GSE 5 EXGSE050 EXGSE059

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Eric Carrière
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1 Exercices résolus de mthémtiques. GSE 5 EXGSE050 EXGSE059 Jcques Collot Avril GSE 5-1 -

2 EXGSE050 FACSA, ULG, Liège, septembre 00. On considère le cube ACA C. On note P le milieu de [, A ], Q le milieu de [ A, ] et R le milieu de [ C, C ]. C A Q R P C A 1. Montrer que ' et ' 1 1 PQ A AC QR AC A. Montrer que le pln PQR est prllèle u pln AC. Montrer que PQR coupe le cube selon un hexgone régulier. C U A Q R T P S C A - GSE 5 - -

3 1 1) PQ P ' ' A AC C Q C ' A AC C Q C ' A AC A AC C ' A AC C 1 ' A AC QR QR QR QA AC CR QA A ' ' C ' C ' R AC A ' A ' C ' AC A ' ) En vertu du point 1) PQ et QR sont des combinisons linéires de ' A et AC PQ et QR sont prllèles u pln AC ' les plns PQR et AC ' sont prllèles ) QU // AC puisque les plns PQR et AC ' sont prllèles U est le milieu de C AC et QU e même pour SR et TP et comme les digonles des fces du cube sont égles QU UR RS SP TP PQ e plus, QS UP TR cr médines du cube QURSTQ est un hexgone régulier. Modifié le 6 septembre GSE 5 - -

4 EXGSE051 FACS, UL, ruxelles, juillet 00. ns un pln rpporté à un repère orthonormé d origine O et d xes X et Y, on donne qutre points : A ( 1, 0 ), (, ), C (, ) et ( 0, 1 ). Clculer le volume blyé pr le rectngle AC lorsqu on lui fit subir une rottion de 180 utour de l xe OY Y C (, ) ( 0, ) F ( 1, ) (, ) ( 0, 1 ) O A A ( 1, 0 ) X Rppel : Volume du tronc de cône : VTC h d d 1 Volume du cône : VC r h Le volume recherché V est l moitié de : CC ' ' volume du tronc de cône engendré pr CC ' ' VTC CC ' F' volume du tronc de cône engendré pr CC ' F ' VTC ' AA' volume du tronc de cône engendré pr ' AA' VTC ' F volume de cône ' F VC AA' volume du cône AA' VC CC ' ' 76 VTC CC ' F' 8 VTC ' AA' 104 VTC ' F AA' VC VC 1 1 CC ' ' CC ' F' ' AA' ' F V V V V V TC TC TC C GSE 5-4 -

5 h EXGSE05 EPL, UCL, Louvin, juillet 00, série 1. Soit un cône circulire droit qui est coupé pr un pln prllèle à s bse. On vous demnde e déterminer l position du pln pr rpport u sommet du cône pour que les volumes des deux solides formés soient égux. expliquer votre démrche u moyen d un dessin clir et précis. R h R 1 V R 1 Vh Rh h Rh R Or et V V h R 1 1 R h h h h Résolu le 4 juin GSE 5-5 -

6 EXGSE05 EPL, UCL, Louvin, juillet 00, série. Soit un cube d rête et dont les digonles sont AA,, CC et. On fit tourner le cube utour de AA. e déterminer en fonction de l ire de l surfce engendrée pr le segment de droite A. expliquer votre démrche u moyen d un dessin clir et précis. C Figure 1 A A Figure 1 A :,0,0 AA':,, Soit est l'ngle entre ces deux vecteurs cos C A L Figure montre le pln AA' 6 A Figure A engendre un cône dont l'ire ltérle est : A L A. AL 6. A Résolu le 4 juin 004. Modifié le 6 septembre GSE 5-6 -

7 EXGSE054 EPL, UCL, Louvin, septembre 00. Soit un hexgone régulier tournnt utour d un xe pssnt pr un de ses sommets et perpendiculire à un côté djcent. On vous demnde : e déterminer les rpports entre les volumes et les surfces totles des deux solides engendrés pr cette rottion. expliquer votre démrche u moyen d un dessin clir et précis. A F 60 c / c I c / E C c Puisque AE 60 et A c Rpport des volumes Il suffit d'étudier le rpport des volumes engendré pr AFE et A A 1 c engendre un cône : VA = c c 4 AFE engendre un tronc de cône : V c VA 4 19 VAFE 19 c 4 AFE c c =. cc. c 19 c = GSE 5-7 -

8 Rpport des surfces totles Ici ussi, il suffit de fire le rpport des surfces engendrées pr A et AFE. c c A Surfce ltérle d'un cône : S c 1 Rppel : S rl AFE AF Surfce d'un cercle : S c c 5c FE Surfce ltérle d'un tronc de cône : S c c Rppel : S r r l 1 4 AFE S S S c 7c AFE onc 7 A c 5c 7c Résolu le 4 juin GSE 5-8 -

9 EXGSE055 EPL, UCL, Louvin, juillet 00, série 1. On considère une cisse cubique de côté c. On désire mettre dns cette cisse des troncs cylindriques de huteur c et de ryon c / 0 et ensuite refermer l cisse : en d'utres mots, rien ne peut déborder de l cisse. On vous demnde: 1. e donner le nombre mximum de cylindres qui peuvent être plcés dns cette cisse,. e clculer le rpport entre le volume vide et le volume de l cisse.. 'expliquer votre démrche pr un dessin précis. Solution proposée pr Jn Frns roecks - GSE 5-9 -

