Chapitre 3 : Le théorème de Gauss

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1 Chapite : Le théoème de Gauss Execices E1. On donne =0,12 met E = 450 i N/C. L aie de la plaque est A = π 2 =0,0452 m 2. Selon la figue.22, l angle ente un vecteu A pependiculaie à la plaque et le champ E est θ =90 0 =60. Selon l équation.1, Φ E = E A = EAcos θ = 450 (0,0452) cos (60 )= 10,2 N m 2 /C E2. On donne A =(0,04) (0,06) = 2,40 10 m 2 et E = 600 j N/C. Selon la figue.2, l angle ente un vecteu A pependiculaie à la plaque et le champ E est θ =90 7 =5. Selon l équation.1, Φ E = E A = EAcos θ = 600 2,40 10 cos (5 )= 0,867 N m 2 /C E. Selon l énoncé que l on touve à la page 56 du manuel, le flux électique tavesant une suface est popotionnel au nombe de lignes de champ passant pa cette suface. Comme chacune des lignes de champ tavesant la base de l hémisphèe tavese aussi ce denie, on peut affime que le flux électique est le même à taves la base et à taves l hémisphèe. À pati de l équation.1, si A base = πr 2 et que θ =0 si le champ E est paallèle à un vecteu A pependiculaie à la base, alos Φ E = E A = EA base cos θ = E πr 2 cos 0 = πr 2 E E4. On donne A =(0,12 m) 2 =1, m 2 et ³ E = 70 i +90 k N/C. La figue monte le vecteu champ électique et un vecteu A pependiculaie à la plaque : On constate que A =1, k m 2 et, avec l équation.1, on obtient Φ E = E A = E x A x + E y A y + E z A z = , = 1,0 N m 2 /C On a utilisé l équation 2.11 du tome 1 pou le calcul du poduit scalaie. v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 1

2 E5. On donne q 1 = Cetq 2 = C. Le ayon de la suface n a pas d impotance dans la mesue où les chages sont à l intéieu. La chage totale est = q 1 + q 2 = 2, C et, d apès le côté doit de l équation., Φ E = = 2, = 2, , N m 2 /C 12 E6. On donne Φ face = 10 4 N m 2 /C. Le flux électique total à taves les six faces du cube est Φ E =6Φ face = = N m 2 /C. Au moyen du côté doit de l équation., on calcule la chage totale à l intéieu du cube : Φ E = = = Φ E = , = 1,59 µc E7. (a) La éponse à cette question est indépendante de la suface du cube, dans la mesue où la chage = C est à l intéieu. D apès le côté doit de l équation., Φ E = = = 6, N m 2 /C 8, (b) Si la chage est au cente du cube, la symétie impose que le champ électique qu elle cée tavese chacune des faces du cube de la même manièe. Le flux électique à taves chacune des six faces est donc le même et Φ face = Φ E 6 = 1, N m 2 /C (c) La éponse de la question (a) ne change pas puisque le flux total ne dépend pas de la position de la chage à l intéieu. Toutefois, la position de la chage a des conséquences su la symétie. Si la chage n est plus au cente, le flux n est plus le même à taves chaque face, et l on ne peut pas éponde à la question (b). Donc, non pou (a) et oui pou (b). E8. La figue monte la chage placée à l oigine d un système d axes et, en taits pleins, le cube dont elle constitue l un des sommets : Tois des faces de ce cube coïncident avec les plans xy, xz et yz et ne sont pas tavesées pa le champ électique de la chage. Le flux électique à taves ces faces est nul. Les 2 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

3 tois autes faces du cube en taits pleins sont placées symétiquement et sont tavesées de la même manièe pa E. Le flux à taves ces tois faces a la même valeu. La figue monte aussi tois autes cubes dont la chage peut constitue un sommet. Au total, huit de ces cubes, en comptant celui en taits pleins, emplissent l espace autou de la chage. On compte donc 24 faces tavesées également pa le champ électique et pou lesquelles le flux est égal. D apès le côté doit de l équation., le flux total à taves ces 24 faces est Φ E = et le flux à taves une face est Φ E (1 face) = Φ E 24 = 24 E9. On donne =0,08 met =0,1 nc/m 2. La chage totale à la suface du conducteu sphéique coespond à = A = 4π 2 = 0, ³ 4π (0,08) 2 =8, C (a) La suface de la sphèe constitue la limite de cequipeutêteconsidéécommel extéieu de la sphèe. On peut donc utilise le ésultat de la patie (a) de l exemple.2 et affime que le champ électique de cette chage est le même que celui d une chage ponctuelle. Comme la chage est positive, le champ est dans le même sens qu un vecteu unitaie de diection adiale u : E = k u 2 = (9 109 )(8, ) (0,08) u 2 = 11, u N/C (b) Toute la chage de la sphèe conductice est dans la suface de Gauss et le aisonnement est le même qu à la patie (a). Avec =0,10 m, on touve E = k u 2 = (9 109 )(8, ) (0,10) u 2 = 7,2 u N/C E10. Soit q 1 =16µC, la chage ponctuelle au cente, et q 2 = 8 µc, la chage su la coquille conductice de ayon extéieu R e et de ayon intéieu R i. (a) Comme à l exemple.2b, on choisit d abod une suface de ayon <R i dont le cente coïncide avec la chage ponctuelle. Selon le théoème de Gauss, le champ dans cette égion ne dépend que de la chage à l intéieu de la suface; comme la situation est symétique, on peut simplifie l intégale de gauche de l équation. : H E int d A = E int 4π 2 = = q 1 = E int = q 1 4π 2 = 1 ( ) 1 4π = 1, (8, ) 2 2 Le champ est diigé ves l extéieu, donc : E int = 1, u 2 Si maintenant on choisit une suface de ayon >R e comme à l exemple.2a, alos la v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss

