I] Généralités. b) Tableau de données et représentation graphique

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1 Chpitre 4 Fonctions I] Générlités ) Notion de fonction Définition : Une fonction numérique est un processus qui fbrique un nombre (souvent noté y) à prtir d un nombre vrible (souvent noté x). On v noter cette ssocition vec une flèche : x y. Exemple 1 : une fonction peut être définie pr à priori, point pr point : 1 3;2 0;3 1; 4 3 etc. Vocbulire : On dit que y est l imge de x pr l fonction en question, tndis que x est un ntécédent de y pr cette fonction. Notez bien que cel signifie que x ne peut voir qu'une seule imge pr l fonction lors que y peut voir plusieurs ntécédents, ou ucun comme on v le voir. Dns l'exemple précédent, 1 et 4 vient pour imge le même nombre 3. Pr conséquent 3 deux ntécédents : 1 et 4. Le nombre 2 n', qunt à lui ucun ntécédent connu. Il y un nombre u déprt : x et un nombre à l rrivée : y. L fonction dit comment (pr quels clculs ou pr quel utre moyen) on fbrique y à prtir de x. Elle dit ussi quelles vleurs peut prendre x. Nous llons voir qu'une fonction peut déterminer les imges y pr une expression numérique, pr un grphique (une courbe) ou pr un tbleu de données. Nottion : Si on note f cette fonction, lors on peut résumer tout ceci pr l églité y = f(x). Cel se lit : «y égl f de x» mis cel signifie que y est l imge de x pr l fonction f. Une utre nottion utilisée pour décrire ceci est f : x y, qui se lit «f est l fonction qui, à x, ssocie le nombre y». Dns notre exemple 1, si l fonction s'ppelle f, nous vions f(1)=f(3)=3 ; f(2)=0 et f(3)=1. Exemple 2 : Supposons que nous nous intéressons à l ire y de crrés de côtés x. Dns ce cs, y = x². Comme y se fbrique à prtir de x, on dit que y dépend de x ou que y est fonction de x et si on note A cette fonction qui, à un côté x, ssocie une ire y, lors A(x) = y = x². En d utre termes A : x x². Avec des vleurs numériques, on pr exemple : A(2) = 4 ; A(3) = 9 ; A(10) = pour imge 4 pr l fonction A ; 3 pour imge 9 et le nombre qui pour imge 100 pr l fonction A est 10. b) Tbleu de données et représenttion grphique Ce sont les deux moyens générlement employés pour représenter une fonction : le tbleu donne quelques vleurs numériques. L vleur du nombre vrible x est choisie prmi l multitude (l infinité) des vleurs possibles, ceci fin de se fire une idée des vleurs que peut prendre l utre nombre y. Le grphique représente, à l ide d une courbe, l ensemble des couples (x ; y) uxquels nous conduit l fonction. Cette courbe est obtenue en joignnt les quelques points du tbleu de données. Une utre fçon d obtenir cette courbe est d utiliser des moyens informtiques (clcultrice grphique, ordinteur). Donnons le tbleu de données et le grphique représentnt l fonction, A : x x² pour x>0 cr x étnt une longueur ne peut être négtif. Choisissons les vleurs entières inférieure ou égles à 10. x A(x)= x²

