Chapitre 4.1 Le champ magnétique

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1 Chapite 4.1 Le chap agnétique La découete du agnétise On peut accode au Gec de l antiquité la découete du agnétise apès aoi découet pès de la ille de Magnésie un inéal qui aait la popiété d attie le fe. Ce inéal fut baptisé agnétite et il est chiiqueent coposé de fe et d ogène (e O 4. De nos jous, nous soes capable de odifie la stuctue de cetains atéiau afin qu ils acquièent la popiété d attie le fe ce qui peet de les qualifie «d aiant». Magnétite Les pôles d un aiant Un aiant est toujous constitué de deu pôles : pôle nod ( et pôle sud (. Puisque des aiants peuent s attie ou se epousse, l epéience nous déonte que : Deu pôles identiques se epoussent Deu pôles difféents s attient La boussole Les Chinois fuent les peies à eploite le agnétise en découant le pincipe de la boussole au 1 ie siècle. Une boussole est constituée d une aiguille «aiantée» dont le pôle nod de l aiguille pointe dans la diection du pôle nod géogaphique. Puisque le pôle nod de l aiguille doit ête attié pa le pôle sud d un aute aiant (celui de la Tee, la découete de la boussole nous peet de éalise que le pôle nod géogaphique est en éalité un pôle sud agnétique. oussole La Tee est un gigantesque aiant pouant influence agnétiqueent d aute aiant coe une boussole. La natue agnétique de la Tee poient de couants électiques situés au cente de celle-ci et ce écanise n est pas encoe tès bien copis. La Tee est un gigantesque aiant. Réféence : Mac éguin, Phsique XXI Volue Page 1 ote de cous édigée pa : ion Véina

2 oussole et oientation du chap agnétique généé pa un aiant i l on place une boussole à un point P pès d un aiant, l aiguille a se déplace sous l effet d une foce agnétique. Le pôle nod de l aiguille sea epoussé pa le pôle nod de l aiant (foce. ' Le pôle sud sea attié pa le pôle nod de l aiant (foce. Apès aoi atteint l équilibe, l aiguille de la boussole sea aligné au point P de la façon suiante. i l on définit le chap agnétique coe étant l influence etéieue des pôles agnétiques d un aiant et que l on utilise la boussole pou désigne l oientation de ce chap, alos il faut conclue que : Le chap agnétique «sot» d un pôle nod. Le chap agnétique «ente» dans un pôle sud. Voici la epésentation du chap agnétique autou d une tige aiantée : Oientation de plusieus boussoles pès d un aiant Oientation du chap agnétique pès d un aiant Repésentation du chap agnétique en ligne de chap agnétique Chap agnétique unifoe Pou poduie un chap agnétique unifoe, on peut utilise un aiant en foe de «C» : On epésente un chap agnétique unifoe à l aide de lignes de chap agnétique égaleent espacées : égion de chap agnétique appoiatieent unifoe Réféence : Mac éguin, Phsique XXI Volue Page 2 ote de cous édigée pa : ion Véina

3 L étude de la foce agnétique pa la tajectoie Afin d éalue une epession associée à la foce agnétique, étudions la tajectoie d une paticule se déplaçant dans un chap agnétique constant. ituation 1 : Paticule neute se déplaçant aec une itesse quelconque. Obseation : La paticule se déplace à itesse constante. Conclusion : La paticule ne subit pas de foce, ca il n a pas d accéléation. La foce agnétique dépend de la chage de la paticule. ituation 2 : Paticule chagée aec itesse nulle. Obseation : La paticule deeue iobile. = 0 Conclusion : La paticule ne subit pas de foce, ca il n a pas d accéléation. La foce agnétique dépend de la itesse de la paticule. = 0 ituation : Paticule chagée aec itesse paallèle au chap agnétique. Obseation : La paticule se déplace à itesse constante. Conclusion : La paticule ne subit pas de foce, ca il n a pas d accéléation. La foce agnétique dépend de la itesse pependiculaie au chap agnétique. = 0 ituation 4 : Paticule chagée aec itesse pependiculaie au chap agnétique. Obseation : La paticule se déplace à itesse constante su une tajectoie ciculaie. Conclusion : La foce agnétique est toujous pependiculaie au chap agnétique et à la itesse de la paticule. q Réféence : Mac éguin, Phsique XXI Volue Page ote de cous édigée pa : ion Véina

