Chapitre 6 : Fonctions Logarithme Népérien

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1 Lycée Pul Sbtier, Cstelnudry Clsse de T`le STG Chpitre 6 : Fonctions Logrithme Népérien D. Zncnro et C. Aupérin Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modifiction : mrs 009

2 Chpitre 6 Logrithme Népérien Tble des mtières Un peu d histoire Etude de l fonction ln 4. Tbleu de vritions Courbe représenttive Résolution d équtions logrithmiques Le nombre e Propriétés lgébriques 5 4 Fonction composée 6 4. Dérivée d une fonction ln(u) Exemple d étude d une fonction et son ppliction économique

3 Chpitre 6 Logrithme Népérien Cours : Fonction Logrithme Népérien Un peu d histoire Trvil de l élève : Au XV I ème, les clculs en stronomie et en nvigtion ont engendré des clculs extrêmement compliqués. De nombreux mthémticiens ont lors essyé de simplifer les clculs. L idée étit de remplcer les multiplictions pr les dditions. Le plus célèbre de ces mthémticiens, John Néper, un écossis, publi en 64 une tble de clcul, dont voici un extrit :. () Clculer f() + f() (b) Comprer vec f(6) (c) Procéder de même vec f(4) et f(). (d) Conjectuer l formule dns le cs générl. (e) Si cette propriété peut être générlisée à tout réel strictement positif, quelle sont les vleurs de f(4) (on fer le clcul de deux mnière différentes)? et de f(5)?. Soit un réel strictement positif. En écrivnt =, déterminer f(). x f(x) () Que peut-on dire des nombres,, 4, 8, 6? (b) Que peut-on dire des nombres f(), f(), f(4), f(8) et f(6)? (c) Écrire f(6) en fonction de f(). (d) Que peut-on conjecturer pour f( n ) (où n est un entier nturel)? (e) En supposnt que cette propriété peut être générlisée à tout réel strictement positif, écrire : f(5) en fonction de f(5); f(8) en fonction de f(9); f(8) en fonction de f(); On dmettr l existence d une fonction f, définie et dérivble sur ]0; + [, telle que : Pour tous réels et b strictement positifs, on :..... Neper ppelé cette fonction : Logrithme Conséquence : f(...) = f( ) = f(... ) + f(...). On en déduit que.....

4 Chpitre 6 Logrithme Népérien Trvil de l élève : On remrque sur l clcultrice une fonction notée ln. Regrdons si elle correspond bien à l fonction imginée pr Neper. On rrondir tous les résultts de l ctivité à () À l ide de l touche ln de votre clcultrice, répondre ux question suivntes i. Déterminer les imges pr l fonction ln des réels : 0. ; 0.5 ; ; ; 5 ; 000 et 0 5 ii. Que se psse-t-il qund on veut clculer les imges des réels : ; ; 0.5 et 0? iii. Quel semble être l ensemble de définition de l fonction ln? iv. Que remrque-t-on qund u signe de ln(x) en fonction de x? (b) À l ide de votre clcultrice, déterminer une vleur pprochée du réel x tel que ln(x) =.. () Sur une clcultrice (on utliser les listes), compléter le tbleu suivnt : b b ln() + ln(b) ln(b) (b) et b étnt deux réels strictement positifs, quelle reltion semble lier ln(), ln(b) et ln(b)? (c) En dmettnt cette conjecture et en posnt b =, déteminer l reltion lint ln() et ln( ).. () À l ide d une clcultrice, compléter le tbleu suivnt : ln() ln( ) ln() ln( 5 ) 5 ln() (b) Soit un réel strictement positif, quelle reltion semble lier ln() et ln( n ), vec n N? (c) Si on dmet cette formule, comment peut-on écrire ln(56) en fonction de ln()? ln(79) en fonction de ln()? 4. () Compléter le tbleu suivnt : 0. ln() ln ( ) 7 5 (b) Soit un réel strictement positif, quelle reltion semble lier ln() et ln ( )? On ppelle l fonction imginée pr Neper (dont on dmet l existence) l fonction Logrithme Nepérien.

