Anses de panier. Ludovic Goudenège Agrégation 2010

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1 Anses de pnier Ludovic Goudenège Agrégtion 1 Nous étudions dns c rticle un prolème d pproximtion géométrique : l pproximtion d un qurt d ellipse pr l réunion de deux rcs de cercle ppelée «nse de pnier» Les rcs en demi-ellipse ont été utilisés dns l rchitecture u XV e XVI e siècles on en trouve de nomreux exemplires dns les vieux qurtiers de nos villes ou dns les châteux de cte époque Mis dns les villges de vignerons, chque ferme comporte un portil surmonté d un rc en pierre, âti souvent u cours du XIX e siècle C rc est rélisé en 5 ou 7 pierres dont chcune est tillée suivnt un rc de cercle Le menuisier qui construit le portil dû lui ussi pprocher le qurt d ellipse de chque vntil pr des rcs de cercle Construire des nses de pnier étit donc un svoir-fire commun ux siècles précédents comme en témoigne l rticle de l Aé Bossu dns l Encyclopédie de D Alemert Il semle s être perdu ujourd hui n être plus enseigné dns les écoles d rchitecture ou du âtiment Nous nous proposons ici d étudier l qulité d pproximtion d un qurt d ellipse pr deux nses de pnier Pour un mthémticien, prler d pproximtion n de sens que si l on peut mesurer l qulité de celle-ci Il fut donc introduire un critère qui ssocier u couple (E, A d un qurt d ellipse d une nse de pnier un réel positif δ(e, A À prtir d une fmille d nses de pnier (A t prmétrée pr un prmètre réel t, on pourr déterminer l meilleure pproximtion u sens de ce critère C est-à-dire l vleur t qui minimise δ(e, A t 1 Nottions Étnt donné un rectngle OADB de côtés OA = OB = ( <, on lui ssocie l ellipse E d éqution x y = 1 dns le repère (Ox, Oy ssocié à ce rectngle Soit M un point de l ellipse de coordonnées (x, y Si on pose c = si on ppelle foyers de l ellipse E les points F F de l xe (Ox d scisses respectivement c c, lors on MF MF = Cte propriété élémentire perm de dessiner fcilement une ellipse à l ide d une corde enroulée utour de deux poteux Pour cel, on positionne deux poteux ux foyers, on enroule une corde de longueur l = c on trce l coure otenue en tournnt utour des poteux en grdnt l corde tendue De plus, de l éqution MF, MF MF, MF = c, on peut déduire l reltion : MF d MF MF dmf MF MF Le vecteur d MF = dmf MF, porté pr l tngente en M à l ellipse, est norml u vecteur MF MF MF qui est porté pr l issectrice intérieure de l ngle F MF On en déduit une propriété importnte des miroirs elliptiques : tous les ryons issus de F convergent, près réflexion sur E en F En coustique, cte propriété été utilisée dns certins âtiments (voûtes en ellipse, pr exemple l ye de l Chise-Dieu ou celle de Sint Mrtin à Pris pour l confession des lépreux dns le métro, où l on peut se prler d un qui à l utre en se plçnt ux foyers π L longueur de l ellipse est donnée pr l intégrle sin ϕ cos ϕ dϕ dite «elliptique» dont le clcul ne se rmène ps à des fonctions élémentires On peut, en développnt le 1

2 inôme, otenir des développements : π sin ϕ cos ϕ dϕ = π = π ( 1 c cos ϕ dϕ ( 1 ( c ( Anses de pnier - Première pproche 1 ( c 3 3 ( ( c Étnt donné le rectngle OADB, nous ppellerons nse de pnier A = (γ, Γ ssociée à ce rectngle, l réunion de deux rcs de cercle γ = AM de ryon r Γ = BM de ryon R, tngents en M normux respectivement à OA OB Nous noterons I le centre de γ situé sur l droite (OA J celui de Γ situé sur l droite (OB Les nses de pnier insi définies ne dépendent que d un seul prmètre On choisit le prmètre θ = ( JM, JB Le point I pour coordonnées ( r,, le point J pour coordonnées (, R Comme OM = OI IM = OJ JM, les coordonnées du point M sont données pr : { xm = r r sin θ = R sin θ, y M = r cos θ = R R cos θ Ce système détermine complètement les deux ryons r R en fonction du prmètre θ ], π/[ : r = (cos θ 1 sin θ cos θ 1 sin θ R = cos θ (sin θ 1 cos θ 1 sin θ Si l on prmètre pr t = tn θ, on otient pour t ], 1[ : r = 1 t R = (Ryons t Sur cte dernière expression, on remrque que les ryons sont des fonctions décroissntes du prmètre t sur ], 1[ liés pr l reltion homogrphique : Rr (r R = (il suffit d ppliquer le théorème de Pythgore sur le tringle (OIJ L condition r équivut à Minimiser R r : t t mx = ou θ θ mx = rctn ( (Intervlle On pose d =, lors le rpport R r s écrit en prmètre θ : En posnt θ = θ mx / = rctn R r ( R r = d cos θ d (sin θ 1 d (cos θ 1 d sin θ, on peut écrire sin θ = d cos θ = d d où : = cos θ cos θ sin θ (sin θ 1 cos θ (cos θ 1 sin θ sin θ cos θ sin θ = 1 cos(θ θ cos θ