4 Le poduit ectoiel En athéatique, on définit le poduit ectoiel ente deu ecteus A et de la façon suiante. Il est ipotant de pécise que le poduit ectoiel donne un ésultat ectoiel et que le poduit n est pas coutatif ( A A, A = A : A = A sin( θ nˆ = ( A A i ( A A j + ( A A où A : Le peie ecteu dans le poduit ectoiel ( A = Ai + A j + Ak : Le deuièe ecteu dans le poduit ectoiel ( = i + j + k A : Le odule du ecteu A ( A = A + A + A : Le odule du ecteu ( = + + θ : Angle ente les deu ecteus nˆ : Vecteu unitaie pependiculaie à A et ( n ˆ = 1 k Pou déteine la diection du ecteu A sans faie le calcul au long, on peut utilise la ègle de la ain doite. La ègle de la ain doite peet de défini l oientation du ecteu unitaie nˆ : nˆ A A θ θ A nˆ A nˆ A A θ Voici quelques popiétés du poduit ectoiel : 1 Le poduit ectoiel de deu ecteus paallèles est toujous égal à éo : i i = 0 j j = 0 k k = 0 2 Le poduit ectoiel donne toujous un ecteu ésultat pependiculaie au deu ecteus initiau : o o o i j = k j k = i k i = j (sens hoaie o j i = k o k j = i o i k = j (sens anti-hoaie Réféence : Mac éguin, Phsique XXI Volue Page 4 ote de cous édigée pa : ion Véina k i j

5 La foce agnétique su une paticule La foce agnétique est l influence que poduit un chap agnétique su une paticule chagée en oueent. La foce agnétique est toujous pependiculaie à la itesse de la paticule chagée et au chap agnétique ce qui a pou conséquence de poduie des tajectoies ciculaies che les paticules libes dont le aon dépend du odule de la foce agnétique. q Le odule de la foce agnétique dépend des paaètes suiants : q : La foce agnétique est popotionnelle à la chage, ca une paticule de chage éleée effectue une tajectoie ciculaie aec un petit aon. : La foce agnétique est popotionnelle au chap agnétique, ca une paticule effectue dans un chap agnétique éleé une tajectoie ciculaie aec un petit aon. : La foce agnétique est popotionnel à la itesse pependiculaie à, ca deu paticules de itesses difféentes dans un chap agnétique toune dans le chap au êe the (êe péiode pou effectue un tou coplet. Voici l epession ectoielle de la foce agnétique appliquée su une paticule de chage q en oueent à itesse dans un chap agnétique : où = q θ ˆ ou = q sin n : oce agnétique en newton ( q : Chage de la paticule en coulob (C : Vitesse de la paticule ète pa seconde ( /s : Chap agnétique en tesla ( T θ : Angle ente la itesse et le chap agnétique Pou éalue le odule du chap agnétique, on peut utilise l epession de la foce agnétique afin d isole le chap agnétique : = q sin Cette epession nous peet d epie l unité du chap agnétique qui est en tesla en l honneu de ikola Tesla en unité fondaental : ( θ kg 1 T = 1 = 1 C C s s s kg = 1 C s 2 q > 0 q < 0 Réféence : Mac éguin, Phsique XXI Volue Page ote de cous édigée pa : ion Véina

