PLAN L OPTIMISATION MULTICRITÈRE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "PLAN L OPTIMISATION MULTICRITÈRE"

Transcription

1 PLAN COURS 5 OPTIMISATION MULTICRITÈRE Master IAD DMDC PATRICE PERNY LIP6 UnverstéPars6 1 Défntons 2 Relatons de domnance, effcacté 3 Fonctons scalarsantes 4 Exploraton de la frontère effcace 2/28 L OPTIMISATION MULTICRITÈRE Problème formel de type (A, N,α) I) A est un ensemble d alternatves (fn ou non, défn en extenson ou non) N = {f 1,...,f n } où f : A R est une foncton crtère à mnmser ( N = {1,...,n}) α :détermner les melleures solutons REMARQUES : 1 s n = 1, problème d optmsaton classque (cas monocrtère) recherche d un optmum 2 s n > 1, problème mal posé précser la noton d optmalté 3/28 4/28

2 EXEMPLE 1:PB CLASSIQUE EXEMPLE 2:PLM Programmaton Lnéare Multcrtère Un pb de chox d une voture A ensemble de véhcules dsponbles sur le marché (donné en extenson) crtères : mnmser : prx, consommaton au 100 km, dstance de frenage à 90km/h, maxmser : vtesse, cylndrée moteur, talle du coffre But : trouver la voture réalsant le melleur comproms mn c1 t x mn c2 t x... mn cn t x s.c. Ax b, x 0 A matrce (m, n), x, b R n, c R n Ens. des alternatves : polyhèdre convexe Crtères : f (x) =c t.x 5/28 6/28 EXEMPLE 3:OCM ESPACE DES CRITÈRES ET IMAGE DE A Optmsaton combnatore multcrtère Sot G =(X, U) un graphe orenté mun de n valuatons v : U R addtves sur U (.e. v ((u, v)) = v (u)+v (v)). Sot x 0 un sommet racne de G et x n X un sommet but. Trouver le melleur chemn de x 0 à x n. Notaton : On note f : A R n l applcaton qu a tout a A assoce le vecteur f (a) =(f 1 (a),...,f n (a)) R n. On appelle R n espace des crtères et f (a) vecteur coût ou vecteur performance de a. A = { chemns de x 0 à x n dans G} C A, N, f (C) = u C v (u) On appelle mage de A dans l espace des crtères l ensemble f (A) ={x R n a A : x = f (a)} 7/28 8/28

3 CÔNES DE R n CÔNES ET RELATIONS DE PRÉFÉRENCES On appelle cône un sous ensemble de K R n tel que : x K, λ R,λ>0,λx K PROPOSITION Sot une relaton de bnare sur R n.s est compatble avec la multplcaton,.e. : x, y R n, λ >0, x y = λx λy alors l ensemble K = {y x R n x y} est un cône. EXEMPLES :cf.fg1 un cône K est dt : non-trval s 0 K, K {0} et K R n convexe s x, y R n, λ ]0, 1[,λx +(1 λ)y K ponté s (x K et x 0) x / K (.e K K {0}) PREUVE z K x, y X, z = y x. D où λz = λ(y x) =λy λx Or λx λy pusque x y. Donc λz K EXEMPLE :Sx y x y alors K = {z R n z = y x 0 N } = R n + 9/28 10 / 28 PRÉFÉRENCES DÉFINIES ÀPARTIRD UN CÔNE PROPOSITION Sot K un cône, alors la relaton de préférence x K y y x K est compatble avec la multplcaton. De plus on a : K reflexve 0 K K transtve K est convexe K antsymétrque K est ponté II) Relatons de domnance, effcacté PREUVE Soent x, y R n tels que x K y.alorsy x K et donc λ(y x) K pusque K est un cône. On a alors (λy λx) K et donc λx K λy... Note : K compatble avec l addton également 11 / / 28

4 RELATIONS DE DOMINANCE OPTIMALITÉ DEPARETO ET EFFICACITÉ On consdères les cônes de domnance suvant : D = R n + cône convexe ponté D = R n + \{0} domnance fable : x y y x D domnance (de Pareto) : x < y y x D domnance strcte : x y y x nt D x y = 1,..., n, x y { = 1,..., n, x y x < y {1,..., n}, x < y x y = 1,..., n, x < y Une alternatve a Aestunoptmum de Pareto de A s l n exste pas d alternatve b A telle que f (b) < f (a) On dt auss que a est non-domnée, f (a) est effcace A P : optma de Pareto f (A P ) : ponts effcaces Quelques défntons équvalentes : 1 b A, f (b) f (a) f (b) =f (a) 2 b A, (f (b) =f (a) ou N : f (a) < f (b)) 3 b A : f (a) f (b) D 4 b A : f (b) f (a) D où y K = {x R n y x K } 5 (f (a) D) f (A) = cf.fg.2 13 / / 28 OPTIMALITÉ FAIBLEDEPARETO OPTIMALITÉ STRICTE DE PARETO Une alternatve a Aestunoptmum fable de Pareto s l n exste pas d alternatve b A telle que f (b) f (a) a est fablement non-domnée, f (a) est fablement effcace A PF : optma fables de Pareto f (A PF ) : ponts fablement effcaces Quelques défntons équvalentes : 1 b A, N : f (a) f (b)) 2 b A : f (b) f (a) nt D 3 (f (a) nt D) f (A) = cf. Fg. 3 et Fg 4 Une alternatve a Aestunoptmum strct de Pareto s l n exste pas d alternatve b A \{a} telle que f (b) f (a) a est strctement non-domnée, f (a) est strctement effcace A PS : optma strcts de Pareto f (A PS ) : ponts strctement effcaces Une défnton équvalente : a A PS (a A P et b A : f (b) =f (a)) 15 / / 28

