UE MAT234. Notes de cours sur l algèbre linéaire

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1 UE MAT234 Notes de cours sur l algèbre lnéare Matrces - Systèmes lnéares - Détermnants - Dagonalsaton Dans tout ce document, K désgne ndfféremment le corps des nombres réels IR, ou celu des nombres complexes IC E et F sont des espaces vectorels, de dmensons respectves n et p 1 Rappels sur les matrces Vor auss : [1] chaptre 9, [2] chaptre 1, [3] p ntons et proprétés élémentares 111 ntons On appelle matrce de talle p n un tableau à double entrée, comportant p lgnes et n colonnes, et dont chaque élément (encore appelé coeffcent) appartent à K L élément appartenant à la -ème lgne et à la j-ème colonne est appelé élément d ndce (, j) L ensemble des matrces de talle p n à éléments dans K est noté M p,n (K) L ensemble des matrces de talle n n à éléments dans K, dtes matrces carrées, est noté M n (K) a 11 a 1n A appartenant à M p,n (K) est notée A = = (a j) 1 p 1 j n a p1 a pn M p,n (K) est un espace vectorel sur K, de dmenson pn Sa base canonque est {E j, 1 p, 1 j n} où E j est la matrce dont tous les éléments sont nuls, sauf celu p n d ndce (, j) qu vaut 1 Ans A = a j E j j=1 1

2 112 Quelques matrces carrées partculères Matrce dentté de talle n n : I n = Matrce dagonale : D = d d nn Matrce trangulare supéreure : T = (I n(, j) = 1 s = j, 0 snon) (D(, j) = 0 s j) t 11 t 1n 0 t nn t 11 0 Matrce trangulare nféreure : T = t n1 t nn (T (, j) = 0 s > j) (T (, j) = 0 s < j) Matrce trangulare nféreure (ou supéreure) strcte : Matrce trangulare nféreure (ou supéreure) dont la dagonale est nulle Matrce bande de largeur 2m + 1 : A(, j) = 0 s j > m Pour m = 1 on parle de matrce trdagonale 113 Transposton Sot A M pn (K) On appelle transposée de A, notée A t, la matrce de M np (K) défne par A t (, j) = A(j, ) A M n (K) (donc carrée) est symétrque ss A t = A A M n (K) est antsymétrque ss A t = A (donc de dagonale nulle) A M n (K) peut être décomposée de façon unque en somme d une matrce symétrque et d une matrce antsymétrque : A = 1 2 (A + At ) (A At ) On en dédut que M n (K) est la somme drecte du sous-espace vectorel des matrces symétrques de talle n et du sous-espace vectorel des matrces antsymétrques de talle n 114 Produt de matrces Soent A M pn (K) et B M nq (K) On défnt alors la matrce AB M pq (K) par n (AB)(, j) = A(, k) B(k, j) Attenton : on vot que le produt AB n est défn que s le k=1 nombre de colonnes de A est égal au nombre de lgnes de B Le produt de matrces est assocatf (A(BC) = (AB)C), et dstrbutf par rapport à l addton (A(B + C) = AB + AC) Par contre l n est pas commutatf (AB BA en 2

