dt. En remplçnt ces t epressions dns l intégrle, on otient

19 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr où R est une frction rtionnelle en t. Re Rt t dt Rtdt, Remrque. L même méthode peut s ppliquer u cs où R est une frction rtionnelle en sh, ch, th, cth. (Voir ussi n o suivnt). Eemple. Clculer e e. En posnt t e, on otient, près trnsformtion: e e t t dt t... log e c. VIII.. Intégrle de fonctions trnscendntes de l forme Rsh,ch. Comme pour les intégrles des frctions de fonctions trigonométriques, on peut fire le chngement de vrile universel pour ce type d intégrles en posnt: t th pour se rmener à une intégrle d une frction rtionnelle en t. En effet, on dns ce cs sh t, ch t et t t t dt. Alors Rsh,ch R t t, t t dt t. Remrque. Comme pour les intégrles de l forme sin m cos n, on peut ppliquer les mêmes remrques pour clculer sh m ch n. Pr eemple si m,n sont des nomres rtionnels, lors on se rmène à une intégrle d une différentielle inômile en posnt t sh ou t ch. VIII.. Fonctions dont les primitives ne sont ps des fonctions élémentires. Certines intégrles de fonctions élémentires simples ne peuvent être clculées pr les méthodes eposées précédemment. Comme pr eemple, les intégrles e, cos, sin, log, cos, sin, eistent, mis elles ne peuvent ps être eprimées sous forme de fonctions élémentires, contrirement u dérivées de fonctions élémentires qui sont ussi élémentires. Dns ces cs, ces intégrles définissent de nouvelles fonctions réelles, dites fonctions définies pr une intégrles.

20 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Enoncés des eercices du chpitre VIII. Eercice 8.. Vérifier que l fonction F k cos k, k,k, k Z, est une primitive de l fonction f sin, R. Eercice 8.. i) Trouver l primitive de l fonction f, R pssnt pr le point de coordonnées,. ii) Trouver l erreur dns le risonnement suivnt: log c log c. Eercice 8.. Soit F une primitive de l fonction f : R R. Démontrer les reltions suivntes: ) si f est impire, lors F est pire; ) si f est pire, lors F F est impire; ) si f est périodique de période T, F FT, lors l fonction F est périodique de période T sur R. Eercice 8.. i) Soit F C,, c, et f :, R continue u point c. Supposons que F est une primitive de l fonction f sur chcun des intervlles,c et c,. Démontrer que F est une primitive de f sur,. ii) Montrer que l fonction sgn, n dmet ps de, primitive sur,.(comprer vec i)). Eercice 8.5. i) En utilisnt l tle des intégrles, clculer : ) n m.. ) e. cos cos. 5) tg. 6. 7). 8 cos sin. ii) Mettre les intégrles suivntes sous l forme fd, ensuite les clculer: 9) ) sin. 7.

21 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) ln m. ln. 5) e. 6 e. 7) cos. 8 sin. 9). cos sin. cos ) cos cos. e e. ) 5) th. 6 cth. 7) e ) Eercice 8.6. A l ide d un chngement de vrile, clculer: ). ).. ). 5. 6). 7. 8). 9 e e. ) e. ln ln tg. ) ln sincos. ) poser, ou tg t. t ). 5. 6) ). 9. ) ) ) ). 7 ln. 8) sin 6 cos. 9 cos.

22 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) sin. sin cos. ) rctg. rccos. ) ln rccos rccos. 5 rcctg. Eercice 8.7. Trouver l erreur dns le risonnement suivnt: du, u v, dv. Eercice 8.8. En intégrnt pr prties, clculer: ) n ln n. rctg. ) rccos. rctg. 5) cos. 6 rctg 7) rcsin. 8 ln. 9).. ) e. sin. ) cos. ln. 5) ln 6 e sin 5. 7). 8 rccos. 9) tg. rcsin. ) sin. rctg. ) 6 e. rcsin. 5) ln. 6. 7) e sin. 8) sin ln ; 9 e rccos. cos e. Eercice 8.9. Trouver les formules de récurrence pour les intégrles I n n N suivntes: ) I n n e,. I n ln n. ) I n ln n,. I n n, n. 5) I n sin n, n. 6 I n cos n, n. 7) I n sh n, n. 8 I n ch n, n.

23 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 9) I n sin n, n. ) I n, n N,. n I n ch n, n. Eerice 8.. A l ide de l méthode de décomposition des fonctions rtionnelles en éléments simples, clculer les intégrles suivntes: ),. ) 9, ) 5 8, 6. 7) 6 5, 8. 9) 5 5 6, 5 6. ),. ), ), 6. 7) , 8. 9),. ),. ) 5,. 5), 6. : 7), ),. Eercice 8.. Clculer les intégrles de fonctions irrtionnelles suivntes: ).. ).. 5). 6. 7) )..

24 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eercice 8.. (Intégrtion de différentielles inômiles de l forme m n p. ).. ).. 5) ) ).. ). ) Eercice 8.. Clculer les intégrles suivntes pr l méthode de sustitutions d Euler: ).. ).. 5). 6. 7). 8. 9).. ) ).. 5). Eercice 8.. Clculer les intégrles des fonctions trigonométriques: ) sin cos. sin cos. ) cos sin. sin cos. 5) sin. 6 sin cos. 7) sin cos. 8 cos6. 9) tg 5. tg 8.

25 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) sin cos. cos sin cos sin. ) sin cos.. 5 cos 5) cos sin. 6 5 sin. 7) 5 sin cos. 8 sin tg. 9). sin sin. ) sin ; cos. ) cos sin 5 ; cos sin ; : 5) cos ; 6 sin cos ; 7) tg ; 8 ctg. Eercice 8.5. Clculer les intégrles des fonctions hyperoliques suivntes: ) sh ; ch ; ) th ; sh ch ; 5) sh.ch ; 6 ch ; 7) th. Eercice 8.6. Trouver une primitive de chcune des fonctions suivntes dns les prties indiquées: ) f e, R; ) f cos, R; ) f log,,; ) f E sin ; 5) f si et f si ; 6) f. Eercice 8.7. (Eercices divers). Clculer les intégrles suivntes en indiqunt l méthode utilisée: ) ; ) sincos ; ) e ; ln cos cos ; 5 ; 6 5 ; 6 7) e ; 8 e e ; 9) ; ; ) sin ; ln ; ) ; cos sin tg cos ;

26 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 5) ; 6) sin cos 5 ; 7) ; 8) ; 9) ; 7 ; ) 5 ; 9 e 5. 6 e e ; e sin cos ; 5 ; 6) sin cos ; 7 ; 8) 5 cos ; 9 ; ln ln ; ) ; ) e e ; ) ; ) sin cos sin ; 5) 7 ; 6) 6 ; : 7) e ln ; 8) 5 ; 9 ; ) sin cos 6 ; ) ; ) ; ) rctgn ; cos sin ; 5) cos sin ; 6 ctg ln sin ; 7) ; 8 5 ; 9) sin sin ; 5) m, ; 5) 9 ; 5) cos5 ; 5 cos ; 5) ; sin 55). Eercice 8.8. Soit f une fonction monotone, continue et f son inverse. i) Montrer que si f F c, lors f f Ff c. ii) Etudier les eemples suivnts:

27 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) f n n ; f e ; f rcsin ; f rgth.

28 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Réponses u eercices du chpitre VIII. Eercice 8.. i) F rctg, R. Eercice 8.5. ) n m n mn n C; ) 5 C; 5 ) C e ln ; ) tg C 5) tg C; 6) rctg C; 7) tg C. 8) ln rctg C; 9) 8 C ) 5 8 /5 C; ) cos C; ) ln 7 C; ) lnln C; ) ln m m C; 5) e C; 6) e C; 7) sin C; 8) sin C; 9) ctg C; ) 8 cos cos C; ) sin sin5 C; ) e e C; ) rctgc; ) 6ln C; 5) th C; 6) cth C; 7) ln e C; 8) ln 5 5 ln C; 9) rcsin ln C; ) C. Eercice 8.6. ) ln C; ) C ) C; ) ln C. 5) rctg C; 6) rctg C; 7) ln C; 8) ln 6 C; 9) e e e C; ) ln e C; ) ln ln ln ln ln C ) ln tg C ; ) C; ) rcsin C;

29 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 5) 7) 9 9 C; 6) C; 8) ln 9) rcsin C; ) ln 7 C; ) ln 5 5 rcsin C; C rctg C; ) 5 C; ) 5 ln C; ) C; 5) ln C; 8 5 6) C; 7) ln C; 8) sin 7 C; 9 7 9) sin C; ) cos C; ) ln cos C; ) rctg C; ) 6 rccos C; ) ln rccos C; 5) rcctg C. Eercice 8.8. ) n n ln n C; ) rctg C; ) rccos C; ) rctg rctg C; 5) sin cos C; 8 6) rctg ln C; 7) rcsin C; 8) ln rctg C; 9) rctg C; ) C; ) e C; ) cos sin 6sin 6 cos C; ) 6 sin cos sin C; 8 ) ln ln C; 5) ln ln C; 6) e sin cos C; 7) ln C; 8) rccos rccos. C; 9) tg ln cos C; ) rcsin C; 6