4 chage totale = q 1 + q 2 =8µC et H E int d A = E int 4π 2 = = E int = 4π 2 = 1 4π Ce champ électique est lui aussi diigé ves l extéieu : E ext = 0, u 2 ( ) 1 (8, ) = 0, (b) Si on choisit une suface de Gauss de ayon R i <<R e, on sait, pa la popiété 1 des conducteus à l équilibe (section 2.), que le champ électique est nul patout su cette suface. Selon le théoème de Gauss, la chage totale à l intéieu de la suface doit ête nulle et il y a induction d une chage de signe opposé à la chage ponctuelle, soit 16,0 µc àlasufaceintéieuedelacoquille. Comme la chage totale de la coquille ne peut change, on doit etouve 8,00 µc su la suface extéieue pou mainteni q 2 = 8 µc. (c)ils agitdelamêmefigue que celle obtenue à l execice 26 du chapite 2 : E11. Selon l exemple.2a, le module du champ électique à l extéieu de la coquille sphéique de ayon R est donné pa E = k, où est la valeu absolue de la chage su la 2 coquille et, la distance adiale au cente de la coquille. Comme on pécise la densité sufacique de chage de la coquille, la valeu absolue de la chage totale su la coquille est = A = 4πR 2 et,àlasufacedelacoquille( = R), le module du champ a pou valeu E = k = k (4πR2 ) 2 R =4πk = E = 2 = CFD E12. (a) On donne R =0,02 m, le ayon de la sphèe chagée. Il s agit d une situation similaie à celle de l exemple.2a. Toutefois, on pécise que le champ électique est diigé ves l intéieu, ce qui se poduit si la chage totale à l intéieu d une suface de Gauss de 4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

5 ayon R est négative. On peut démonte que la chage est négative à pati de l équation. si on modifie coectement le teme de gauche. On doit simplement se appele que chaque vecteu d A pointe ves l extéieu; donc H E d A = H EdAcos (180 )= E H da = E 4πR 2 Si on complète l équation., avec E = 800 N/C, alos E 4πR 2 = = = E 4πR 2 =, C (b) Non,ilsuffit que la chage soit à l intéieu de la suface de Gauss et qu elle soit distibuée de façon symétique. E1. On suppose pou l instant que >0. La figue monte les deux feuilles, numéotées, et le champ électique qu elles céent dans les tois égions qu elles définissent. Pou chaque feuille, on considèe le aisonnement suivi à l exemple.5 du manuel. Le module de chaque champ est donné pa l équation.8, E 1 = E 2 = 2 : Pou chaque égion, on obtient le champ ésultant pa le pincipe de supeposition (équation 2.4), E = P E i. (a) Dans la égion II, le champ électique de chacune des feuilles est dans un sens opposé. Comme E 1 et E 2 sont de même module, le module du champ ésultant est E II = 0 (b) Comme on le voit dans la figue, pou les égions I et III, E 1 et E 2 sont dans le même sens, de sote que E I = E III = E 1 + E 2 = Le ésultat est le même, quel que soit le signe de. E14. On donne >0. Comme chaque face de chaque plaque non conductice est chagée, le poblème est équivalent à celui de quate feuilles infinies, comme à l exemple.5. La figue monte les deux plaques et le sens de l axe des x qui est utilisé. Chaque face de chaque plaque, qui cée un champ de module 2, est numéoté pou facilite les écitues : v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 5

6 Le champ ésultant est obtenu pa le pincipe de supeposition (équation 2.4), E = P E i, appliqué à l ensemble des faces. (a) Dans la égion I, si on tient compte du signe des chages, E = E 1 + E 2 + E + E 4 =+ 2 i + 2 i + 2 i + 2 i = 2 i = E = 2 (b) Dans la égion II, si on tient compte du signe des chages, E = E 1 + E 2 + E + E 4 =+ 2 i 2 i + 2 i + 2 i = i = E = On appelle qu il s agit d une plaque non conductice et que le champ électique n a pas à ête nul à l intéieu de celle-ci. E15. On donne >0. Comme il s agit de deux plaques conductices chagées, mais de signes opposés, la chage su chacune des plaques est attiée ves l aute plaque. En conséquence, seules les faces intéieues des plaques possèdent une chage. La figue monte les deux plaques, l emplacement des chages et le sens de l axe des x utilisé. Les deux faces chagées, qui céent un champ de module 2, sont numéotées pou facilite les écitues : Pou chaque égion, on obtient le champ ésultant pa le pincipe de supeposition (équation 2.4), E = P E i. (a) Dans la égion II, si on tient compte du signe des chages, E = E 1 + E 2 =+ 2 i + 2 i = i = E = 6 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