5 SOLUTIONS PROPREMENT PARETO OPTIMALES BORNE INF DE LA FRONTIÈRE EFFICACE Pour ɛ>0, on défnt le cône D ɛ = {y R n : dst(y, D) ɛ y } et D ɛ = D ɛ {0}. Ondéfnt alors la relaton de domnance propre < ɛ par x < ɛ y y x D ɛ Une alternatve a Aestproprement Pareto optmale s l n exste pas d alternatve b A \{a} telle que f (b) < ɛ f (a) a est propr. non-domnée, f (a) est propr. effcace A Pɛ : sol.s propr. non-domnées, f (A Pɛ ) : ponts propr. effcaces Une défnton équvalente : (f (a) D ɛ ) f (A) = (on borne les taux de substtuton par ɛ et 1/ɛ) cf. Fg. 5 On suppose que A P et f (A P ) sont non-vdes. Dans la sute on pose Y = f (A) Le pont déal est le pont y 0 R n défn par : PROPOSITION N, y 0 N, y 0 = nf y Y y = nf f (a) = nf y a A P y Y P y 0 est facle à calculer (optmsatons monodmensonnelles) 17 / / 28 BORNE SUP DE LA FRONTIÈRE EFFICACE MÉTHODE DU TABLEAU DES GAINS Le pont Nadr est le pont y N R n défn par : N, y N = sup a A P f (a) = sup y Y P y Masonagénéralement pas y N sup y Y y (cf. Fg. 6) y N n est pas facle àcalculer approxmaton en utlsant la méthode du tableau des gans 1 Détermner un x k A f k (x k )=nf a A f k (a) 2 Construre le tableau des gans,.e. la matrce carrée de talle n de terme général : γ k = f (x k ) 3 Poser y 0 = γ = f (x ) pour tout N et y N = sup k N γ k = sup k N f (x k ) Masonagénéralement seulement une approxmaton de y N EXEMPLE Y P = {(11, 4, 6), (6, 8, 3), (7, 3, 7), (4, 7, 7), (7, 7, 2)} avec y 0 =(4, 3, 2) et y N =(11, 8, 7) on obtent x 1 =(4, 7, 7), x 2 =(7, 3, 7), x 3 =(7, 7, 2) donc ỹ N =(7, 7, 7) 19 / / 28

6 CS et CN d effcacté CS et CN d effcacté FONCTIONS SCALARISANTES ET EFFICACITÉ Foncton paramétrque ψ ω (x) =ψ ω (x 1,...,x n ) ω Ω III) Agrégaton et résultats de caractérsaton E f (A) ensemble des solutons effcaces (E = f (A PF ), f (A P ), f (A PS ), f (A Pɛ ) = exploraton par ψ ω CONDITION SUFFISANTE D EFFICACITÉ : ω Ω, Arg opt x f (A) ψ ω (x) E CONDITION NÉCESSAIRE D EFFICACITÉ : y E, ω Ω, y Arg opt x f (A) ψ ω (x) CARACTÉRISATION DE E :sψ ω vérfe à la fos la condton nécessare et la condton suffsante. 21 / / 28 CS et CN d effcacté CS et CN d effcacté LA SOMME PONDÉRÉE NORMES DE TCHEBYCHEFF Théorème 1 (Koopman, 51 ; Kuhn et Tucker, 51) SOMME PONDÉRÉE : s(x,ω)= n =1 ω x s ω 0, x mnmse s(x,ω) sur f (A) x f (A P ) x f (A P ) et f(a) convexe ( ω 0 : x mnmse s(x,ω) sur f (A)) On n a pas de caractérsaton de A P dans le cas non-convexe! Fg 7 et 8 Théorème 2 (Dnkelbach 71 ; Bowman, 76) Sot x 0 un pont de référence de f (A) tel que x 0 y 0 NORME DE TCHEBYCHEFF PONDÉRÉE : s(x, x 0,ω)=max =1,...,n {ω (x x 0 ) } s ω 0, x mnmse s(x, x 0,ω) sur f (A) x f (A PF ). De plus l une des solutons optmales est dans f (A P ). x f (A P ) ( ω >0 : x mnmse s(x, x 0,ω) sur f (A) et x est l unque optmum. Ne donne pas non plus une caractérsaton de A P! Fg 9 23 / / 28

7 CS et CN d effcacté NORME DE TCHEBYCHEFF AUGMENTÉE UNE ALTERNATIVE AUX NORMES CS et CN d effcacté Théorème 3 (Dnkelbach et Iserman, 73) Sot x 0 un pont de référence de f (A) tel que x 0 y 0 TCHEBYCHEFF AUGMENTÉE PONDÉRÉE : s(x, x 0,ω)=max =1,...,n {ω (x x 0 ) } + ɛ n =1 ω (x x 0 ) s ω 0, x mnmse s(x, x 0,ω) sur f (A) x f (A Pɛ ) x f (A Pɛ ) ( ω >0 : x mnmse s(x, x 0,ω) sur f (A)) Caractérsaton de A Pɛ = ω Ω Arg mn a A s(f (a), x 0,ω) Lorsque ɛ 0, on tend vers une caractérsaton de A P Fg 10, 11, 12 Théorème 4. (Werbck 78, 80, 81) Sot x 0 un pont de référence quelconque (nveaux d aspraton) ACHIEVEMENT FUNCTION s(x, x 0,ω)=max =1,...,n {ω (x x 0 )} + ɛ n =1 ω (x x 0 ) s ω 0etx 0 f (A), x mnmse s(x, x 0,ω) sur f (A) x f (A PF ) x f (A Pɛ ) ω>0 : x mnmse s(x, x,ω) sur f (A). Fg 13, / / 28 EXPLORATION DE LA FRONTIÈRE EFFICACE IV) Agrégaton temporare et exploraton Itérer les étapes suvantes jusqu à l obtenton d une soluton satsfasante : 1 Générer une soluton optmale pour s(x, x 0,ω) 2 La présenter au décdeur 3 S satsfat STOP snon obtenr nformaton préférentelle 4 Mettre à jour x 0,ω et A 27 / / 28

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 7. Programmation non linéaire

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 7. Programmation non linéaire IFT575 Modèles de recherche opératonnelle (RO 7. Programmaton non lnéare Fonctons convees et concaves Sot et deu ponts dans R n Le segment de drote jognant ces deu ponts est l ensemble des ponts + λ( -