30 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) sin cos C; 8 ) rctg C; e ) 8 9 C; ) rcsin ln C; 5) ln ln ln C; 6) 8 8 ln C; 7) sin cos e C; sin ln cos ln 8) C; 9) e rccos C; ) sin cos e 8 C. Eercice 8.9. ) I n n e n I n; ) I n ln n ni n ; ) I n ln n 5) I n cos sinn n n n 7) I n chshn n n n n n n I n ; I n ; 6) I n sincosn n n n I n ; n I n; ) I n n 9) I n cos n sin n n ) I n ) I n n sh n ch n n n I n; I n ; 8) I n shchn n n n I n. n I n; n n n I n. Eercice 8.. ) ln C; ) 5 ln C; ) ln 5 C; 7 ) ln ln ln C; 5) ln 5ln ln C; 6) ln 7 6 ln 6 9 ln C; 7) ln 6ln 5ln 5 C;

31 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 8) ln C; 9) ln ln C; ) 6 ln 9 ln 8 ln C; ) 6 ln C; ) ln C; ) ln ln C; ) ln C; 5) ln C; 6) ln C; 7) 5 ln 7 ln ln C; 8) C; 9) ln C; ) ln rctg C; ) ln ) rctg ln rctg C; 5 ) ln rctg C; ) ln rctg C; 5) ln rctg C; 6) ln ln C; 7) ln rctg 7 C; 8) ln rctg rctg C; 9) rctg C; ) 8 rctg ; ln C. Eercice 8..

32 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) ln C; ) 6t t t t 6 5 t5 6 7 t7 ln t 6rctgt C, t 6. ) ln rctg 6 C; 7 ) C; 5) t t ln t 5 8 lnt t 7 rctg t C, t ; ) ln C; 7) ln 5 5 C; 5 5 8) ln ln rctg C; 7 9) ) ln rctg C. Eercice 8.. ) C; ) ln C; ) ln ln rctg ) 6 ln z z z C; rctg z 5) ln rctg C; 6) C; 7) ln C; 8) 7 C; 9) rctg C, z ;

33 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ln C; ) t t 6 ln t t t rctg t C, t ; ) ln C, ; 8 ) rctg 6 C; ) 6 ln t t ln t t t t rctg t z C, t 6 6. Eercice 8.. ) rccos C; ) ln ) rcsin C; ) C ln ; 5) ln C; 6) C ln ; 5 7) ln C; 8) ln C; 9) C ln ln ; ) ln C; ) 5 5 5ln 5 C; ) ln 5 C; ) ln ln C; ) C; 5) t ln t t C, t. C; Eercice 8..

34 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) cos 5 cos 5C; ) cos cos C; ) sin ln tg C; ) tg sin C; 5) C sin cos ln tg ; tg tg tg 6) C; tg 7) C cos ; 8) 5 sin cos 6 5 cos 5 C; 8 9) tg tg ln cos C; ) 7 ctg7 5 ctg5 ctg ctg C; ) tg ctg ln tg C; ) ln tg sin C; tg ) ln tg 8 C; rctg tg 5) ln cos rctg tg C; 6) rctg 5 tg C; 7) C tg ; cos cos sin 8) 9) rctg tg C; ) tg ) cos cos C; sin sin 8 C; ln cos sin C; ) 6 sin6 8 sin8 C sin6 9 6 sin 6 sin 6 C; 5) tg tg C; 6 sin cos ln sin cos lncos C; cos 7) tn tn C; 8 cot lnsin C. C; rctg tg C; Eercice 8.5. ) ch ch C; sh C;

35 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) C th ln th ln th ; rctg(sh C; 5) sh 8 C; 6 sh sh 8 C; 7) rgth th rctg th C. Eercice 8.6 ) F e C si et F e C si ; ) F sgncos.sin E ; ) F log C si et F log C si ; ) F E E E cos, ; 5) F si et sgn si ; 6 6) F. Eercice 8.7. ) C; ) sin cos C; 8 ) e C; ) tg.lncos tg C; 5) ln rctg 6) C ln 6 ; C; 7) e C si, e C si ; 8) C ln e ; 9) C; ) ln C; ) sin sin 8 C; ) ln C; ) C ctg rctg tg ; ) tg C; 5) 5 8t 6t ln t 6 ln t ln t C, t ; 6) C ctg tg tg ln tg ;

36 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 7) ln 6 C; 8) si, si, 8 si 9) ln C; ) ln ln C ) ln 9 6 C; ) e C; ) e C; 9 ) e cos C; t 5) ln t t rctg t C, t ; 6) C rctg ctg; 7) 5 t 5 9 t9 C, t 5 ; 8) sin cos ln tg C; 9) 8 ln rctg C; ) C ln ln ; ) ln rctg C; ) e C; ) C; 6 ) sin rctgsin C; 5) ln C; 6) rctg 6 C; 7) e C; 8) t t 5 t5 C, t ; 9) t t ) tg 5 C; 5 t ln t t ) ln t t rctgt C, t ) t 8 rctg t ; t t t t t ln t C, t. C, t ;

37 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr rctg ) n C si n et ln rctg C si n ; n ) cos ln tg C; 5) ln ctg cos cos sin C; 6) ln ln sin C; 7) ln C; 8) C ln 5 ; 9) cos sgnsin E ; 5) si, sgn si ; 5) 9 9 ln 9 C; 5) sin sin 5 sin C; 8 5) sin ct C; 5) C 5 55) ln ln C

38 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Corrigés détillés de certins eercices du chpitre VIII. Eercice 8.5. ) 5 5 C 5 C. ) cos cos cos cos cos tg C. 8) ln rctg C. ) d C C. 6) e e e C. 7) e e e lne e C ln e. 9) 6. rcsin ln C. Eercice 8.6. ). Posons t, lors on : t et tdt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: t tdt t t dt t t t 6 dt t t 6 5 t5 7 t7 C

39 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr C C. 7). Posons t. Alors on t et t dt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: t dt t t dt t t t dt t t ln t C ln C. 9) e e. Posons t e. Alors on e dt et dt t. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: e e t dt t t t t dt t t dt t t C e e C. ) ln ln. Posons t ln. Alors on ln t, e t et te t dt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: ln t.te t ln e t.t dt t t dt t dt t dt t ln t ln t C t ln ln ln ln ln C. 5). Posons tgt. Alors on dt et tg t cos t cos t. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: Comme sint cos t.tgt cos t tg t. dt cos t tgt tg t cos t dsint dt sin t sin t, lors C. sin t C.

40 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 7) 9. Posons t. Alors on t dt et 9 t. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: 9 t dt dt t 9 9 t t 9 9 t d 8 d t t 9 t C 9 C 9 9 C. 9). Posons sint. Alors on cos tdt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: sin t sin t cos tdt 6sin t cos tdt sin tdt cos tdt t sint C t sint cos t C t sintcos tcos t sin t C rcsin C. ) Posons 7 t. Alors on 6 7 dt. En remplçnt ces epressions dns l intégele donnée, on otient: ) dt t ln t C ln 7 C.. Trnsformons l fonction à intégrer de l fçon suivnte: J 5 J. Clculons séprément J et J. Pour clculer l première intégrle, posons t. Alors on 8 dt. En remplçnt dns J, on otient J dt t C C. t L deuième intégrle se clcule directement comme suit: J Ainsi: ln C ln C. 5 ln C.

41 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 6). Posons t. Alors on dt. En remplçnt ces epressions dns l intégrle donnée, on otient: t dt 9 t C 9 C. ) rccos. Posons t rccos. Alors on : dt. En remplçnt dns l intégrle donnée, on otient: rccos t dt t C 6 rccos C. Eercice ) cos. Avnt d intégrer pr prties trnsformons d ord l intégrle comme suit: cos. cos cos cos. Clculons mintennt cos. Posons pour cel: u et cos dv. D où du et v sin et, lors: cos sin sin sin cos C. Ainsi cos sin cos C. 8 ). Posons u et dv. Alors on du et v d, et d C. ) ln. Posons ln u et dv. Alors on du ln, ln ln. ln ln ln. En ppliqunt encore une fois cette méthode pour l intégrle ln,on otient ln ln ln. ln ln C. 7). Posons u et dv. Alors on du, v et v et

42 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr D où. ln C. ln C ln C. ) rctg. Posons u rctg et dv. Alors on du, v et rctg rctg rctg rctg rctg rctg C. 7) e sin,. Posons e u et sin dv. Alors on du e, v cos et e sin e cos e cos. On pplique mintennt l même méthode pour clculer l intégrle e cos en posnt e u, cos dv. Alors du e, v sin et e cos e sin e sin. Ainsi on otient e sin e cos e sin e sin C. D où e sin e cos e sin C e sin e cos e sin C e sin cos C. Eercice 8.9. ) J n n e,,n. Posons n u et e dv. Alors on du n n, v e et J n n e e n n n e n n e n e n J n.