2 Notons qu on urit pu choisir d utres vleurs : des vleurs intermédiires non entières, ou des vleurs supérieures à 10. Ces vleurs sont plus fciles à clculer et peuvent être plcées isément dns un grphique. Trçons mintennt l courbe représentnt grphiquement cette fonction A pour x vrint de 0 à 10. Nous remrquons que les points ne sont ps lignés. Ils sont sur une courbe qui s incline de plus en plus fortement u fur et à mesure que x ugmente. Nous vons joutés des trits en rouge qui permettent de lire l imge d un nombre x choisi, ici de 9,4. Sur l xe verticl nous lisons insi que le crré de 9,4 vut 88,36. En bleu, nous vons trcé les trits nécessires pour lire l ntécédent d un nombre x choisi, ici 40. On voit que 40 est le crré de 6,32 (cette vleur est pproximtive, le nombre exct n est ps déciml). Exemple 3 : Pour compléter cet exemple et revenir sur l définition de l fonction - sur le fit que l'imge est unique, lors que l'ntécédent peut être multiple - exminons l même fonction x x², mis en utorisnt les nombres négtifs. Le crré d'un nombre négtif existe en effet, pr exemple (-1)²=1 ; (-2)²=4 ; etc. L courbe complète de cette fonction donc une brnche symétrique de l'utre côté de l'xe des ordonnées. Nous vons représenté cette courbe pour les vleurs de x comprises entre -2,5 et 2,5. Les trits en pointillés montrent que deux nombres ont le même crré : 5 deux ntécédents pour l fonction crré. L'ntécédent positif est l rcine crrée de 5, notée 5, et l'ntécédent négtif est 5. Il y un nombre qui n' qu'un seul ntécédent : c'est 0. Et il y des nombres qui n'ont ucun ntécédent pour cette fonction : -1 pr exemple n' ps d'ntécédent, le crré d'un nombre ne pouvnt être négtif... c) A quoi peut bien servir une fonction? Nous donnons cet exemple un peu compliqué, pour montrer à quoi sert une fonction. Supposons donc que nous souhitons découper les 4 coins d une feuille de ppier formt A4 (21 pr 29,7 cm) fin d obtenir une boîte prllélépipédique, sns couvercle, selon le ptron ci-contre. Sur ce ptron nous vons donné u côté du crré qu on enlève à chque coin de l feuille, l vleur 5 cm. Mis cette vleur n est donnée qu à titre d exemple. Si on note x le côté,

3 vrible, des crrés qu on enlève, lors on peut préciser plusieurs choses sur les vleurs possibles pour x. x doit être positif cr c est une longueur. x doit être inférieur à l moitié du plus petit côté de l feuille, donc inférieur à 10,5 cm, cr 2 crrés doivent tenir côte à côte sur cette lrgeur. x peut prendre toutes les vleurs possibles entre 0 et 10,5. Ps seulement les nombres entiers ou les rtionnels. Les dimensions de l boîte sont toutes des vleurs qui dépendent de x : L huteur est : x L longueur est : 29,7 2 x L lrgeur est : 21 2x Le volume de l boîte est, lui ussi, dépendnt de x. Il est égl u produit des 3 côtés de l boîte, soit : V(x) = x (29,7 2 x) (21 2 x). Donnons un tbleu de données pour l fonction V : x V(x) Plçons les points obtenus dns un grphique : Un des intérêts d voir fit cette étude est qu on puisse déterminer grphiquement l vleur qu il fut donner à x pour que le volume de l boîte soit mximl (le plus grnd possible). On lit que pour x = 4,1 cm environ, l fonction V psse pr une vleur mximum égle pproximtivement à 1130 cm 3. En notnt ce mximum V mx on donc V mx 1130 cm 3. Pour toutes les vleurs de x possibles, donc comprises entre 0 et 10,5 on V ( x) V mx. Un utre intérêt de cette étude est de montrer qu'il y ici, en générl, 2 vleurs de x qui donnent l même vleur de V. Pr exemple, pour obtenir un volume de 800 cm 3 on 2 possibilités : l plus petite vut environ 1,7 cm, l plus grnde vut environ 6,8 cm (voir grphique). NB : L'étude complète de cette fonction, vec l vleur excte de son mximum, ne ser ps fite vnt l clsse de première. Pour étnchez votre soif de svoir et iguiser votre ppétit de

4 connissnces, schez que l vleur de x pour lquelle le volume est mximum est exctement égle à 8,45 19,4275 4, II] Fonctions linéires ) Définition Une fonction linéire trduit, dns le lngge des fonctions, une sitution de proportionnlité. Une fonction f est donc linéire lorsqu à prtir d un nombre x, elle fbrique un nombre y proportionnel à x, c'est-à-dire multiplié pr un coefficient indépendnt de x. L imge de x pr l fonction linéire f est donc égle à x, étnt le coefficient de proportionnlité. D où l définition suivnte : Si est un nombre constnt (indépendnt de x), lors l fonction f : x x est linéire. On ppelle ce nombre, le coefficient de linérité de l fonction. Exemple 1 : Un rectngle mesure 5 cm de lrge sur x cm de long. L'ire de ce rectngle est dépendnte de x. On v donc l nommer A(x) vec l définition suivnte pour l fonction A : x 5 x. Nous voyons donc que L'ire de ce rectngle est une fonction linéire du côté x. Le périmètre du rectngle est ussi dépendnt de x. On v le nommer P(x) vec l définition suivnte pour l fonction P : x 5 x 2. En développnt cette expression nous trouvons que P x =2 x 10. Nous consttons donc que le périmètre du rectngle n'est ps une fonction linéire du côté x (il n'est ps de l forme x ). Exemple 2 : Soit f l fonction définie pr f : x 5 3 x 3 2 x. Si on développe l'expression de f(x), on trouve f x =15 5 x 6 3 x=8 x. Cette expression est bien de l forme x où est un nombre indépendnt de x, donc f est une fonction linéire de coefficient 8. b) Propriétés Si f est une fonction linéire de coefficient, lors nous vons les propriétés suivntes (ce sont celles de l sitution de proportionnlité) : f(0)=0 f(1)= Pour tout nombre x le rpport f(x)/x est constnt, égl u coefficient de linérité. L représenttion grphique de f est une droite pssnt pr l'origine. Pour illustrer ce dernier point et visuliser le rôle du coefficient de linérité sur l droite, trçons les droites représentnt les fonctions linéires f : x 0,2 x ; f : x 0,2x 1 5 f : x 0,5 x ; f : x 0,5x 2 6 f : x 2 x ; f : x 2x 3 7 suivntes f4 : x 5 x ; f8 : x 5x Nous consttons que ces droites sont concourntes et que leur direction est fixée pr le coefficient selon l règle : si est positif l