3 général) (AB) t = B t A t Le produt de deux matrces trangulares supéreures (resp nféreures) est une matrce trangulare supéreure (resp nféreure) Sot A M n (K) On appelle matrce nverse de A, notée A 1, la matrce de M n (K) vérfant AA 1 = A 1 A = I n, s elle exste Pour A et B nversbles, on a : (AB) 1 = B 1 A 1 12 Manpulaton par blocs des matrces On peut, pour smplfer dans certans cas les calculs matrcels, adopter une écrture par blocs Cec a de l ntérêt s certans blocs sont partculèrement smples (par exemple nuls, ou égaux à une matrce dentté) Les manpulatons sont dentques aux calculs matrcels usuels Il faut smplement s assurer de la compatblté des talles de blocs lors des opératons (cf exemples dans les fches de TD) Attenton : la forme réelle des matrces n est pas équvalente à la forme par blocs Par exemple une matrce trangulare par blocs n est pas nécessarement trangulare De même l écrture par blocs d une matrce trangulare n est pas nécessarement trangulare par blocs Par contre, toute matrce trangulare peut être écrte sous forme trangulare par blocs Et de même pour des matrces, dagonales, bandes, etc 13 Représentaton matrcelle d une applcaton lnéare Sot ϕ une applcaton lnéare de E vers F Soent B E = {e 1,, e n } une base de E et B F = {f 1,, f p } une base de F Pour chaque e j, ϕ(e j ) F et peut donc être décomposé p de façon unque sur la base {f 1,, f p } : ϕ(e j ) = a j f On pose : A = (a j ) 1 p 1 j n A est la matrce représentatve de l applcaton lnéare ϕ dans les bases B E et B F On remarque que chaque colonne j de A content les coeffcents de ϕ(e j ) n Sot x E Notons y = ϕ(x) On peut décomposer x dans la base B E : x = x j e j et y dans j=1 p n n p p n la base B F : y = y f Or y = ϕ(x) = x j ϕ(e j ) = x j a j f = a j x j f j=1 j=1 j=1 x 1 y 1 En posant X = et Y =, on a donc Y = AX x n y p y = ϕ(x) est équvalent à l écrture matrcelle Y = AX, où X et Y sont les coordonnées de x et y dans les bases B E et B F, et où A est la matrce représentatve de ϕ dans les bases B E et B F 3

4 14 Changement de base Sot B E = {e 1,, e n} une autre base de E Chaque e j peut être décomposé dans la base n B E : e j = p j e Notons P = (p j ) 1 n 1 j n P est la matrce de passage de la base B E à la base B E Pour x E, on note X = alors : X = PX x 1 x n et X = x 1 x n ses coordonnées dans B E et B E On a Sot B F = {f 1,, f p} une autre base de F On note Q la matrce de passage de B F à B F Pour ϕ une applcaton lnéare de E vers F, on note A sa matrce représentatve dans B E et B F, et B sa matrce représentatve dans B E et B F Sot x E et y = ϕ(x) On note X = x 1 x n, X = x 1 x n, Y = y 1 y p et Y = y 1 y p les coordonnées de x et y dans les dfférentes bases On a : Y = QY = QBX et Y = AX = AP X, et cec pour tous x et y D où la relaton: B = Q 1 AP Dans le cas partculer où E = F (cad où ϕ est un endomorphsme), la relaton précédente devent B = P 1 AP 2 Systèmes lnéares Vor auss : [3] p49-73 Sot A M pn (K) et b K p On s ntéresse à la résoluton du système lnéare AX = b, c est à dre à trouver X = x 1 x n Kn vérfant : a 11 x a 1n x n = b 1 (S) a p1 x a pn x n = b p 21 Exstence et uncté de solutons Au système (S), on assoce le système homogène (S 0 ) : AX = 0 Le vecteur nul est évdemment une soluton de (S 0 ) L ensemble des solutons de (S) est obtenu en ajoutant à une soluton partculère quelconque de (S) l ensemble des solutons de (S 0 ) Le rang de A est la dmenson du sous-espace vectorel engendré par les vecteurs colonnes de A Autrement dt, c est le nombre maxmum de vecteurs colonnes de A lnéarement 4

