PLAN L OPTIMISATION MULTICRITÈRE

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1 PLAN COURS 5 OPTIMISATION MULTICRITÈRE Master IAD DMDC PATRICE PERNY LIP6 UnverstéPars6 1 Défntons 2 Relatons de domnance, effcacté 3 Fonctons scalarsantes 4 Exploraton de la frontère effcace 2/28 L OPTIMISATION MULTICRITÈRE Problème formel de type (A, N,α) I) A est un ensemble d alternatves (fn ou non, défn en extenson ou non) N = {f 1,...,f n } où f : A R est une foncton crtère à mnmser ( N = {1,...,n}) α :détermner les melleures solutons REMARQUES : 1 s n = 1, problème d optmsaton classque (cas monocrtère) recherche d un optmum 2 s n > 1, problème mal posé précser la noton d optmalté 3/28 4/28

2 EXEMPLE 1:PB CLASSIQUE EXEMPLE 2:PLM Programmaton Lnéare Multcrtère Un pb de chox d une voture A ensemble de véhcules dsponbles sur le marché (donné en extenson) crtères : mnmser : prx, consommaton au 100 km, dstance de frenage à 90km/h, maxmser : vtesse, cylndrée moteur, talle du coffre But : trouver la voture réalsant le melleur comproms mn c1 t x mn c2 t x... mn cn t x s.c. Ax b, x 0 A matrce (m, n), x, b R n, c R n Ens. des alternatves : polyhèdre convexe Crtères : f (x) =c t.x 5/28 6/28 EXEMPLE 3:OCM ESPACE DES CRITÈRES ET IMAGE DE A Optmsaton combnatore multcrtère Sot G =(X, U) un graphe orenté mun de n valuatons v : U R addtves sur U (.e. v ((u, v)) = v (u)+v (v)). Sot x 0 un sommet racne de G et x n X un sommet but. Trouver le melleur chemn de x 0 à x n. Notaton : On note f : A R n l applcaton qu a tout a A assoce le vecteur f (a) =(f 1 (a),...,f n (a)) R n. On appelle R n espace des crtères et f (a) vecteur coût ou vecteur performance de a. A = { chemns de x 0 à x n dans G} C A, N, f (C) = u C v (u) On appelle mage de A dans l espace des crtères l ensemble f (A) ={x R n a A : x = f (a)} 7/28 8/28

3 CÔNES DE R n CÔNES ET RELATIONS DE PRÉFÉRENCES On appelle cône un sous ensemble de K R n tel que : x K, λ R,λ>0,λx K PROPOSITION Sot une relaton de bnare sur R n.s est compatble avec la multplcaton,.e. : x, y R n, λ >0, x y = λx λy alors l ensemble K = {y x R n x y} est un cône. EXEMPLES :cf.fg1 un cône K est dt : non-trval s 0 K, K {0} et K R n convexe s x, y R n, λ ]0, 1[,λx +(1 λ)y K ponté s (x K et x 0) x / K (.e K K {0}) PREUVE z K x, y X, z = y x. D où λz = λ(y x) =λy λx Or λx λy pusque x y. Donc λz K EXEMPLE :Sx y x y alors K = {z R n z = y x 0 N } = R n + 9/28 10 / 28 PRÉFÉRENCES DÉFINIES ÀPARTIRD UN CÔNE PROPOSITION Sot K un cône, alors la relaton de préférence x K y y x K est compatble avec la multplcaton. De plus on a : K reflexve 0 K K transtve K est convexe K antsymétrque K est ponté II) Relatons de domnance, effcacté PREUVE Soent x, y R n tels que x K y.alorsy x K et donc λ(y x) K pusque K est un cône. On a alors (λy λx) K et donc λx K λy... Note : K compatble avec l addton également 11 / / 28

