Dipôle magnétostatique

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1 DA - 3 janvie 5 Le but des calculs qui suivent est de monte exactement qu au loin, une distibution d extension finie de couants est équivalente à l ode le plus bas à un dipôle magnétique a. e calcul est mené en statique, ou plus généalement dans le cade de l ARQ magnétique. Les notions equises coespondent aux bases de la magnétostatique, et il est nécessaie de manie un peu d analyse vectoielle classes pépaatoies ou univesité, deuxième année). 1 btention du potentiel vecteu La pemièe étape est de calcule un potentiel vecteu en jauge de oulomb. n va distingue tout d abod le cas plus simple des couants filifomes avant de s intéesse à une distibution volumique de couants. 1.1 Appoximation dipolaie Le pemie point du calcul consiste à utilise l appoximation dipolaie. oit un point quelconque caactéistique de la distibution, et le point d obsevation du champ. Alos = a, où a est l extension spatiale de la distibution de couants. Pfag eplacements P a omme il fauda intége su la distibution de couants, on est amené à s intéesse à la distance P, où P est un point couant de la distibution. Alos, P = P + ) = P + + P. = 1 P. ) + a ). a Le moment dipolaie de la distibution est donc implicitement considéé comme non nul. 1

2 DA - 3 janvie 5 En effet, P a. n en déduit 1 P = P. ) + a ). Tous les calculs seont menés à cet ode. n n indiquea plus les temes négligés. 1. ouants filifomes oit une ditibution filifome finie de couants boucle de couants). n évalue un potentiel vecteu A en jauge de oulomb : Pfag eplacements A) = µ I d l P P. P d l P +I n emplace 1/P pa son expession obtenue au paagaphe pécédent : A) = µ I d l P 1 + P. ) = µ I d l P + µ I P. )d l 3 P. = est soti de l intégale ca la distance ne dépend pas du point du contou utilisé P, et I est indépendant du point le long du cicuit statique, ou ARQ magnétique). Le pemie teme dit monopolaie) d l P est nul ca le cicuit se efeme su lui-même. Ensuite, P. )d l P = voi la patie 1 de l annexe). où n en déduit au total A) = µ est le moment dipolaie magnétique de la distibution. 1.3 ouants volumiques 3 1) = I ) n va généalise le ésultat pécédent pou une distibution volumique finie de couants, et obteni l expession du moment magnétique coespondant.

3 DA - 3 Pfag janvie eplacements 5 +I dτ P P Un potentiel vecteu est A) = µ jp )dτ P P. Là encoe, on éalise l appoximation dipolaie pou 1/P : A) = µ P. jp )1 + )dτ P. Le pemie teme est nul ca jp ) dτ P = b. où Il este à évalue le second teme A) = µ 3 P. ) jp ) dτ P. n monte voi la patie de l annexe) que P. ) jp ) dτ P =, = 1 est le moment dipolaie de la distibution. Ainsi, le potentiel vecteu vaut A, t) = µ P jp )dτ P 3) 3. 4) b Le plus simple est de découpe le volume en tubes de couants se efemant su eux-mêmes. u chacun de ces tubes T, I est constant et donc l intégale est nulle ca j dτ = I d l = I d l =. T T Plus quantitativement, ) j x P )dτ P = gad xp. jp ) + x P div jp ) dτ P = div x p jp ))dτ P = x P jp ).d, où est la suface délimitant on a utilisé div j = en égime stationnaie ou ARQ magnétique). omme su les points de, j d le couant ne peut pas soti de pa définition, et doit donc y faie demi-tou), on en déduit la nullité de l intégale. 3