5 Chpitre 6 Logrithme Népérien Trvil de l élève : D D D C D 4 j - 0 i Le dessin ci-dessus donne l représenttion grphique de l fonction ln et de qutre droies D, D, D et D 4. Les équtions des droites sont : y = x ln(), y = x y = x + ln et y = 4 x + ln(). Attribuer à chque droite une des équtions données ci-dessus.. Que peut-on dire de chcune des droites trcées sur le dessin précédent? ( ). En déduire f, f (), f () et f (4). 4. Que peut-on conjecturer qunt à l dérivée de l fonction ln? Définition. On dmet l existence et l unicité d une fonction définie et dérivble sur ]0; + [, ppelée Logrithme Népérien, notée ln, telle que : ln() = 0 ln (x) = x Remrque : L expression ln(x) n de sens que si x > 0. Exercice.. Dns chque cs, déterminer les vleurs des x pour lesquelles l expression est définie :. ln(x + ). ln( x + 4). ln(x + ) 4. ln( x) 5. ln(x ) 6. ln(x) ( x 7. ln 4) 8. ln(x + ) Exercice.. Soient f et g les fonctions définies sur ]0; + [ pr f(x) = x ln(x) et g(x) = ln(x) x. Clculer f (x) et g (x).

6 Chpitre 6 Logrithme Népérien Etude de l fonction ln. Tbleu de vritions Pour tout x ]0; + [, on ln (x) = x > 0. Donc l fonction logrithme népérien une dérivée toujours strictement positive. L fonction est strictement croissnte, d où le tbleu de vritions ci-contre : x 0 + x + ln(x) 0 Signe de ln(x) 0 +. Courbe représenttive On le tbleu de vleurs ci-dessous : x ln(x) On peut lors trcer l courbe représenttive de l fonction ln : j - 0 i Résolution d équtions logrithmiques On rppelle que l fonction ln est strictement croissnte sur ]0; + [ et que ln() = 0. On en déduit : ln(x) = 0 x = ln(x) > 0 x > ln(x) = ln(y) x = y ln(x) > ln(y) x > y 4

7 Chpitre 6 Logrithme Népérien Exemples : Résoudre l éqution ln(x 4) = 0 Domine de définition D : Résolution sur D : Résoudre l éqution ln(x 4) = ln(x) + ln(4) Résoudre l éqution ln(5 x) < 0 Exercice.. Résoudre dns R les équtions et inéqutions suivntes : ln(x) = ln(x + 8) ln(x + ) > ln( x) ln() + ln(x) = ln(5) ln(6 x) > ln(x + )....4 Le nombre e D près ce que l on vient de fire, on constte qu il existe une unique solution dns ]0; + [ à l éqution ln(x) =. On note ce nombre e. On donc ln(e) =. Exercice.. Résoudre lors dns R l éqution : ln(x) = en fonction du nombre e. Indiction : = ln(e) On pourr retenir églement, que pour tout entier reltif n on n = ln(e n ) et ln(x) = n x = e n Propriétés lgébriques Propriété Fondmentle : Pour tous réels strictement positifs et b, on ln(b) = ln() + ln(b) Exemple : ln(6) + ln(8) = ln(6 8) = ln(48) Propriété. Pour tous réels strictement positifs et b, et tout entier nturel n, on : ( ) ln = ln() ln( n ) = n ln() ( ln = ln() ln(b) b) ln( ) = ln() Preuves ( : ln ) = ln() ln() + ln ( ) = 0 ln 5 ( ) = ln()

8 Chpitre 6 Logrithme Népérien ( ( ln = ln b) ) ( ) = ln() + ln = ln() ln(b) b b Pr récurrence ( ln() = ln ( ) ) = ln( ) Exemples : ( ) ln = ln(5) 5 ln() = ln ( 5) = 5 ln() ln ( ) = ln() ln(8) 8 ln ( ) = ln() Exercice.. Exprimer chcun des nombres suivnts en fonction de ln() :. ln(8). ln( ). ln( ) ln(6) 4. ln() 4 ln(8) Exercice.. Exprimer chcun des nombres suivnts en fonction de ln() et de ln() : ( ) ( ). ln(6). ln 5. ln(8) 8 7. ln 7. ln() 4. ln(54) 6. ln(6) Exercice.. Pour chcun des cs suivnts, comprer A et B sns utiliser l clcultrice : ( ). A = 4 ln() et B = ln(). A = 5 ln et B = ln(9). A = ln(8) et B = ln() 4. A = 5 ln(8) et B = 5 ln() 4 Fonction composée 4. Dérivée d une fonction ln(u) Propriété. Soit une fonction u strictement positive et dérivble sur un intervlle I. Alors, l fonction f définie sur I pr f(x) = ln(u(x)) est dérivble sur I et f (x) = u (x) u(x). On retiendr ( ln(u) ) = u u. Exemples : Soit l fonction f définie sur R pr f(x) = ln(x ). Alors f (x) = x x = x Soit l fonction g définie sur ]; + [ pr g(x) = ln(x 6). Alors g (x) = x 6 Soit l fonction h définie sur ] ; + [ pr h(x) = ln ( 4x + 4 ). On remrque h(x) = ln(4x + 4) et h (x) = 4 4x + 4 = 4x + 4 6

