CHAPITRE V. Formes différentielles sur les variétés. I. Espace tangent

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1 CHAPITRE V Formes dfférentelles sur les varétés I. Espace tangent Sot M une varété dfférentable de dmenson n et U = (U, ϕ ) I un atlas de M. On note par ϕ j := ϕ ϕ 1 j le dfféomorphsme entre les ouverts ϕ j (U U j ) et ϕ (U U j ) de R n. Sot x M un pont de M et I x l ensemble (non-vde) des ndces tels que x U. On défnt la relaton d équvalence suvante sur l ensemble I x R n : (, v) (j, w) v = dϕ jϕj (x) (w). Exercce: vérfer qu l s agt ben d une relaton d équvalence. Défnton 1. L espace quotent I x R n / s appelle l espace tangent à M en x. Il est noté T x M. Pour tout ndce I x on peut défnr une bjecton ψ : R n T x M par v ψ (v) := (, v). Du fat que (exercce) (1) ψ 1 ψ j = dϕ jϕj (x) est une applcaton lnéare quels que soent, j I x, l espace T x M a une structure naturelle d espace vectorel réel de dmenson n. Remarque 2. L espace tangent dépend (en apparence) du chox de l atlas qu défnt la structure dfférentable de M. Il est néanmons facle à vérfer que s U = (U j, ϕ j) j J est un atlas équvalent à U, alors les espaces tangents construts à l ade de U et U sont canonquement somorphes en tant qu espaces vectorels. L unon (dsjonte) T M := x M T x M de tous les espaces tangents s appelle le fbré tangent. 1

2 2 Exemple: S M = U est un ouvert de R n, l espace tangent à M en chaque pont x s dentfe canonquement à R n, en utlsant l atlas à un seul élément donné par l ncluson de M dans R n. Le fbré tangent de U s dentfe alors à U R n. II. Dfférentelle d une foncton Rappel: S f : U V et g : V W sont des fonctons C entre des ouverts de R m, R n et R p respectvement, la règle de dérvaton des fonctons composées (g f) x j (x) = n k=1 s écrt de manère condensée g y k (f(x)) f k x j (x), (2) d(g f) x = dg f(x) df x, x U. 1, p, j 1, m, x U Soent M et N deux varétés dfférentables de dmensons m et n avec des atlas U = (U, ϕ ) I et U = (U j, ϕ j) j J et sot f : M N une foncton C. On rappelle que cela sgnfe que pour tous x M, U contenant x et U j contenant f(x), la foncton ϕ j f ϕ 1 est une foncton C entre des ouverts de R m et R n. Proposton-Défnton. df : T M T N défne par La dfférentelle de f est l applcaton (3) df(x) = ψ j d(ϕ j f ϕ 1 ) ϕ (x) ψ 1 (X) pour tous x M, X T x M, U contenant x et U j contenant f(x). En partculer, s f est une foncton à valeurs réelles, on a (4) df(x) = d(f ϕ 1 ) ϕ (x) ψ 1 (X). Preuve. Les relatons (1) et (2) montrent que la défnton de df(x) ne dépend pas des chox de U et U j. On remarque que df est une applcaton lnéare entre T x M et T f(x) N quel que sot x M. Un calcul smple montre que la relaton (2) contnue à être vérfée: s M, N, P sont des varétés dfférentables et f : M N et g : N P sont des fonctons dfférentables, alors (5) d(g f) x = dg f(x) df x, x M.

3 3 III. Champs de vecteurs Un champ de vecteurs sur un ouvert U de R n n est ren d autre qu une foncton C, notée X, défne sur U à valeurs dans R n. L mage d un pont x U par X est un vecteur de R n vu comme élément de l espace tangent T x U. Cette noton se généralse asément aux varétés: Défnton 3. Un champ de vecteurs sur une varété dfférentable M est une applcaton X : M T M satsfasant les proprétés suvantes: () X(x) T x M quel que sot x M. () X est dfférentable, dans le sens suvant: pour chaque carte (U, ϕ ), l applcaton de ϕ (U ) dans R n défne par x ψ 1 X ϕ 1 (x) est C. Autrement dt, l expresson de X dans chaque carte dot être C. Remarque. Sur l ntersecton de deux cartes, U U j, on a d après ce qu précède ψ 1 j X ϕ 1 j (y) = d(ϕ j ) y ψ 1 X ϕ 1 ϕ j (y), y ϕ (U U j ), donc la défnton de la dfférentablté des champs de vecteurs ne dépend pas du chox de la carte. IV. Formes dfférentelles Sot M une varété dfférentable de dmenson n. Pour chaque x M on défnt Λ k x(m) := Λ k (T x M ). Un élément de Λ k x(m) est donc une applcaton k-lnéare alternée sur T x M à valeurs dans R. L unon dsjonte Λ k (M) := Λ k x(m) x M s appelle le fbré extéreur de degré k. Défnton 4. Une k-forme dfférentelle sur une varété dfférentable M est une applcaton ω : M Λ k (M) satsfasant les proprétés suvantes: () ω(x) Λ k x(m) quel que sot x M. () X est dfférentable, dans le sens suvant: la foncton x ω(x)(x 1 (x),..., X k (x)) est C quels que soent les champs de vecteurs (C ) X 1,..., X k sur M. Le R-espace vectorel des k-formes dfférentelles est noté par Ω k (M).

