CHAPITRE DF4 D FLUIDES RÉELS : VISCOSITÉ

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1 PSI Bizeux Ch. DF4 : Fluides éels : viscosité 46 CHAPITRE DF4 D FLUIDES RÉELS : VISCOSITÉ Dans ce chapite des écoulements de fluides incompessibles éels et examineons l influence de leu viscosité su ces écoulements. 1. EQUATION DE NAVIER-STOKES Il s agit tout simplement de l équation d Eule dans laquelle on a ajouté la foce volumique (ou massique) de viscosité. Cette équation pend alos la fome : ρ[ " v "t + ( v.gad) v ] = f v - gadp + η " v Equation de Navie -Stokes " v "t + ( v.gad) v = f m - gadp " + ν " v Pou mieux compende cette équation, evenons su la signification physique de la viscosité : 2. INTERPRETATION DE LA VISCOSITE 2.1. Tanspot de quantité de mouvement pa convection et pa diffusion Il est clai que, pa son mouvement même, un fluide tanspote de la quantité de mouvement : ce type de tanspot dû au mouvement est appelé tanspot convectif. Ainsi, à un fluide en tanslation de vitesse v = v e x dans un éféentiel R, il est possible d associe la quantité de mouvement volumique ρ v. La quantité de mouvement élémentaie " p tavesant une suface ds = ds e x othogonale à l écoulement pendant le temps δt s écit alos " p = ρ v v δt. ds = ρv 2 δt ds. La foce associée en quelque sote au mouvement du fluide est : df = " p "t = ρv2 ds qui fait appaaîte la notion de pession dynamique ρv 2. Considéons alos l exemple d un cylinde empli de fluide et mis en otation à vitesse angulaie Ω 0 autou de son axe; nous obsevons alos la mise en mouvement pogessive du fluide à pati de la paoi du cylinde. Au bout d un cetain temps, si les effets de bod (dus à la longueu finie du cylinde) sont négligés, l ensemble du fluide toune à la vitesse angulaie Ω 0.

2 PSI Bizeux Ch. DF4 : Fluides éels : viscosité 47! 0 A pati de l état de epos, le fluide est donc mis en mouvement des bods du cylinde ves son cente, c est-à-die adialement. Cependant, la vitesse du fluide est en tout point et à tout instant othoadiale : le tanspot de quantité de mouvement pemettant la mise en mouvement du fluide ne peut ête convectif. Il s agit ici d un tanspot diffusif, de natue micoscopique, en tout point analogue à un tansfet themique pa exemple : nous assistons, pa diffusion de quantité de mouvement, à une popagation adiale de poche en poche de la mise en mouvement du fluide. C est la viscosité du fluide qui assue en fait, pa l intemédiaie de la foce de fiction qui s exece ente les difféentes couches concentiques du fluide, le tanspot diffusif de la quantité de mouvement : La viscosité peut s intepéte comme une diffusion de quantité de mouvement. Le ôle du coefficient de viscosité cinématique ν est en fait tout à fait analogue à celui des coefficients D et " des lois de Fick et Fouie. Pou mieux nous en convaince, écivons l équation de #c Navie-Stokes pou un écoulement dont le champ des vitesses est de la fome : v = v(y, t) e x. Cet écoulement est stuctuellement laminaie et l accéléation convective est nulle. La foce massique de viscosité s écit : f mviscosité = ν "2 v e "y 2 x Si on suppose de plus que la pession ne vaie pas dans le sens de l écoulement, l équation de N-S en pojection su x s écit : "v "t -ν "2 v "y = 0 2 fomellement identique à des équations du type : "n -D "2 n "t "y = 0 et "T - λ 2 "t ρc "2 T = 0 dans des 2 "y milieux unidimensionnels selon la diection y... Cette équation devient bien alos une équation de diffusion. On compend bien alos qu un écoulement visqueux est essentiellement dissipatif et iévesible.

3 PSI Bizeux Ch. DF4 : Fluides éels : viscosité Application : pete en chage Un exemple classique d écoulement est celui de l écoulement de Poiseuille dans un tube cylindique. Dans ce tube de section constante S et de longueu L s écoule un fluide sous l action d un gadient de pession unifome établi ente les deux extémités du tube : gadp = "Kex ( K est appelé coefficient de pete de chage). La vitesse, en égime stationnaie est chechée sous la fome v = v()ex où epésente la distance à l axe du tube. Nous admettons alos que la foce de viscosité s expime en coodonnées cylindiques sous la fome : f v = " 1 # $ # #v ' & ) ex % # ( L équation de mouvement du fluide s écit donc : 0 = + K + η 1 dont l intégation aboutit à : v() = - K 4" 2 + A Ln + B " " # "v & % ( $ " ' La vitesse estant finie à l intéieu du tube, on a nécessaiement A = 0. La valeu de B est imposée K pa la nullité de v en = R ( ayon du tube ). D où v() = 4" (R2-2 ), soit : v() = V 0 ( 1-2 R ) avec V 2 0 = KR 2 4" Le pofil de vitesses dans le tube est donc de la fome : R z Il est intéessant de calcule le débit volumique associé : D v = R v() 2π d = "KR 2 8# 0 Ce ésultat constitue la loi de Poiseuille : le débit volumique est popotionnel à la puissance quatième du ayon du tube pou un fluide éel (et non au caé du ayon pou un fluide pafait)... Remaquons enfin que viscosité et gadient de pession dans le tube sont intimement liés : les foces de viscosité expliquent la pete de chage du tube, c est à die la diminution de pession au long du tube, attestée pa des pises de pession latéales.