9 Chpitre 6 Logrithme Népérien Exercice 4.. Pour chcun des cs suivnts, trouver l ensemble de définition et de dérivbilité de l fonction f, puis déterminer f (x) :. f(x) = ln(x). f(x) = ln( 5x). f(x) = ln( x) 4. f(x) = xln( + x) Exercice 4.. Soit l fonction f définie sur ]0; + [ pr f(x) = x ln(x). Le pln est rpporté à un repère.. Clculer f (x). Déterminer une éqution de l tngente T à l courbe représenttive de f u point d scisse. Vérifier l cohérence des résultts à l clcultrice. Exercice 4.. Trnsformer une suite géométrique en une suite rithmétique u 0 = 5 On considère l suite u définie sur N pr u n+ = u n. Déterminer l nture de l suite u. Écrire u n en fonction de n et préciser le signe de u n, pour tout entier nturel n. Déterminer à l ide d une clcultrice grphique le plus petit entier nturel n 0 tel que u n > On pose v n = ln(u n ). () Écrire v n en fonction de n (b) En déduire l nture de l suite (v n ) (c) Résoudre l inéqution v n > ln(00) et expliquer comment on peut retrouver le résultt de l question. Exercice 4.4. BAC Soit f et g les fonction définies sur ]; + [ pr f(x) = ln(x ) et g(x) = x. On note respectivement x C f et C g leur courbe représenttive dns le pln muni d un repère orthonorml (unité grphique : cm). Prtie A : Étude du sens de vrition de f et de celui de g. Clculer f (x) et g (x). Étudier le sens de vrition de chcune des fonctions f et g ; dresser leur tbleu de vritions. Prtie B : Étude des positions reltives de C f et C g On considère l fonction d, définie sur ]; + [ pr d(x) = f(x) g(x).. () Clculer d (x) (b) Étudier le sens de vrition de d et donner son tbleu de vritions (c) Clculer d() En déduire le signe de d(x), lorsque x ]; + [. En utilisnt les résultts précédents : 7

10 Chpitre 6 Logrithme Népérien () Montrer que C f et C g ont un seul point commun, noté A, dont on donner les coordonnées (b) Montrer que C f et C g dmettent u point A l même tngente T, dont on donner l éqution réduite (c) étudier l position de C f pr rpport à C g. Trcer, vec précision, l droite T et les courbes C f et C g 4. Exemple d étude d une fonction et son ppliction économique. Étude de l fonction : Soit l fonction f définie pr f(x) = 40 ln(x) x du pln. () i. Trouver son ensemble de définition D f ii. Clculer f (x) sur D f et étudier son signe iii. En déduire le tbleu de vritions de f et C s courbe représenttive dns un repère (b) Déterminer une éqution de l tngente T à C u point d bscisse x 0 = (c) i. Compléter le tbleu de vleurs suivnt (on rrondir à 0 les résultts) : x f(x) ii. Trcer l courbe C et l tngente T (d) Étudier, en fonction de x le signe de f(x). Appliction économique : Une entreprise fbrique des stylos. Elle peut en fbriquer jusqu à 000 pr semine. Le résultt de l exploittioin rélis{e pr l vente de p milliers de stylos est donnée, en centines d euros pr : f(p) = 40 ln(p) p pour p [; 0] () Clculer le résultt d exploittioin rélisé pr l vente de 000, 000 et 0000 stylos. (b) Déterminer le nombre mximl que doit produire l entreprise pr semine pour tteindre le seuil de rentbilité (c) Déterminer le nombre de stylos que l entreprise doit vendre pour réliser une résultt d exploittion mximl. Quel est lors ce résultt? 8