43 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Ainsi J n n e n J n vec J e e c. ) J n ln n,, n. Posons ln n u et dv. Alors on du n lnn, v et: J n.lnn n lnn. lnn n ln n. lnn n J n. Donc J n. lnn n J n. 5) J n sin n, n. Posons sin n u et sin dv. Alors on du n sin n cos, v cos et J n sin n cos sin n n sin n cos cos sin n n sin n sin cos sin n n sin n n sin n cos sin n n J n n J n, c est à dire que J n n J n cos sin n n J n et donc J n cos sinn n n n J n. ) J n ch n, n. Tout d ord on trnsforme l intégrle donnée et puis on pplique l formule d intégrtion pr prties: Posons ensuite sh u et du ch, J n ch n ch sh ch n ch n sh ch n sh J n sh. ch n. v dch ch n Donc J n n n J n J n J n sh ch n dv. Alors on n ch n et sh n ch n n J n ch n sh n ch n n J n n n J n sh n ch n. sh n ch n.

44 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eercice 8.. 5) 5 8 euclidienne, on otient. L frction 5 8 n est ps régulière. En fisnt l division Décomposons l frction rtionnelle régulière 6 8 en éléments simples de type I. On l formule de décomposition: 6 8 B D. A En réduisnt l frction du second memre u même dénominteur et en églisnt les numérteurs, on otient 6 8 A B D. Cette églité est une idendité en. En donnnt à l vrile les vleurs,,, on peut déterminer coefficients A, B, D. On 8 A A. 8B B 5. 8D D. Ainsi on otient l décomposition suivnte: D où ln 5ln ln C. ) 5 8. Tout d ord fctorisons le dénominteur Q 5 8. Nous vons Dns ce cs, l frction rtionnelle se décompose en éléments simples de types I et II. B. 5 8 A A En réduisnt l frction du second u même dénominteur et églisnt les numérteurs, on otient A A B. En églisnt les coefficients, on otient le système d équtions suivnt : A B A A B A A B

45 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr L résolution de ce système donne: A, A, B et l décomposition est: 5 8. Ainsi 5 8 ln C. 5).Le dénominteur possède deu rcines réelles simples, et une complee simple. Dns ce cs, l frction rtionnelle décompose en éléments simples de types I et III. On A B M N. En réduisnt l frction du second memreu même dénominteur et églisnt les numérteurs, on otient A B M N et A, B B. Pour trouver les coefficients M et N, églisons les coefficients de et. On otient A B M A B N. L résolution du système donne M et N. Pr conséquent. D où ln ln ln ln ln rctg C. ). Le dénominteur comporte deu rcines complees doules. L frction rtionnelle se décompose en éléments simples de types III et IV. Nous vons M N M N. En réduisnt l frction du second memre u même dénominteur et églisnt les numérteurs, on otient M N M N. En églisnt les coefficients de,,,, on otient le système d équtions suivnt:, se M N M M En résolvnt ce système, on otient N N M, N, M, N. Pr

46 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr conséquent D où. ln ln. Clculons mintennt l intégrle séprément. On. Posons u et et Donc rctg.. dv. On lors du et v rctg rctg rctg. ln rctg 8 rctg C. Eercice 8. ). Comme le plus petit commun multiple (ppcm) de et est 6, lors on peut poser t 6. Ce qui donne t 6, 6t 5 dt. En remplçnt dns l intégrle donnée, nous otenons t t.6t5 dt 6 t8 t 5 t dt 6t 6 t t t t t t dt 6 7 t7 6 5 t5 t t t 6t dt 6 t t 6 6 ln 6 6rctg 6 C. dt t

47 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 6). Tout d ord trsformons l fonction à intégrer sous l forme R,. On c d. Posons lors t. Ce qui donne t t et tdt t. En sustitunt dns l intégrle donnée, on otient tdt t t. Décomposons mintennt l frction rtionnelle régulière t en éléments t t simples. On t t t A B t t B t B t. t At B t B t t B t t. t A 8. t B. En églisnt les coefficients de t et t, on déduit t : A B B 8. t : A B B B B. Ainsi nous vons tdt t t 8 dt t. dt t dt t 8 dt t 8 ln t. t. t ln t C 8 8 ln t t t t C. Donc vec t tdt t t ln t t t t C,. En remplçnt t, on otient log C. 8). On : ppcm,,, lors on pose t, et donc

48 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr t, t dt. En remplçnt dns l intégrle, on otient t dt t 8 t 6 t t t t dt t 5 t t t t 6t 8 t t dt t6 6 t t t t t 6t 8 t t dt t 6 t 8t 6t 8t t 6t 8 t t dt. Pour clculer l dernière intégrle, on l décompose en éléments simples. On t 6t 8 t 6t 8 t t t t t et t 6t 8 t t t t t t t 6t 8 At t Mt Nt. t : A M t : 6 A M N t : 8 A N. En résolvnt ce système on otient A, M D où il découle Donc t 7,N 7 t 6t 8 t t t t t t t. t 6t 8 t t t dt t dt t t t dt ln t ln t 8 t t t dt 57 8 ln t 8 ln t t 57 7 A t Mt N t t.. Ainsi on trouve t t t dt dt t 7 rctg t 7 t 6 t 8t 6t 8t t 6t 8 t t dt t 6 t 8t 6t 8t ln t ln t t 7 rctg t C ln ln rctg 7 C. Eercice 8.. ). On m, n, p, c est à dire on est dns le premier cs (voir cours n o VIII.5. On pose lors z 6 et on 6z 5 dz. Il vient lors que

49 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr z z.6z 5 dz 6z 8 z 6z z 6 z 8 dz 6z 8 z 6z z z 6 dz z9 z 6 En remplçnt z 6, on trouve z 8 5 z5 6 7 z7 C C. ). On m, n, p, m n et m n p est un entier. On est dns le troisième cs (voir cours n o VIII.5. On pose lors z. Ce qui donne z et z dz z. En remplçnt dns l intégrle donnée, nous otenons z z. z dz z z z dz. Décomposons l frction rtionnelle régulière z en éléments simples. On z z z z z z z A z Mz N z z z Az z Mz Nz. Eglisons les coefficients de z,z,z. z : A M z : A N M z : A N En résolvnt ce système, on trouve A, M, N. Alors on z z z z z z. z z dz z dz z z z dz ln z z dz z z ln z z dz 6 z z dz z z ln z 6 ln z z dz z ln z 6 ln z z rctg z C. De cette fçon nous vons trouvé que 6 ln z z rctg z C z vec z.

50 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 8). On m, n, p, m n On est dns le deuième cs (voir cours n o VIII.5. Posons lors z z, z z dz. En sustitunt dns l intégrle donnée, on otient z.z.z dz z z dz z 7 z7 z C 7 7 C 7 C. Eercice 8.. ). : rctnh sustitution d Euler en posnt: t t D où il découle t. Ce qui donne t t t, t t t t t t t. t rctg t C rctg On peut ppliquer l première dt et t t t dt t t t. t t C. dt t ). Appliquons l première sustitution d Euler. t t t t t, t t dt, t t t t t t. t En remplçnt dns l intégrle donnée, on otient t t t dt t t vec t. t t t. t t t dt dt t ln t t 6). Le polynôme dmet deu rcines réelles C

51 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr et. On peut ppliquer l troisième sustitution d Euler en posnt t.. Ce qui donne t, 8tdt, t t t et 5 t t t. En sustitunt dns l intégrle, on trouve 8tdt t vec t. dt t t t. t dt t 5 t t 5 ln t 5 C 9). On pplique l première sustitution d Euler en posnt t. Ce qui donne t t t t t t dt, t. t En remplçnt dns l intégrle, on trouve t t t dt t t t t t dt. Décomposons l frction rtionnelle t t en éléments simples. On t t t t A B t t t t B t t t A t B t t B t. En donnnt certines vleurs à l vrile t, on détermine les coefficients inconnues: t A. t B B. t 9A B B B. Donc, nous vons D où t t t t t t t. t t t t t t t ln t ln t t C,

52 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr vec t. Eercice 8.. ) sin cos sin cos sin cos cos sin. Posons cos t. Ce qui donne sin dt. En remplçnt dns l dernière intégrle, on otient sin cos t t dt t t5 5 C cos cos5 5 C. ) On sin cos cos cos cos cos tg cos tg sin C. 5) sin sin cos cos. cos sin sin sin. Clculons les deu intégrles séprément. Pour l première, on sin cos sin cos tg dtg tg ln tg C. Pour clculer l deuième intégrle, nous llons ppliquer l méthode d intégrtion pr prties. Posons pour cel: cos u et cos dv. Ce qui donne sin du sin et v dsin sin sin, et cos. cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin ln tg C. En cominnt les deu résultts, on otient sin cos sin ln tg C. sin 7) sin. Posons cos t. On lors sin dt et en remplçnt dns cos l intégrle donnée, on otient sin dt cos t t cos. ) tg 8 ctg8. Posons ctg t. Ce qui donne rcctg, dt t et en remplçnt dns l intégrle, on otient tg 8 t 8 t dt t6 t t t dt t7 7 t5 5 t t rcctgt C