10 Résolu le 4 juin 004. Modifié le 6 septembre 004. Modifié le décembre GSE

11 h h' EXGSE056 EPL, UCL, Louvin, juillet 00, série. Soit une pyrmide de bse et de huteur h. On prolonge les rêtes de cette pyrmide u-delà du sommet et on coupe ces prolongements pr un pln prllèle à l bse. On forme insi une seconde pyrmide de huteur h' et de bse '. On définit : h = h' - h. On vous demnde d'exprimer l somme des volumes de ces deux pyrmides en fonction de, de ' et de h, en vous idnt d'un dessin du problème. h' ' On : h h'. h ' h h ' h h ' h '. h ' 1 ' ' h h ' 1 1 ' 'utre prt : V V ' h ' h ' h h ' h ' ' h '. h h ' ' En vertu de 1 : 1 h h ' V V '. h ' V V ' 1 1 ' ' Résolu le 4 juin GSE

12 EXGSE057 EPL, UCL, Louvin, septembre 00. Une "mison" est construite à prtir d'un cube de côté uquel on superpose un toit pyrmidl de huteur. Pour des risons de dimensionnement du chuffge, on cherche à construire trois niveux (rez de chussée u niveu zéro et deux étges) ynt le même volume. Le premier étge est u niveu h 1 et le deuxième étge u niveu h 1 + h. On vous demnde : 'exprimer h 1 et h en fonction de et en discutnt l solution pour différentes vleurs de et. 'évluer h 1 dns les cs (i) = 1, = 1/ et (ii) = 1, = 9. h h 1 h h T Figure 1 = / - GSE 5-1 -

13 Soit : V : le volume correspondnt à l huteur h 1 1 V : le volume correspondnt à l huteur h V : le volume correspondnt à l huteur h, définie comme l huteur du troisème niveu. VT : le volume totl. VT Envisgeons deux cs prticuliers : ) Le niveu h h rrive juste à huteur du toit. (Figure 1) ns ce cs : V V V V b) Le niveu h rrive juste à huteur du toit. (Figure ) 1 1 V1 et V1 V 6 h T h 1 h h Figure = GSE 5-1 -

14 Il nous fut donc triter les cs 1) 0 h1 h V1 V h1 VT h1 h 9 ) 6 h1 et h1 h V1 h1 VT h1 9 1 V c h c côté de l bsse crrée de l pyrmide u niveu h 1 h 1 Or c V h h h h 1 ) 6 h 1 1 h 1 V h 1 V V c h c côté de l bsse crrée de l pyrmide u niveu h h 1 T T h h h h Or c V V V V V V V h h1 1 h 1 h h - GSE

15 Figure = 1, = 1 / h h 1 h T h h T h 1 h h Figure 4 = 1, = 9 Applictions 1 i) 1, Nous sommes dns le premier cs : h h h 0.7 ii) 1, 9 Nous sommes dns le troisième cs : 9 h h h Résolu le 4 juin GSE

16 EXGSE058 Liège, juillet 004. On considère un tétrèdre SAC tel que les droites SA, S et SC soient perpendiculires deux à deux. Soit l projection orthogonle de S sur le pln AC. ) émontrer que est l orthocentre du tringle AC b) Si on note XYZ l ire du tringle XYZ, montrer que AC AS AS A S C A S C A - GSE

17 ) Montrons que SC est perpendiculire à A SC S et SA SC u pln SA SC A S u pln AC S A A SC et S A u pln SC A C A et C sont coplnires, on A C On recommence pour. Conclusion : est l'orthocentre du tringle AC b) Soit le pied de l huteur de C dns AC, c'est ussi le pied de l huteur issue de S dns AS. C A S AC AS On peut écrire : S A AS A A A C S qu'il suffit de démontrer Or le tringle SC est rectngle les tringles CS et S sont semblbles puisqu'ils sont rectngles et ont l'ngle en commun. S C S C S Publié le novembre GSE

18 EXGSE059 Liège, juillet 004. On considère le cube ACA C. Sur l digonle AC, on définit les points P et P pr AP PP' P' C c) Montrer que les droites P et P sont prllèles d) Montrer que P et A ont un point Q en commun. e) Montrer que PQ est l perpendiculire commune ux droites AC et A. C A P P C A C A Q P P C A - GSE

19 Première méthode ) P PA A C ' P ' ' C ' ' P ' P et ' P ' sont prllèles. b) P et ' P ' sont dns le pln A' C ' qui coupe perpendiculirement l fce A ' A' selon A '. ns le tringle AP ' ', P est le milieu de AP'. Q est le milieu de A'. Mis Q pprtient ussi à l digonle A' Q P A' c) A' pln AC ' ' donc 1) Q A' ) pln A' pln AC ' ' AC ' pln A' AC ' Q onc PQ est l perpendiculire commune ux droites AC ' et A' - GSE

20 euxième méthode ) Soit un repère plce en A, d'xes A, A et AA'. On prend l'rète du cube C comme longueur unitire. : 1,0,0 ; : 0,1,0 ; A': 0,0,1 ': 0,1,1 et ': 1,1,1 1 1 Comme AP AC ' P : 1,1,1 et P': 1 1 P 1,0,0 1,1,1, 1, 1 P 1 P ' ' 1,1,1 0,1,1, 1, 1 1,1,1 ' P ' b) Clculons l'éqution de P de vecteur directeur, 1, 1 x 1 P y z x 0 L droite A' contient les points A': 0,0,1 et : 0,1,0 A' y z 1 xy 1 y z 1 1 P A' une seule solution Q : 0,, x 0 yz c) PQ 0,1,1 1,1,1,, 6 6 A AC ' 1,1,1 et ' 0,1,0 0,0,1 0,1, 1 On vérifie : PQ. AC ' 0 et PQ. A' 0 PQ est l perpendiculire commune à AC ' et A' Publié le 1 novembre GSE 5-0 -

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