Exo7. Fonctions mesurables, intégrale de Lebesgue. Exercices : Barbara Tumpach Relecture : François Lescure

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1 Exercices : Barbara Tumpach Relecture : Fraçois Lescure Exo7 Foctios mesurables, itégrale de Lebesgue Exercice Motrer les égalités esemblistes suivates : [a,b] ]a,b + [ et ]a,b[ [a +,b ] [5933] Exercice Soit (,Σ, µ u espace mesuré et f : R ue foctio (Σ-B(R-mesurable. Motrer que la trocature f A de f défiie par : A si f (x < A f A (x f (x si f (x A A si f (x > A est (Σ-B(R-mesurable. [5934] Exercice 3 Soit N, Σ P(N et µ la mesure de comptage sur N défiie par : µ(e E, k E où E Σ. Soit f : N R ue foctio positive ou ulle. Motrer que f est (Σ-B(R-mesurable et que : f dµ f (. [5935] Exercice 4 Soit (,Σ u espace mesurable. O dit que ϕ : R est ue foctio simple ou étagée si ϕ est mesurable et e pred qu u ombre fii de valeurs, i.e. si ϕ s écrit : ϕ c j E j, où J est u esemble fii, les esembles E j sot mesurables et où, pour i j, c i c j et E i E j /. Soit ϕ ue foctio simple positive. O rappelle que l itégrale de ϕ par rapport à ue mesure µ est défiie par : ϕ dµ µ ( S ϕ (t dt, où S ϕ (t {x,ϕ(x > t}.

2 . Motrer que ϕ dµ c j µ(e j.. Motrer que pour toute foctio réelle mesurable positive, f M + (,Σ, il existe ue suite {ϕ } N de foctios simples positives telle que : (a ϕ (x ϕ + (x pour tout x et pour tout N ; (b lim + ϕ (x f (x pour tout x. [5936] Exercice 5 Soit (,Σ, µ u espace mesuré et f M + (,Σ (i.e f est ue foctio réelle mesurable positive. Pour tout E Σ, o pose : λ(e f dµ A f dµ. E Moter que λ défiit ue mesure sur (,Σ. [5937] Exercice 6 Soit p >. Soit f : R R + la foctio défiie par f (x x p { x <} (x. Calculer l itégrale de f par rapport à la mesure de Lebesgue de R de deux maières différetes : (i E utilisat les coordoées polaires et les méthodes stadard de calcul d itégrales ; (ii E calculat la mesure des esembles S f (a {x, f (x > a} et la défiitio de l itégrale de Lebesgue. [5938] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr

3 Correctio de l exercice. Motros que [a,b] ]a,b + [. Pour tout N, o a [a,b] ]a,b + [. Doc [a,b] ]a,b + [. Soit x ]a,b + [. Alors pour tout N, o a : Aisi a < x < b +. lim (a x lim + (b + +, c est-à-dire x [a,b]. Doc ]a,b + [ [a,b] et o a démotré l égalité etre ces deux esembles.. Motros que ]a,b[ [a +,b ]. Pour tout N, o a [a +,b ] ]a,b[, doc [a +,b ] ]a,b[. Soit x [a+,b ]. Alors il existe N tel que x [a+,b ]. Aisi x ]a,b[ et [a+,b ] ]a,b[, d où l égalité de ces deux esembles. Correctio de l exercice Soit (,Σ, µ u espace mesuré et f : R ue foctio (Σ-B(R-mesurable. Motros que la trocature f A de f défiie par : A si f (x < A f A (x f (x si f (x A A si f (x > A est mesurable. Notos E : {x f (x < A} f (], A[, E : {x f (x A} f ([ A,A], E 3 : {x f (x > A} f (]A,+[. Comme ], A[, [ A,A], ]A,+[ appartieet à la tribu boréliee et f est (Σ-B(R-mesurable, les esembles E, E, et E 3 appartieet à Σ. Alors f A f E A E + A E3 est mesurable comme somme de produits de foctios mesurables. Correctio de l exercice 3 Soit N, Σ P(N et µ la mesure de comptage sur N défiie par : µ(e E, k E où E Σ. Soit f : N R ue foctio positive ou ulle. Pour tout borélie E, f (E appartiet à P(N, doc f est (Σ-B(R-mesurable. Par défiitio de l itégrale, f dµ µ (S f (t dt, où S f (t { Σ, f ( > t}. Pour tout y [,+[, posos A y : { N, f ( y}. Alors S f (t y>t A y où l uio est disjoite et où A y est vide sauf pour u esemble déombrable {y i } i N de valeurs de y. Par σ-additivité de la mesure µ, µ (S f (t µ ( yi >ta yi µ (A yi µ ({ f y i }. y i >t y i >t 3