53 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ctg7 7 ctg5 5 ctg ctg C. ) cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin C ln tg ln tg tg sin cos cos cos cos sin C sin C. ). Pour clculer cette intégrle, ppliquons l sustitution universelle en 5 cos posnt: tg t. Ce qui donne rctgt, dt, cos t t t. En remplçnt dns l intégrle donnée, on otient dt 5 cos t 5 dt t 8t t dt t rctgt C rctgtg C. Eercice 8.. 6). Cette intégrle peut se clculer pr l sustitution universelle en posnt 5 sin tg t. Ce qui donne dt, sin t et t t dt 5 sin t 5 8t 5t 8t 5 5 dt t rctg 5t t dt 5 dt t C rctg 5tg ). On peut clculer cette intégrle en ppliqunt l sustitution suivnte: sin tg t. Ce qui donne rctgt, dt, cos t tg, t sin cos.tg t t. En remplçnt ces epressions dns l intégrle, on otient C.

54 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr dt sin t t t t t rctg t C tg t dt t rctg tg C. Eercice 8.6 5). L frction rtionnelle régulière se décompose en éléments simples de types I, II et III. A A M N Comme précédemment, on otient A A M N. : A M : A M : A N M : A A N. L résolution de ce système donne A, A, M, N, et,donc: ln ln rctg C. 9). (intégrle d une fonction irrtionnelle de l forme R,,. On pose dns ce cs t 6. Ce qui donne: t 6 et 6t 5 dt. En remplçnt dns l intégrle, on otient: t6 t.6t 5 dt 6t t 6 t dt t 6t 5 t 9 t t 6 dt t6 6 5 t t 6 7 t6 C. D où C. 6) sin cos 5 cos 8 sin cos 5 cos 8 tg. cos 6. cos.

55 5 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Posons tg t. Alors on cos dt, cos tg t. En remplçnt ces epressions dns l dernière intégrle, on trouve sin cos 5 t dt t t t 6 dt t t dt dt tdt t t t dt t ln t t t C ctg tg tg ln tg C. 7) 5. On m, n, 5 p, m 5 n. On est dns le premier cs. Posons lors z 5. Ce qui donne et 5 z 5, 5z dz z 5 5 z5 z. z dz z z9 5 z C vec z 5. 5z z 5 dz ). L frction rtionnelle se décompose en éléments simples de l fçon suivnte: A M N M N. Déterminons mintennt les coefficients. On A M N M N. En églisnt les coefficients de,,,, on otient le système d équtions suivnt: : A M : M N : A M N M : N M M N : A N N En résolvnt ce système nous otenons A, M, M, N, N. et donc ln rctg ln rctg C.

56 55 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 8) 5. On m 5, n,p, m n. On est dns le deuième cs. On pose lors z. Ce qui donne z, zdz et z 5 z 5 z. zdz z z dz dz z dz z dz z z 5 z5 C. En remplçnt z, on otient 5 5 C. ). On peut ppliquer l deuième sustitution d Euler en posnt t. Ce qui donne t t t t t t dt, tt. t t En remplçnt dns l intégrle donnée, on otient t t tt t dt. On décompose l frction rtionnelle en éléments simples de l fcon suivnte: t t tt t A B t Mt N t t t t At t Bt t Mt Ntt. t A. t B. En églisnt les coefficients de t, t, on détermine les vleurs de M et N. t : A B M M. t : A M N N. t t tt t dt t dt t dt dt ln t rctgt C t t vec t. 5) cos sin cos. cos. Appliquons l méthode d intégrtion pr prties, en sin posnt cos u, du cos sin, cos sin dv, v sin. D où il découle cos sin cos sin cos sin

57 56 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin ln tg cos C.

58 57 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Chpitre IX. Intégrle définie (de Riemnn) L intégrle définie (ou de Riemnn) est un puissnt outil mthémtique dont les pplictions sont nomreuses telles que le clcul des ires, le trvil d une force, le clcul de limites de suites etc.. Construction de l intégrle de Riemnn. IX.. Définition de l intégrle définie. Soient f une fonction définie sur un segment, et... n, une sudivision finie quelconque de, qu on désigner pr D. Formons les sommes suivntes, ppelées sommes intégrles de n Riemnn, D; i f i i où les points i, i i i sont choisis ritrirement et i i i i, i,,...,n. Définition. Le nomre I R est ppelé intégrle définie ou intégrle de Riemnn de f sur le segment, si On note dns ce cs,, D, i I f : D D, I. et on dit que f est intégrle sur, si le nomre I eiste (indépendmment du choi des. Remrques. ) On définit ussi cette intégrle pr I n lim i f i i vec m i, i,,...,n, c est à dire l limite des sommmes intégrles de Riemnn, indépendmment du choi des i qund (dns ce cs n. On désigne pr R, l ensemle des fonctions réelles intégrles u sens de Riemnn sur, : f R, f est intégrle sur,. ) On peut construire l intégrle de Riemnn suivnt une utre démrche en construisnt d ord l intégrle de fonctions dites en escliers (ou étgées), ensuite on l générlise à des fonctions plus générles. Une fonction est dite en escliers sur, s il eiste une sudivision D... n de, telle que f c i, i, i, c i R, i,,...,n. ) Il eiste d utres types d intégrles: intégrle de Stieljes-Riemnn, intégrle de Leesgue etc. ) Comme l intégrle de Riemnn ne dépend ps du choi des i, lors dns l suite de ce cours, on noter les sommes intégrles de Riemnn liées à l sudivision D pr D u lieu de D,.

59 58 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eemple. Montrons à l ide de l définition que c R, c c. En effet, dns ce cs f c,, et pour toute sudivision D de, et pour tous points i, on n D f i i i c. i i i i c... n n c n c, c est à dire que toutes les sommes intégrles de Riemnn sont constntes, égles à c. En prticulier,. n. Conditions d intégrilité d une fonction. Dns ce prgrphe, on étlit des conditions d intégrlité d une fonction sous forme de théorèmes qu on dmettr. IX.. Condition nécessire. Théorème. Toute fonction intégrle sur, est nécessirement ornée sur ce segment. Remrques. ) L réciproque est fusse. Pr eemple, l fonction de Dirichlet définie sur, pr: f, Q,,, Q,, est ornée, mis ps intégrle sur, voir eercice 9.5). ) D près le théorème, toute fonction non ornée n est ps intégrle u sens de Riemnn. IX.. Sommes de Drou. Propriétés. Pour étlir des conditions nécessires et suffisntes d intégrilité u sens de Riemnn, on introduit dns ce n o l notion de sommes intégrles de Drou qui ser nécessire pour l suite. Soit f une fonction ornée sur, et soit D,,..., n une sudivision finie de,. Comme f est ornée sur chque segment i, i i,,...,n, lors sur chcun d eu, m i inff et M i supf eistent. Définition. Les sommes : S D M M...M n n M i, n i

60 59 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr S D m m...m n n m i i. sont ppelées respectivement, sommes supérieure et inférieure de Drou, correspondnt à l sudivision D de,. n i IX.. Propriétés des sommes de Drou. Les propriétés suivntes sont vries. Propriété ). Pour toute sudivision D de, et pour tous les i, on : S D D S D. Propriété ). Pour toute sudivision fie D de, et pour tout, on peut choisir les i tels que l on it: S D D. De même, on peut choisir les i tels que : D S D. Conséquence. S D sup D; i ; S D inf D; i. i Propriété ). Pour toutes sudivisions quelconques D et D i S D S D et S D S D. de,, on toujours: Conséquence. L ensemle des sommes inférieures ( resp. supérieures) de Drou est mjoré ( resp. minoré). Définition. Les nomres I inf S D et I sup S D qui eistent et sont ppelés D D respectivement les intégrles supérieure et inférieure (de Drou) de f sur,. Propriété 5. I I. Conséquence. D, S D I I S D. Propriété 6. n S D S D i f i, i oscilltion de f sur le segment i, i. où i f sup," i, i f f" est ppelée Lemme de Drou. Le lemme suivnt joue un rôle importnt pour étlir des conditions d intégrilité: Lemme. Ī lim S D D et I lim S D. D IX.5. Théorème fondmentl d intégrilité. Dns ce n o, on étlit des conditions nécessires et suffisntes d intégrilité d une fonction, regroupées dns le théorème fondmentl suivnt: Théorème fondmentl. Soit f une fonction définie et ornée sur le segment