11 Les Annexes

12 Un peu d histoire Au XV I ème, les clculs en stronomie et en nvigtion ont engendré des clculs extrêmement compliqués. De nombreux mthémticiens ont lors essyé de simplifer les clculs. L idée étit de remplcer les multiplictions pr les dditions. Le plus célèbre de ces mthémticiens, John Néper, un écossis, publi en 64 une tble de clcul, dont voici un extrit :. () Clculer f() + f() (b) Comprer vec f(6) (c) Procéder de même vec f(4) et f(). (d) Conjectuer l formule dns le cs générl. (e) Si cette propriété peut être générlisée à tout réel strictement positif, quelle sont les vleurs de f(4) (on fer le clcul de deux mnière différentes)? et de f(5)?. Soit un réel strictement positif. En écrivnt =, déterminer f(). x f(x) () Que peut-on dire des nombres,, 4, 8, 6? (b) Que peut-on dire des nombres f(), f(), f(4), f(8) et f(6)? (c) Écrire f(6) en fonction de f(). (d) Que peut-on conjecturer pour f( n ) (où n est un entier nturel)? (e) En supposnt que cette propriété peut être générlisée à tout réel strictement positif, écrire : f(5) en fonction de f(5); f(8) en fonction de f(9); f(8) en fonction de f(); On dmettr l existence d une fonction f, définie et dérivble sur ]0; + [, telle que : Pour tous réels et b strictement positifs, on :..... Neper ppelé cette fonction : Logrithme Conséquence : f(...) = f( ) = f(... ) + f(...). On en déduit que.....

13 A l découverte de l fonction ln On remrque sur l clcultrice une fonction notée ln. Regrdons si elle correspond bien à l fonction imginée pr Neper. On rrondir tous les résultts de l ctivité à () À l ide de l touche ln de votre clcultrice, répondre ux question suivntes i. Déterminer les imges pr l fonction ln des réels : 0. ; 0.5 ; ; ; 5 ; 000 et 0 5 ii. Que se psse-t-il qund on veut clculer les imges des réels : ; ; 0.5 et 0? iii. Quel semble être l ensemble de définition de l fonction ln? iv. Que remrque-t-on qund u signe de ln(x) en fonction de x? (b) À l ide de votre clcultrice, déterminer une vleur pprochée du réel x tel que ln(x) =.. () Sur une clcultrice (on utliser les listes), compléter le tbleu suivnt : b b ln() + ln(b) ln(b) (b) et b étnt deux réels strictement positifs, quelle reltion semble lier ln(), ln(b) et ln(b)? (c) En dmettnt cette conjecture et en posnt b =, déteminer l reltion lint ln() et ln( ).. () À l ide d une clcultrice, compléter le tbleu suivnt : ln() ln( ) ln() ln( 5 ) 5 ln() (b) Soit un réel strictement positif, quelle reltion semble lier ln() et ln( n ), vec n N? (c) Si on dmet cette formule, comment peut-on écrire ln(56) en fonction de ln()? ln(79) en fonction de ln()? 4. () Compléter le tbleu suivnt : 0. ln() ln ( ) 7 5 (b) Soit un réel strictement positif, quelle reltion semble lier ln() et ln ( )? On ppelle l fonction imginée pr Neper (dont on dmet l existence) l fonction Logrithme Nepérien.

14 Etude de l courbe représenttive de ln D D D C D 4 j - 0 i Le dessin ci-dessus donne l représenttion grphique de l fonction ln et de qutre droies D, D, D et D 4. Les équtions des droites sont : y = x ln(), y = x y = x + ln et y = 4 x + ln(). Attribuer à chque droite une des équtions données ci-dessus.. Que peut-on dire de chcune des droites trcées sur le dessin précédent? ( ). En déduire f, f (), f () et f (4). 4. Que peut-on conjecturer qunt à l dérivée de l fonction ln?

