LES REGLES DU CALCUL LITTERAL

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Edgar Rancourt
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1 Cours de Mr Jules v1.2 Clsse de Cinquième Contrt 6 pge 1 LES REGLES DU CALCUL LITTERAL «Les Mthémtiques sont des inventions très subtiles et qui peuvent beucoup servir, tnt à contenter les curieux qu'à fciliter tous les rts et à diminuer le trvil des hommes.» Descrtes 1 I. Utilistion d'expressions littérles 2 A. Pour énoncer une formule : 2 B. Pour désigner un nombre inconnu dns une éqution : 2 C. Pour exprimer "en fonction de": 2 II. Deux types de lettres utilisées. 2 III. écritures littérles déjà rencontrées. 3 IV. Conventions d'écritures dns les produits. 3 A. Ordre des fcteurs dns un produit : 3 B. Disprition du signe dns un produit : 3 V. Réductions des sommes lgébriques. 4 VI. suppression des prenthèses : Développement. 5 A. Dns une somme : 5 B. Dns un produit : 6 1. Formule : 6 2. Qutre remrques : 6 3. Exercices : 7 C. Dns un quotient : 7 VII. Exercices récpitultifs. 7 1 Descrtes : grnd philosophe et mthémticien frnçis du XVIIème siècle. Auteur de l célèbre mxime : «Cogito ergo sum (Je pense donc je suis)». De son nom est dérivé l djectif crtésien (esprit crtésien : esprit rtionnel qui pense que toute chose est une conséquence qui résulte de cuses). Il est un rdent défenseur de l Science et de l esprit scientifique.

rts et à diminuer le trvil des hommes.» Descrtes 1 I. Utilistion d'expressions littérles 2 A. Pour énoncer une formule : 2 B. Pour désigner un nombre inconnu dns une éqution : 2 C.

2 Cours de Mr Jules v1.2 Clsse de Cinquième Contrt 6 pge 2 I. UTILISATION D'EXPRESSIONS LITTERALES Définition : Une expression est littérle lorsque des nombres sont représentés pr des lettres. On déjà utilisé des lettres : A. Pour énoncer une formule : Plutôt qu' écrire : «L longueur d'un cercle est égle u produit de π pr le dimètre D du cercle», on donne une formule littérle : (cercle) = πd = 2πR «L somme de deux frctions de même dénominteur est égle à l frction dont le numérteur est l somme des numérteurs et dont le dénominteur est le dénominteur commun.», on l formule : b + b + = d d d B. Pour désigner un nombre inconnu dns une éqution 2 : Soit un tringle équiltérl de périmètre égl à 7,2 cm. On peut trouver l longueur commune de chcun des côtés. Appelons L cette longueur commune cherchée : On peut lors trduire l énoncé pr l éqution : 3 L = 7,2. C. Pour exprimer "en fonction de": On connît l'ire du disque en fonction du ryon R : (disque) = π R² Schnt que R est l moitié du dimètre D, on peut exprimer l'ire du disque en fonction du dimètre D : = π 2 D 2 = π D 2 D 2 = π D² 4 II. DEUX TYPES DE LETTRES UTILISEES. Qund une lettre représente un nb dont l vleur n est ps fixée, on dit que cette lettre est une vrible : L vleur de l lettre peut chnger! Si u contrire, l vleur de l lettre est fixée et toujours l même, on dit que cette lettre est une constnte : L vleur de l lettre est TOUJOURS l même! Exemples : Dns l formule de clcul de l longueur d'un cercle, (cercle) = 2π R R ( ryon ) est une : s vleur chnge cr R dépend du disque considéré. π est une : s vleur ne chnge ps! (ce n'est que l'rrondi que l'on choisit pour π qui peut vrier suivnt l précision souhitée). 2 Une éqution est une églité où il y une ou plusieurs quntités inconnues. Cel ser vue dns ce contrt 6.