61 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr,, lors les propositions suivntes sont équivlentes: ) f est intégrle sur, ; ) lim S D S D ; D ), il eiste une sudivision D de, telle que S D S D ; ) Ī I. Corollire. Pour qu une fonction f soit intégrle sur le segment,, il fut et il suffit que n lim i f i. D i. Clsses de fonctions intégrles. Dns ce, on étlit des conditions suffisntes d intégrilité pour certines clsses concrètes de fonctions, qui pr leurs propriétés stisfont à l condition suffisnte du corollire précédent.. IX.6. Conditions suffisntes d intégrilité. Théorème (Intégrilité des fonctions continues. Toute fonction continue sur le segment, est intégrle sur ce segment. Certines fonctions ornées présentnt des points de discontinuité sur un segment peuvent être intégrles. Pour cel, introduisons l terminologie suivnte: on dit qu un intervlle I R recouvre le point R ou est un recouvrement du point R si I. On le théorème suivnt. Théorème. (Intégrilité de certines fonctions discontinues). Si f est une fonction définie et ornée sur un segment, et si, il eiste un nomre fini d intervlles recouvrnt tous les points de discontinuité de f dont l somme de leurs longueurs est inférieure à, lors l fonction f est intégrle sur,. Corollire. Toute fonction ornée et continue sur un segment,, suf en un nomre fini de points, est intégrle sur ce segment. En prticulier, toute fonction continue pr morceu sur un segment est intégrle. Conséquence. Si deu fonctions f, g, définies sur un segment,, diffèrent en un nomre fini de points, lors si l une est intégrle sur,, l utre l est ussi et on : f g. Théorème. (Intégrilité des fonctions monotones). Toute fonction monotone sur un

62 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr segment, est intégrle sur ce segment. Théorème. (Intégrilité de fonctions composées). Soient f une fonction intégrle sur un segment, M sup f et m inf f. Si g est une fonction définie et continue sur le,, segment m,m, lors l fonction composée h gf est intégrle sur,.. Propriétés des intégrles définies. Dns ce prgrphe, on étudie certines propriétés importntes des fonctions intégrles telles que l linérité, les formules d estimtion et de moyenne, insi que de composition. IX.7. Opértions sur les fonctions intégrles. Propriété. Soient f, g R,. Alors ) f g R, et R, f R,, et on : i ii f g f g; f f; ) f.g R, et n N, f n R,. Remrque. Attention, en générl: f.g f. g. Propriété. Si f est intégrle sur,, lors f est intégrle sur,,,,. Cel signifie que: f R,,,, f R,. Propriété ). Pr convention, on pose : f f et f. Propriété ) (Additivité ou reltion de Chsles de l intégrle). Si f est intégrle sur,c et sur c,, lors f est intégrle sur, et on l reltion :

63 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr c f f f, c ppelée reltion de Chsles pour les intégrles définies. IX.8. Inéglités. Estimtions. Le clcul de certines intégrles définies n est ps toujours possile. Dns ce cs, on donne des estimtions en les comprnt à d utres intégrles. Pour cel, on étlit dns ce n o, quelques inéglités importntes. Propriété 5. Si f R, et f sur,, lors f. Corollire. Si f,g R, et,, f g, lors: f g. Corollire. Si f R, et,, m f M, lors : m f M. Propriété 6. Si f R, et M sup f, lors f R, et on :, f f M. Remrque. L inverse est fu, c est à dire que f R, n implique ps que f R,. Pr eemple, l fonction f définie sur, pr : f, Q,, Q. n est ps intégrle sur,, mis f est intégrle sur,. Propriété 7. Soit f continue et positive, f, sur,. S il eiste, tel que f, lors tel que : f. IX.9. Première formule de l moyenne. Une des formules importntes des intégrles définies est l formule de l moyenne, ppelée ussi formule de Lgrnge, dont les pplictions

64 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr théoriques et prtiques sont nomreuses. Théorème. Soient f, g R,. Si g grde un même signe sur,, lors il eiste un nomre, m M vec m inf f, M sup f, tel que :,, fg g. Si, de plus, l fonction f est continue sur,, lors il eiste, tel que : fg f g. Corollire (formule de l moyenne). Si f R,, lors il eiste, m M, tel que : f. Si, de plus, f est continue sur,, lors il eiste, tel que : f f. Le nomre réel f est ppelée vleur moyenne de f sur,. IX... Deuième formule de l moyenne. Théorème. Soient g R, et f une fonction décroissnte (resp. croissnte) et positive sur,, lors il eiste, tel que fg f g resp. fg f g. Corollire ( deuième formule de l moyenne). Soient g R, et f une fonction monotone sur,, lors il eiste, tel que fg f g f g.

65 6 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Remrque. Si f n est ps définie en ou, et si f et f eistent, lors l deuième formule de l formule peut se générliser comme suit: fg f g f g. 5. Méthodes d intégrtion dns les intégrles définies. Le clcul d une intégrle à l ide des sommes intégrles telle que définie u n o [IX.] n est ps toujours commode et peut mener à des clculs compliqués. Cependnt, il eiste des méthodes de clcul plus simples, et ce, à l ide des primitives des fonctions à intégrer. Pour cel, on étlit d ord l reltion entre l intégrle définie et l intégrle indéfinie d une fonction sur un segment,. IX.. L intégrle définie comme fonction d une de ses ornes. Soit f une fonction intégrle sur,, f R,. On sit que pour tout,,, f R,, en prticulier,,, f R, ou f R,. Posons: ftdt. Il est clir que est une fonction définie sur, vec: ftdt, ftdt, et l on dit que est une fonction définie pr une intégrle. Théorème. Si f est intégrle sur,, f R,, lors est continue sur,, c est à dire que C,. Remrque. L fonction f peut être discontinue sur,. On eige seulement qu elle soit intégrle sur,. IX.. Eistence de primitives pour une fonction continue. Théorème. Soit f une fonction intégrle sur, et continue en,. Alors l fonction est dérivle en et on : ftdt,,,

66 65 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr f. Le théorème signifie qu en tout point de continuité de f, l fonction est dérivle et s dérivée est égle à l vleur prise pr f en ce point. Corollire. Si f est continue sur,, lors elle dmet une primitive sur, égle à ftdt,,. Ainsi, toute primitive F de f C, s écrit F ftdt c,,, où c est une constnte réelle, c est à dire que c est une fonction définie pr une intégrle. Remrques. ) Si f C,, lors, d ftdt f. ) Si on prend ftdt, lors ftdt ftdt. f, en vertu de l convention ) On peut introduire à l ide de l intégrle définie de nouvelles fonctions définies pr des intégrles qui ne sont ps élémentires, pr eemple: f e t dt, f sint dt, f t cos t t dt,..f dt ppelées logt respectivement fonction erreur, fonction sinus intégrl, cosinus intégrl et logrithme intégrl. ) Si f n est ps continue sur,, elle peut dmettre ou ne ps dmettre des primitives sur,. IX.. Formule d intégrtion de Newton-Leinitz. Dns le cs des fonctions continues sur un segment,, on une formule fondmentle du clcul de l intégrle de Riemnn à l ide de primitives, eprimée pr le théorème suivnt. Théorème. (Formule de Newton-Leinitz). Si f est continue sur,, et si F est une primitive de f, lors on : ftdt F F.

67 66 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eemple. log log log log. IX.. Chngement de vrile dns l intégrle définie. Comme dns l intégrle indéfinie, l méthode du chngement de vrile s pplique ussi dns le clcul de l intégrle définie d une fonction stisfisnt à certines conditions. On le théorème suivnt: Théorème. Soient f une fonction définie sur le segment, et t t une fonction définie sur le segment, vérifint les conditions suivntes: i) f C, ; ii) C, ; iii),,,,. Alors on l formule du chngement de vrile suivnte: f ft t dt. Remrques. ) Lors d un chngement de vriles, ne ps oulier de chnger les ornes. ) L méthode du chngement de vrile est souvent plus efficce que l formule de Newton-Leinitz comme le montre l eemple suivnt: soit à clculer l intégrle I. Dns ce cs, il est préférle de fire le chngement de vrile suivnt: posons t sint. Alors on,,,,, C, chngement de vrile, on donc: / / sin t cos t dt cos t dt, f C,. D près l formule du / cos tdt t sint /. Si on veut, dns cet eemple, ppliquer l formule de Newton-Leinitz, ce serit un peu long pour clculer une primitive de f qui est F rcsin. ) Attention u conditions du théorème. Trouver l erreur dns le risonnement suivnt. On, d une prt :, et d utre prt:

68 67 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr En posnt t tg, on otient dt sin cos cos tg., tg, tg. D où : cos Donc. Ce qui est surde! ) On peut ffilir les conditions du théorème. dt t. IX.5. Formule d intégrtion pr prties dns l intégrle définie. Comme pour le chngement de vrile, l méthode d intégrtion pr prties s pplique ussi dns le clcul de l intégrle définie. On le théorème suivnt: Théorème. Soient u, v deu fonctions ynt des dérivées continues sur le segment,, u,v C,. Alors on l formule suivnte d intégrtion pr prties: Eemple. Clculer u,v C,. Donc e e uv uv vu. e. Posons u, v e. Alors on u, v e et e Remrque. On peut ffilir les conditions du théorème. e e e. 6. Applictions de l intégrle définie en nlyse.. X.6. Clcul de l limite d une suite numérique. Dns certins cs, le prolème du clcul de l limite d une suite numérique peut se rmener u clcul d une intégrle définie si le terme générl de l suite donnée peut se mettre sous l forme d une somme intégrle de Riemnn. En choisissnt de mnière déqute l fonction à intégrer, l intervlle d intégrtion insi que les points i, lors l limite de l suite donnée n est finlement que l intégrle définie de cette fonction sur l intervlle choisi. Donnons un eemple de cette méthode. Soit à clculer l limite de l suite n définie pr : n n... n n n, n,,... Ecrivons le terme générl n sous forme d une somme intégrle de Riemnn. On :

69 68 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr n n... n n n n n n... n n n n n i n. i n Dns ce cs, posons i n i, i n, i,,...,n et f,,. Comme l fonction f est continue sur,, lors l intégrle des i et on peut prendre i i n i, i,...,n, d où lim n n n n lim f i. i n i n ne dépend ps du choi... n n lim n lim n i n n n i log log log log. IX.7. Formule de Tylor vec reste intégrl. Dns ce n o, on donne une nouvelle formule de Tylor vec reste intégrl. On le théorème suivnt. THEOREME. Soit f une fonction définie sur un intervlle I R ynt une dérivée d ordre n, n N, continue u voisinge V I du point, c est à dire f C n V. Alors V, on f f f! f!... fn n! n n! t n f n tdt Cette formule est ppelée formule de Tylor pour l fonction f en vec reste-intégrl. 7. Applictions de l intégrle définie en géométrie. IX.8. Clcul de l ire d une figure plne. Soit f une fonction définie et ornée sur un segment,. L prtie du pln Oy limitée pr les droites,, l e des scisses O et l coure C d éqution y f est une figure plne, ppelée trpèze curviligne et s surfce est ppelée ire du trpèze curviligne. Désignons pr cette ire et déterminons l formule permettnt de l clculer. Pour cel, on le théorème suivnt: Théorème. Si f est continue et positive sur,, lors on f.

70 69 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Remrques. ) Si f est continue et chnge de signes un nomre fini de fois, lors f. ) Si f est continue pr morceu sur, et si,,..., k sont les points de discontinuité (de première espèce) de cette fonction, lors on f f... k k n f f. Eemple. Clculer l ire de l figure plne limitée pr les droites,, y et y sin. On sin,, et sin cos cos cos. IX.9. Aire d une figure plne limitée pr deu coures. Soient f, f deu fonctions définies et intégrles ( en prticulier continues) sur un segment, vérifint l condition f f,,. Alors l ire de l surfce limitée pr les droites, et les coures d équtions y f et y f est égle à f f. Eemple. Clculer l ire de l figure plne limitée pr les coures d équtions y et y. Déterminons tout d ord le segment d intégrtion,. Pour cel, cherchons les points d intersection de ces deu coures. Au points d intersection, les coordonnées sont égles, d où, Les rcines sont,. Pour, on y et pour, y. D où les points d intersection sont M, et M,. L intervlle d intégrtion est lors, et on sur,, d où. IX.. Aire d un secteur curvilgne en coordonnées polires. Soit f l éqution d une coure en coordonnées polires où f est une fonction continue sur,. L ire du secteur délimité pr l coure f et les ryons vecteurs, se clcule pr l formule d f d.

71 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr IX.. Longueur d un rc de coure d éqution y f,,. Soit f une fonction définie et continue sur un ensemle X R et, X. Pour le clcul de l rc de coure compris entre les points A,f et B,f, on le théorème suivnt. Théorème. Si f C,, lors l longueur de l rc de coure AB est égle à: L f. Eemple. Clculer l longueur de l chînette d éqution On otient près clcul: D où y ch e e,,. y sh et y sh ch ch. L ch sh sh. Remrque. ) Si l coure est définie pr des équtions prmétriques: t, y t t, où t et t sont des fonctions continues insi que leurs dérivées et t et t ne s nnulent ps sur le segment considéré, lors l longueur L est donnée pr l formule: L t t dt ) Si l fonction est définie en coordonnées polires f,, lors l longueur de l rc de coure est donnée pr l formule: L d. Eemple. Clculer l longueur de l stroïde d équtions: cos t, y sint. L coure étnt symétrique pr rpport u deu es de coordonnées, clculons d ord le qurt de l longueur de cette coure se trouvnt dns le premier qudrnt. On cos dy t sint, sin dt dt t cos t, t. Pr conséquent L donc L 6. 9 cos t sin t 9 cos t sin t dt cos t sintdt sin t, cos t sin t dt

72 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr IX.. Volume d un solide de révolution. Soit f une fonction définie et positive sur un segment, et C s coure représenttive d etrémités les points A,f et B,f. L prtie de l espce R otenue pr l rottion utour de l e O du trpèze curviligne limité pr les droites,, l e O et l rc AB est ppelée solide de révolution engendré pr f sur,. Pour le clcul du volume V de ce solide de révolution, on le théorème suivnt: Théorème. Si f est définie, positive et continue sur,, lors on V f. IX.. Aire d une surfce de révolution. Soit f une fonction définie et positive sur un segment, et C s coure représenttive, d etrémités A,f et B,f, qu on désigne pr AB. L prtie de l espce R otenue pr l rottion de l rc de coure AB utour de l e O est ppelée surfce de révolution engendrée pr f sur,. Pour le clcul de l ire d une surfce de révolution, on le théorème suivnt: Théorème. Si f C,, lors on f f. 8. Applictions en mécnique. IX.. Coordonnées du centre de grvité d une coure. Soit une coure mtérielle AB d éqution y f,. Alors les coordonnées g,y g du centre de grvité de l coure s epriment pr les intégrles définies suivntes: si f C,, g f. f, y g f f f Eemple. Trouver les coordonnées du centre de grvité de l demi-circonférence se trouvnt u dessus de l e O. L éqution de l coure est dns ce cs: y, et on : y, y. En remplçnt ces epressions dns les formules correspondntes, on otient:.

73 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr g y g.. rcsin..

74 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Enoncés des eercices du chpitre IX. Eercice 9.. A l ide de l défintion de l intégrle définie, clculer les intégrles suivntes. ) ) 5) ; ; / sin; 6 m, m ; ; cos tdt. Eercice 9.. Soit f une fonction ornée et croissnte sur,. Montrer que f n i n f n k O n, n. Eercice 9.. Démontrer que les fonctions suivntes sont intégrles sur les segments indiqués: ) f sgnsin,,, ;, sur,. ) f E,,,, sur,. Eercice 9.. Soit f continue sur un segment, suf u point, qui est un point de discontinuité de première espèce. Montrer lors que f n dmet ps de primitive sur,. En déduire que toute fonction continue pr morceu sur, n dmet ps de primitive sur ce segment. Eercice 9.5. Démontrer que l fonction de Dirichlet, si est irrtionnel, si est rtionnel n est intégrle sur ucun segment de R. Eercice 9.6. En ppliqunt l formule de Newton-Leiniz clculer les intégrles suivntes: 6 ) 5. 9.

75 7 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) 5) e e. e ln. 6 e ln.. 7) ) cos. cos. sin sin ) e. ln. sh ) e cos.. 5) 7) 9) ) ) 5) 7) 9) ) sh 6 tg sh cos. e cosln. cos 5.. e e.. ln. cos.

76 75 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) 5) 7) 9) ) ) 5) 7) 9) 5) sin cos. ch ln sin cos sin 7 5. cos 6 8 sin sin sin sin5 cos tg. 6 e e e. 9 sinsin sin e. e ln. 5 ln cos. sh. 8 Eercice 9.7. A l ide d un chngement de vrile, clculer les intégrles suivntes: 9 8 ) e ) e e sin 6 5) cos ) rcsin. 8 5

77 76 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eercice 9.8. En ppliqunt l méthode d intégrtion pr prties, clculer les intégrles suivntes. ln ) e. ) sin 5) cos. 6 e ln. e rccos. rctg. Eercice 9.9. Clculer les intégrles suivntes: ln ) ; ) e cos ; 5) sin n sin n cos n ; 6 f 7) f f, 8) ) ) e ln ; ; e ; rcsin ; ; f C,, f,,. f si f CR vérifint l reltion: 9. pf qf,, p, q R vec p q. Eercice 9.. En utilisnt les sommes intégrles de Riemnn, clculer les limites suivntes: ) lim n n n... n ; n ) lim n n n n n... n n n ; ) lim n n n... n n ; ) lim p p...n p ; n n p n 5) k n n ; 6) lim n k lim n! n n n n!.