Plus en détail

UNIVERSITE DE BOURGOGNE MM5: Analyse Numérique Elémentaire FichedeTDno2

UNIVERSITE DE BOURGOGNE MM5: Analyse Numérique Elémentaire FichedeTDno2 1 UNIVERSITE DE BOURGOGNE MM5: Analyse Numérque Elémentare FchedeTDno2 1 Que peut-on dre d une méthode tératve dont la matrce a un rayon spectral nul? 2 Etuder les méthodes de Jacob et Gauss-Sedel pour

Plus en détail

Clôture transitive (accessibilité) Clôture transitive des graphes. Clôture par produits. Représentations matricielles

Clôture transitive (accessibilité) Clôture transitive des graphes. Clôture par produits. Représentations matricielles Clôture transtve (accessblté) Problème G = (S, A) graphe (orenté) Calculer H = (S, B) où B est la clôture réflexve et transtve de A. Clôture transtve des graphes et tous les plus courts chemns Note : (s,t)

Plus en détail

CHAPITRE V. Formes différentielles sur les variétés. I. Espace tangent

CHAPITRE V. Formes différentielles sur les variétés. I. Espace tangent CHAPITRE V Formes dfférentelles sur les varétés I. Espace tangent Sot M une varété dfférentable de dmenson n et U = (U, ϕ ) I un atlas de M. On note par ϕ j := ϕ ϕ 1 j le dfféomorphsme entre les ouverts

Plus en détail

Estimateurs MCD de localisation et de dispersion: définition et calcul. Fauconnier Cécile Université de Liège

Estimateurs MCD de localisation et de dispersion: définition et calcul. Fauconnier Cécile Université de Liège Estmateurs MCD de localsaton et de dsperson: défnton et calcul Fauconner Cécle Unversté de Lège Plan de l eposé 2 Introducton: Pourquo les estmateurs robustes? Estmateur MCD : défnton Algorthmes appromatfs

Plus en détail

FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS

FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS 1. Introducton La factorsaton est l un des ponts où l analoge entre nombres enters et polynômes se rompt. Par exemple, en caractérstque nulle, on peut trouver

Plus en détail

Méthode des résidus pondérés

Méthode des résidus pondérés Produt propre d un opérateur Méthode des résdus pondérés Ecrture d un opérateur u avec Ω les coordonnées spatales x, y, z p dans Ω Pour un opérateur lnéare u u u u avec α, β des nombres quelconques Pour

Plus en détail

Terminale S Les ROC : complexe/géométrie à connaître.

Terminale S Les ROC : complexe/géométrie à connaître. Termnale S Les ROC : complexe/géométre à connaître Vous trouvere c les démonstratons que vous ave offcellement dues fare en cours (dans le programme) Il est mportant de précser que cela ne sgnfe en aucun

Plus en détail

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6. Exercice 1 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6. Exercice 1 : Termnales S Exercces sur les nombres complexes Page sur 6 Exercce : ) Calculer, et 05 06 07 ) En dédure, et ) Détermner les enters n pour lesquels n est a) un réel, b) est un magnare pur, c) égal à Exercce

Plus en détail

II MOMENTS - TORSEURS

II MOMENTS - TORSEURS II OENTS - TORSEURS Le torseur est l'outl prvlégé de la mécanque. Il sert à représenter le mouvement d'un solde, à caractérser une acton mécanque et à formuler le PFD (prncpe fondamental de la dynamque),

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes A) Forme algébrque des nombres complexes Théorème (adms) Il exste un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté, vérfant les tros proprétés suvantes :. content ;. Il exste dans un élément tel

Plus en détail

1 2 i. ; z10 = 1 + i + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + i 6.

1 2 i. ; z10 = 1 + i + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + i 6. EXERCICES TERMINALE S LES NOMBRES COMPLEXES PREMIERS EXERCICES: 1 Calculs dans : Ecrre les nombres complexes suvant sous la forme a + b où a et b sont des réels : 1 = ; = ; = ( + )( + ) ; = 6 = 1 1+ ;

Plus en détail

1 ère S Le plan muni d un repère

1 ère S Le plan muni d un repère 1 ère S Le plan mun d un repère Ce chaptre fat sute à celu des vecteurs du plan bectf : consolder et compléter les bases de géométre analtque dans le plan de seconde (repérage des ponts dans le plan) I

Plus en détail

UE MAT234. Notes de cours sur l algèbre linéaire

UE MAT234. Notes de cours sur l algèbre linéaire UE MAT234 Notes de cours sur l algèbre lnéare Matrces - Systèmes lnéares - Détermnants - Dagonalsaton Dans tout ce document, K désgne ndfféremment le corps des nombres réels IR, ou celu des nombres complexes

Plus en détail

VI INERTIE GEOMETRIE DES MASSES

VI INERTIE GEOMETRIE DES MASSES VI INERTIE EOMETRIE DE ME Dans l étude de la dynamque des systèmes matérels et des soldes l est mportant d étuder la répartton géométrque des masses, afn d exprmer smplement les concepts cnétques qu apparassent

Plus en détail

Nombres complexes. Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2

Nombres complexes. Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2 Exo7 Nombres complexes Les nombres complexes. Défnton............................................................... Opératons...............................................................3 Parte réelle

Plus en détail

A =

A = Exercces avec corrgé succnct du chaptre 2 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète

Plus en détail

Dire qu un entier naturel est premier signifie qu il admet deux diviseurs : un et lui-même.

