Partiel de Physique PH1 ME1D

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Adam Soucy
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1 Prtiel de Physique PH1 ME1D Durée : 3h Les clcultrices et documents ne sont ps utorisés Le brême indiqué peut être sujet à modifictions 21 Novembre 2009 Exercice 1 : Outils mthémtiques (3 points) 1 Dériver pr rpport à x : f(x) = 4 ln x x g(x) = x cos(x 3 ) h(x) = (1 + e x ) 4 2 Intégrer pr rpport à t entre les vleurs et b : (t 2 + 2t + 1) dt tn t dt t cos(t 2 ) dt (on supposer que [0, π/2] et b [0, π/2]) 3 Éqution différentielle On considère l éqution différentielle suivnte : df dt = bf(t) (1) On cherche f(t), schnt que et b sont des constntes positives. ) Quel est l ordre de cette éqution différentielle? b) En utilisnt l méthode de l séprtion des vribles trouver l solution générle de l éqution (1). 1

Exercice 2 : Un jour de pluie (4 points) Un jour de pluie, vous essyez de comprendre grâce à vos observtions et l nlyse dimensionnelle quelles sont les tilles et les vitesses de chute typiques des

2 Exercice 2 : Un jour de pluie (4 points) Un jour de pluie, vous essyez de comprendre grâce à vos observtions et l nlyse dimensionnelle quelles sont les tilles et les vitesses de chute typiques des gouttes que vous voyez tomber pr l fenêtre. On suppose que l goutte est sphérique et ne se déforme ps lors de s chute. 0) Question préliminire : Donnez, d près vos observtions d près-midis pluvieux, l ordre de grndeur du dimètre D g d une goutte de pluie qui tombe du ciel. De l même fçon, quel ordre de grndeur donneriez-vous pour l vitesse V g de chute d une goutte de pluie? On v mintennt tenter une étude théorique qulittive de l chute d une goutte d eu dns l tmosphère lorsqu elle tteint une vitesse (limite) constnte. Cette vitesse limite dépend en fit des forces de freinge exercées sur l goutte qui proviennent de l résistnce de l ir que l goutte doit déplcer en tombnt et pr illeurs de l viscosité de l ir. En hydrodynmique, on ppelle cette résultnte des forces de freinge trînée. L trînée dépend dns le cs générl des quntités physiques suivntes ρ msse volumique de l ir, V vitesse de l goutte, D son dimètre et µ l vicosité de l ir. 1 - À grnde vitesse (lorsque le nombre de Reynolds est grnd) l goutte de fluide doit pousser l ir devnt elle, qui oppose une résistnce du fit de son inertie. Dns ce cs l force de frottement ne dépend plus de l viscosité du fluide. ) L trînée est une résultnte de forces. Quelle est l dimension de l trînée? De quelles quntités physiques dépend l trînée lorsque les gouttes tombent à grnde vitesse? b) Pr nlyse dimensionnelle, trouver l expression de l trînée à une constnte k sns dimension près. Dns l suite on prendr k 1. c) Lorsque l goutte tombe à vitesse constnte, quelle est l reltion entre le poids et l trînée de l goutte? d) En déduire une expression pprochée de l vitesse de l goutte en fonction de l tille de celle-ci. e) Clculer pour l tille de l goutte D g que vous vez proposé en question ) l vitesse de chute de cette goutte. Est-ce cohérent vec l vitesse V g que vous viez estimé? f) Quel est le temps de chute de cette goutte lorsqu elle provient d un nuge bs (ltitude 1000m) g) Comment vrie l vitesse de l goutte lorsque s tille diminue? 2 - Avec des vitesses plus bsses, nous ne pouvons plus négliger les effets de l viscosité de l ir. Le nombre de Reynolds R e = ρv D µ donne le rpport entre les effets liés à l inertie et les forces de viscosité pour un objet en mouvement dns un fluide et nous permet de qulifier lorsque les effets d inertie ou les effets de viscosité de l ir dominent. ) Quelle est l dimension de R e?