7 (b) Dans la égion I, qui englobe l intéieu de la plaque de gauche, en tenant compte du signe des chages, E = E 1 + E 2 = 2 i + 2 i =(0) i = E = 0 Le ésultat est le même pou la égion III,qui englobe l intéieu de la plaque de doite. E16. On suppose pou l instant que a,b > 0. La figue monte le cube ainsi que le vecteu champ électique E =(a + bx) i : (a) Le champ électique est paallèle à quate des faces du cube, celles qui sont paallèles au plan xz et celles qui sont paallèles au plan xy. Pou ces quate faces, le flux électique est nul. Les deux autes faces, maquées pa les vecteus A 1 = L 2 i et A 2 = L 2 i dans la figue, sont le siège d un flux dont la valeu est obtenue pa l équation.1. La face A 1 est en x =0et la face A 2 est en x = L. Φ E1 = E A 1 = E x A 1x =(a + b(0) L 2 = al 2 Φ E2 = E A 2 = E x A 2x =(a + b(l) L 2 = al 2 + bl Le flux total à taves le cube est Φ E = Φ E1 + Φ E2 = al 2 + bl al 2 = bl Le ésultat est indépendant du signe de b. (b) Au moyen du côté doit de l équation., on calcule la chage totale à l intéieu du cube : Φ E = = = Φ E = bl Le ésultat est indépendant du signe de b. La position exacte de cette chage n est pas pécisée. E17. On suppose pou l instant que 1 > 0. Il s agit d une situation à symétie cylindique, v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 7

8 comme celle qui est décite à l exemple.4 et dans la figue.12. Comme dans l exemple, on enveloppe le câble coaxial d une suface de Gauss cylindique de ayon > b,de longueu L et dont l axe coïncide avec celui du câble. Le aisonnement de l exemple.4 s applique ici aussi et on peut affime que seule l enveloppe S 1 delasufacedegaussest tavesée pa le champ électique des deux potions du câble coaxial et que la contibution de S 2 et de S au flux total est nulle. On s intéesse au champ ésultant, E = E 1 + E 2, su l enveloppe de ayon. Àpati de l équation., on touve H E da = = R E da = S 1 = R ³ E 1 + E 2 d A = S 1 Comme on veut que E 1 + E 2 =0patout su l enveloppe de Gauss, la chage totale à l intéieu de l enveloppe de Gauss de longueu L doit ête nulle : = 1 A A 2 =0 (i) où A 1 =2πaL et A 2 =2πbL epésentent l aie de chaque potion du câble qui se touve à l intéieu de la suface de Gauss. L équation (i) devient 2 (2πbL) = 1 (2πaL) = 2 = a b 1 Le ésultat est indépendant du signe de 1. E18. On enveloppe le câble coaxial avec une suface de Gauss cylindique de longueu L, comme dans la figue de l execice 17. Toutefois, le ayon ducylindepeutvaie.commedans l exemple.4 du manuel, seule l enveloppe S 1 du cylinde de Gauss est tavesée pa le champ électique et contibue au calcul du flux électique. (a) On utilise une suface de Gauss de ayon a<<b. La chage du conducteu intéieu 8 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

9 est positive et elle est seule esponsable du champ électique dans cette égion. Celui-ci sea donc adial et diigé ves l extéieu, E = E u. Avec d A = da u, l équation. s écit H E d A = = R S 1 E d A = = R S 1 E u da u = = R S 1 EdA = = E (2πL) = (i) La chage est celle qui se touve dans le cylinde de Gauss de longueu L; donc = (2πaL) et l équation (i) devient E = (2πaL) 2πL = a (b) On utilise une suface de Gauss de ayon >b. Celle-ci enveloppe les deux potions du câble coaxial et intecepte une chage totale = (2πaL) (2πbL) =2πL (a b). Comme a<b,cette chage totale est négative et le champ électique ésultant qui tavese la suface de Gauss pointe ves le câble, E = E u. Onependl équation.eton touve H E d A = = R S 1 E d A = 2πL(a b) = R S 1 E u da u = 2πL(a b) = R S 1 EdA = 2πL(a b) = E (2πL) = 2πL(a b) = E = 2πL(a b) 2πL = (b a) E19. Ce poblème est similaie à l execice 17. On epend la même figue et le aisonnement est le même jusqu à l affimation voulant que la chage totale à l intéieu du cylinde de Gauss de longueu L doive ête nulle. Au lieu de considée, pou chaque patie du câble coaxial, une densité sufacique de chage 1 ou 2, on suppose une densité linéique de chage λ 1 ou λ 2 ;donc = λ 1 L + λ 2 L =0 = λ 1 = λ 2 E20. (a) Ce poblème est similaie à l execice 18a. On epend la même figue et le aisonnement est le même jusqu à l équation (i), qui établit le lien ente le module du champ E dans la égion a<<bet la chage à l intéieu de la suface de Gauss de longueu L. Seul le conducteu intéieu contibue à cette chage et = λl; alos E (2πL) = = λl = E = λ 2π = 2kλ (b) On utilise une suface de Gauss cylindique de ayon >bet de longueu L comme dans la figue de l execice 17. La chage totale à l intéieu de cette suface est nulle pace que les deux potions du câble ont une densité linéique de chage de même gandeu et de signes opposés : v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 9