78 77 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eercice 9.. En négligent les infiniments petits d ordres supérieurs, clculer les limites suivntes: ) lim n sin n n n sin n... n n n sin ; n ) sin n n. ; ) ) lim n lim n n k lim n n n cos k n k n kn k n ; n n... n n n n ; Eercice. 9.. Clculer les dérivées suivntes: ) d sin ; d sin ; d ) d d sin ; d 5) d dt t ; 6 d cos sin t dt; cost dt. Eercice 9.. Clculer les limites suivntes: cos t dt rctgt dt. ) lim ; e t dt lim sin tgt dt ; ) lim e t dt ; lim tg. sint dt Eercice 9.. Démontrer que e t dt e pour. Eercice 9.5. Soit f continue et positive sur,. Démontrer que l fonction

79 78 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr est croissnte pour. tftdt ftdt Eercice 9.6. Clculer les intégrles suivntes: ) ) f si f f si f, ;, ;, t; t t, t. Eercice 9.7. Clculer l vleur moyenne de chcune des fonctions suivntes sur l intervlle indiqué: ) f dns l intervlle,; ) f dns l intervlle, ; ) f sin et g sin dns l intervlle,; ). f e dns l intervlle,. lors Eercice 9.8. Démontrer les reltions suivntes: ) si l fonction f est continue sur le segment,, f f f ; ) si l fonction f est continue sur le segment,, lors ) si l fonction f est continue sur le segment,, lors ppliquer le résultt otenu u clcul de l intégrle sin cos. fcos fsin fsin. fsin et Eercice 9.9. Soit f une fonction continue sur,,. Montrer que f si f est impire;

80 79 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr f f si f est pire. Donner une interpréttion géométrique de ces deu résultts. Eercice 9.. Soit f une fonction continue et périodique sur R, de période T. Montrer que R : T f T f. Eercice 9.. En introduisnt l nouvelle vrile t, clculer l intégrle suivnte: I e / Eercice 9.. Clculer l intégrle I e n cos log. on pose Eercice 9.. Soit f continue et positive sur,, et soit M sup f. Pour n N,, I n f n i) Montrer que n N, I n M n. ii) Montrer que,, I n n M. iii) En déduire lim I n. n n. Eercice 9.. Soit / I n sin n, n N. i) Démontrer l formule de récurrence I n n n ii) Clculer I n et en déduire I 7 et I 8. I n Eercice 9.5. Soit f C, telle que,,, f.

81 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Montrer que f,,. Eercice 9.6. Soit f C,,. Montrer que vec E est l prtie entière de. E Ef Ef fk, k Eercice 9.7. Soit f,g C,, g sur, et,. Montrer que l fonction fu h du gu est croissnte sur,. g croissnte sur Eercice 9.8. (Inéglité de Cuchy-Schwrtz). Soit f,g C,. Montrer que fg f. g. Eercice 9.9. Soit f continue sur, et vérifint l reltion f f f. Démontrer que f f f f. Applictions de l intégrle définie. Eercice 9.. ) Trouver l ire de l figure délimitée pr les coures y 9 et y. ) Trouver l ire de l figure délimitée pr l hyperole équiltère y, l e O et les droites,. ) Trouver l ire comprise entre l coure y et l e O. ) Trouver l ire de l figure délimitée pr l coure y, l droite y 8 et l e Oy. 5) Trouver l ire du domine délimité pr une demi-onde de sinusoïde et l e O. 6) Trouver l ire comprise entre l coure y et l prole y.

82 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 7) Clculer l ire comprise entre l coure y et l e O. 8) Le cercle y est prtgé en trois régions pr l hyperole y. Clculer l ire de chcune de ces régions. 9) Clculer l ire délimitée pr l coure y ln, l e OX et les droites,,. ) Clculer l ire délimitée pr l ellipse y. ) Clculer l ire délimitée pr l coure y. ) Clculer l ire délimitée pr les coures y ln et y ln. ) Clculer l ire délimitée pr l coure y e et son symptote. ) Clculer l ire délimitée pr l coure y et son symptote. Eercice 9.. ) Clculer l longueur de l coure y entre les limites et. ) Clculer l longueur de l coure y ln cos entre les limites et. ) Clculer l longueur de l coure y rcsin. Eercice 9.. ) Clculer l longueur de l coure définie prmétriquement pr t sint y cos t, t. ) Clculer l longueur de l coure cos t t sint y sint t cos t, t. Eercice 9.. ) Trouver l longueur de l première spire de l spirle d Archimede à prtir du pôle,. ) Clculer l longueur de l coure p cos. Eercice 9.. ) On fit tourner l ellipse y utour de l e O. Trouver le volume du corps de révolution engendré pr cette rottion. ) Trouver le volume engendré pr l rottion utour de l e O d un rc de sinusoide y sin.

83 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) L figure délimitée pr l prole y et l droite tourne utour de l e O. Trouver le volume du corps de révolution insi engendré. ) On fit tourner l figure y, utour de l e O. Trouver le volume du corps de révolution insi engendré. 5) On fit tourner l figure y, y utour de l e O. Trouver le volume du corps de révolution insi engendré. Eercice 9.5. Clculer le volume du solide compris entre le cylindre de se le cercle de ryon r et un pln incliné pssnt pr le dimètre de l se du cylindre (voir dessin). Clculer en prticulier le volume si r cm et h 6 cm. Eercice 9.6. ) Trouver l ire de l surfce otenue en fisnt tourner l prole y utour de l e O à prtir de l origine u point d scisse. ) Trouver l ire de l surfce otenue en fisnt tourner l ellipse y utour de l e O. ) Trouver l ire de l surfce otenue en fisnt tourner l chînette y ch utour de l e O. Eercice 9.7. ) Trouver le centre de grvité du qurt d ellipse y, y.

84 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Réponses u eercices du chpitre IX. Eercice 9.. ) ; m m m ; ln ; ln Eercice e ; ; 5 ; ; 5) ; 6 5 ; 7 5 ln ; 8 rctn 7 ; 9 ; ) ; ; 6 e; e ; ; 5 5) ; 6 sin ; 7 ; 8 ; 9 ch ch ; ) 7ln ; ; rctn 7 ; ln ; ) ; 5 ln 5 ; 6 ; 7 ln, 8 e e ; 9) sin; ; ; 5 ; ln ; ; ; 5) sinh6 7 ln ; 8) 6; 9, 89 6,, 6sin 9 ; ; ) e 7 rctne ln e ; 8) rctn rctn ; 5 9 7, 5 6 ; 5) 8 ; ; 5 6, 6 ; ln 5. ; 5 ; 6 sin. ln ; Eercice 9.7. ) 7 ln ; ) ; ln e e 6 ; 7 ; 8 7 8, 9 6, ; 5 6 ; 5) Eercice 9.8. ) ln e ; ; e ; ; ; 5) ; 6. Eercice 9.9. ) 9 log log5; ln ; ) 5 e ; ; 5 ; 6 ln 8 ; 7 ; 8 5e 7 ; 9 ; ) ln ln p q. Eercice 9.. ; ; ln ; ) p ; 5 e ; 6 e.

85 8 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eercice 9.. 5, 6,,. ln Eercice 9.. ) ; sin ; sin ; ; 5) ; 6 sin cos cos 8 sin. Eercice 9.. ) ; ; ;. Eercice , t 6. Eercice 9.7. ) 9, ln 6 5,,, ln e. Eercice 9.8. ). Eercice 9.. e 5/. Eercice 9.. n. Eercice 9.. ii) I n k!! si n k k!! k!! si n k k!! où k!! 5...k et k!! 6...k. I 7 6 5, I Eercice 9.. ), log,,, 5), 6, 7, 8 6 ln, 8 6 ln et 8 ln ; ln ; ) ; ; e; ;. Eercice 9.. ) 8, logtg,. 7 8 Eercice 9.. ) 8;. Eercice 9.. ) ln, ) p ln. Eercice 9..,,, ) 7, Eercice 9.5. V r h, V cm. Eercice ; rcsin ; sinh. ;

86 85 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Eercice 9.7.,.