Pour énoncer une formule : Plutôt qu' écrire : «L longueur d'un cercle est égle u produit de π pr le dimètre D du cercle», on donne une formule littérle : (cercle) = πd = 2πR «L somme de deux

3 Cours de Mr Jules v1.2 Clsse de Cinquième Contrt 6 pge 3 III. ECRITURES LITTERALES DEJA RENCONTREES. Soient et b deux nombres : + b ou b + désigne leur b ou b désigne leur b ou b désignent leur ² et b² désignent leurs - et -b désignent leurs b et b désignent leurs.. D'utres écritures que l'on peut décrire : 2 2 2n vec n entier un nombre pir 2n+1 vec n entier un nombre impir ( + b )² ² + b² IV. CONVENTIONS D'ECRITURES DANS LES PRODUITS. Afin d'lléger les écritures des produits (et seulement pour eux!), on dopte les 2 conventions suivntes : A. Ordre des fcteurs dns un produit : Les fcteurs d un produit s'écrivent dns l'ordre suivnt : 1. Les nombres isolés hors prenthèses. 2. Puis les lettres isolées hors prenthèses, dns l'ordre lphbétique. 3. Puis les prenthèses dns l ordre lphbétique. B. Disprition du signe dns un produit : Le signe de l multipliction ( ) disprît : - entre deux lettres : ex : b s'écrit - entre un nombre et une lettre : ex : 3 ou 3 s'écrit de l seule fçon : - entre des nombres, des lettres et des prenthèses : ex : 4 ( 2x + 1) s'écrit Enfin, 1 s'écrit ex : 1 (x + y) =. (-1) s'écrit ex : (-1) z =.. 1 s'écrit ex : b =.

. D'utres écritures que l'on peut décrire : 2 2 2n vec n entier un nombre pir 2n+1 vec n entier un nombre impir ( + b )² ² + b² IV. CONVENTIONS D'ECRITURES DANS LES PRODUITS.

4 Cours de Mr Jules v1.2 Clsse de Cinquième Contrt 6 pge 4 exercices : simplifiez les écritures des produits suivnts : exemple : 2 c (u + 5) 7b = 14bc(u + 5) 2 b =.. 7 ( x + 2 ) 5 b = b 2 6=. y 2 5 b =... b 4 (y + 3) 2 = V. REDUCTIONS DES SOMMES ALGEBRIQUES. Définition : Une somme lgébrique est une suite d'dditions et/ou de soustrctions de termes littérux ou numériques. Exemple : soit l'expression E = b b Cette expression comporte trois sortes de termes : Les qutre termes exprimnt un certin nombre de : + ; + 3 ; + 5 ; + 10 Les deux termes exprimnt un certin nombre de b : + 2b et - b Les trois termes numériques : 5 ; - 2 ; - 7 Définition : Réduire l'écriture de l'expression E, c'est compter ensemble les termes de même sorte pour les rssembler 3. Dns notre exemple E, on clcule : = + 2b b = =. Finlement,on obtient l'écriture réduite ou simplifiée de E : E = Remrques : Ce n'est que l'écriture qui est réduite, mis ps l vleur de l'expression : on opère des trnsformtions dns l présenttion. Si on ttribue une vleur prticulière à chcune des vribles et b, l vleur de l'expression E ser identique quelle que soit l forme présentée. C'est même un bon moyen de vérifier qu'il n'y ps eu d'erreur u cours des trnsformtions. Exercice : Réduire les expressions suivntes : = = 3y + 2 y 4y = 3 2y y 6 = 2c c c 3 = 5 + 2b b 3 +5b + 2 = 2xy 6z + 8yz xy yz +z = 3 Réduire les termes revient en fit à fctoriser les termes de même sorte.

Exemple : soit l'expression E = 5 + + 2b - 2 + 3 b 7 + 5 + 10 Cette expression comporte trois sortes de termes : Les qutre termes exprimnt un certin nombre de : + ; + 3 ; + 5 ; + 10 Les deux termes

5 Cours de Mr Jules v1.2 Clsse de Cinquième Contrt 6 pge 5 2x x² + 3 x 2 x x² 1 = R = 4x² + 3 x + 2 VI. SUPPRESSION DES PARENTHESES : DEVELOPPEMENT. Supprimer des prenthèses est souvent ppelé "développer" : c est en fit trnsformer un produit en une A. Dns une somme : Une prenthèse précédée du signe + est "neutre" : on les enlève tout simplement! D où : + ( b + c ) = ex : x + ( -3 + y ) = x + (-3) + y + ( b c ) = ex : 5 + ( 2 t ) = t exercice : développer puis réduire : x + (2 + 2x) = y + (-3 y) 2 = 2 x + (y + 2x) = (5 + x ) 3x = (-y + 2) 4y 3 = (2 x + y) + 3x y +5 = Qund une prenthèse est précédée du signe : On supprime les prenthèses ET ce signe. On remplce tous les termes de l prenthèse pr leurs opposés. D où les règles : ( b + c ) = b c (-b c) = + b + c ( b c ) = (- b + c) = Exemple : développer puis réduire : -3 (x 5) = -3 x + 5 on développé. = - x + 2 on réduit. Exercice : développer puis réduire : 3 (2 + y) = 2x ( x y ) = 5 ( y 2x) = x (x 5) = n ( 3y n) = -z (-x + z) =