10 = λl λl =0 Encoe une fois, seule l enveloppe S 1 contibue au calcul du flux électique et l équation. s écit H E da = = R R E da =0 = EdA =0 = E = 0 S 1 S 1 Le champ électique ésultant est nul patout à l extéieu du câble coaxial. E21. Cet execice est semblable à la patie (a) de l exemple.2. Le module du champ électique ne dépend que de la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss sphéique de ayon et son expession est la même que pou une chage ponctuelle (équation 2.2). (a) Si a<<b,alos la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss est, celle de la sphèe intéieue de ayon a. Donc, E = k 2 (b) Si >b,alos la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss est =0puisqu il faut considée aussi la chage négative de la coquille. Donc, E = 0 E22. Cet execice est semblable à la patie (a) de l exemple.2. Le module du champ électique ne dépend que de la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss sphéique de ayon et son expession est la même que pou une chage ponctuelle (équation 2.2). (a) Si a<<b,alos la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss est celle de la sphèe intéieue de ayon a. Si on l expime à pati de la densité sufacique de chage, = A = 4πa 2 et, si 4πk = ε 1 0, E = k = k(4πa2 ) 2 = a2 2 2 (b) Si >b,alos la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss inclut la contibution de la sphèe de ayon a et de la coquille de ayon b. Si on expime ces chages à pati des densités sufaciques de chage de signes contaies, on touve = A sphèe A coquille = 4πa 2 4πb 2 =4π(a 2 b 2 ) Comme a<b,la chage totale est négative et le champ électique pointe ves la coquille. Son module est malgé tout donné pa l équation 2.2 : E = k = k 4π(a2 b 2 ) = 4πk(b2 a 2 ) = (b2 a 2 ) (c) Comme le gaphe demandé va de 0 à 2b, on doit appele qu à l intéieu de la sphèe de ayon a le champ électique est nul puisqu il s agit d un conducteu. On appelle aussi que le gaphe doit monte la composante adiale du champ ésultant. Pou a<<b, E = E, et pou >b,e = E pace que le champ pointe ves la coquille. On donne une valeu aux difféentes vaiables, on définit l expession du champ pou les 10 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

11 tois égions et on cée le gaphe demandé : > estat: > a:=1; > b:=2; > sigma:=1; > epsilon:=8.85e-12; > E:= piecewise(<a,0,<b,sigma*a^2/(epsilon*^2),-sigma*(b^2-a^2)/(epsilon*^2)) ; > plot(e,=0..2*b); E2. Cet execice est semblable à la patie (a) de l exemple.2. Le module du champ électique ne dépend que de la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss sphéique de ayon et son expession est la même que pou une chage ponctuelle, E = k.comme 2 on veut que le module du champ électique soit nul, =0. Si >b,la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss inclut la contibution de la sphèe de ayon a et de la coquille de ayon b. Si on expime ces chages à pati des densités sufaciques de la sphèe métallique ( a ) de ayon a et de la coquille métallique ( b ) de ayon b, = a A sphèe + b A coquille = a 4πa 2 + b 4πb 2 =0 = a b = b2 a 2 E24. (a) Le champ électique est nul à l intéieu de la coquille métallique. En aison du théoème de Gauss et en suivant un aisonnement similaie à celui de l execice 10, on affime qu une chage induite de valeu appaaît su la paoi intéieue de la coquille pou quelachagetotalesoitnulleavecunesufacedegausssphéiquedeayonr 1 <<R 2. Donc, si l aie de cette paoi intéieue est A int =4πR 2 1, int = A int = int = 4πR1 2 Pou que la chage totale su la coquille métallique este nulle, il doit y avoi une chage induite su sa paoi extéieue. Ainsi, avec A ext =4πR 2 1, ext = A ext = ext = 4πR2 2 (b) On choisit une suface de Gauss sphéique de ayon <R 1. La chage à l intéieu de cette suface est celle de la chage ponctuelle ponctuelle. Lechamp E sea adial et diigé ves l extéieu. Selon l équation. et en suivant le aisonnement de l exemple.2, H E da = = R EdA = = E 4π 2 = = E = k 2 (c) On choisit une suface de Gauss sphéique de ayon >R 2. Comme la chage totale à l intéieu de cette suface est la même qu à la question pécédente, le ésultat est le v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 11