Dire qu un entier naturel est premier signifie qu il admet deux diviseurs : un et lui-même. Vdoune Termnale S Chaptre spé Arthmétque PPCM et nombres premers Nombre premer Dre qu un enter naturel est premer sgnfe qu l admet deux dvseurs : un et lu-même. Zéro est-l un nombre premer? Un est-l un

Plus en détail

CUEEP Département Mathématiques T902 : Méthode des moindres carrés p1/16

CUEEP Département Mathématiques T902 : Méthode des moindres carrés p1/16 Méthode des mondres carrés Stuaton Le lancer de pods Dx adolescents droters s exercent à lancer le pods, du bras drot pus du bras gauche. Les résultats (dstances en mètres) obtenus sont les suvants : Adolescent

Plus en détail

OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre Chap: OUTILS THETIQUES GLISSEUS & TOSEUS L'obectf de ce chaptre est de donner brèvement les outls mathématques nécessares à la compréhenson de la sute de ce

Plus en détail

CHAPITRE 2 PREFERENCES ET DEMANDE

CHAPITRE 2 PREFERENCES ET DEMANDE Lcence Scences Economues 3ème année er semestre MICROECONOMIE APPROFONDIE ET CALCUL INTERTEMPOREL CHAPITRE PREFERENCES ET DEMANDE L aomatue, construte sur la ratonalté du consommateur, fonde le modèle

Plus en détail

Chap. C1 : structure et arithmétique dans Z (fin)

Chap. C1 : structure et arithmétique dans Z (fin) Chap. C1 : structure et arthmétque dans Z (fn) The aftermath of Gauss... or the math after Gauss (P. Rbenbom, My Number My frends). V Nombres premers 1) Proprétés élémentares a) Défnton : () Termnologe

Plus en détail

Enseignant : Félix MORA-CAMINO Rédacteur : Cédric LE GALLO

Enseignant : Félix MORA-CAMINO Rédacteur : Cédric LE GALLO CNAM COURS 86 B Modélsaton Optmsaton Complexté Algorthmes A.D. - Ensegnant : Félx MORA-CAMINO Rédacteur : Cédrc LE GALLO 9 SOMMAIRE. RAPPELS SUR LA THEORIE DES GRAPHES... 6.. Défntons d un graphe...6 Graphe

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. L addition et la multiplication de 2 entiers naturels donnent un entier naturel.

NOMBRES COMPLEXES. L addition et la multiplication de 2 entiers naturels donnent un entier naturel. NOMRES OMPLEXES RPPELS SUR LES ENSEMLES DE NOMRES Ensemble N : ensemble des enters naturels. L addton et la multplcaton de enters naturels donnent un enter naturel. La soustracton et la dvson de enters

Plus en détail

Loi binomiale - Echantillonnage

Loi binomiale - Echantillonnage Lo bnomale - Echantllonnage I Epreuve de Bernoull Lo de Bernoull 1. Epreuve de Bernoull Une épreuve de Bernoull est une expérence aléatore qu n'a que deux ssues : - S appelé succès avec une probablté p.

Plus en détail

Chapitre 1: Les choix du consommateur Chapitre 4 du livre de Perloff

Chapitre 1: Les choix du consommateur Chapitre 4 du livre de Perloff Chaptre : Les chox du consommateur Chaptre 4 du lvre de Perloff. La contrante budgétare (CB. Introducton. L ensemble budgétare.3 Le taux margnal de transformaton (TMT du consommateur.4 Effets de changements

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1. EXERCICE 2. EXERCICE 3. EXERCICE 4. 3 i ; 1. Déterminer (x + y i), représentation cartésienne du nombre complexe : i 1

NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1. EXERCICE 2. EXERCICE 3. EXERCICE 4. 3 i ; 1. Déterminer (x + y i), représentation cartésienne du nombre complexe : i 1 NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1 Détermner (x + y ), représentaton cartésenne du nombre complexe : 11 (5 ) ; ( + ) ; (1 5 ) 1 (5 4 )( + 6 ); (4 + ) (4 ) 1 14 15 ; 1 ; + 7 + + + 1 α ( α + β ) α + ( α ; ; (α,β)

Plus en détail

Chapitre III. Optimum économique, équilibre. général et théorie du bien-être

Chapitre III. Optimum économique, équilibre. général et théorie du bien-être Chaptre III Optmum économque, équlbre général et théore du ben-être . OPTIMUM DE PARETO. Défnton des états optmaux État, état possble, chox parm ces états. État : m vecteurs de consommaton x ; n vecteurs

Plus en détail

Contrôle du lundi 19 novembre 2012 (45 minutes) 1 ère S1

Contrôle du lundi 19 novembre 2012 (45 minutes) 1 ère S1 1 ère S1 Contrôle du lund 19 novembre 01 (45 mnutes) Compléter le tableau c-dessous donnant la dstrbuton de fréquences pour cet échantllon (calculs au broullon, fréquences sous forme décmale) : Prénom

Plus en détail

Introduction à la théorie des jeux (non-coopératifs)

Introduction à la théorie des jeux (non-coopératifs) III. THEORIE DE L OLIGOPOLE (1 ère parte) III.1 Introducton à la théore des jeux (non-coopératfs) La théore des jeux tent une place de plus en plus mportante dans l analyse des stratéges d entreprses ;

Plus en détail

OUTILS MATHEMATIQUES L1 SVG Paul Broussous

OUTILS MATHEMATIQUES L1 SVG Paul Broussous UTILS MATHEMATIQUES L1 SVG 1 Paul Broussous Chaptre II. Nombres complees Défnton. L ensemble C des nombres complees est formé des epressons de la forme +, et nombres réels avec les règles : (Egalté) +

Plus en détail

Etude des méthodes d'optimisation Multicritères

Etude des méthodes d'optimisation Multicritères Etude des méthodes d'optmsaton Multcrtères. Introducton : Les ngéneurs se heurtent quotdennement à des problèmes technologques de complexté grandssante, qu surgssent dans des secteurs très dvers. Le problème

Plus en détail

REPERAGE DANS LE PLAN

REPERAGE DANS LE PLAN REPERGE DNS LE PLN I. Repère du plan 1. Repère et coordonnées Tros ponts dstncts deux à deux, I et J du plan forment un repère, que l on peut noter (, I, J). L orgne et les untés I et J permettent de graduer

Plus en détail

TD6 : groupe linéaire, homographies, simplicité

TD6 : groupe linéaire, homographies, simplicité École Normale Supéreure 1ère année Année 2015-2016 Algèbre 1 TD6 : groupe lnéare, homographes, smplcté Exercces : à préparer à la mason avant le TD, seront corrgés en début de TD. Exercces : seront tratés

Plus en détail

Méthodes polyédriques et algorithmes

Méthodes polyédriques et algorithmes Méthodes polyédrques et algorthmes ENSIIE Optmsaton Recherche opératonnelle Alan FAYE Espaces affnes de R d... Ensembles convees de R d... 7 Intéreur relatf des convees de R d... 9 Faces d un convee de