4 DA - 3 janvie Bilan Ainsi, que la distibution soit filifome ou volumique, l expession 1) ou 4) du potentiel vecteu A ne fait inteveni que le moment magnétique de la distibution expession ) et 3)). Il est essentiel de véifie que les définitions des moments dipolaies ne dépendent pas de l oigine choisie évident dans le cas filifome, et conséquence de la nullité de jp )dτ dans le cas volumique). De même, on véifie que la définition du moment magnétique 3) dans le cas volumique se éduit bien à celle ) pou une distibution filifome : 1 P jp )dτ P 1 P I d l, en emplaçant usuellement j dτ pa I d l. P d l = 1 d c : on etouve bien la fomule du cas filifome. hamp magnétique Il faut alos évalue le champ magnétique B = ot A. Les coodonnées les plus adaptées pou l expime sont les coodonnées sphéiques d axe. Il y a en effet invaiance pa otation autou de cet axe. De plus, tout plan contenant et le point d obsevation est un plan d antisymétie des couants d, ainsi Pfag eplacements B) = B, θ) u + B θ, θ) u θ. u θ u ϕ u θ u z.1 Utilisation des coodonnées sphéiques Il est possible d évalue A en coodonnées sphéiques : A) = µ sin θ u ϕ. c n appelle que a b est un vecteu nomal aux deux vecteus a et b, de nome égale à l aie du paallélogamme de côtés a et b. d Attention, tout plan contenant un moment dipolaie est est plan d antisymétie des couants comme on peut le constate en dessinant une petite boucle de couant est un pseudo-vecteu). 4

5 DA - 3 janvie 5 L utilisation d un fomulaie mène à B) = µ 3 cos θ sin θ 5). Expession intinsèque n pat de B = ot A = ot µ ) = µ ot 3 gad 1 ) = µ ot ) 1 gad. Ainsi, ca ot =. n en déduit omme Ensuite, div B = µ B = µ ot ot ) gad div ). = 1 } div {{ } + gad 1. = 3.. = 1 e = pou, on aboutit à B = gad µ.. 3 ous cette fome, on aive à un ésultat tès similaie au dipôle électostatique. La quantité µ. joue le ôle d un potentiel magnétique scalaie. n etouve alos 3 typiquement l expession 5) ou l expession intinsèque :.3 onclusion B = µ 3 3. ). L expession du champ magnétique d un dipôle magnétique est tès similaie de celle d un dipôle électique. Notamment, la décoissance du champ est en 1/ 3. e Plus pécisément, 1 = δ ). ). 5

6 DA - 3 janvie 5 3 Annexe 3.1 Évaluation de P. )d l P Déjà, on emaque que est constant dans cette intégale. oit K un aute vecteu constant quelconque, alos Y = P. ) )d l P. K = P. ) K d l P = ot P. ) ) K d, où est une suface quelconque s appuyant su, et le otationnel concene la vaiable P. Alos, Y = P. ) ot K + gad P. ) K ) d. omme ot K = K est constant), et gad P. ) = f, on aive à P. ) )d l P. K = K) d = d ) K. ette égalité étant véifiée quel que soit K on peut pende u x, u y puis u z ), on peut en déduie P. )d l P = d = d). 3. Évaluation de P. ) jp ) dτ P onsidéons Z = P jp ))dτ P =. jp )) Pdτ P +. P) jp )dτ P. Le second teme obtenu est celui qu on désie évalue. Il este à tavaille su le pemie, et intéessons-nous à sa pojection su l axe x : X =. jp ))x P dτ P =.x P jp ))dτ P. n emaque que les opéateus potent su les coodonnées de P ) div P. )x ) P jp )) = P. )div x P jp )) + gad P. ).x P jp )). omme = gad P. ) et div x P jp )) = x P div jp ) + u x. jp ) = j x P ) en égime stationnaie ou ARQ magnétique), on obtient div P. )x ) P jp )) = P. )j x P ) + x P. jp ). f Le gadient pote su les coodonnées de P. n a ainsi P. = xp x + y P y + z P z, où i sont les constantes. Pende le gadient mène alos au ésultat indiqué. 6

7 DA - 3 janvie 5 Il faut éexpime X : X = P. )j x P )dτ P div P. )x ) P jp )) dτ P. La seconde intégale est égale au flux de P. )x P jp )) su la suface délimitant : elle est donc nulle ca les couants volumiques sont nécessaiement othogonaux à d su. Au total, P. ) jp ) dτ P = 1 P jp ))dτ P 7