12 même, E = k 2 (d) Non, ca la situation n est plus symétique et le aisonnement pemettant de soti le module du champ électique de l intégale dans l équation. ne s applique pas. E25. On donne λ =nc/m. À pati de l équation.7, avec =0,10 + 0,12 = 0,22 m, E = 2kλ = 2(9 109 )( 10 9 ) 0,22 = 245 N/C E26. On donne λ 1 =nc/m, λ 2 = 7 nc/m, a =0,02 metb =0,05 m. On enveloppe le câble coaxial avec une suface de Gauss cylindique de longueu L, comme dans la figue de l execice 17, mais dont le ayon sea difféent. Comme dans l exemple.4 du manuel, seule l enveloppe S 1 du cylinde de Gauss est tavesée pa le champ électique et contibue au calcul du flux électique. (a)onutiliseunesufacedegaussdeayon =0,04 m. La chage du cylinde intéieu est positive et elle est seule esponsable du champ électique dans cette égion. Celui-ci sea donc adial et diigé ves l extéieu : E = E u. Avec d A = da u, l équation. s écit : H E da = = R E da = = R E u da u = = S 1 S R 1 EdA = = E (2πL) = (i) S 1 La chage est celle qui se touve dans le cylinde de Gauss de longueu L; donc = λ 1 L et l équation (i) devient E = λ 1L 2πL = 2kλ 1 = 2(9 109 )( 10 9 ) 0,04 = 1,5 kn/c (b)onutiliseunesufacedegaussdeayon =0,08 m. Cette suface de Gauss enveloppe les deux potions du câble coaxial et intecepte une chage totale = λ 1 L+λ 2 L. Comme λ 1 < λ 2, cette chage totale est négative et le champ électique ésultant qui tavese la suface de Gauss pointe ves le câble : E = E u. On epend l équation. : H E da = = R E da = λ 1 L+λ 2 L = R E u da u = λ 1 L+λ 2 L = S 1 S 1 R S 1 EdA = λ 1L+λ 2 L = E (2πL) = λ 1L+λ 2 L = E = λ 1L+λ 2 L 2πL = E = λ 1+λ 2 2π = 2k(λ 1+λ 2 ) = 2(9 109 )( ) 0,08 = 900 N/C E27. On donne R =0,10 m, le ayon de la sphèe, et =0,10 + 0,12 = 0,22 m, la distance adiale à pati du cente de la sphèe où le module du champ est connu. Selon l exemple.2a, à l extéieu d une sphèe chagée, le champ électique est décit pa la même expession que celle d une chage ponctuelle. Donc, avec E = k et = 4πR 2, et en 2 affimant que la chage est négative à cause du sens du champ, on touve 12 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

13 E = k = 4πk R2 2 2 = R2 2 = = 2 E R 2 = (8, )(0,22) 2 (1800) (0,10) 2 =7, C/m 2 = = 7, C/m 2 E28. Dans les deux cas, on utilise le ésultat de l exemple.2a : le module du champ électique est le même que dans le cas d une chage ponctuelle et son sens dépend du signe de la chage. Dans les deux cas, comme >0, le champ est adial et diigé ves l extéieu. (a) Avec =0,07 met =7nC : E = k u 2 = (9 109 )( ) (0,07) u 2 = 1, u N/C (b) Avec =0,10 met =7nC +4nC =11nC : E = k u 2 = (9 109 )( ) (0,10) u 2 = 9,90 u kn/c E29. (a) On combine le ésultat de l execice 7 avec l équation.1. Si la chage =2,2 nc est au cente du cube d aête L =0,40 m, le flux électique qu elle cée à taves chaque face est 6ε e. uant au champ électique E = 500 j N/C, le flux qu il poduit à taves la suface epésentée pa le vecteu A = L 2 j est E A =( 500) (0,40) 2 =80,0 N m 2 /C Le flux électique total à taves la suface est Φ E = 6ε e 80,0 = 2, (8, ) 80,0 = 8,6 N m2 /C (b) Dans cette situation, seul le vecteu epésentant la suface est modifié, A = L 2 j, et le flux électique total est Φ E = 6ε e +80,0 = 2, (8, ) +80,0 = 122 N m2 /C E0. (a) On aive à la solution diectement, à pati de l exemple.2a. Comme la chage est positive,lechampestadialetilpointevesl extéieu.sonmodulevaut E = k(2) = 2k 2 2 (b)danscecas,lechampestadialetpointeveslacoquillepacequelachagetotaleest négative. Son module vaut E = k 2 = k 2 2 E1. Cette situation est décite dans l exemple. du manuel. (a) L équation.6 du manuel décit le module du champ électique à l intéieu de la sphèe, E = k tot R tot = ρv = ρ E = k ³ 4πR ρ R. De cette équation, avec R = 0,10 m, = 0,05 m, E = 2000 N/C et,ontie ³ 4πR = E = 4πkρ = ρ = ρ = E = (8, )(2000) 0,05 = 1,06 µc/m v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 1

14 (b) La chage totale vaut ³ tot = ρ 4πR = 1, ³ (0,10) 4 π =4, C Le module du champ électique est donné pa l expession d une chage ponctuelle avec =0,20 m: E = k tot = (9 109 )(4, ) = 1,00 kn/c 2 (0,20) 2 E2. On suit un aisonnement similaie à l execice. Le flux électique à taves les 4 faces de la pyamide est le même que celui qui tavese sa base. Comme la base est pependiculaie au champ, le flux à taves la base caée d aête L est EL 2. Chaque face supéieue est tavesée de la même manièe pa le champ électique; donc le flux se patage également àtaveschaqueface: Φ face = EL2 4 Poblèmes P1. Cette situation est similaie à celle de l exemple. du manuel. Au lieu de la chage totale, on donne plutôt la densité volumique de chage. Le lien ente ces deux quantités ³ est tot = ρv = ρ 4πR = 4 πr ρ, où R est le ayon de la sphèe. (a) On epend diectement l équation.6 du manuel en appelant que le champ est adial et diigé ves l extéieu. Si 4πk = 1, E = k tot R u = k( 4 πr ρ) R u = ρ u (b) On epend diectement l équation.5 du manuel en appelant que le champ est adial et diigé ves l extéieu : E = k tot u 2 = k( 4 πr ρ) u 2 = ρr u 2 Oui,losque = R, les ésultat (a) et (b) concodent. (c) On donne une valeu aux difféentes vaiables, on définit l expession du champ pou les deux égions et on cée le gaphe demandé : > estat: > R:=1; > ho:=1e-9; > epsilon:=8.85e-12; > E:= piecewise(<r,ho*/(*epsilon),ho*r^/(*epsilon*^2)) ; > plot(e,=0..2*r); Le gaphe est similaie à celui de la figue.11b du manuel. 14 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