D où : + ( b + c ) = ex : x + ( -3 + y ) = x + (-3) + y + ( b c ) = ex : 5 + ( 2 t ) = 5 + 2 t exercice : développer puis réduire : x + (2 + 2x) = y + (-3 y) 2 = 2 x + (y + 2x) = (5 + x ) 3x = (-y +

6 Cours de Mr Jules v1.2 Clsse de Cinquième Contrt 6 pge 6 B. Dns un produit : Pour clculer l'ire totle du grnd rectngle formé pr les deux rectngles et, il y deux mnières possibles : b k Première mnière Deuxième mnière On clcule directement l'ire du grnd rectngle. S longueur et s lrgeur sont : et. On clcule l somme des ires des deux petits rectngles : Aire Rectngle = Aire Rectngle = Aire du grnd rectngle = Aire du grnd rectngle = Les deux clculs permettnt de clculer l même ire, les deux écritures sont donc équivlentes. On peut donc écrire :..=. 1. Formule : Générlisons : pour toutes vleurs de k, et b, on : k + k b = k ( + b) Le sens permet de trnsformer une en un C est l ction de fctoriser ou Fctoristion. Le sens permet de trnsformer un en une C est l ction de développer ou Développement. 2. Qutre remrques : Une même expression peut donc voir 2 formes : une forme développée ou somme : k + kb et une forme fctorisée ou produit : k( + b) Le fcteur k s ppelle le fcteur commun. Il est commun ux deux termes k et kb, ce qui nous permet de le fctoriser (le mettre en commun) dns k + kb pour trouver k( + b). L églité k( + b) = k + kb s ppelle : églité de distributivité de l multipliction pr rpport à l ddition 4. L églité reste évidemment vlble vec l soustrction : k( b) = Evidemment, on ussi pr exemple k( + b + c d) = Qund on développe k ( + b) en k + kb, c est comme si on «distribuit» k sur et sur b.

rectngle. S longueur et s lrgeur sont : et.

7 Cours de Mr Jules v1.2 Clsse de Cinquième Contrt 6 pge 7 3. Exercices : Développement : Méthode : On veut développer 2(3 5) pr exemple. 2 (3 5 ) = On développe le produit 2(3+5) en utilisnt le sens. = 6 10 On réduit les écritures. Avec de l hbitude, on effectuer directement 2 (3 + 5) = ( + 5 ) = 3( b - 8 ) = 6(x+ 6) = y(2 - ) = (π 5) 3 = 2(5 t) 5 = Fctoristion : Méthode : On veut fctoriser 15 5 pr exemple = On décomposé chque groupe en produit pour fire pprître le fcteur commun 5. = 5 (3 1) On mis 5 en fcteur commun et trnsformé l différence en produit grâce u sens b = 2m 4 = 3x + 3 = (rectngle) = 2L + 2 = x 2 = 8b 2b = C. Dns un quotient : L brre de frction joue le rôle de prenthèses (priorité u quotient) : développer revient donc à séprer l frction. 8x + 2 8x 2 = + = 4x = = x 11 3 = + x VII. EXERCICES RECAPITULATIFS. Développer puis réduire en colonnes (ttention ux priorités et ux signes) : 3 + (x 5) 2 (3 2x) = R = 5x 8

Avec de l hbitude, on effectuer directement 2 (3 + 5) = 6 + 10 2 ( + 5 ) = 3( b - 8 ) = 6(x+ 6) = y(2 - ) = (π 5) 3 = 2(5 t) 5 = Fctoristion : Méthode : On veut fctoriser 15 5 pr exemple.

8 Cours de Mr Jules v1.2 Clsse de Cinquième Contrt 6 pge 8 2x (6 x) = R = -3x + 33 (y 5 + 5) (5 y) y = R = 3y 5 -(9 t) 2 (6t + 3) + 5t + 10 = R = - 6 t ( 10x 25 9 ) = R = 2 x ( x 4) + 3 (1 6 x 3 ) = R = - x 2 3 2

-3x + 33 (y 5 + 5) (5 y) 4 + 10 6y = R = 3y 5 -(9 t) 2 (6t

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