3 b) Quelle est l vleur du nombre de Reynolds obtenu dns le cs de l goutte de tille D g et de vitesse V g, que vous viez observé? L pproximtion fite dns l première prtie de cet exercice étit elle vlble? Quelques données utiles pour vos clculs : Msse volumique de l ir : ρ 1.2 kg m 3 Viscosité de l ir : µ kg m 1 s 1. Exercice 3 : Brrge tringulire Un brrge de forme tringulire (tringle isocèle u sommet du bs) retient de l eu douce de msse volumique ρ eu. Les dimensions du brrge sont indiquées sur l figure 3. L eu rrive jusqu en hut du brrge. De l utre côté du brrge, il y de l ir. Pour les pplictions numériques, on pourr utiliser ρ eu = 1000 kg m 3, ρ ir = 1 kg m 3, H 0 = 100 m, L 0 = 60 m, P 0 = 1 br et g = 10 m s 2. Brrge tringulire isocèle (en blnc sur l figure) ) Donnez L(z), l lrgeur du brrge à l ltitude z en fonction de L 0, H 0 et z. b) Donnez l force de pression df s ppliqunt sur une trnche du brrge d épisseur dz située à une profondeur z. c) En déduire l force totle qu exerce l eu sur le brrge. d) Clculez l force totle exercée pr l ir sur le brrge. Comprez ces deux forces. Exercice 4 : Conduite d eu (4 points) Un tuyu chemine de l eu depuis le sommet d une construction jusqu en bs. Au point D, l eu sort à l ir libre (pression P 0 ) à l vitesse V D = 10 m s 1. Le ryon du tube en D est R D = 10 cm. On néglige les effets de l viscosité. Le point A est à l ltitude Z A = H, le point B à Z B = H/2 et le point D à Z D = 0. On donne R C = 50 cm, R B = 30 cm, et H = 10 m. ) Quel est le débit Q de l écoulement (Exprimer et clculer en fonction des prmètres connus du problème)? b) Exprimer l vitesse du fluide u point C en fonction des prmètres déjà connus.

4 c) Exprimer l vitesse u point B. d) Est-ce que l vitesse de l eu vrie dns le tuyu incliné (celui qui contient le point B)? Justifier. e) Schnt que R A = R C, clculer l pression du fluide u point A, notée P A. Exercice 5 : Lncement du bllon Archeops (6 points) L expérience Archeops (http :// été conçue pour mesurer le ryonnement fossile, émis juste près le Big Bng (on l ppelle ussi fond diffus cosmologique). L étude de ce ryonnement est essentielle pour obtenir des informtions précises sur l évolution de l Univers : densité, constnte de Hubble, âge de l Univers... Afin de permettre ces observtions en évitnt les perturbtions des mesures pr l tmosphère, les instruments ont été plcés dns une ncelle sous un bllon gonflé à l hélium pour prendre des données en vol. Le but de cet exercice est d étudier le décollge et l montée en ltitude du bllon tmosphérique Archeops. 1 Étude d un modèle d tmosphère Dns un premier temps, on cherche à étblir le profil de pression dns le cdre d un modèle de l troposphère (nom de l couche d tmosphère comprise entre 0 et 11 km d ltitude). L ir est ssimilble à un gz prfit de msse molire M = 29 g mol 1. On suppose que l pesnteur g est uniforme. Nous considérons un modèle simple de l tempérture de l ir où l tempérture vrie dns l tmosphère vec l ltitude z selon : T = T 0 + z, où est une constnte et T 0 l tempérture u sol.

) Quelle est l dimension de? Quelle est son unité? (donnez votre résultt en unités du système interntionl) b) Pour un gz prfit, étblir le lien entre l pression P et l msse volumique ρ.

5 ) Quelle est l dimension de? Quelle est son unité? (donnez votre résultt en unités du système interntionl) b) Pour un gz prfit, étblir le lien entre l pression P et l msse volumique ρ. On introduir pour cel l msse molire M. c) En utilisnt l éqution fondmentle de l hydrosttique, montrer que l éqution différentielle lint P et z s écrit : dp P où R est l constnte des gz prfits. = Mg R dz T 0 + z, (1) d) Intégrer l éqution différentielle (1) et vérifier que l solution de cette éqution différentielle s écrit sous l forme ( ) α T0 + z P (z) = k, où α = Mg et k sont des constntes. Quelle est l dimension de α? Déterminer k schnt R que l pression u sol vut P 0. e) En déduire l msse volumique ρ de l ir en fonction de l ltitude z, on noter ρ 0 l msse volumique de l ir u sol. T 0 2 Décollge d Archeops Le bllon est constitué d une enveloppe souple ouverte vers le bs, de volume mximl V mx = 300 m 3, une ncelle y est ccrochée. L ensemble une msse m 0 = 200 kg. On remplit le bllon d hélium, de densité d = 4 pr rpport à l ir, jusqu à un volume initil V Il y équilibre entre l ir et l hélium (mêmes P et T ). ) Déterminer l résultnte F des forces exercées sur le bllon en fonction de m 0, ρ 0, V, d,, z, T 0, α et g. b) Quel est le volume initil V 0 permettnt u bllon de décoller? Après le décollge on n introduit plus d hélium dns le bllon. c) À quelle ltitude le bllon tteint-il son volume mximl V mx schnt que le bllon monte à msse constnte (on ne demnde ps l ppliction numérique ici)? d) Que se psse-t-il u delà de cette ltitude? e) Schnt que le bllon continue à monter à volume constnt trouver l ltitude z = z eq à lquelle le bllon v se stbiliser. En déduire l msse d hélium dns le bllon à cette ltitude d équilibre. A.N. : T 0 = 15 C, P 0 = 1 tm, R = J K 1 mol 1, = SI.

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