15 P2. (a) On considèe la figue.11a du manuel, qui monte la suface de Gauss utilisée losqu on cheche le module du champ électique à une distance adiale <R.Si ρ>0, lechamp électique est diigé ves l extéieu et l équation. devient H E da = = R E da = = R E u da u = = E R da = = E(4π 2 )= = E = 4π 2 où epésente la faction de la chage de la sphèe qui se touve dans la suface de Gauss de ayon. Puisque ρ = A, on calcule cette chage avec = R d = R R ρdv = A(4π 2 R )d =4πA d = πa 4 0 R La chage totale su la sphèe vaut =4πA d = πar 4 ; donc A = 0 0 (i) πr 4 et = π4 = 4 πr 4 R 4 L équation (i) devient ³ 4 R E = 4 4π = π = E = k2 R 4 R u 4 (b) On epend diectement l équation.5 du manuel en appelant que le champ est adial et diigé ves l extéieu et que epésente la chage totale su la sphèe. E = k u 2 Oui,losque = R, les ésultats (a) et (b) concodent. (c) On calcule d abod A pouquelachagetotalesoitlamêmequecelledelapatie(c) du poblème 1. On définit ensuite l expession du champ pou les deux égions et on cée le gaphe demandé. On définit aussi le champ électique obtenu pou le poblème 1. Finalement, on supepose le gaphe des deux situations : > estat: > R:=1; > ho:=1e-9; > epsilon:=8.85e-12; > eq:= Pi*A*R^4=ho*(4*Pi*R^/) ; > A:=solve(eq,A); > :=Pi*A*R^4; > k:=1/(4*pi*epsilon); > E2:= piecewise(<r,k**^2/r^4,k*/^2) ; > E1:= piecewise(<r,ho*/(*epsilon),ho*r^/(*epsilon*^2)) ; > plot([e1,e2],=0..2*r,colo=[blue,ed]); Ente la situation de ce poblème et celle du poblème 1, il n y a de difféence que pou v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 15

16 <R. P. (a) Comme on l a vu à la section 2., le champ électique doit ête nul à l intéieu de la coquille conductice, c est-à-die pou R 1 <<R 2. Toutefois, si on applique le théoème de Gauss à cette coquille et qu on utilise une suface sphéique centée su la coquille et dont le ayon R 1 <<R 2, alos la chage totale à l intéieu de la suface doit ête nulle pou que E =0. On en conclut qu une chage q doit se touve dans l espace intéieu de la coquille, c està-die pou <R 1, que cette chage doit ête de symétie sphéique, qu elle est de même gandeu que celle que l on etouve su la paoi intéieue de la coquille mais de signe contaie : q = A int = (4πR1 2)= 4πR2 1 (b) La chage totale su la coquille est la somme des chages que l on touve su ses deux paois : = A int A ext = (4πR1 2) (4πR2 2 )=4π R1 2 2 R2 = 4π R 2 2 R1 2 La chage totale su la coquille est négative puisque R 2 >R 1. (c)lachagetotale tot que l on touve à l intéieu d une suface de Gauss de ayon >R 2 est tot = + q = 4π R 2 2 R2 1 4πR 2 1 = 4πR 2 2 Comme cette chage est négative, le champ E est adial et diigé ves la coquille pou > R 2. On utilise diectement l équation.5 de l exemple. du manuel en tenant compte du signe de la chage : E = k tot u 2 = k(4πr2 2) u 2 = R2 2 u 2 P4. Comme on le démonte à l exemple.6 et en paticulie à la figue.17, le champ électique à poximité d une pacelle de chage d du conducteu est le ésultat de la contibution de la pacelle, que l on appelle le champ local, E local = 2, et du este des chages, E lointain = 2. Chaque pacelle de chage ne peut subi que le champ des autes chages; donc, la foce électique essentie pa d est df = E lointain d. Si la pacelle de chage s étend su une pacelle de suface da, alos df = E lointain (da) = df da = 2 2 = CFD P5. On suppose pou l instant que ρ>0. (a) La figue monte le cylinde chagé et la suface de Gauss cylindique (en pointillés) de 16 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