87 86 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Corrigés détillés de certins eercices du chpitre IX. Eercice 9.. Les fonctions considérées dns cet eercice sont continues, et pr conséquent l intégrle ne dépend ps du choi des points de prtge du segment et des points i. ). En prtgent le segment, en n prties ritrires pr les points i i,,...,n et en posnt i i i, i i i i,,,...,n, on trouve que D où ) n S n n f i i i i i lim S n lim n n i n n i i i i i i. i m, m. Soit. n i i i i i n S n f i i. Prtgeons le segment, en n prties pr les points,,,..., n, n de fçon à ce que ces points forment l suite géométrique :, i q i, n i,,...,n. Dns ce cs, on otient q n n, q n, i i n n, Sn f i i. Choisissons i L somme n i comme suit: i i, i,.,...,n. On otient insi que n S n m im n i n i n i égl à et de rison égle n i m n im n n i i i im n. est l somme d une suite géométrique vec le premier terme m n im n. On donc m m, et, en remplçnt dns l epression de S n, on otient: n

88 87 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Alors S n m n m m n m lim S n m m. m n m m m. ln ln lim n m m n n m n m m n n lim. n n m n m n m m m.. Eercice 9.6. ) On 5 5 d ) e e e de e 5 5 e ) e ln e dln ln ln e. 7) 5 5 ln ln 8 5. ) cos sin sin cos sin sin 8 sin 8 sin sin 5 dsin 8

89 88 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 6. ) sh sh ln sh sh ln sh sh sin 8 ln sh sh ln sh ch ln sh ch ln e ln e. 6) cos cos sin sin rctg cos sin sin rctg sin cos sin rctg sin cos sin rctgtg sin rctgctg sin rctgtg sin rctgtg sin sin. ) e sin. Comme f e sin est impire, lors e sin. En effet e sin sine e sin sine e sin sine e sin e sin e sin. / ) 7 5 / cos / tg / / 7 5 / cos, cr 7 5 cos / / cos est impire. Eercice ). On pplique l méthode du chngement de vrile. Posons pour cel: t, Ainsi tdt, et lors, on t et ( 9 t. 9 t t dt t dt t t t dt t t ln t 9 ln ln 7 ln.

90 89 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr : ) On tout d ord e e e dt e dt, t et t Pr conséquent: e e e e dt t ln t t e e. Posons ensuite t e, et lors, on ( t e. e e e ln. 5) On cos 7 cos cos sin dsin. Posons donc sin t, et lors: dsin dt, ( t et ( t. D où Eercice 9.8. ) e cos 7 ln /e /e t dt t t 5 t5 7 t e ln ln. Posons t t t 6 dt u ln, dv lors du et v. En remplçnt dns l formule d intégrtion pr prties on otient 5) cos. Posons e ln ln /e ln e e. e u, dv cos lors du et v sin. En remplçnt dns l formule d intégrtion pr prties, on otient Posons encore une fois u, cos sin sin. dv sin, lors du et v cos. Pr conséquent cos sin cos sin. cos Eercice 9.9. On

91 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr f log log5. Tout d ord clculons une primitive de l fonction. On C est une intégrle d une differentielle inomile vec: m, n, p, m n et m n p, entier. Alors on pose t. Ce qui donne t, tdt et t t t. Pr conséquent tt t tdt t t t dt t dt t ln t t C ln Clculons mintennt l intégrle donnée. On ln ln ln ln ln. C. Eercice 9.. ) Posons S n n n... n n n n n... n n n n i. i L somme S n peut être considérée comme une somme intégrle de l fonction f sur le segment, en supposnt que ce segment été prtgé en n prties égles et, comme l fonction est continue, donc intégrle, lors on peut choisir les i tels que i i n i i,,...,n. On dns ce cs n n n S n f i i i i i i n n n i. Ainsi i i i i n

92 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr lim n n n... n lim S n n n ) Tout d ord trnsformons l somme S n comme suit: S n n... n n n n. n i i n. C est une somme intégrle de l fonction f sur le segment,. D où il découle que lim S n n rctg. Eercice 9.. ) lim n sin n n n sin n... n n sin Comme sin O, on sin i i n n O i, i,,...,n. n 6 i, O Alors S n n sin n n sin n... n n sin n i n n sin i n n i i n n n i O i i i Montrons que n lim n i n n. n n i. n 6 n i O i. n 6 En effet, il eiste une constnte R (commune pour i,,...,n tel que: i. i et, lors on : n 6 n 6 n n i n O n i.. i i n n 6 Pr conséquent n n i n 6 i n 6 n i n.. n n i n n 6 n n... n n i n n n n n. n n lim S n n n lim n i i n i lim n n n i n i n i n i 5. 6 n 6

93 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) lim n n n n n... n n n n. Trnsformons S n où S n n n i n n n n S n n i n et S n n n i... n n n n n i i n in de l mnière suivnte: S n S n n i in. Montrons que lim S n. En effet, cmme n n i et in n, i,,...,n, on déduit l inéglité S n n n n n nn n. i Donc lim S n. Ainsi, on otient n lim S n lim S n n Eercice 9.. ) d sin, cr n lim n n n n i ln i sin est constnte. ) d sin sin, cr d d sin d d d sin. ) d t dt? Pour trouver l dérivée de cette intégrle, ppliquons l formule de dérivtion de l intégrle comme étnt une fonction composée, à svoir Alors on otient d d g ftdt fg.g. t dt. Eercice 9.. ) lim cos t dt F.I.. Appliquons l première règle de L Hospitl. Les fonctions

94 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr f cos t dt et g vérifient les conditions pour ppliquer cette règle. On dns ce cs Donc lim cos t dt lim. cos t dt lim cos ) Comme dns l eercice précédent, on pplique l première règle de L Hospitl qui est pplicle. On cr sin tg tgsin sin tg tgt dt sint dt tgsin sintg cos sin et l fonction cos, on déduit que lim sin tg tgt dt sint dt tgsin cos. sintg. cos sin tg cos, est continue sur,. Comme. lim Eercice 9.5. Clculons tout d ord l dérivée de. On vec, d une prt f ftdt f t ftdt f ftdt f ftdt ftdt. ftdt t ftdt, et d utre prt

95 9 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr g ftdt t ftdt tftdt, cr t t et f. Alors,. Donc est une fonction croissnte sur,. Eercice 9.7. ) Si l fonction f est continue sur le segment,, lors, d près le théorème de l moyenne: égle à: fc f vec c,. Alors l vleur moyenne de l fonction f ) y e fc sur le segment, est.,,. Comme dns l eercice précédent ), on fc e. Pour clculer cette intégrle, ppliquons l méthode du chngement de vrile en posnt e t. Et lors, on e dt, dt t. Déterminons les limites de l nouvelle vrile t. On t e et t e. fc e e dt e tt t t dt e ln t ln t e. Eercice 9.. ) Trouvons d ord les points d intersection des coures d équtions respectives: y 9 et y dont les ordonnées sont égles et donc on l éqution 9. Ce qui donne 9 9 9,. Comme sur,, on déduit que S. ) Comme pour l eercice précédent ), les points d intersection de l prole y vec l e O sont déterminés pr l éqution qui donne. Alors on S

96 95 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr ) Désignons l ire délimitée pr l coure y pr S. Comme cette ire est symétrique pr rpport u deu es O et Oy, lors il suffit de clculer l ire de l prtie de cette figure se trouvnt dns le premier qudrnt. De l éqution de l ellipse, on déduit que y,, et lors on S Pour clculer cette intégrle, on fit le chngement de vrile suivnt: sint, cos tdt. Dns ce cs t et t. Pr conséquent, comme cos t sur,/, on otient que S Donc S. sin t cos tdt. cos tdt t sint. cos t ) On, et l coure y est fermée y et symétrique pr rpport u es de coordonnées O et Oy. Comme dns l eercice précédent ), on S. Fisons le chngement de vrile sint, cos tdt. Dns ce cs t et t. Pr conséquent S cos t sintdt cos t. dt Eercice 9.. ) y,,. L longueur de l rc d une coure y f, donnée en coordonnées rectngulires se clcule suivnt l formule: si f C,. L Comme f L f f 9 9 C,, lors on f et 9

97 96 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr 7 8. Eercice 9.. ) cos t t sint, y sint t cos t, t. L longueur de l rc d une coure dont l éqution est donnée sous forme prmétrique se clcule selon l formule suivnte: L dy dt. dt dt Dns notre cs, on L sint sint t cos t cos t cos t t sint dt t cos t t sint dt tdt t. Eercice 9.. p ) cos. L longueur d un rc de l coure dont l éqution est donnée en coordonnées polires se clcule pr l formule suivnte: On psin cos L p cos Clculons l intégrle Donc dt cos t et L d p cos cos cos cos dt cos t u cos t, du dt cos t tgt cos t d. p cos sin cos d d p pr prties en posnt p cos cos d p d cos d sint cos t dt et dv dt cos t, v tgt. sin t cos t dt ln tg t dt cos t dt cos t. ln tg 8 dt cos t..

98 97 BROCHURE D ANALYSE Intégrle indéfinie et intégrle définie vec réponses et corrigés pr Pr conséquent L p ln tg 8. Eercice 9.. ) Le volume du corps otenu pr l rottion de l ellipse se clcule pr l formule suivnte: V y. y utour de l e O 5) y, y. Déterminons tout d ord, l intervlle d intégrtion. Pour cel, on et. Alors le volume V est égl V y Eercice 9.6. ) L ire de l surfce otenue pr l rottion de l chînette y cosh clcule pr l formule suivnte: S y y cosh sinh cosh cosh sinh sinh. se

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