4 4 S U est un ouvert de M, la restrcton à U défnt une applcaton lnéare Ω k (M) Ω k (U). Exemple fondamental. S f : M R est une foncton C, sa dfférentelle df : T M T R défnt une 1-forme dfférentelle. En effet, d après (4), s X est un champ de vecteurs C sur M, la foncton x df x (X(x)) s écrt dans une carte (U, ϕ) (6) df x (X(x)) = d(f ϕ 1 ) ϕ(x) ψ 1 (X(x)) = F (ϕ(x)) où on a noté par F la foncton sur l ouvert ϕ(u) de R n F (y) = d(f ϕ 1 ) y ψ 1 (X(ϕ 1 (y))) qu est C d après la défnton 3. En partculer, s on note par x : U R, = 1, n les composantes de la carte ϕ, on obtent des 1-formes dx Ω 1 (U). Proposton 5. Les 1-formes dx, = 1, n forment une base de Λ 1 (U) en chaque pont. Preuve. Sot x U et ψ : R n T x M l somorphsme défnt par la carte ϕ. Comme x ϕ 1 est la -ème coordonnée sur R n, la relaton (4) montre que dx (x)(ψ(e j )) = δ j, où {e j } est la base canonque de R n. D après le Corollare II-4 du premer chaptre, les k-formes dx 1... dx k, 1 1 < 2 <... < k n forment un base de Λ k (U) en chaque pont. On constate qu on peut travaller (localement) avec les formes dfférentelles sur les varétés comme sur les ouverts de R n. Défnton 6. Soent M et N deux varétés dfférentables et sot f : M N une foncton C. S ω Ω k (N) est une k-forme dfférentelle sur N, on défnt son mage récproque f ω Ω k (M) par (f ω) x (X 1,..., X k ) = ω f(x) (df x (X 1 ),..., df x (X k )), quel que sot x M et les vecteurs tangents X T x M. La vérfcaton du fat que f ω est C est facle et lassée au lecteur. Comme pour le cas des formes sur les ouverts de R n, l est clar que f : Ω (N) Ω (M) est R-lnéare et satsfat f (α β) = (f α) (f β) quelles que soent α, β Ω (N). De plus, l mage récproque satsfat (7) (f g) = g f grâce à la relaton (5).

5 V. Dfférentelle extéreure Théorème 7. Sot M une varété dfférentable. Il exste une unque applcaton R-lnéare d : Ω (M) Ω (M) satsfasant les condtons suvantes: () d(ω p (M)) Ω p+1 (M) p 0. () d : Ω 0 (M) Ω 1 (M) est la dfférentelle des fonctons qu a été défne dans (4). 5 () d(α β) = (dα) β + ( 1) p α (dβ), Ω (M). α Ω p (M), β (v) d d = 0. (v) S f : M N est une applcaton dfférentable, alors d f = f d. Preuve. L uncté résulte mmédatement de la condton (v). En effet, en consdérant les nclusons des cartes U M, on vot que d sur M est détermné par d sur les U, qu à son tour est détermné par d sur les ouverts ϕ (U ) de R n. Pour montrer l exstence, on remarque que la donnée d une forme dfférentelle sur M est équvalente à la donnée de formes dfférentelles ω sur les cartes U qu concdent sur les ntersectons: ω U U j = ω j U U j. Sot alors ω Ω p (M). On défnt la (p + 1)-forme σ sur U par σ := ϕ (d((ϕ 1 ) ω)), où l opérateur d dans le membre drot est la dfférentelle extéreure habtuelle sur les ouverts de R n. S ϕ j := ϕ ϕ 1 j est le dfféomorphsme entre les ouverts ϕ j (U U j ) et ϕ (U U j ) de R n défn au début de ce chaptre, la relaton de fonctoralté (7) nous permet d écrre σ U U j = ϕ (d((ϕ 1 ) ω)) = ϕ j(ϕ jd((ϕ 1 ) ω)) = ϕ j(d(ϕ j(ϕ 1 ) ω)) = ϕ j(d((ϕ 1 j ) ω)) = σ j U U j, donc la collecton (σ ) défnt ben une p + 1-forme sur M, qu on appelle dω. La vérfcaton des proprétés () (v) résulte drectement des proprétés analogues de d sur les ouverts de R n.

6 6 CHAPITRE VI Cohomologe de De Rham sur les varétés La théore de la cohomologe de De Rham sur les ouverts de R n se transpose sans dffculté sur les varétés. Plus précsément, les défntons et résultats du chaptre III restent vras en remplaçant les ouverts de R n dans chaque enoncé par des varétés de dmenson n, sauf pour les sutes exactes de Mayer-Vetors en cohomologe smple et à support compact (Proposton II-3 et son corollare, Théorème III- 2 et Corollare III-2), ou au leu de U et V ouverts de R n l faut lre U et V ouverts d une varété de dmenson n.