Plus en détail

AL1 Complexes Séance de TD - Corrigés des exercices -

AL1 Complexes Séance de TD - Corrigés des exercices - AL1 Complexes Séance de TD - Corrgés des exercces - 1 QCM GI FA 01 Test calcul et rotaton GI FA 015 Test 1 Complexes et rotaton GI FC186 015 Test Complexes et cercle 5 GI FC18/6 01 Test - Complexes et

Plus en détail

2. Demi Additionneur. 1. Les Circuits combinatoires. Chapitre 4 : Les circuits combinatoires. Exemple de Circuits combinatoires

2. Demi Additionneur. 1. Les Circuits combinatoires. Chapitre 4 : Les circuits combinatoires. Exemple de Circuits combinatoires haptre : Les crcuts combnatores Object Les rcuts combnatores Un crcut combnatore est un crcut numérque dont les sortes dépendent unquement des entrées F(E F(E E E n pprendre la structure de quelques crcuts

Plus en détail

Figure 43. Des relevés effectués sur cette diode branchée en direct sont donnés dans le tableau ci-dessus :

Figure 43. Des relevés effectués sur cette diode branchée en direct sont donnés dans le tableau ci-dessus : 1. Une dode est utlsée dans le montage c-dessous : 3,3 générateur + 2,5 =4,5 V V Fgure 43 Des relevés effectués sur cette dode branchée en drect sont donnés dans le tableau c-dessus : v (V) 0 0,6 0,7 0,8

Plus en détail

Utilisation du solveur d Excel

Utilisation du solveur d Excel Cycle ICM : 1A Pôle nformatque Cours applcatons nformatques Auteur : Bertrand Jullen 22/12/04 Utlsaton du solveur d Excel Le but de ce TP est de famlarser les élèves avec la foncton Solveur d Excel, dans

Plus en détail

Groupes, sous-groupes

Groupes, sous-groupes Chaptre 1 Groupes sous-groupes Il faut sans doute attrbuer à Cayley en 1854 la défnton abstrate d un groupe telle que nous la connassons aujourd hu. Auparavant de nombreux groupes partculers avaent déjà

Plus en détail

Réseaux linéaires. C Fig 1-a Fig 1-b Fig 1-c Fig 1-d

Réseaux linéaires. C Fig 1-a Fig 1-b Fig 1-c Fig 1-d etour au menu éseaux lnéares Défntons Un réseau électrque lnéare est un ensemble de dpôles lnéares, relés par des conducteurs de résstance néglgeable. On suppose que le réseau content au mons un générateur.

Plus en détail

Cours de Microéconomie IV: Équilibre général

Cours de Microéconomie IV: Équilibre général Cours de Mcroéconome IV: Équlbre général Inspré du cours de H. Polemarchaks Ma 2003 Le thème central de ce cours est l équlbre général, mas celu-c va être envsagé en mettant un accent partculer sur l économe

Plus en détail

Les Codes Convolutionnels

Les Codes Convolutionnels Les Codes Convolutonnels Code Convolutíonnel : codage à partr des bts d'nformaton de pluseurs blocs Plus smples à coder et à décoder que les codes de blocs lorsque n est élevé m m m m Codes pour applcatons

Plus en détail

b) Homothéties Définition : Soir u P On appelle translation de vecteur u l'application : t u P P telle que MM '= u. M M '

b) Homothéties Définition : Soir u P On appelle translation de vecteur u l'application : t u P P telle que MM '= u. M M ' Exposé 27 : homothétes et translatons ; transformaton vectorelle assocée. Invarants élémentares : effets sur les dstances, les drectons, l'algnement... Applcatons à l'acton sur les confguratons usuelles

Plus en détail

Analyse des temps de réponse et de la demande processeur en ordonnancement temps réel de tâches périodiques

Analyse des temps de réponse et de la demande processeur en ordonnancement temps réel de tâches périodiques Ecole d été Temps Réel 13-16 septembre 2005 Analyse des temps de réponse et de la demande processeur en ordonnancement temps réel de tâches pérodques Pascal Rchard Laboratore d Informatque Scentfque et

Plus en détail

Circuits en courant continu

Circuits en courant continu Crcuts en courant contnu xercce On consdère les tros montages suvants : montage montage montage ) Montrer que le premer montage équvaut à une résstance unque eq telle que : + eq ) Montrer que le deuxème

Plus en détail

et h l homothétie de centre Ω et de rapport.

et h l homothétie de centre Ω et de rapport. Termnale S Nombres Exercces Dvers,QCM, France 00 Qcm, Polynése rempl 005 QCM, N Calédone nov 007 4 QCM d après des sujets de concours GEIPI 5 Basque, ntlles 007 4 6 Basque, ntlles 006 5 7 nd degré et barycentre,

Plus en détail

Sujet de révision n 1

Sujet de révision n 1 4 ème année Secton : Scences Sujet de révson n 1 Ma 010 A. LAATAOUI Thèmes abordés : Complexes ; Probabltés ; Géométre dans l espace ; oncton exponentelle et lecture graphque. Exercce n 1 Sot θ un réel

Plus en détail

Cours 2. Méthode des différences finies Approche stationnaire

Cours 2. Méthode des différences finies Approche stationnaire Cours Méthode des dfférences fnes Approche statonnare Technque de dscrétsaton en D Constructon du système Prse en compte des condtons aux lmtes Noton de convergence Extenson au D Verson 09/006 (E.L.) NF04

Plus en détail

Mesures Physiques Intégrales triples Calcul de volumes et d hyper-volumes

Mesures Physiques Intégrales triples Calcul de volumes et d hyper-volumes IUT ORSAY Mesures Physques Intégrales trples Calcul de volumes et d hyper-volumes Cours du ème semestre A. omane «cubable» On dt qu un domane est cubable quand son volume peut être approché par une subdvson

Plus en détail

arxiv:math/ v1 [math.ra] 9 Aug 2002

arxiv:math/ v1 [math.ra] 9 Aug 2002 arxv:math/874v [mathra] 9 Aug Matrces autosmlares Roland Bacher November 8, 3 Résumé: Cette note ntrodut une classe de matrces dont les détermnants sont facles à calculer L exemple le plus frappant est