17 ayon < Ret de longueu L utilisée. L axe du cylinde de Gauss coïncide avec celui du cylinde chagé. Le aisonnement de l exemple.4 s applique et on peut affime que seule l enveloppe S 1 de la suface de Gauss est tavesée pa le champ électique de la potion du cylinde chagé qui est à l intéieu de la suface de Gauss : Commelachageducylindeestpositive,lechampélectiqueestadialetdiigéves l extéieu, E = E u. Avec d A = da u, l équation. s écit : H E da = = R E da = = R E u da u = = S 1 S R 1 EdA = = E (2πL) = = E = 2π L (i) S 1 La chage est celle qui se touve dans le cylinde de Gauss de longueu L; donc = ρv = ρ π 2 L, et l équation (i) devient E = ρ(π2 L) 2π L = ρ 2 = E = ρ 2 u Le ésultat est indépendant du signe de ρ. (b) Si > R, le cylinde de Gauss de la figue est à l extéieu du cylinde chagé. Le aisonnement est le même qu à la patie (a) jusqu à l équation (i). La chage est maintenant celle que l on touve su une potion de longueu L du cylinde chagé, = ρv = ρ πr 2 L, et l équation (i) devient E = ρ(πr2 L) 2π L = ρr2 2 = E = ρr2 2 u Le ésultat est indépendant du signe de ρ. Oui,losque = R, les ésultats (a) et (b) concodent. P6. (a) Cette situation est similaie à celle de la patie (a) de l exemple. du manuel. Au lieu de la chage totale de la coquille, on donne plutôt la densité volumique de chage ρ>0. ³ Le lien ente ces deux quantités est tot = ρv = ρ 4πR 4πa = 4 πρ R a, où v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 17

18 R est le ayon extéieu de la coquille et a son ayon intéieu. On epend diectement l équation.5 du manuel en appelant que le champ est adial et diigé ves l extéieu. Si 4πk = 1 : E = k tot u 2 = k( 4 πρ(r a )) u 2 = ρ(r a ) u 2 (b) Cette situation est similaie à celle de la patie (b) de l exemple. du manuel. La suface de Gauss utilisée doit avoi un ayon a<<r.siρ>0, le champ électique est diigé ves l extéieu et l équation. devient H E da = = R E da = = R E u da u = = E R da = = E(4π 2 )= = E = 4π 2 où epésente la faction de la chage de la sphèe qui se touve dans la suface de ³ Gauss de ayon. Puisque = ρv = ρ 4π 4πa = 4 πρ a, l équation (i) devient E = 4 πρ( a ) 4π = ρ( a ) 2 = E = ρ( a ) 2 u 2 (c) Comme le gaphe demandé va de 0 à 2R, on doit appele que, dans le volume intéieu de la coquille, losque <a,le champ électique est nul. On appelle aussi que le gaphe doit monte la composante adiale du champ ésultant. On donne une valeu aux difféentes vaiables, on définit l expession du champ pou les tois égions et on cée le gaphe demandé : > estat: > a:=1; > R:=2; > ho:=1e-9; > epsilon:=8.85e-12; > E:= piecewise(<a,0,<r,ho*(^-a^)/(*epsilon*^2),ho*(r^-a^)/ (*epsilon*^2)) ; > plot(e,=0..2*r); P7. (a) Comme à l exemple.b, on utilise une suface de Gauss sphéique de ayon <R.La chage négative de l électon ne devenant égale à celle du poton que losqu on atteint le ayon R, on peut pose que la chage totale à l intéieu de la sphèe de Gauss est positive. Ainsi, le champ électique est diigé ves l extéieu et l équation. devient : H E da = = R E da = = R E u da u = = E R da = = E(4π 2 )= = E = 4π 2 (i) (i) 18 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

19 où epésente la chage totale dans la suface de Gauss, donc la chage du poton additionnée de la faction de la chage de l électon que l on touve dans le volume V = 4 π. La densité volumique de chage de l électon est ρ e = e e 4 ³ R V e = e 4 et πr = e + ρ e V = e + ρ 4 e π = e + 4 πr π = e e 1 Avec cette valeu et en appelant que 4π = k, l équation (i) devient ³ E = e e R 4π = E = ke R = CFD (b) On touve la valeu de pou laquelle le champ est maximal à pati de de d =0. On définit l expession du module du champ dans le logiciel Maple et on cheche le ésultat : > estat; > E:=k*e*(1/^2-/R^); > eq:=diff(e,)=0; > solve(eq,); On constate qu aucun des ésultats ne convient. On en conclut que la valeu maximale du module est atteinte à la suface du poton, c est-à-die pou un ayon d envion m. On ne peut ien affime su ce qui se poduit à l intéieu du poton. (c) On définit les vaiables et on tace le gaphe demandé : > k:=9e9; > e:=1.6e-19; > R:=1e-10; > plot(e,=0.1*r..r); Laboneinféieuedugapheestfixée à =0,1R puisqu en =0, il y a une asymptote veticale. P8. La figue qui suit monte une masse m ponctuelle entouée d une suface de Gauss sphéique de ayon. On emaque que le vecteu g décivant le champ gavitationnel pointe ves la masse, dans le sens opposé d un d A quelconque : v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 19