5 ndépendants les uns des autres S rang A = n, (S) admet au plus une soluton S A est de talle n n et s rang A = n, alors (S) admet une et une seule soluton 22 Résoluton d un système trangulare Sot à résoudre AX = b avec A M n (K) trangulare nféreure (S) s écrt dans ce cas: a 11 x 1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 1 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n A est de rang n ss a 0, = 1,, n Résoluton de (S T ) On suppose que les éléments dagonaux a sont tous non-nuls (S T ) admet donc une soluton unque, qu on obtent par descente du système et substtuton : x 1 = b 1 /a 11 x 2 = (b 2 a 21 x 1 )/a 22 x n = (b n a n1 x 1 a n,n 1 x n 1 )/a nn Le coût de cette résoluton, cad le nombre d opératons nécessares pour cet algorthme, est d envron n 2 /2 addtons/soustractons, et n 2 /2 multplcatons/dvsons (on sépare ans ces deux types d opératons, car les multplcatons et dvsons coûtent en général nettement plus cher en temps de calcul que les addtons ou soustractons) La méthode est évdemment dentque pour un système trangulare supéreur, en commençant par la dernère lgne et en remontant le système 23 Méthode de Gauss On consdère le système (S) pour une matrce A carrée de rang n Notons L k la k-ème lgne de (S) La méthode d élmnaton de Gauss consste à réalser les étapes suvantes : (S T ) 1ère étape S a 11 0, on élmne x 1 dans les lgnes 2 à n par la transformaton L L (2) = L a 1 L 1 pour = 2,, n On obtent donc le système : a 11 a (2) 11 x 1 + a (2) 12 x a (2) 1n x n = b (2) 1 a (2) 22 x a (2) 2n x n = b (2) 2 a (2) n2 x a (2) nn x n = b (2) n et on recommence sur le sous-sytème formé des lgnes 2 à n 5

6 Etape k Au début de l étape k, le système est de la forme : L (k) S kk L (k+1) a (k+1) j = 11 x kk x k + + 1n x n = b (k) 1 kk x k + + kn x n = b (k) k nk x k + + a nn (k) x n = b n (k) 0, on élmne alors x k dans les lgnes k + 1 à n par la transformaton = L (k) j j a(k) k L (k) k pour = k + 1,, n On fat donc : kk a(k) k kj kk s k s > k et b (k+1) = b (k) b (k) b(k) b (k) k kk s k s > k Après n 1 étapes, on a un système trangulare supéreur, que l on peut résoudre asément Remarque : Les kk, qu sont les dvseurs apparassant dans cet algorthme, sont appelés les pvots S l un d eux est nul, on peut alors permuter les lgnes k à n jusqu à trouver un pvot non-nul (toujours possble car rang A = n) Par alleurs, lorsqu un pvot est pett (en valeur absolue), la précson des calculs sur ordnateur peut s en ressentr On a plutôt ntérêt à adopter la stratége du pvot partel, et l une des L (k) qu consste à ntervertr deux lgnes (L (k) k le maxmum (en valeur absolue) de la colonne k kk envron n 3 /3 addtons/soustractons, et n 3 /3 multplca- Coût de cet algorthme : tons/dvsons 24 Décomposton LU pour > k) de façon à placer en La méthode de Gauss fat mplctement la décomposton A = LU, où L est trangulare nféreure avec des 1 sur la dagonale et U est trangulare supéreure (U est en fat la matrce trangulare obtenue en fn d algorthme d élmnaton) Connaître explctement cette décomposton peut rédure énormément les coûts de calcul s l on a à résoudre pluseurs systèmes AX = b avec dfférents seconds membres b En effet, résoudre LUX = b revent smplement à résoudre LY = b pus UX = Y, c est à dre deux systèmes trangulares Ans, s l on connat la décomposton LU, le coût de la résoluton passe à seulement 2 n 2 /2 = n 2, au leu de n 3 /3 pour la méthode de Gauss Lorsqu elle exste, la décomposton LU est unque L obtenton de la décomposton LU se fat par exemple par l algorthme de réducton de Crout, qu consste à écrre formellement l égalté A = LU, et à dentfer successvement les élements de la premère lgne de A (ce qu donne la premère lgne de U), pus ceux de la premère colonne de A (ce qu donne la premère colonne de L), pus ceux de la deuxème 6

