Fiche d exercices 1 : puissances entières et rationnelles

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Isaac Pierre
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1 Document disponible à XA0M méthodologie mthémtique Année Fiche d exercices : puissnces entières et rtionnelles

2 SAVOIR Puissnces entières positives et négtives Définition Soit n un entier nturel, l puissnce n e d un réel x est le produit de n fcteurs égux à x, on le note x n et on lit «x à l puissnce n» On donc x n = } x x {{ x } n fois Règles de clcul vec les puissnces entières Pour tous réels x, y et pour tous entiers nturels n et m, on : Tble Propriétés Exemples ) x n x m = x n+m 7 = +7 = ) x n m = x nm ) 7 = 7 = ) n ) x y = x n y n 6 0 = ) 0 = 0 0 ) x n ) ) = xn où y 0) = y y n Identités remrqubles svoir u moins l première colonne) + b) = + b + b + b) = + b + b + b b) = b + b b) = b + b b b = b) + b) b = b) + b + b ) Extension de l définition ux exposnts négtifs On peut générliser l définition de x n ux exposnts négtifs ou nuls, pour cel il fut que x 0, et on pose les définitions suivntes : Définitions x 0 et n N) Exemples x 0 = 0 = x n = x n = = 9 Et les règles de clcul exposées dns l tble sont encore vries En prticulier : Propriétés x 0 et n, m Z) Exemples x n x = m xn m = = = 8 x n x = m x m n = = = 8

x nm ) 7 = 7 = ) n ) x y = x n y n 6 0 = ) 0 = 0 0 ) x n ) ) = xn où y 0) = y y n Identités remrqubles svoir u moins l première colonne) + b) = + b + b + b) = + b + b + b b) = b + b b) = b + b b b =

3 EXERCICES I) Simplifier les expressions suivntes ) x 7 x x ) x 7 ) ) ) b) ) ) ) 6) b c) 7) x7 8x 8 ) 8) x y )x y ) x )x 6 ) ) ) 9) 0) 9y 6 ) y ) ) 0x ) 6 7 ) ) ) u v ) b ) ) 7 b ) 6x x y 6 ) x y y ) ) 6x y x y ) ) z ) x y ) x 7 6) 7) 8) x y ) 8x y 6 z x y x 0 y 8y b c ) b ) 9) b c b c) c 0) b ) b ) ) 8 b 0 II) Utiliser les identités remrqubles pour trnsformer les expressions suivntes ) x + x y + y 6 ) z 6 z t 8 + t 6 ) r r ) SAVOIR Rcines crrées, rcines cubiques, rcines q e Définition Soit et b deux nombres réels positifs et q un entier nturel non nul, on dit que b est l rcine q e de si on b q = On note ce nombre b pr q ou pr q Remrques Pour q = on = et pour q = on écrit u lieu de On lit lors «rcine crrée de» u lieu de «rcine deuxième de» Lorsque q =, on dit «rcine cubique» plutôt que «rcine troisième» Propriétés Soit p et q des entiers nturels et, b des réels positifs ou nuls on : 0) 0 q = 0 ) q = Propriétés ) q ) q = ) = ; ) = ) p q = p + q ) = + ) = 7 ) q b q = b) p = 6 ) q ) q = pq 6) b ) q = q b q Exemples ; 0 = = = ) = = = ) 8 = = = 8 8 EXERCICES III) ) L rcine crrée d un nombre peut elle être strictement négtive? ) Et l rcine cubique d un nombre? ) Combien existe-t il de nombres x tel que x =? ) Combien existe-t il de nombres x tel que x = 8? ) Combien existe-t il de nombres x tel que x =? 6) Combien existe-t il de nombres x tel que x = 8?

y 6 ) z 6 z t 8 + t 6 ) r r ) SAVOIR Rcines crrées, rcines cubiques, rcines q e Définition Soit et b deux nombres réels positifs et q un entier nturel non nul, on dit que b est l rcine q e de si on b

4 IV) Clculer : ) 6 ) 6 ) 7 ) 7 ) 7) 6) 6 7) + 8) + ) 9) α) 0) α ) 6 ) ) + ) V) Simplifier : ) 6 ) + 6 ) ) 6 ) ) ) 6) 7 + ) + 7 ) 7) + 7) + 7) SAVOIR Puissnces rtionnelles Conventions d écriture Soit R, 0 Pour tout p Z et q N on écrit p q pour représenter le nombre p ) q Et pour tout nombre rtionnel r représenté pr p q, on écrit r = p q Règles de clcul Pour tous, b R, 0, b 0, p Z et q N, r, r Q Propriétés ) p q = p ) q = q ) r r = r+r ) r ) r = r r ) p ) r / r = r r vec 0) ) b) r = r b r ) r r 6) = où b 0) b br EXERCICES VI) Remplcer les points d interrogtion pr des vleurs numériques déqutes : ) =? ) =? 67 ) =?? ) 6 6 7? b =?? b? ) = 6) = 7)? 7 ) =?? VII) Simplifier les expressions suivntes : ) 7) ) 6 ) ) 6) 7 6 7) ) ) 9 9 ) ) 8) 8 ) ) ) ) ) )