3 Le rpport R r est donc une fonction pire de l vrile θ θ qui psse pr un minimum pour θ = θ En ce minimum, on les formules suivntes : Minimiser R r : t := tn θ = sin θ = 1 cos θ d = d, r(θ = d(d d, R(θ = d(d d R(θ r(θ = d d On clirement : R r = cos θ 1 sin θ Le dénominteur est mximum pour sin θ = cos θ, ce qui équivut à θ = π 4 On pose donc θ 1 = π 4 qui correspond à t 1 = rctn π 8 = 1, 414 Remrquons de suite que cte nse de pnier minimisnte n existe ps forcément En eff, (Intervlle impose t 1 n existe que si ( 1 l nse minimisnte 3 Anses de pnier cercles osculteurs à l ellipse On veut étudier les cercles osculteurs à l ellipse ux points A B Ce sont les cercles qui ont une contct d ordre u moins vec l ellipse Cherchons l éqution du cercle osculteur u point B pr exemple Au point B, on peut écrire loclement l éqution de l ellipse E : y E (x = 1 x Pour des risons de symétrie, le centre du cercle osculteur en B à l ellipse son centre sur l xe (Oy On pose (, y osc les coordonnées du centre du cercle osculteur R osc son ryon L éqution du cercle osculteur s écrit lors loclement : Les conditions de contct deviennent lors : y(x = y osc R osc x Contct d ordre y E ( = y( = y osc R osc, Contct d ordre 1 y E( = y ( =, Contct d ordre y E( = y ( = 1 R osc, Contct d ordre 3 y (3 E ( = y(3 ( =, Contct d ordre 4 y (4 E ( = y(4 ( 3 4 = 33 6 Jusqu à l ordre 3, les conditions peuvent être remplies Le contct d ordre 4 n urit lieu que si = L ellipse serit lors un cercle, le cercle osculteur urit un contct à tout ordre De l même mnière, on peut fire le clcul pour le cercle osculteur en A Les deux cercles osculteurs 3

4 à l ellipse ux points A B ont donc pour ryons respectifs En B, le cercle osculteur est à l intérieur de l ellipse, en A le cercle osculteur est à l extérieur de l ellipse On v s intéresser ux nses de pnier dont un des rcs de cercle est justement un rc de cercle d un cercle osculteur On note A = (γ, Γ l nse de pnier telle que γ est le cercle osculteur en A, on note A 3 = (γ 3, Γ 3 l nse de pnier telle que Γ 3 est le cercle osculteur en B Les prmètres correspondnts sont respectivement notés t, t 3, θ θ 3 Après clcul, en utlisnt (Ryons, on trouve : t = t 3 = On peut résumer les différentes situtions dns le tleu suivnt : A A t3 A t A t A / t d = d r ( d(d d R d(d d ( L nse A t1 ne peut ps être plcée dns le tleu cr l vleur de t 1 n est ps ordonnée pr rpport ux utres prmètres t, t t 3 4 Approximtions u sens des ires des distnces On v essyer de crctériser l qulité de l pproximtion de l ellipse pr une nse de pnier Pour cel, il fut définir une prmètre qui mesure cte qulité d pproximtion On v pour cel considérer deux prmètres : un premier qui quntifie l qulité de l pproximtion u sens des ires noté un deuxième qui quntifie l qulité de l pproximtion u sens des distnces noté δ 41 Approximtion u sens des ires On déduit de l décroissnce simultnée de R r que deux nses de pnier de prmètres t t distincts ne se croisent qu en A B De plus, lorsque le prmètre t vrie entre t t 3, l nse de pnier croise l ellipse en un seul point (en plus des points A B Enfin si t t 3, l nse de pnier A t est extérieure à l ellipse, si t t elle lui est intérieure Si on note τ un ngle prcournt [, π/], on peut écrire l nse A t sous l forme suivnte : Γ t d éqution prmétrique { x = R sin(τ y = R R cos(τ vec τ θ, { x = r r sin(τ γ t d éqution prmétrique y = r cos(τ L intersection de Γ t de E (si elle existe stisfit : vec θ τ π R sin (τ ( R R cos(τ = 1 En multiplint pr en remrqunt que τ = correspond à une solution prticulière (point B on otient l forme fctorisée : R(cos(τ 1 ( R R R( cos(τ = 4