4 PSI Bizeux Ch. DF4 : Fluides éels : viscosité 49 La épatition de pession dans les tubes est hydostatique. Il y a à la fois, en A et B, continuité de la pession et de la vitesse, gâce au caactèe éel du fluide. D où : P A - P B = ρgh = - KL h A L B z 3. LE NOMBRE DE REYNOLDS 3.1. Étude expéimentale de la foce de taînée d une sphèe en tanslation unifome dans un fluide éel Considéons une sphèe de ayon R, immegée dans un fluide de masse volumique ρ et de viscosité η, et se déplaçant en tanslation de vitesse unifome U dans le fluide. Une étude expéimentale de la foce subie pa la sphèe de la pat du fluide, encoe appelée foce de taînée, conduit aux ésultats suivants : - à faible vitesse, la foce de taînée est popotionnelle à la vitesse, au ayon de la sphèe et à la viscosité. Elle obéit à la fomule de Stokes : F = - 6πηR U fomule de Stokes - à fote vitesse, elle devient popotionnelle aux caés de la vitesse et du ayon : F = πr2 ρu 2 e x si on désigne pa x l axe de tanslation de la sphèe. Comment explique cette difféence? Nous avons vu l existence de tanspots convectifs et diffusifs de quantité de mouvement dans le fluide. Su l exemple du cylinde en otation nous avons même pu sépae les deux effets pa othogonalité ente leu popagation. Dans cet exemple en evanche les deux effets entent en compétition :

5 PSI Bizeux Ch. DF4 : Fluides éels : viscosité 50 A fote vitesse, l effet convectif l empote. Nous avons vu qu il conduit à l idée d une pession dynamique associée au fluide. Ici cette pession vaut 1 2 ρu2 et s applique à la pojection de la suface de la sphèe su un plan othogonal à la vitesse : πr 2, d où l expession de la foce. A faible vitesse en evanche, l effet diffusif, associé à la viscosité l empote. L analyse dimensionnelle et les valeus typiques des gandeus de l écoulement montent que la foce volumique de viscosité est de l ode de η U, ce qui donne bien finalement une foce popotionnelle au poduit 2 R ηur. Cette évolution de la foce de taînée va nous pemette de mieux caactéise l impotance elative des phénomènes convectif et diffusif en intoduisant un nombe caactéistique de l écoulement : le nombe de Reynolds Le nombe de Reynolds Définition pa la compaaison des expessions de la foce de taînée L exemple pécédent nous monte que pou un obstacle de dimension caactéistique tansvesale L, placé dans un écoulement de vitesse U, les phénomènes diffusifs entaînent une foce popotionnelle à ηul, et les phénomènes convectifs une foce popotionnelle à ρu 2 L 2. Pa définition nous appelleons nombe de Reynolds la gandeu sans dimensions égale au appot de ces deux gandeus : Re = foce caactéistique convective foce caactéistique diffusive = ρu2 L 2 ηul = UL ν Rq. On définit également le coefficient de taînée C d comme le appot de la foce éelle subie pa l obstacle su la valeu 1 2 ρsu2, où S est la suface pojetée othogonalement à l écoulement. Ce coefficient de taînée peut ête calculé expéimentalement pou difféentes valeus de la vitesse U. On peut alos constuie la coube expéimentale C x = f(re). Dans le cas de la sphèe en tanslation, on touve :

6 PSI Bizeux Ch. DF4 : Fluides éels : viscosité 51 Cx 1 Re 6"#RU 24 Ainsi, à faible vitesse, : C d = = 1 2 "R 2 $U 2 Re A fote vitesse en evanche ce coefficient tend ves une constante. Remaque : Cette définition du nombe de Reynolds pa compaaison de foces macoscopiques de taînée est en fait déjà contenue dans l équation de N-S. Le teme caactéistique de la diffusion est ν " v de l ode de ν U. Le teme caactéistique de la convection est ( v.gad) v de l ode de U2 2 L L. On etouve alos : Re = teme de convection de N - S teme de diffusion de N - S = UL " Définition pa la compaaison des temps caactéistiques de diffusion et de convection Une aute définition possible du même nombe de Reynolds peut ête donnée à pati de la compaaison des temps caactéistiques associés aux deux phénomènes. Ces temps seont eux-mêmes évalués à pati des gandeus caactéistiques U et L pécédemment intoduites : - le temps τ C caactéistique de la convection se éduit simplement au quotient L U - le temps τ D caactéistique de la diffusion peut ête déduit de l équation : "v "t -ν "2 v = 0. D un 2 "y point de vue dimensionnel en effet elle intoduit le temps τ D = L2, soit la définition de Re pa : " Re = temps caactéistique de diffusion temps caactéistique de convection = τ D τ C = UL ν Nous aboutissons bien à la même expession...