5 droite monte et plus est grnd, plus l droite monte vite. Si est négtif elle descend et plus il est petit, plus elle descend vite. Appliction : Montrons que les points A, B et C de coordonnées A(2;6), B(3;9) et C(-5;-15) sont lignés. Pour cel clculons les rpports y/x pour les 3 points : 6/2=3 9/3=3-15/(-5)=3 Ainsi, les ordonnées de ces 3 points sont obtenus pr une même fonction linéire de coefficient 3. Pr conséquent, ces 3 points sont lignés sur une même droite. Trçons mintennt cette droite et plçons les points A, B et C. Pour qu'un point pprtiennent à cette droite il fut que ses coordonnées vérifient l'églité y=3x. Cette églité est ppelée "éqution de l droite". Trçons sur le même grphique une droite perpendiculire à celle d'éqution y=3x et pssnt pr l'origine. Cette 2 ème droite représente une fonction linéire de coefficient '. Clculons ' à prtir des coordonnées du point D(-6;2) [vous pourrez vérifier à l'ide de l réciproque du théorème de Pythgore, que le tringle AOD est bien rectngle en O]. Le coefficient de linérité étnt égl u rpport y/x, pour cette droite il vut 2/(-6) soit -1/3. L'éqution de cette droite perpendiculire est y=x/3 (cr x (-1/3)=-x/3). Remrquons que les rpports de ces 2 droites perpendiculires sont inverses et opposés en même temps. Cette propriété se générlise mis elle n'est ps à connître en 3 ème. Remrque : l condition f(0)=0 n'est ps suffisnte pour qu'une fonction soit linéire. Pr exemple, l fonction crrée x x ² vérifie cette condition sns être une fonction linéire. Une utre remrque : supposons qu'une fonction f vérifie f(0)=0 et f(1)=2 et f(2)=4. Cel suffit-il pour ffirmer que f est linéire? Et bien, en toute rigueur, non. Il se pourrit que l fonction prenne ces vleurs stisfisntes pour une fonction linéire de coefficient 2 uniquement pour ces 3 vleurs de x, et qu'elle prenne des vleurs non stisfisntes pour d'utres vleurs de x. Bon, je vous l'ccorde, cette fonction ne serit ps très symp, mis il fut bien comprendre qu'une fonction doit être définie pour un tout un ensemble de vleurs de x qu'il fut préciser, et ps seulement pour 2 ou 3 vleurs seulement (cel ne servirit ps à grnd chose lors). Exminez un peu l fonction g suivnte (qui n'est 3 ps linéire) g : x 2 ( x 1) + 2 Clculons les imges de 0, 1 et 2 pr g : 3 g(0) = 2 (0 1) + 2 = 2 ( 1) + 2 = = 0 g g 3 (1) = 2 (1 1) + 2 = = 2 3 (2) = 2 (2 1) + 2 = = 4

6 Cette fonction g stisfit donc utnt les conditions initiles que l fonction linéire de coefficient 2. Alors comment choisir entre ces 2 solutions (et il y en d'utres...)? Le bon sens nous dicte de choisir l plus simple des solutions, et ce qu'il y de plus simple ici, évidemment c'est l fonction linéire!