15 Exercices Exercice.. Dns chque cs, déterminer les vleurs des x pour lesquelles l expression est définie : ( x. ln(x + ) 4. ln( x) 7. ln 4). ln( x + 4). ln(x + ) 5. ln(x ) 6. ln(x) 8. ln(x + ) Exercice.. Soient f et g les fonctions définies sur ]0; + [ pr f(x) = x ln(x) et g(x) = ln(x) x. Clculer f (x) et g (x). Exercice.. Résoudre dns R les équtions et inéqutions suivntes :. ln(x) = ln(x + 8). ln() + ln(x) = ln(5). ln(x + ) > ln( x) 4. ln(6 x) > ln(x + ) Exercice.4. Résoudre lors dns R l éqution : ln(x) = en fonction du nombre e. Indiction : = ln(e) Exercice.5. Exprimer chcun des nombres suivnts en fonction de ln() :. ln(8). ln( ). ln( ) ln(6) 4. ln() 4 ln(8) Exercice.6. Exprimer chcun des nombres suivnts en fonction de ln() et de ln() : ( ) ( ). ln(6). ln 5. ln(8) 8 7. ln 7. ln() 4. ln(54) 6. ln(6) Exercice.7. Pour chcun des cs suivnts, comprer A et B sns utiliser l clcultrice :. A = 4 ln() et B = ln(). A = ln(8) et B = ln(). A = 5 ln ( ) et B = ln(9) 4. A = 5 ln(8) et B = 5 ln() Exercice.8. Pour chcun des cs suivnts, trouver l ensemble de définition et de dérivbilité de l fonction f, puis déterminer f (x) :. f(x) = ln(x). f(x) = ln( 5x). f(x) = ln( x) 4. f(x) = xln( + x) Exercice.9. Soit l fonction f définie sur R + pr f(x) = x ln(x). Le pln est muni d un repère.. Clculer f (x). Déterminer une éqution de l tngente T à l courbe représenttive de f u point d scisse. Vérifier l cohérence des résultts à l clcultrice.

16 Exercice.0. Trnsformer une suite géométrique en une suite rithmétique u 0 = 5 On considère l suite u définie sur N pr u n+ = u n. Déterminer l nture de l suite u. Écrire u n en fonction de n et préciser le signe de u n, pour tout entier nturel n. Déterminer à l ide d une clcultrice grphique le plus petit entier nturel n 0 tel que u n > On pose v n = ln(u n ). () Écrire v n en fonction de n (b) En déduire l nture de l suite (v n ) (c) Résoudre l inéqution v n > ln(00) et expliquer comment on peut retrouver le résultt de l question. Exercice.. BAC Soient f et g les fonctions définies sur ]; + [ pr f(x) = ln(x ) et g(x) = x. On note respectivement C f et C g leur courbe représenttive dns le pln muni d un repère orthonorml (unité grphique x : cm). Prtie A : Étude du sens de vrition de f et de celui de g. Clculer f (x) et g (x). Étudier le sens de vrition de chcune des fonctions f et g ; dresser leur tbleu de vritions. Prtie B : Étude des positions reltives de C f et C g On considère l fonction d, définie sur ]; + [ pr d(x) = f(x) g(x).. () Clculer d (x) (b) Étudier le sens de vrition de d et donner son tbleu de vritions (c) Clculer d() En déduire le signe de d(x), lorsque x ]; + [. En utilisnt les résultts précédents : () Montrer que C f et C g ont un seul point commun, noté A, dont on donner les coordonnées (b) Montrer que C f et C g dmettent u point A l même tngente T, dont on donner l éqution réduite (c) étudier l position de C f pr rpport à C g. Trcer, vec précision, l droite T et les courbes C f et C g Exercice... Étude de l fonction : Soit l fonction f définie pr f(x) = 40 ln(x) x du pln. () i. Trouver son ensemble de définition D f et C s courbe représenttive dns un repère

17 ii. Clculer f (x) sur D f et étudier son signe iii. En déduire le tbleu de vritions de f (b) Déterminer une éqution de l tngente T à C u point d bscisse x 0 = (c) i. Compléter le tbleu de vleurs suivnt (on rrondir à 0 les résultts) : x f(x) ii. Trcer l courbe C et l tngente T (d) Étudier, en fonction de x le signe de f(x). Appliction économique : Une entreprise fbrique des stylos. Elle peut en fbriquer jusqu à 000 pr semine. Le résultt de l exploittioin rélis{e pr l vente de p milliers de stylos est donnée, en centines d euros pr : f(p) = 40 ln(p) p pour p [; 0] () Clculer le résultt d exploittioin rélisé pr l vente de 000, 000 et 0000 stylos. (b) Déterminer le nombre mximl que doit produire l entreprise pr semine pour tteindre le seuil de rentbilité (c) Déterminer le nombre de stylos que l entreprise doit vendre pour réliser une résultt d exploittion mximl. Quel est lors ce résultt?