7 PSI Bizeux Ch. DF4 : Fluides éels : viscosité Classification des écoulements L intéêt du nombe de Reynolds est qu il pemet de classe les difféents écoulements. Rien qu en obsevant l écoulement d eau issu d un obinet, nous pouvons constate de gandes difféences suivant le débit imposé : pou des faibles débits, le jet d eau est stable alos qu aux fots débits il devient instable avec émission de gouttelettes. La natue du fluide intevient également : la stabilité est beaucoup plus gande pou un jet d huile issu de la vidange d un cate pa exemple. Revenons alos au nombe de Reynolds associé à l écoulement d un fluide : Pou des nombes de Reynolds faibles (typiquement petits devant l unité ), la viscosité joue un ôle pépondéant. Les écoulements seont tès stables et bien définis (on pale d écoulements ampants). Ce type d écoulements est associé aux fluides tès visqueux (η élevé), aux faibles vitesses, pou des systèmes de petites taille... Remaquons d ailleus qu à ces faibles nombes le teme convectif en ( v.gad) v de l équation de N-S est négligeable. C est la «dispaition» de ce teme non linéaie qui confèe alos à ces écoulements leu gande stabilité. Pou des nombes de Reynolds élevés, la convection joue un ôle pépondéant et les écoulements deviennent instables et tubulents : on enconte ce type d écoulements pou des fluides peu visqueux, aux fotes vitesses, pou des systèmes de gande taille. Ces tubulences existent losque la vitesse est supéieue à une limite au-delà de laquelle la viscosité ne suffit plus à égulaise les mouvements. La encoe la pépondéance du teme de convection non linéaie est à l oigine des phénomènes de tubulence Cependant, pou ces nombes élevés, il est possible de encontes des configuations géométiques maintenant des écoulements stables dont la configuation este la même que pou un nombe faible : ce sea évidemment le cas des écoulements laminaies pou lesquels, stuctuellement, le teme convectif de l équation de N-S est nul Pou un écoulement laminaie, le calcul du nombe de Reynolds semble donc a pioi inutile puisque le teme convectif n intevient pas. En fait ce calcul devient petinent pou discute de la possibilité même d une stuctue laminaie de l écoulement, ou plus exactement de sa stabilité. L augmentation de la vitesse pa exemple dans un écoulement laminaie poua cée des instabilités faisant évolue l écoulement ves un égime tubulent. Des études d ode puement expéimental pemettent alos de défini une valeu limite numéique du nombe de Reynolds sépaant les deux types de égime. Cette valeu dépend évidemment de chaque écoulement, mais on peut eteni une valeu usuelle de l ode de Notion de couche limite Dans un écoulement laminaie à gand nombe de Reynolds, loin de tout obstacle, le fluide peut ête considéé comme pafait : les foces de viscosité sont alos négligeables. En evanche, losqu on intoduit un obstacle, au voisinage de ce denie les phénomènes de diffusion (viscosité) et de convection doivent ête pis en compte simultanément. Il existe ainsi une zone où la vitesse du fluide évolue apidement de sa valeu en l absence d obstacle jusqu à zéo si l obstacle est

8 PSI Bizeux Ch. DF4 : Fluides éels : viscosité 53 immobile : cette zone est appelée couche limite. L écoulement dans la couche limite peut lui-même ête laminaie ou tubulent. La couche limite est la zone de fluide de faible épaisseu (d autant plus faible que Re est gand) située au voisinage d un obstacle et dans laquelle le fluide ne peut plus ête considéé comme pafait. C est dans cette zone que le gadient des vitesses est impotant et où la foce de viscosité a un effet notable puisqu elle est capable de feine le fluide jusqu à l aête au niveau de l obstacle. En dehos de cette zone, toute la dynamique des fluides pafaits pécédemment étudiée este valable. Notons enfin que la fome de l obstacle joue un gand ôle su celle de la couche limite. Ainsi, pou des obstacles «mal pofilés», se poduit le phénomène de décollement de couche limite. Celui-ci engende la céation d un gande zone de tubulence dans le sillage de l obstacle. Ce type de phénomène doit pa exemple ête contôlé et évité au mieux dans le calcul des pofils aéodynamiques, comme ceux des ailes d avion...