4 RELATIONS DE DOMINANCE OPTIMALITÉ DEPARETO ET EFFICACITÉ On consdères les cônes de domnance suvant : D = R n + cône convexe ponté D = R n + \{0} domnance fable : x y y x D domnance (de Pareto) : x < y y x D domnance strcte : x y y x nt D x y = 1,..., n, x y { = 1,..., n, x y x < y {1,..., n}, x < y x y = 1,..., n, x < y Une alternatve a Aestunoptmum de Pareto de A s l n exste pas d alternatve b A telle que f (b) < f (a) On dt auss que a est non-domnée, f (a) est effcace A P : optma de Pareto f (A P ) : ponts effcaces Quelques défntons équvalentes : 1 b A, f (b) f (a) f (b) =f (a) 2 b A, (f (b) =f (a) ou N : f (a) < f (b)) 3 b A : f (a) f (b) D 4 b A : f (b) f (a) D où y K = {x R n y x K } 5 (f (a) D) f (A) = cf.fg.2 13 / / 28 OPTIMALITÉ FAIBLEDEPARETO OPTIMALITÉ STRICTE DE PARETO Une alternatve a Aestunoptmum fable de Pareto s l n exste pas d alternatve b A telle que f (b) f (a) a est fablement non-domnée, f (a) est fablement effcace A PF : optma fables de Pareto f (A PF ) : ponts fablement effcaces Quelques défntons équvalentes : 1 b A, N : f (a) f (b)) 2 b A : f (b) f (a) nt D 3 (f (a) nt D) f (A) = cf. Fg. 3 et Fg 4 Une alternatve a Aestunoptmum strct de Pareto s l n exste pas d alternatve b A \{a} telle que f (b) f (a) a est strctement non-domnée, f (a) est strctement effcace A PS : optma strcts de Pareto f (A PS ) : ponts strctement effcaces Une défnton équvalente : a A PS (a A P et b A : f (b) =f (a)) 15 / / 28

5 SOLUTIONS PROPREMENT PARETO OPTIMALES BORNE INF DE LA FRONTIÈRE EFFICACE Pour ɛ>0, on défnt le cône D ɛ = {y R n : dst(y, D) ɛ y } et D ɛ = D ɛ {0}. Ondéfnt alors la relaton de domnance propre < ɛ par x < ɛ y y x D ɛ Une alternatve a Aestproprement Pareto optmale s l n exste pas d alternatve b A \{a} telle que f (b) < ɛ f (a) a est propr. non-domnée, f (a) est propr. effcace A Pɛ : sol.s propr. non-domnées, f (A Pɛ ) : ponts propr. effcaces Une défnton équvalente : (f (a) D ɛ ) f (A) = (on borne les taux de substtuton par ɛ et 1/ɛ) cf. Fg. 5 On suppose que A P et f (A P ) sont non-vdes. Dans la sute on pose Y = f (A) Le pont déal est le pont y 0 R n défn par : PROPOSITION N, y 0 N, y 0 = nf y Y y = nf f (a) = nf y a A P y Y P y 0 est facle à calculer (optmsatons monodmensonnelles) 17 / / 28 BORNE SUP DE LA FRONTIÈRE EFFICACE MÉTHODE DU TABLEAU DES GAINS Le pont Nadr est le pont y N R n défn par : N, y N = sup a A P f (a) = sup y Y P y Masonagénéralement pas y N sup y Y y (cf. Fg. 6) y N n est pas facle àcalculer approxmaton en utlsant la méthode du tableau des gans 1 Détermner un x k A f k (x k )=nf a A f k (a) 2 Construre le tableau des gans,.e. la matrce carrée de talle n de terme général : γ k = f (x k ) 3 Poser y 0 = γ = f (x ) pour tout N et y N = sup k N γ k = sup k N f (x k ) Masonagénéralement seulement une approxmaton de y N EXEMPLE Y P = {(11, 4, 6), (6, 8, 3), (7, 3, 7), (4, 7, 7), (7, 7, 2)} avec y 0 =(4, 3, 2) et y N =(11, 8, 7) on obtent x 1 =(4, 7, 7), x 2 =(7, 3, 7), x 3 =(7, 7, 2) donc ỹ N =(7, 7, 7) 19 / / 28

