ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE

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1 ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE Le champ électomagnétique agit su les chages mobiles et peut leu tansfée de l énegie (ex : mise en mouvement des chages de l antenne éceptice d un écepteu adio, effet joule dans un c.o., échauffement des aliments dans un fou mico ondes). Invesement nous veons que dans un émetteu adio pa exemple, le mouvement des chages dans l antenne engende un champ électomagnétique : il y a convesion d énegie cinétique en énegie électomagnétique. Enfin, le champ électomagnétique tanspote lui-même de l énegie (même sans suppot matéiel, à taves le vide). Considéons pa exemple un lase émettant une impulsion tès bève en diection de la lune. Il existe un laps de temps pendant lequel l énegie a déjà quitté le lase et n est pas encoe absobée pa le détecteu. Le pincipe généal de consevation de l énegie exige que cette énegie soit quelque pat : elle est localisée dans la égion de l espace où ègne le champ électomagnétique, ente la souce et le écepteu, dans le champ lui-même. L objet de ce chapite est l expession de tous ces tansfets d énegie. I. Echange d énegie ente la matièe et le champ 1. uissance volumique cédée à la matièe pa le champ Le champ électomagnétique peut céde de l énegie à la matièe pa le tavail des foces de Loentz su les paticules chagées de la matièe Soit une paticule chagée, de chage q, de vitesse v dans un champ électomagnétique ( E, ); elle subit la foce de Loentz : q(e + v ) f 1 de tavail élémentaie: δ f.dl qe.dl qe.vdt W 1 1 et de puissance (tavail pa unité de temps) : dt 1 1 qe.v emaque une paticule chagée ne eçoit de l énegie de la pat du champ électomagnétique que si elle est en mouvement (i.e. si v ) Soit maintenant un milieu où la chage se distibue en volume. Les paticules chagées sont éventuellement de plusieus types, le type () étant caactéisé pa une chage q, une densité paticulaie ν et une vitesse moyenne en M à l instant t, v. La puissance eçue pa les ν dτ paticules chagées de type () d un volume élémentaie dτ, (c est-à-die la puissance cédée pa le champ électomagnétique) est : d ν dτ 1 ν q v.edτ j.edτ avec j ν q v Enegie électomagnétique (elm 6) 1

2 La puissance eçue pa les paticules chagées du volume dτ est donc : d d j.edτ avec j j ν types types types Remaque : un volume de matièe contenant des paticules chagées ne eçoit de l énegie de la pat du champ électomagnétique que s il est le siège de couant ( j ). En evanche, il peut ête électiquement neute. La puissance eçue pa la matièe de la pat du champ, pa unité de volume (ou encoe cédée à la matièe pa le champ) est : d puissance volumique cédée à la matièe pa le champ dτ cédée q v j. E en W.m -3. Remaque : * La puissance totale cédée à la matièe d un volume pa le champ est d j.edτ * Il s agit d une énegie qui change de fome : elle passe de la fome «électomagnétique» à une aute fome (énegie cinétique macoscopique ou micoscopique cf ci-dessous).. Cas paticulies a) Faisceau de paticules Un faisceau de paticules est caactéisée pa une densité de couant j ρ v colinéaie à sa vitesse. L expession ci-dessus monte que la puissance volumique cédée pa le champ à la matièe est maximale quand le faisceau est soumis à un champ électique extéieu colinéaie à sa pope diection (de même sens que j, i.e. de même sens que v pou des paticules chagées positivement, de sens opposé à v pou des paticules chagées négativement. L énegie founie pa le champ est convetie en énegie cinétique macoscopique. C est ce qui se passe dans les accéléateus de paticules. b) Conducteus ohmiques Dans un milieu conducteu, il ne peut pas y avoi d augmentation de l énegie cinétique macoscopique : l énegie cédée pa le champ est convetie en énegie micoscopique d agitation themique du milieu, c est-à-die qu elle augmente l énegie intene du conducteu (cette augmentation se taduit en généal pa une élévation de tempéatue) et, si le conducteu n est pas isolé, elle est en patie tansféée ves le milieu extéieu sous fome de chaleu. En égime stationnaie, l énegie intene du conducteu est constante, sa tempéatue aussi : l énegie cédée pa le champ est intégalement tansféée ves le milieu extéieu sous fome de chaleu. L effet themique du couant électique dans un conducteu est connu sous le nom d effet Joule (défini en 1841 pa Joule) et conduit à de nombeuses applications (ésistances chauffantes, adiateus électiques, fusibles ). écisons l expession de la puissance cédée pa le champ à la matièe (puis à l extéieu sous fome de chaleu) dans le cas d un conducteu ohmique (métal ou électolyte). Un conducteu ohmique est caactéisé pa la loi d ohm locale : Loi d Ohm locale : j γ E (γ : conductivité du matéiau γ1/ρ où ρ est la ésistivité) d la puissance volumique cédée pa le champ à la matièe est j.e γe dτ j La puissance cédée à un tonçon cylindique de longueu l, de section s pacouu pa une intensité ijs vaut donc : γ j i i l d dτ dτ.sl i : γ Enegie électomagnétique (elm 6)