7 III] Fonctions ffines ) Définition Une fonction f est ffine si, à tout nombre x, elle ssocie le nombre y= x+ b, où et b sont deux coefficients indépendnts de x. L nottion f : x x b définit donc une fonction ffine. L'imge f x d'un nombre x est composée de l somme d'une prtie fixe b (indépendnte de l vrible x) et d'une prtie vrible x, proportionnelle à x. Remrque : Ce serit vers 1748 que le grnd mthémticien suisse L. Euler urit mentionné, à propos de courbes qui serient obtenues les unes des utres en chngent une des échelles sur un xe, que ces courbes vient quelques ffinités entre elles, dns le sens qu'elles étient voisines, proches (du ltin ffinits, voisinge). De là on définir ce qu'on ppelle ujourd'hui les trnsformtions ffines qui générlisent l notion de fonction ffine que l'on étudie en 3 ème. Exemple 1 : Un rectngle mesure 5 cm de lrge sur x cm de long. Le périmètre du rectngle dépend de x. On v le nommer P(x) vec l définition suivnte pour l fonction P : x 5 x 2. En développnt cette expression nous trouvons que P(x) = 2x Nous consttons donc que le périmètre du rectngle est une fonction ffine du côté x (il est de l forme x b ). L prtie fixe de P(x) est 10, l prtie proportionnelle à x, est 2x (le double de x). On peut clculer le périmètre de ce rectngle pour une vleur donnée de x. x x P(x) = 2x Exemple 2 : Soit f l fonction définie pr f : x 5 3 x 3 2 x. Si on développe l'expression de f(x), on trouve f x =15 5 x 6 3 x=8 x 9. Cette expression est bien de l forme x b où =8 et b=9 sont deux nombres indépendnts de x, donc f est une fonction ffine. b) Cs prticuliers remrqubles Les fonctions linéires sont des fonctions ffines. En effet une fonction f est linéire si, pour tout nombre x, on f x = x. Cette expression est bien de l forme x b, vec b=0. Les fonctions linéires sont les fonctions ffines à prtie fixe nulle. Comme il ne reste que l prtie proportionnelle, les fonctions linéires représentent les situtions de proportionnlité. Un utre cs prticulier : les fonctions constntes. Une fonction f est constnte si, pour tout nombre x, on f x =vleur constnte où «vleur constnte» est un nombre indépendnt de x. Ici, on bien ussi une expression de l forme x b, vec cette fois = 0 et b = «vleur constnte», c'est-à-dire f x =b. Lorsque l prtie proportionnelle est toujours nulle (c'est lors le coefficient qui est nul), on une fonction constnte. Pour une fonction constnte, les imges de n'importe quel nombre sont égles. Exemple : Si on g : x 5, g est une fonction constnte, égle à 5 pour toute vleur de x. Les imges de 0, 1, 1 3 et π sont g 0 =5, g 1 =5, g 1 3 =5 et g =5. c) Clculs d'imges et d'ntécédents Pour l'imge, il suffit d'utiliser l formule f x = x b. D'une fçon générle, l'imge de 0 est f 0 = 0 b=b et l'imge de 5 est f 5 =5 b. Pour l'ntécédent de y, on peut inverser l formule y= x b, cr on cherche à clculer x connissnt y. Cel donne d'bord y b= x, puis y b = x. On peut donc voir que x est obtenu à