Plus en détail

EC 2 Étude des circuits linéaires en régime continu

EC 2 Étude des circuits linéaires en régime continu Étude des crcuts lnéares en régme contnu PS 2016 2017 Objet du chaptre : donner des outls pour détermner l état électrque d un crcut : potentels des dfférents nœuds par rapport à un nœud chos comme référence

Plus en détail

Probabilités et Statistique

Probabilités et Statistique robabltés et Statstque rogramme Calcul des probabltés: Espaces probablsés Varables aléatores dscrètes et contnues Los usuelles dscrètes et contnues Statstque Applquée: Convergences stochastques Approxmatons

Plus en détail

CHAPITRE 7. CALCUL DES INDICATEURS DU SOUTIEN AUX CONSOMMATEURS

CHAPITRE 7. CALCUL DES INDICATEURS DU SOUTIEN AUX CONSOMMATEURS Chaptre 7 : Calcul des ndcateurs du souten aux consommateurs CHAITRE 7. CALCUL DES INDICATEURS DU SOUTIEN AUX CONSOMMATEURS 313. À l nstar du chaptre 6, le présent chaptre décrt en détal la méthode à applquer

Plus en détail

Une introduction à la théorie de la NP-Complétude

Une introduction à la théorie de la NP-Complétude Chaptre 8 Une ntroducton à la théore de la P-Complétude. Introducton: u chaptre, nous avons dscuté l mportance d avor des solutons de complexté polynomale. Dans l étude de la complexté des problèmes, le

Plus en détail

Ecole Nationale d Ingénieurs de Brest. Module Qualité et Fiabilité. Les Plans d Expériences

Ecole Nationale d Ingénieurs de Brest. Module Qualité et Fiabilité. Les Plans d Expériences Notes de cours Ecole Natonale d Ingéneurs de Brest Module Qualté et Fablté Les Plans d Expérences Cours proposé par M. Parenthoën année 2002-2003 enb c mp2003....... 1 Plan du cours Plans d Expérences

Plus en détail

Leçon 1. Statistiques

Leçon 1. Statistiques Leçon 1 Statstques Lors d une séance de saut en hauteur, le professeur d EPS a relevé, en centmètres, les performances c-dessous : 110-115-10-110-100-110-15-15-100-95-135-105-1-110-95-100-110-85-85-105-140-15-100-135-105-1-135-115-10-135

Plus en détail

Résumé. Sommaire. «Toute théorie n est bonne qu à condition de s en servir pour passer outre». André Gide in «Journal».

Résumé. Sommaire. «Toute théorie n est bonne qu à condition de s en servir pour passer outre». André Gide in «Journal». «Toute théore n est bonne qu à condton de s en servr pour passer outre». ndré Gde n «Journal». Résumé L usage des los de Krchhoff permet de toujours trouver les tensons et courants dans un réseau électrque

Plus en détail

Mathématiques B30. Les nombres complexes Module de l élève

Mathématiques B30. Les nombres complexes Module de l élève Mathématques B30 Les nombres complexes Module de l élève 00 Mathématques B30 Les nombres complexes 10 y axe magnare Module de l élève 4+6 x -10 10 axe réel --4 Bureau de la mnorté de langue offcelle 00-10

Plus en détail

Texte Urnes et particules

Texte Urnes et particules Unverstés Rennes I Épreuve de modélsaton - Agrégaton Externe de Mathématques 2009. Page n 1. Texte Urnes et partcules À la fn du 19 ème sècle et au début du suvant, la tempête fat rage autour de la théore

Plus en détail

Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe

Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe ENSIIE - Module de Recherche Opérationnelle (dimitri.watel@ensiie.fr) 2016-2017 Objectif Résoudre un programme linéaire quelconque de la forme

Plus en détail

arxiv:math/ v1 [math.gr] 28 Oct 2005

arxiv:math/ v1 [math.gr] 28 Oct 2005 CENTRE, COMMUTATIVITÉ ET CONJUGAISON DANS UN GRAPHE DE GROUPE Jean-Phlppe PRÉAUX 2 arxv:math/05063v [math.gr] 28 Oct 2005 Abstract. We gve characterzatons of the center, of conjugated and of commutng elements

Plus en détail

LES AMPLIFICATEURS LINÉAIRES INTÉGRÉS : a.l.i

LES AMPLIFICATEURS LINÉAIRES INTÉGRÉS : a.l.i LE AMPLIFICATEU LINÉAIE INTÉGÉ : a.l. A Mse en stuaton : Présentaton du système : ystème de tr ac almentaton et déchargement automatque des postes de destnaton ( vor lvre de cours page ) B appels : éalser

Plus en détail

Mémoire associative. Chapitre La tâche

Mémoire associative. Chapitre La tâche 151 Chaptre 6 Mémore assocatve 61 La tâche Le but de la mémore assocatve est de retrouver un motf mémorsé auparavant Contrarement à la mémore dans l archtecture de von eumann de l ordnateur classque, les

Plus en détail

Algorithme approché d optimisation d un modèle de Processus Décisionnel de Markov sur Graphe

Algorithme approché d optimisation d un modèle de Processus Décisionnel de Markov sur Graphe Algorthme approché d optmsaton d un modèle de Processus Décsonnel de Markov sur Graphe Nathale Peyrard Régs Sabbadn INRA-MIA Avgnon et Toulouse E-Mal: {peyrard,sabbadn}@toulouse.nra.fr Réseau MSTGA, Avgnon,

Plus en détail

Partie I (sur copies vertes)

Partie I (sur copies vertes) ÉCOLE POLYTECHNIQUE Promoton 2004 CONTRÔLE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES Recherche opératonnelle : aspects mathématques et applcatons Vendred 08 Décembre 2006 Durée : 3 heures Sujet proposé par F. Bonnans

Plus en détail

Contrôle du mardi 21 janvier 2014 (3 heures 30) 1 ère S1. Partie B

Contrôle du mardi 21 janvier 2014 (3 heures 30) 1 ère S1. Partie B 1 ère S1 ontrôle du mard 1 janver 01 ( heures 0) Le barème est donné sur 0. Parte B Pour la fabrcaton d un lvre, un mprmeur dot respecter sur chaque page des marges de cm à drote et à gauche, cm en haut