6 CS et CN d effcacté CS et CN d effcacté FONCTIONS SCALARISANTES ET EFFICACITÉ Foncton paramétrque ψ ω (x) =ψ ω (x 1,...,x n ) ω Ω III) Agrégaton et résultats de caractérsaton E f (A) ensemble des solutons effcaces (E = f (A PF ), f (A P ), f (A PS ), f (A Pɛ ) = exploraton par ψ ω CONDITION SUFFISANTE D EFFICACITÉ : ω Ω, Arg opt x f (A) ψ ω (x) E CONDITION NÉCESSAIRE D EFFICACITÉ : y E, ω Ω, y Arg opt x f (A) ψ ω (x) CARACTÉRISATION DE E :sψ ω vérfe à la fos la condton nécessare et la condton suffsante. 21 / / 28 CS et CN d effcacté CS et CN d effcacté LA SOMME PONDÉRÉE NORMES DE TCHEBYCHEFF Théorème 1 (Koopman, 51 ; Kuhn et Tucker, 51) SOMME PONDÉRÉE : s(x,ω)= n =1 ω x s ω 0, x mnmse s(x,ω) sur f (A) x f (A P ) x f (A P ) et f(a) convexe ( ω 0 : x mnmse s(x,ω) sur f (A)) On n a pas de caractérsaton de A P dans le cas non-convexe! Fg 7 et 8 Théorème 2 (Dnkelbach 71 ; Bowman, 76) Sot x 0 un pont de référence de f (A) tel que x 0 y 0 NORME DE TCHEBYCHEFF PONDÉRÉE : s(x, x 0,ω)=max =1,...,n {ω (x x 0 ) } s ω 0, x mnmse s(x, x 0,ω) sur f (A) x f (A PF ). De plus l une des solutons optmales est dans f (A P ). x f (A P ) ( ω >0 : x mnmse s(x, x 0,ω) sur f (A) et x est l unque optmum. Ne donne pas non plus une caractérsaton de A P! Fg 9 23 / / 28

7 CS et CN d effcacté NORME DE TCHEBYCHEFF AUGMENTÉE UNE ALTERNATIVE AUX NORMES CS et CN d effcacté Théorème 3 (Dnkelbach et Iserman, 73) Sot x 0 un pont de référence de f (A) tel que x 0 y 0 TCHEBYCHEFF AUGMENTÉE PONDÉRÉE : s(x, x 0,ω)=max =1,...,n {ω (x x 0 ) } + ɛ n =1 ω (x x 0 ) s ω 0, x mnmse s(x, x 0,ω) sur f (A) x f (A Pɛ ) x f (A Pɛ ) ( ω >0 : x mnmse s(x, x 0,ω) sur f (A)) Caractérsaton de A Pɛ = ω Ω Arg mn a A s(f (a), x 0,ω) Lorsque ɛ 0, on tend vers une caractérsaton de A P Fg 10, 11, 12 Théorème 4. (Werbck 78, 80, 81) Sot x 0 un pont de référence quelconque (nveaux d aspraton) ACHIEVEMENT FUNCTION s(x, x 0,ω)=max =1,...,n {ω (x x 0 )} + ɛ n =1 ω (x x 0 ) s ω 0etx 0 f (A), x mnmse s(x, x 0,ω) sur f (A) x f (A PF ) x f (A Pɛ ) ω>0 : x mnmse s(x, x,ω) sur f (A). Fg 13, / / 28 EXPLORATION DE LA FRONTIÈRE EFFICACE IV) Agrégaton temporare et exploraton Itérer les étapes suvantes jusqu à l obtenton d une soluton satsfasante : 1 Générer une soluton optmale pour s(x, x 0,ω) 2 La présenter au décdeur 3 S satsfat STOP snon obtenr nformaton préférentelle 4 Mettre à jour x 0,ω et A 27 / / 28