8 prtir de y pr une fonction ffine de x cr x= y b = y b = 1 b y. L'ntécédent de 0 vérifie f x = x b=0 et vut x= 0 b b. L'ntécédent de 0 est donc égl à 5 b. L'ntécédent de 5 vérifie f x = x b=5 et donc vut x= = b Exemple : Soit k l fonction définie pr k x = 2 3 x 1 6. Clculons l'imge de 2 et l'ntécédent de 0 : k 2 = = = 7 6. L'imge de 2 pr k est donc 7 6. L'ntécédent de 0 vérifie k x = 2 3 x 1 6 =0, et donc 2 3 x= 1 6 soit, finlement x= = = 1 4. Complétons le tbleu de données suivnt qui demnde les imges et les ntécédents de 0 et 2 : 1 x = = 13 3 = k x = 2 3 x = b) Représenttion grphique d'une fonction ffine = f étnt une fonction ffine, plçons dns un repère du pln, les points de coordonnées (x ; f(x)). Prenons pour fire cel, l fonction suivnte : f : x 2 x 1. f : 0 1 donc f 0 = 1. f : 0,5 2 0,5 1=0 donc f 0,5 =0. f : =5 donc f 3 =5. Mettons ces trois points dns le grphique (voir figure ci-contre). On remrque que ces points sont lignés sur une droite (trcée en rouge). Est-ce une coïncidence, ou bien est-ce toujours le cs pour une fonction ffine? C'est une propriété crctéristique des fonctions ffines, nous l'dmettrons pour le moment : Si f est une fonction ffine, les points de coordonnées (x ; f(x)) sont tous lignés sur une droite ppelée d f qui est l représenttion grphique de l fonction. Intersections de l droite représentnt une fonction ffine et les xes du repère : L'intersection vec l'xe des ordonnées (xe de l coordonnée y) nous est donnée pr l'imge de 0. L'imge de 0 pr une fonction ffine f de coefficients et b est f 0 = 0 b=b. On toujours f 0 =b. Donc, dns le grphique, l droite d f représentnt f psse toujours pr le point de coordonnées (0 ; b). Pour cette rison, on ppelle le coefficient b : ordonnée à l'origine. L'intersection vec l'xe des bscisses (xe de l coordonnée x) nous est donnée pr l'ntécédent de 0. L' ntécédent de 0 pr une fonction ffine f de coefficients et b est tel que f x = x b=0. On en déduit x= b, et donc, lorsque 0, x= b. Donc, dns le grphique, l droite d f représentnt f psse toujours pr le point de coordonnées ( b ; 0).

9 Que se psse t-il si = 0? Nous vons déjà vu que dns ce cs, l fonction ffine est une fonction constnte. S représenttion grphique ser une droite horizontle (prllèle à l'xe des bscisses) qui coupe l'xe des ordonnées u points d'ordonnée b, mis qui ne coupe ps l'xe des bscisses. Si b = 0 l droite est confondue vec celui-ci mis si b 0 (cs générl) l droite et l'xe sont strictement prllèles. Sur l'illustrtion ci-contre, nous vons représenté une fonction constnte de coefficient 3, c'est-à-dire que pour tout nombre x, f : x 3. b) Tux d'ccroissement d'une fonction ffine On ppelle tux d'ccroissement d'une fonction f, le rpport entre l'ccroissement des imges y et l'ccroissement des nombres x (le mot ccroissement signifie ugmenttion). En d'utres termes, f x f x' on divise l'ugmenttion des y pr l'ugmenttion des x correspondnts. Cel s'écrit x x ' où x et x' sont les deux vleurs différentes du nombre de déprt. Dns le cs d'une fonction ffine de coefficients et b, ce tux d'ccroissement entre deux vleurs x b x' b x x' différentes de x devient = =. Nous voyons que ce rpport est x x ' x x ' constnt. Cel signifie que l'ccroissement des vleurs de y est proportionnel à l'ccroissement des vleurs de x : f x f x ' = x x '. Cette propriété crctéristique des fonctions ffines (voir un tux d'ccroissement constnt) v _ voir un intérêt prtique : l direction de l droite d f on prle de pente _ est donnée pr le coefficient : Si l pente est nulle ( = 0) l fonction est constnte et l droite horizontle. Si l pente est positive ( > 0) l fonction est croissnte, l droite monte lorsque x ugmente. Si l pente est négtive ( < 0) l fonction est décroissnte, l droite descend lorsque x ugmente. Voyons ce que cel donne grphiquement pour différentes vleurs de. Nous vons choisi les vleurs =0, =1/2, =1, =2 et pour les vleurs négtives =-1, =-1/2 et =-2. Prenons une même vleur pour le coefficient b (ici nous vons pris b = 3) fin de bien voir le rôle du coefficient. Nous vons utilisé l'djectif croissnte pour prler d'une fonction ffine de coefficient positif. Donnons une définition à ce terme : Propriété : Une fonction est dite croissnte si, lorsque les vleurs de x ugmentent, les vleurs de y ugmentent ussi. On le même genre de définition pour le terme décroissnte. En résumé, si f est une fonction ffine: Si f est une fonction ffine de coefficients et b lors nous vons les propriétés suivntes : f(0) = b et f(1) f(0) = D'une fçon générle, pour tout couple de nombres (x 1, x 2 ) le rpport (f(x 1 )-f(x 2 ))/(x 1 - x 2 ) est constnt, égl u coefficient de linérité. L représenttion grphique de f est une droite.