0, p Z et q N, r, r Q Propriétés ) p q = p ) q = q ) r r = r+r ) r ) r = r r ) p ) r / r = r r vec 0) ) b) r = r b r ) r r 6) = où b 0) b br EXERCICES VI) Remplcer les points d interrogtion pr

5 SAVOIR L éqution x n = pour les nombres réels Qund on écrit q, p q,, n, pr définition est un nombre positif et ces symboles représentent des nombres positifs Nénmoins on peut, grâce ux rcines rtionnelles, exprimer les solutions réelles x de l éqution x n =, où n et sont respectivement un entier et un nombre réel On doit considérer deux cs suivnt l prité de n : er cs : n est pir c est à dire que n divisé pr est un entier) Comme on x n 0 lors l éqution x n = n de solution que si 0 De plus si x est solution, lors x est ussi solution Il suffit donc de connître les solutions positives de cette éqution pour décrire toutes les solutions Lorsque 0 l éqution x n = n qu une seule solution réelle et positive : c est n, et l utre solution est n e cs : n est impirc est à dire que n divisé pr n est ps un entier) Dns ce cs, même lorsque est négtif, il y des solutions Si 0, lors x 0 et pr définition on x = n Cette solution est unique Si 0, posons b = et y = x, lors l éqution x n = devient y n = b Cette fois, on b 0 D près ce qui prècède on l unique solution y = n qui se récrit x = n ce qu on peut écrire plus simplement x = n, en ynt remrqué que = vleur bsolue de ) On peut résumer les résultts obtenus dns le tbleu ci-dessous < 0 0 n pir ps de solution { n, n } { n impir n } { n } Remrque On rppelle que l vleur bsolue de x est le nombre x si x 0 et le nombre x sinon EXERCICES VIII) Résoudre les équtions : ) x 6 = 6 ) x = ) x 6 = 7 ) x = 8 ) x + ) 0 = 6) x + ) 0 = 7) x +,) = 8) x ) + = 0 9) x ) + = 0 IX) Tiré de l exmen 00) L msse moyenne M en kg d une femme dont l tille en cm est h est donnée pr M = 0,0097h,7 ) Clculer l tille d une femme pesnt 60kg ) Que devient l tille lorsque l msse d une personne de,70m ugmente de 0%? Un complément sur les ensembles de nombres Les nombres entiers nturels sont les nombres obtenus à prtir de 0 pr jout successifs de Les nombres entiers nturels sont donc les nombres 0,,,, L ensemble des entiers nturels est noté N Étnt donné un entier nturel n, il existe un seul nombre x tel que x + n = 0 Ce nombre se note n et s ppelle l opposé de n Un nombre qui est soit entier nturel soit l opposé d un entier nturel s ppelle un nombre entier on dit ussi prfois entier reltif) Les nombres entiers sont donc,,,,,, 0,,,,, On note Z l ensemble des nombres entiers Les nombres rtionnels sont les nombres obtenus en divisnt un entier pr un entier non nul les nombres entiers sont donc des cs prticuliers de nombres rtionnels : si n Z, on n = n/) L ensemble des nombres rtionnels est noté Q Pr exemple, / et 6/7 sont des rtionnels Les nombres rtionnels ont un développement déciml périodique à prtir d un certin rng ce

dire que n divisé pr est un entier) Comme on x n 0 lors l éqution x n = n de solution que si 0 De plus si x est solution, lors x est ussi solution Il suffit donc de connître les solutions positives

6 qui signifie qu à prtir d une certine décimle, une suite de chiffres se répète Le développement de 6/7 est 0, Pour obtenir le développement déciml entier, il fut reporter à l plce de l suite une infinité de fois Le développement déciml de /0 est obtenu en remplçnt dns 0,0 les points pr répété infiniment Les nombres qui sont rtionnels ou qui ont un développement déciml qui n est ps périodique à prtir d un certin rng sont ppelés nombres réels Contrirement à celui des nombres rtionnels, le développement déciml d un nombre réel non rtionnel ne peut ps être décrit à l ide d une suite finie de chiffres Pr exemple, l longueur de l digonle d un crré de côté est le nombre réel et non rtionnel) noté Le périmètre d un cercle de dimètre est le nombre réel et non rtionnel) noté π On note R l ensemble des nombres réels On les inclusions N Z Q R ce qui signifie que chque entier nturel est ussi un entier, chque entier est ussi un rtionnel et chque rtionnel est ussi un réel Il est souvent difficile de svoir si un nombre est rtionnel ou non, c est encore un sujet de recherche très ctuel Il existe d utres nombres dont nous ne prlerons ps ici 6

déciml qui n est ps périodique à prtir d un certin rng sont ppelés nombres réels Contrirement à celui des nombres rtionnels, le développement déciml d un nombre réel non rtionnel ne peut ps être

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