6 stèe de coodonnée Un sstèe de coodonnée (nod, sud, est, ouest qui pote le no de «ose des ents» fait éféence à un sstèe de coodonnée à deu diensions. On peut faie la coespondance suiante aec un sstèe d ae : Coespondances : Rose des ents : Plan catésien : od : + ud : - Est : + Ouest : - ouest sud nod est On peut ajoute la notion de haut et bas à la «ose des ents» pou aoi la coespondance suiante aec un sstèe d ae : Coespondances : Rose des ents d : Plan catésien : od : + haut ud : - nod Est : + ouest est Ouest : - sud Haut : + bas as : - ituation 2 : La foce agnétique su un poton. Un poton se déplace à 0 /s es le nod-est dans un chap agnétique de 0,2 T oienté es le sud. On désie déteine le odule et l oientation de la foce agnétique qu il subit. Éaluons l oientation de la itesse et du chap agnétique pa appot à l ae et l angle ente et : Oientation itesse : nod-est θ = 4 pa appot à l ae Oientation chap agnétique : sud θ = 90 pa appot à l ae Angle ente et : Éaluons le odule de la foce agnétique : q sinθ θ = θ θ θ = 1 19 = = ( 1,6 10 ( 0( 0,2 sin( 1 = 1, Aec la ègle de la ain doite, on peut déteine que l oientation est es le bas. Réféence : Mac éguin, Phsique XXI Volue Page 6 ote de cous édigée pa : ion Véina

7 ituation A : oce agnétique aec le poduit ectoiel. Un électon se déplace à 400 k/s es l ouest à 0 o au-dessus de l hoiontal dans un chap agnétique constant de 0,07 T oienté es le nod à 60 o es l est. On désie éalue (a la foce agnétique sous foe ectoielle et (b le odule de la foce agnétique Voici une epésentation gaphique de la situation dans une «ose des ents d» et dans un plan catésien : sud haut bas nod ouest 0 o 60 o est 0 o 60 o Puisque les ecteus ne sont pas alignés su les aes, il sea beaucoup plus efficace d utilise la ègle du poduit ectoiel pou éalue la foce agnétique. Décoposons nos ecteus dans le sstèe d ae : = cos ( 0 i + sin( 0 k = ( cos( 0 i + ( sin( 0 k =,46 i + 2,00 k 10 = 60 ( /s sin ( 60 i + cos( j = ( 0,07 sin( 60 i + ( 0,07 cos( 60 j On peut effectue le poduit ectoiel 2 = ( 6,06 i +, j + 10 T de deu façons difféentes : Méthode 1 : Utilisation de l équation du poduit ectoiel Aec : A = ( A A i ( A A j + ( A A = ( i ( j + ( k = + [ ( 0( 0 ( 2 10 ( 0,0 ] [ (,46 10 ( 0 ( 2 10 ( 0,0606 ] [(,46 10 ( 0,0 ( 0( 0,0606 ] k Ce qui donne : ( i j = 7 i + 12,1 j 12,1 k 10 k Réféence : Mac éguin, Phsique XXI Volue Page 7 ote de cous édigée pa : ion Véina

8 Méthode 2 : Distibution de l opéateu poduit ectoiel Rappel : = (,46 i + 2,00 k 10 /s = = = = i 2 (, j + 6,06 10 T (,46 10 i k ( 0,0 j + 0,0606 i [ (,46 10 i ( 0,0 j ] ( tee1 + [(,46 10 i ( 0,0606i ] ( tee 2 + [( 2 10 k ( 0,0 j ] ( tee + [( 2 10 k ( 0,0606 i ] ( tee 4 12, , ,1 10 ( i j ( i i ( k j ( k i = 12,1 10 ( k + 21,0 10 ( ( i + 12,1 10 ( j = 7 i + 12,1 j 12,1 k 10 Ce qui donne : ( Maintenant, il ne este plus qu à calcule la foce agnétique : 19 = q = ( 1,6 10 ( 7i + 12,1 j 12,1 k 10 1 = 1,12 i 1,94 j + 1,94 k 10 ( ( (a On peut aintenant éalue le odule de la foce agnétique: = 1 ( 2 ( 2 ( 2 = 10 1,12 + 1,94 + 1, 94 1 = 2,96 10 (b Réféence : Mac éguin, Phsique XXI Volue Page 8 ote de cous édigée pa : ion Véina