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes LGL Cours de Mathématques 6 Les nombres complexes Notaton, Défnton A Introducton et notatons Dans l'ensemble des enters naturels, une équaton telle que x + 5 admet une soluton. Pour que l'équaton x + 5

Plus en détail

2. Loi de propagation des erreurs (cas simples)

2. Loi de propagation des erreurs (cas simples) Lycée Blase-Cendrars/Physque/Labos/DC///04 Labos de physque : Mesures - Propagaton d erreurs - Mesures répéttves - Statstques. Prncpe de la mesure en physque Une mesure est toujours mprécse. La précson

Plus en détail

( ), dans les conditions standards, va

( ), dans les conditions standards, va THERMOCHIMIE R. Duperray Lycée F.BUISSON PTSI U T I L I S A T I O N D E S T A B L E S D E S G R A N D E U R S T H E R M O D Y N A M I Q U E S S T A N D A R D Dans le chaptre précédent, nous avons vu l

Plus en détail

4.5 Intégration Numérique

4.5 Intégration Numérique 4.5 Intégraton Numérque Les ntégrales qu survennent du calcul des matrces élémentares de radeur A k et de masse M k ou du vecteur élémentare r k = (r k ) où r k = fϕ k dx, Ω k sont, avec l'excepton des

Plus en détail

CIRCUITS LOGIQUES COMBINATOIRES

CIRCUITS LOGIQUES COMBINATOIRES CIRCUITS LOGIQUES COMBINTOIRES Fonctons combnatores ttenton! Ce produt pédagogque numérsé est la proprété exclusve de l'uvt Il est strctement nterdt de la reprodure à des fns commercales Seul le téléchargement

Plus en détail

Fiche technique : diagonalisation, trigonalisation.

Fiche technique : diagonalisation, trigonalisation. Fche technque 4 : dagonalsaton trgonalsaton - - Fche technque : dagonalsaton trgonalsaton Dagonalsaton de matrces le prncpe pour dagonalser en pratque une matrce est smple : calculer les espaces propres

Plus en détail

Circuits linéaires du premier ordre

Circuits linéaires du premier ordre Électrcté - haptre 2 rcuts lnéares du premer ordre Introducton... 2 I Étude d un dpôle sére...3 1 omportements lmtes d un condensateur...3 2 harge d un condensateur : réponse d un dpôle à un échelon de

Plus en détail

Dipôle RC : Exercices

Dipôle RC : Exercices Dpôle : xercces xercces 1 : QM Un condensateur est placé dans un crcut. Le schéma ndque les conventons adoptées. hosr dans chacune des phrases suvantes, la proposton exacte. On donne q A = q 1. la tenson

Plus en détail

Les transformations élémentaires

Les transformations élémentaires Les transformatons élémentares ransformatons Utlsatons : Déplacement d'un objet dans une scène Déplacement d'un observateur par rapport a une scène éplcaton d'un motf ou d'un objet Déformaton d'un objet

Plus en détail

Heuristiques de recherche locale: méthode du gradient

Heuristiques de recherche locale: méthode du gradient 1-1 3-1 Cours 9: Recherche locale Heurstques de recherche locale Réseau de Hopfeld ou verre de spn Classfcaton par recherche locale Heurstques de recherche locale: puts et bosses Potentel: la méthode du

Plus en détail

MINIMISER LA SOMME DES RETARDS SUR UNE MACHINE AVEC DATES DE DISPONIBILITE

MINIMISER LA SOMME DES RETARDS SUR UNE MACHINE AVEC DATES DE DISPONIBILITE 3 e Conférence Francophone de MOdélsaton et SIMulaton Concepton, Analyse et Geston des Systèmes Industrels MOSIM 01 du 25 au 27 avrl 2001 - Troyes (France) MINIMISER LA SOMME DES RETARDS SUR UNE MACHINE

Plus en détail

CIRCUITS LOGIQUES COMBINATOIRES

CIRCUITS LOGIQUES COMBINATOIRES Unversté Vrtuelle de Tuns Chap-V: crcuts arthmétques CIRCUITS LOGIQUES COMBINATOIRES Crcuts arthmétques TRABELSI Hchem Attenton! Ce produt pédagogque numérsé est la proprété exclusve de l'uvt. Il est strctement

Plus en détail

Solution : 1. Soit y = α + βt, l équation de la droite considérée. Le problème de régression linéaire s écrit. i=1 2(α + βt i b i )t i

Solution : 1. Soit y = α + βt, l équation de la droite considérée. Le problème de régression linéaire s écrit. i=1 2(α + βt i b i )t i Exercces avec corrgé succnct du chaptre 3 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète

Plus en détail

Corrigé de l épreuve d Optique / BTSOL 2008

Corrigé de l épreuve d Optique / BTSOL 2008 Corrgé de l épreuve d Optque / BTSOL 2008 J.Hormère (4 ma 2008) Important Ce corrgé n a pas de valeur offcelle et n est donné qu à ttre nformatf par Acuté, sous la responsablté de son auteur. Optque géométrque

Plus en détail

Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la. Cours 3 Ordonnancement. Conservatoire National des Arts et Métiers E.

Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la. Cours 3 Ordonnancement. Conservatoire National des Arts et Métiers E. Unté d Ensegnement RCP101 : Recherche Opératonnelle et Ade à la Décson Cours 3 Ordonnancement Conservatore Natonal des Arts et Méters E. Soutl 2 UE RCP101 Recherche Opératonnelle et Ade à la Décson Plan

Plus en détail

RESEAUX LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL FORCE (RSF)

RESEAUX LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL FORCE (RSF) ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) Plan (lquer sur le ttre pour accéder au paragraphe) ********************** I. Exemple prélmnare... II. La notaton complexe....