7 lgne de A (ce qu donne la deuxème lgne de U), etc Coût de cet algorthme : on retrouve, ce qu est logque, le coût de la méthode de Gauss, c est à dre envron n 3 /3 addtons/soustractons, et n 3 /3 multplcatons/dvsons Autrement dt, la décomposton LU ne rédut pas le coût de calcul s l on n a qu une seule résoluton de système à effectuer Exemple d utlsaton : nverson d une matrce Sot A M n (K) de rang n S l on note e le -ème vecteur de la base canonque (cad le vecteur avec un 1 en -ème lgne et des 0 alleurs), et C la -ème colonne de A 1, l égalté AA 1 = I n est équvalente à AC = e ( = 1,, n) On a donc à résoudre n systèmes lnéares, ayant tous la même matrce A et des seconds membres dfférents Plutôt que mettre en oeuvre n algorthmes de Gauss (ce qu coûterat n 4 /3), on a ntérêt à fare la décomposton LU de A (coût : n 3 /3) pus à résoudre les n systèmes LU C = e (coût : n n 2 ), sot un coût total de 4n 3 /3 3 Détermnants Vor auss : [1] chaptre 10, [3] p Formes n-lnéares alternées Sot E un espace vectorel de dmenson n Sot f défne de E n vers K (une foncton à mage dans K est appelée une forme) Autrement dt, f assoce à n vecteurs v 1,, v n de E un scalare f(v 1,, v n ) f est dte n-lnéare ss elle est lnéare par rapport à chaque varable, cad f(v 1,, v + v,, v n ) = f(v 1,, v,, v n ) + f(v 1,, v,, v n ) f(v 1,, λv,, v n ) = λ f(v 1,, v,, v n ) v 1,, v n, λ, v 1,, v n, Sot f une forme de E n vers K On dt que f est alternée ss f(v 1,, v n ) = 0 dès que les v ne sont pas tous dstncts Les formes n-lnéares alternées forment un espace vectorel de dmenson 1 Autrement dt, deux formes n-lnéares alternées sont forcément multples l une de l autre 32 Détermnant d une matrce carrée Sot A M n (K) On appelle mneur d ndce (, j), notée M j, la matrce de M n 1 (K) obtenue en enlevant la -ème lgne et la j-ème colonne de A On appelle détermnant l applcaton qu à toute matrce A M n (K) assoce la valeur défne par récurrence de la façon suvante : - s n = 1, deta = a 11 n - s n > 1, deta = ( 1) +j a j detm j (développement par rapport à la j-ème colonne), 7

8 n ou encore deta= ( 1) +j a j detm j (développement par rapport à la -ème lgne) j=1 Pour montrer que toutes ces défntons par développement par rapport à une lgne ou à une colonne quelconque sont équvalentes, on montre tout d abord qu on défnt ans des formes n-lnéares alternées Elles sont donc égales entre elles à un facteur multplcatf près De plus, elles prennent toutes la même valeur sur la matrce dentté I n Donc elles sont égales 33 Quelques proprétés Sot A M n (K) On note L k ses lgnes et C k ses colonnes Le fat de remplacer L k par L k + α L, ou C k par C k + α C ne change pas la k k valeur du détermnant S B est obtenue en permutant deux lgnes ou deux colonnes de A, detb=-deta S B est obtenue en multplant une lgne ou une colonne de A par λ K, alors detb=λ deta deta t =deta det(λa) = λ n deta En général, det(a + B) deta + detb detab=detadetb A est nversble ss deta 0 Dans ce cas, deta 1 =1/detA Le système lnéare AX = b a une soluton unque ss deta 0 n S A est trangulare, deta= a A 11 A 1n 0 A S A est trangulare par blocs A = 22 avec chaque bloc A carré, 0 A nn n alors deta= deta Coût de calcul de deta : envron n! addtons et multplcatons C est un coût énorme A ttre d exemple, 20! opératons prendraent des dzanes d années de calcul sur un ordnateur à pluseurs ggaflops (cad pluseurs mllards d opératons par seconde) On dot donc fare apparatre un maxmum de zéros et/ou de symétres dans le détermnant afn de rédure les calculs 8