5 Soit l solution cos(τ = R R R( pourvu que τ θ On fit de même pour γ t, on trouve sin(τ = r( r( pourvu que τ θ En fit, on peut trouver l vleur du prmètre t pour lquelle on psse d une intersection vec Γ t à une intersection vec γ t On note cte vleur t 5 Pour l otenir, il suffit de résoudre vec R R R( = cos(τ = cos(θ 5 = 1 t 5 1 t, 5 R = t 5 On otient un trinôme du troisième degré à résoudre En fctorisnt pr (t en utilisnt que t (, on trouve t 4 ( 5 = 1er cs : t 3 t t 5 Le point d intersection noté P est sur Γ t pour l ngle τ considéré ci-dessus On pose = (OP B E (OP B Γt ((OMP Γt (AOM γt (OAP E vec (OP B E = ( rctn R sin(τ ( R R cos(τ, (OAP E = ( ( π rctn R sin(τ ( R R cos(τ, (OP B Γt = R τ R(R sin(τ, (OMP Γt = (ÔP M (JP M Γt (ĴP M vec (ÔP M = R( R(sin(θ sin(τ R sin(θ τ, On otient = (JP M Γt (ĴP M = R (θ τ sin(θ τ ( ( π 4 rctn (AOM γt = r R sin(τ ( R R cos(τ r ( π 4 θ ( π θ r( r cos(θ ( ( θ sin(θ R τ R(R sin(τ r( r cos(θ 5

6 ème cs : t 5 t t Le point d intersection (toujours noté P est sur γ t pour l ngle τ correspondnt On otient lors : ( ( π ( r r sin(τ = 4 rctn R θ R(R sin(θ r cos(τ ( π r 4 τ θ ( cos(θ r( r cos(τ 4 Approximtion u sens des distnces On considère une ellipse E une nse de pnier A t À un point M de E, on peut ssocier s projection orthogonle N sur A t Elle s otient en joingnt M soit à I, soit à J À un point M de A t, on peut de même ssocier s projection orthogonle N sur E On ppeler distnce de A t à E l quntité δ = sup (MN, M N M E,M A t On peut montrer que cte orne est tteinte si, seulement si, les cordes MN M N sont normles à l fois à E à A t Soit cos φ sin φ les coordonnées de M ; l normle en M psse pr I si D où les deux solutions sin φ = cos φ = ( r cos φ sin φ sin φ cos φ = ( r Donc IM = (r r MN = r IM =: φ(r (R De même JM est normle si sin φ =, soit JM = (R MN = JM R =: ψ(r On otient finlement δ = mx(r IM, R JM = mx(φ(r, ψ(r 5 Pistes de réflexions Proposer une méthode numérique de clcul de l longueur de l ellipse Fire des figures des nses A t, A t1, A t, A t3 A t4 Rechercher les minimums de pour un jeu de prmètres (, fixe Rechercher les minimums de δ le prmètre t ssocié pour un jeu de prmètres (, fixe Comprer les pproximtions Étendre l étude à des nses de pnier composées de n rcs de cercle (n 3 Biliogrphie [1] Bullin de l APMEP, n o 46, pp , vis de recherche 5 [] Encyclopédie Méthodique-Textes mthémtiques, réédition du icentenire, ACL-édition p8 84 [3] Anses de pnier, Pul Louis Hennequin Bruno Ingro 6