Plus en détail

Introduction à l économétrie II. Modèle de régression linéaire simple

Introduction à l économétrie II. Modèle de régression linéaire simple 4/09/03 Introducton à l économétre II. Modèle de régresson lnéare smple Claudo Araujo CERDI, Unversté d Auvergne Clermont-Ferrand, France www.cerd.org http://www.cerd.org/claudo-araujo/perso/. Défnton

Plus en détail

est minimale pour 1 a = et b = 0.

est minimale pour 1 a = et b = 0. EXERCICE. On consdère la sére chronologque suvante : x 3 4 5 0 5 33 4 5 0 Pour chacune des deux affrmatons suvantes, dre s elle est vrae ou s elle est fausse en justfant la réponse fourne. a. Le pont moen

Plus en détail

SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES

SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES I. Systèmes lnéares, contnus et nvarants. Défnton d un système lnéare Un système dynamque est Lnéare s la relaton entre les grandeurs hysques d entrée et de sorte est un système d équatons dfférentelles

Plus en détail

Résumé du cours d optimisation.

Résumé du cours d optimisation. Résumé du cours d optimisation. L. HALPERN 13 septembre 2005 2 Table des matières I Résultats théoriques 5 1 Résultats d existence 7 1.1 Théorème de Weierstrass.............................. 7 1.2 Cas

Plus en détail

Les corrigés des examens DPECF - DECF

Les corrigés des examens DPECF - DECF 1 er centre de formaton comptable va Internet. Les corrgés des examens DPECF - DECF 2004 48h après l examen sur www.comptala.com L école en lgne qu en fat + pour votre réusste Préparaton aux DPECF et DECF

Plus en détail

Ecole Supérieure de Biotechnologie de Strasbourg. Electronique C.Ling

Ecole Supérieure de Biotechnologie de Strasbourg. Electronique C.Ling III.) Etude de l'amplfcateur opératonnel. 3.1) Introducton : C'est un composant électronque analogque. Il consttue une brque de base dans un crcut électronque. Il peut réalser dverses opératons sur un

Plus en détail

Chapitre 2.1 Les vecteurs

Chapitre 2.1 Les vecteurs Chaptre.1 Les vecteurs Le vecteur Le vecteur représente un module (grandeur) avec une orentaton. On utlse la flèche pour le représenter graphquement. Pour dentfer une varable comme étant vectorelle, l

Plus en détail

Valeur absolue et fonction valeur absolue Cours

Valeur absolue et fonction valeur absolue Cours Valeur absolue foncton valeur absolue Cours CHAPITRE 1 : Dstance entre deu réels 1) Eemples prélmnares 2) Défnton 3) Proprétés CHAPITRE 2 : Valeur absolue d un réel 1) Défnton 2) Proprétés CHAPITRE 3 :

Plus en détail

TD ARQS. Modèle de pile. Capteur de déformation R R R R R R R R R R 1 J J 2 R R R R

TD ARQS. Modèle de pile. Capteur de déformation R R R R R R R R R R 1 J J 2 R R R R TD RQS Modèle de ple n générateur présente une dfférence de potentel de 22V quand l est traversé par une ntensté du courant de 2. La dfférence de potentel monte à 30V lorsque l ntensté du courant descend

Plus en détail

Distributions, analyse de Fourier, EDP. Cours no. 5 le 1/XII/2009

Distributions, analyse de Fourier, EDP. Cours no. 5 le 1/XII/2009 Distributions, analyse de Fourier, EDP Cours no. 5 le 1/XII/2009 Distributions à support singleton (pp. 123-125) Soient Ω ouvert de R N, une distribution T D (Ω) et x 0 Ω Théorème. Si supp(t ) {x 0 },

Plus en détail

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 Année 2011 12. TD4. Tribus.

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 Année 2011 12. TD4. Tribus. Unversté Perre & Mare Cure (Pars 6) Lcence de Mathématques L3 UE LM364 Intégraton 1 Année 2011 12 TD4. Trbus. Échauffements Exercce 1. Sot X un ensemble. Donner des condtons sur X pour que les classes

Plus en détail

2 Produit scalaire - Exercices

2 Produit scalaire - Exercices 6 Edton 007-008 / DELM Géométre métrqe Prodt scalare - Exercces Les exercces dont le nméro content la lettre A, par exemple -A1, sont des exercces complémentares destnés ax élèves d nvea avancé. Lens hypertextes

Plus en détail

Chapitre 5: La programmation dynamique

Chapitre 5: La programmation dynamique Chaptre 5: La programmaton dynamque. Introducton La programmaton dynamque est un paradgme de concepton qu l est possble de vor comme une améloraton ou une adaptaton de la méthode dvser et régner. Ce concept

Plus en détail

Chapitre 2. Probabilités. Sommaire. 1. Introduction Espace fondamental et évènements. 3

Chapitre 2. Probabilités. Sommaire. 1. Introduction Espace fondamental et évènements. 3 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud 10102002 Chaptre 2 robabltés Sommare 1. Introducton 3 2. Espace fondamental et évènements. 3 2.1. Défnton 3 2.2. Evènements remarquables.. 5

Plus en détail

. On considère les points A, B, C et D, d affixes respectives a, b, c et d :

. On considère les points A, B, C et D, d affixes respectives a, b, c et d : Nombres complexes Exercces corrgés s vous ave des remarques contacte mo EXERCICE Cet exercce comporte quatre affrmatons repérées par les lettres a, b, c et d Vous deve ndquer pour chacune de ces affrmatons,

Plus en détail

I. Comment caractériser un phénomène périodique? I.1. Phénomène périodique

I. Comment caractériser un phénomène périodique? I.1. Phénomène périodique Chaptre 2 : Les ondes au servce du dagnostc médcal (Physque SANTÉ) Objectfs : Connaître et utlser les défntons de pérode et de fréquence d un sgnal pérodque ; Extrare et exploter des nformatons concernant

Plus en détail

Chap.4 Application du 2 e principe aux réactions chimiques Evolution et équilibre d un système chimique

Chap.4 Application du 2 e principe aux réactions chimiques Evolution et équilibre d un système chimique Chap.4 Applcaton du e prncpe aux réactons chmques Evoluton et équlbre d un système chmque 1. Entrope standard de réacton 1.1. (Rappels) e prncpe de la thermodynamque 1.. Défnton et méthodes de calcul de

Plus en détail