20 Dans la diection adiale, on a g = g u et d A = da u. Le théoème de Gauss pou le champ gavitationnel s écit H g d A = 4πGm = R g u da u = 4πGm = g R da = 4πGm = g 4π 2 = 4πGm = g = Gm 2 = g = Gm u 2 Cette expession est bien celle que l on connaît pou le vecteu champ gavitationnel d une masse ponctuelle (équation 1. du tome 1). Une aute masse m 0 placée à une distance de m essentiait une foce égale à F g = m 0 g = Gmm0 u 2, soit l expession que l on connaît pou la loi de la gavitation univeselle. = CFD P9. Cet execice est semblable à la patie (a) de l exemple.2. Le module du champ électique ne dépend que de la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss sphéique de ayon et son expession est la même que pou une chage ponctuelle (équation 2.2). (a) Si a<<b,alos la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss est, celle de la sphèe intéieue de ayon a. Comme cette chage est positive, E = k u 2 (b) Si >c,alos la chage totale à l intéieu de la suface de Gauss n est pas modifiée pa la coquille, qui n est pas chagée. Le ésultat est le même qu à la patie (a) : E = k u 2 P10. On considèe la figue.11a du manuel, qui monte la suface de Gauss utilisée losqu on cheche le module du champ électique à une distance adiale <R.Ici, toutefois, une cavité sphéique de ayon a existe au cente de la sphèe et la suface de Gauss utilisée doit posséde un ayon a<<r. Si ρ>0, le champ électique est diigé ves l extéieu et l équation. devient H E da = = R E da = = R E u da u = = E R da = = E(4π 2 )= = E = 4π (i) 2 où epésente la faction de la chage de la sphèe non conductice qui se touve dans 20 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

21 la suface de Gauss de ayon. Puisque ρ = A, on calcule cette chage avec = R d = R R ρdv = A (4π 2 R )d =4πA d =2πA 2 a 2 a Avec ce ésultat, l équation (i) devient ³ E = 2πA(2 a 2 ) 4π = A a2 = ³ E = A u a2 2 P11. (a) Cette situation est identique à celle du poblème 5a. On peut utilise la même figue montant la suface de Gauss cylindique de ayon et de longueu l utilisée. Toutefois, comme le cylinde possède une cavité de ayon a, le ayon de la suface de Gauss doit se touve ente a et R. La solution est la même que celle du poblème 5a, jusqu à l équation (i) : E = 2π L (i) où epésente la chage à l intéieu de la suface de Gauss : = ρv = ρ π 2 L πa 2 L = πρl 2 a 2 Avec cette valeu, l équation (i) devient E = πρl(2 a 2 ) 2π L = ρ(2 a 2 ) 2 = E = ρ(2 a 2 ) 2 u (b) Si > R, le cylinde de Gauss de la figue est à l extéieu du cylinde chagé. Le aisonnement est le même qu à la patie (a) jusqu à l équation (i). La chage est maintenant celle que l on touve su une potion de longueu L du cylinde chagé, = ρv = ρ πr 2 L πa 2 L = πρl R 2 a 2, et l équation (i) devient E = πρl(r2 a 2 ) 2π L = ρ(r2 a 2 ) 2 = E = ρ(r2 a 2 ) 2 u P12. On considèe la figue.11a du manuel qui monte la suface de Gauss utilisée losqu on cheche le module du champ électique à une distance adiale <R.Si ρ 0 > 0, lechamp électique est diigé ves l extéieu et l équation. devient H E da = = R E da = = R E u da u = = E R da = = E(4π 2 )= = E = 4π 2 où epésente la faction de la chage de la sphèe qui se touve dans la suface de Gauss de ayon. Puisque ρ = ρ 0 1 R, on calcule cette chage avec = R d = R R ρdv = ρ 0 1 R (4π 2 R ³ )d =4πρ 0 2 R d = h³ =4πρ 0 4 4R =4πρ 0 0 Avec cette valeu, l équation (i) devient ³ E = 4πρ 0 4 ³ 4R 2 4R 4π 2 = ρ 0 0 ³ 4 4R a 0 (i) = E = ρ 0 ³ 2 4R u v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 21

22 P1. La figue monte la plaque non-conductice ainsi que la suface de Gauss (en pointillés). Pou especte la symétie, la suface de Gauss possède deux faces paallèles à la plaque, une aie A et elle est centée su la plaque. La distance au plan cental de chaque face de la suface de Gauss est y. Comme il a été démonté à l exemple.5, seules les faces paallèles à la plaque d aie A contibuent au flux électique, et l équation. s écit H E d A = = EA + EA = où est la chage dans la suface de Gauss. = E = 2A (i) Si y< t 2, alos = ρa(2y) et l équation (i) devient E = ρa(2y) 2A = ρy Si y t 2, alos = ρat et l équation (i) devient E = ρat 2A = ρt 2 En ésumé, pou y< t 2 : E = ρy, pou y t 2 : E = ρt 2 Le vecteu E est pependiculaie à la plaque et diigé ves l extéieu pa appot au plan cental. P14. (a) Pou taite cette situation, on suppose que la sphèe est pleine et que, là où se touve la cavité, une chage négative unifome annule la chage positive de la sphèe. Puisque la densité volumique de chage de la sphèe est ρ, celle de la chage négative est ρ. Pou décie le champ électique de la sphèe pleine (sp) et de la chage négative (cn) de ayon a, on utilise le ésultat du poblème 1a. Le champ électique ésultant à l intéieu de la cavité est donc 22 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss v4

23 E = E sp + E cn = ρ + ρ 0 = ρ 0 où et 0 sont définis à la figue.0. Comme d = 0, le champ dans la cavité est donné pa E = ρ d. Il s agit d un vecteu constant; donc le champ électique est unifome à l intéieu de la cavité. = CFD (b) On appelle que E = ρ d v4 Électicité et magnétisme, Chapite : Le théoème de Gauss 2