9 4 Réducton des endomorphsmes et des matrces carrées Vor auss : [1] chaptre 11, [2] chaptre 2, [3] p On rappelle qu une applcaton lnéare de E dans E est appelée endomorphsme de E A toute matrce A M n (K) correspond un endomorphsme f de E et récproquement 41 Eléments propres λ K est valeur propre de f ss ( x E, x 0 / f(x) = λx) λ K est valeur propre de A ss ( X K n, X 0 / AX = λx) x E est vecteur propre de f ss (x 0 et λ K / f(x) = λx) X K n est vecteur propre de A ss (X 0 et λ K / AX = λx) Soent x E, x 0, et λ K tels que f(x) = λx On dt que x est vecteur propre de f assocé à la valeur propre λ Soent X K n, X 0, et λ K tels que AX = λx On dt que X est vecteur propre de A assocé à la valeur propre λ A) L ensemble des valeurs propres de f (resp de A) est appelé spectre de f (resp de d 11 0 Sot D M n (K) une matrce dagonale : D = 0 d nn valeur propre de D assocée au vecteur propre e (-ème vecteur de la base canonque) Chaque d est L ensemble des vecteurs propres assocés à une valeur propre λ forme un sous-espace vectorel, appelé sous-espace vectorel propre, noté E λ x E λ ss f(x) = λx, cad ss (f λid)(x) = 0 Donc E λ = ker(f λid) Les sous-espaces vectorels propres d un endomorphsme sont en somme drecte 42 Polynôme caractérstque λ est valeur propre de A ss X 0 / AX = λx, cad ss X 0 / (A λid)x = 0, cad ss det(a λid) = 0 det(a λid) est un polynôme de degré n en λ, appelé polynôme caractérstque de A, noté P A (λ) L ensemble des valeurs propres de A est l ensemble des racnes de P A (λ) (on vot donc qu l y a au plus n valeurs propres) Deux matrces semblables ont même polynôme caractérstque Autrement dt, P λ est nvarant par changement de base On appelle ordre de multplcté d une valeur propre son ordre de multplcté en 9

10 tant que racne de P A (λ) P A (λ) = ( 1) n λ n + ( 1) n 1 tr(a) λ n deta La dmenson du sev propre E λ est nféreure ou égale à l ordre de multplcté de λ 43 Dagonalsaton On dt que A est dagonalsable ss l exste une matrce dagonale D telle que A sot semblable à D On a donc alors : D = P 1 AP, où P est une matrce de passage On dt que f est dagonalsable ss l exste une base B dans laquelle la matrce représentatve de f sot dagonale Les proprétés suvantes sont équvalentes : () f est dagonalsable () Il exste une base formée de vecteurs propres de f () La somme des sev propres est égale à E (v) La somme des dmensons des sev propres est égale à n On dt qu un polynôme est scndé ss l peut être factorsé par des monômes, cad r être ms sous une forme P (X) = (X x ) m Sur IC, tout polynôme est scndé Condton nécessare et suffsante de dagonalsaton : f est dagonalsable ss P f r est scndé (P f (λ) = (λ λ ) m, où les λ sont dstncts) et chaque sev propre E λ a pour dmenson l ordre de multplcté m de la valeur propre λ Condton suffsante de dagonalsaton : S f admet n valeurs propres dstnctes, alors f est dagonalsable Toute matrce symétrque réelle est dagonalsable (et ses sous-espaces propres sont orthogonaux entre eux pour le produt scalare usuel, ce qu sgnfe que deux vecteurs propres correspondant à des valeurs propres dstnctes sont orthogonaux) Bblographe [1] J Lelong-Ferrand et J-M Arnaudès: Cours de mathématques - Tome 1, Dunod 2003 [2] J-M Moner: Algèbre et géométre MP, Dunod 2004 [3] F Pham et H Dllnger: Algèbre lnéare, Dderot