4 Aisi : f dµ y i >t i µ ({ f y i } dt y i µ ({ f y i } i i t<y i µ ({ f y i } dt y i { N, f ( y i } f (. Correctio de l exercice 4 Soit ϕ ue foctio simple positive : ϕ c j E j, où J est u esemble fii, les esembles E j sot mesurables et où, pour i j, c i c j et E i E j /.. O a ϕ dµ µ ( S ϕ (t dt, où S ϕ (t {x,ϕ(x > t} c j >te j et où µ ( S ϕ (t c j >t µ (E j. Aisi. Pour tout N, posos ϕ dµ c j >t c j µ (E j dt µ (E j dt c j µ(e j. E k, : {x, k f (x < (k + } pour k,...,, E, : {x, f (x } pour k. Puisque f est mesurable, les esembles E k, appartieet à Σ. Pour tout N fixé, les esembles E k,, k sot deux à deux disjoits et k E k,. Posos ϕ k k Ek,. Alors ϕ est ue foctio simple positive vérifiat ϕ f. E outre ϕ (x ϕ + (x pour tout x et pour tout N. De plus, lim + ϕ (x f (x pour tout x. Correctio de l exercice 5 Soit (,Σ, µ u espace mesuré et f M + (,Σ. Pour tout E Σ, o pose : Motros que λ défiit ue mesure sur (,Σ. λ(e f dµ A f dµ. E ère méthode : O motre d abord que l affirmatio est vraie pour les foctios simples. D après l exercice 4, toute foctio f M + (,Σ s écrit f sup N ϕ, où les ϕ sot des foctios simples. Puisque le supremum d ue famille quelcoque de mesure est ue mesure, o coclut que λ est ue mesure. 4

5 de méthode : O a clairemet λ(/. Il suffit doc de vérifier la σ-additivité de λ. Soit {E i } i N Σ ue suite d élémets deux à deux disjoits. O a ( λ E i i f dµ i E i f dµ E i i ( i i i Ei f dµ ( Ei f dµ λ(e i. i i E i f dµ ( Ei f dµ Correctio de l exercice 6 Soit f : R R + la foctio défiie par (i O a : R f (xdx Pour p, il viet Pour p <, il viet (ii Pour a [,+[, f (x x p { x <} (x. x p { x <} (xdx R π Γ ( r p dr. x < R f (xdx +. f (xdx π [ r R Γ ( p ( p x p dx r r p drdσ σ S ] π ( pγ ( S f (a {x R, x p x < > a} {x R, x p > a} B(,, où B(, est la boule de cetre et de rayo. Aisi S f (a {x R,a p > x } B(,. O e déduit que S f (a B(, si a p >, i.e. si a < et que S f (a est égale à la boule B(,a p de cetre et de rayo a p lorsque a. Il viet alors : + f (xdx µ (S f (a da µ (B(, da + R π Γ ( + + π + Γ ( + a p da. Si p, o obtiet R f (xdx + et pour p <, o a : [ π f (xdx R Γ ( + + π Γ ( + ( + p p π Γ ( + + a p + p + ] + π ( pγ ( ( µ B(,a p da. 5