3 On voit appaaîte l expession de la ésistance R du tonçon et on etouve la fome usuelle de la loi de Joule : cédée Ri avec R l II. ilan d énegie électomagnétique Soit un volume de l espace (contenant éventuellement de la matièe), délimité pa une suface femée (fictive) fixe (appel : suface femée enveloppe délimitant un volume donné). Soit la gandeu extensive, fonction d état W(t) : «énegie électomagnétique contenue dans à l instant t». On pose W(t) w(, t)dτ électomagnétique pa unité de volume). (analogue de Q(t) ρ(, t)dτ fonction de la densité volumique de chage ρ) où w est la densité volumique d énegie électomagnétique en M( ) à l instant t (énegie où ρ est la densité volumique de chages pou la chage contenue dans un volume en Le bilan d énegie électomagnétique s écit ente les instants t et t+dt : soit dw entante + poduite vaiation d énegie électomagnétique de énegie électomagnétique algébiquement eçue de la pat de l extéieu (entant pa l enveloppe ) + énegie électomagnétique algébiquement poduite dans (pa la matièe) Ce denie teme est en fait la plupat de temps, dans les matéiaux conducteus, négatif ou nul, c est l opposé de l énegie électomagnétique cédée pa le champ à la matièe contenue dans. poduite - cédée à la matièe où cédée à la matièe est l énegie électomagnétique cédée pa le champ électomagnétique à la matièe contenue dans le volume ente t et t+dt. D apès le I, cédée à la matièe dt dt. ( j.e)dτ L énegie entante dans est due à un couant d énegie tavesant la suface. On intoduit un vecteu couant d énegie R(,t ) dont le flux à taves une suface oientée epésente la puissance électomagnétique qui s écoule algébiquement à taves dans le sens +, aussi appelée puissance ayonnée à taves oientée, ay : ay tavesant dt électomagnétique) R.dS R en W. m avec R vecteu de oynting (vecteu couant d énegie On notea l analogie avec l intensité du couant électique I à taves une suface : c est pa définition la chage tavesant pa unité de temps; et on l écie comme le flux à taves de j, vecteu densité volumique de couant δq tavesant électique. I j.ds j en A.m dt. Enegie électomagnétique (elm 6) 3

4 Dans le bilan que nous sommes en tain de faie, est une suface femée et pa convention, elle est oientée ves so tan te l extéieu, donc : R.dS, et dt entant so tan t dt R.dS dw dw W(t + dt) W(t) dt, vaiation élémentaie de la fonction d état W «énegie elm». dt O W(t) w(, t)dτ dw s écit donc, en pemutant les opéateus déivation pa appot au temps et intégale de volume : w dw dt. dτ t Le bilan d énegie électomagnétique s écit finalement, en multipliant membe à membe pa (-1) : w dτ t R.dS + j.edτ Ceci est l expession intégale du bilan d énegie électomagnétique : pa unité de temps, la diminution d énegie elm dans est égale à la somme de l énegie électomagnétique sotant (pa l enveloppe ) et de l énegie électomagnétique cédée à la matièe contenue dans. On utilise le théoème d Ostogadsy. L égalité pécédente étant éalisée pou un volume quelconque, on obtient en faisant tende la taille de ves autou d un point M : w divr + j.e équation locale de oynting t Ceci constitue une expession locale du bilan d énegie électomagnétique : la diminution d énegie électomagnétique est la somme de ce qui sot et de ce qui est cédée à la matièe. Remaque : L analogue pou la chage de l équation locale de oynting est l équation locale de consevation de la chage : ρ divj t On note une difféence impotante ente la chage et l énegie électomagnétique : la chage est une gandeu consevative, l énegie électomagnétique ne l est pas; le teme de poduction est non nul. L énegie électomagnétique ne se conseve pas «telle quelle». Elle peut en effet ête convetie en une aute fome d énegie (en énegie cinétique dans les accéléateus, en énegie themique dans les conducteus ohmiques (effet Joule)). III. Exploitation des équations de Maxwell (MA et MF) Le bilan pécédent a été éalisé indépendamment des équations de Maxwell. O ces équations sont le fondement de la théoie électomagnétique; elles doivent donc «conteni» également ce bilan. Exploitons-les, cela va nous pemette d en tie les expessions de R et w en fonction des champs. Enegie électomagnétique (elm 6) 4

5 Multiplions MA pa E / et MF pa /. On obtient, en etanchant membe à membe : ( ) εe² E.ot.otE j.e + + t 1 ( ) ε E² div( E j.e + + t 1 ca div( E).( E).(E ) + E.( ) E.ot.otE identité de oynting εe² + E div( ) + j. E t En identifiant avec le bilan local d énegie électomagnétique, on obtient les expessions de R et w : E(, t) (, t) R(, t) ε 1 w (,t) E²(, t) + (, t) w E w Remaque : il ne s agit pas d une démo. Il y auait d autes solutions mathématiques mais c est celle-ci qui est etenue. Dans w, le pemie teme est la contibution électique w E, le second w la contibution magnétique. La puissance électomagnétique ayonnée à taves une suface oientée est égale au flux du vecteu taves. Ce ésultat pote le nom de théoème de oynting ay R.dS avec E R E R à Si est une suface femée, il s agit de la puissance sotante. I. Cas d une OEM Soit une OEM se popageant dans la diection Oz, dans le sens densité volumique d énegie uisque Ec (en tout point de l espace et à chaque instant) et que ε c 1, on a 1 εc 1 εe w w + w w w ε E² E E Il y a équipatition des contibutions électique et magnétique à l énegie de l onde. w, comme E et est fonction de et t. Enegie électomagnétique (elm 6) 5

6 . ecteu de oynting uz E D apès la elation de stuctue : c E R Remaque : E² c u z cε E²u z cwu z R est colinéaie à u z : R est le vecteu couant d énegie, il a pou diection et sens ceux de la popagation de l onde. l OEM tanspote l énegie dans sa pope diection et avec une vitesse égale à la céléité c : Rcw. les lignes de champ de R sont les lignes de couant d énegie, elles sont paallèles à la diection de popagation. Dans le domaine du visible, ce sont ce qu on appelle les ayons lumineux. En dehos des ondes adio, les péiodes (tempoelles) des champs E et, donc de w et R, sont tès petites devant les temps de éponse des détecteus d onde (tel que l œil, les cellules photoélectiques ). C est pouquoi on utilise couamment des moyennes tempoelles plutôt que des valeus instantanées. On définit ainsi : 3. Intensité énegétique d une OEM en un point M définition : L intensité énegétique d une OEM en un point M est la moyenne tempoelle en M de la puissance ayonnée à taves l unité de suface pependiculaie à la diection de popagation. Elle epésente l énegie électomagnétique moyenne qui seait eçue, pa unité de temps, pa l unité de suface d un détecteu plan nomal à la diection de popagation. I (M) < d ds > O d(m,t) R (M,t).d S ± R ds I(M) < R(M, t) > c < w(m) > en W.m Cela donne la signification concète du vecteu de oynting : sa diection et son sens sont ceux de la popagation de l énegie électomagnétique, la moyenne tempoelle de sa nome en un point M epésente l énegie électomagnétique moyenne qui seait eçue pa unité de temps, pa l unité de suface d un détecteu plan nomal à la diection de popagation. cas paticulie de l OEMM (de polaisation ectiligne pa exemple) : E E cos( ωt z) : 1 1 w εe εex ; < w > εe ; I c < w > cεe où E est l amplitude du champ électique L intensité énegétique et la densité volumique moyenne d énegie sont épaties dans l espace de façon unifome (elles sont indépendantes de M). Enegie électomagnétique (elm 6) 6