Economie Industrielle et de l Innovation 3ème série d exercices d approfondissement

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1 Economie Industrielle et de l Innovation ème série d exercices d arofondissement Question : On considère le marché du kebab dans un quartier d une grande ville. La technologie de roduction de kebabs est donnée la fonction de coûts C(y) = 9y y + y où y est quantité de kebabs (en milliers de kilo ar mois). La quantité demandée Q d de kebabs dans un quartier de la ville est: Q d = 00 où est le rix. (a) On suose d abord que le maire de la ville n autorise qu une seule entrerise à vendre des kebabs dans ce quartier. Quelle quantité de kebabs choisirait alors de roduire l entrerise qui obtiendrait la concession et qui serait en osition de monole sur ce marché (en suosant que l entrerise ne uisse as ratiquer de la discrimination ar les rix)? Que serait le rix d un kebab? Quels seraient les ro ts de la rme? Illustrer grahiquement la réonse. Réonse: Le monoole choisirait la quantité de kebabs qu ils vendrait sur le marché en résolvant le rogramme suivant: (00 y)y 9y + y y y, 9y y y La condition de remier ordre que doit nécessairement satisfaire la quantité de monoole y M qui résout ce rogramme est: 9 (y M ) = 0, y M = ( 9 )= 6; 75 Le rix qu exigera le monoole our vendre cette quantité sera de M = 00 y M = 00 ( 9 )= 9; 55. Le ro t que réalisera l entrerise en monoole sera donc de : (y m ) = 9( 9 ( 9 )= )= 09; 09: La situation est illustrée grahiquement comme suit (où le ro t est est l aire du rectangle de base y M et de hauteur M CM(y M ). : = 00 y

2 euros 0 0 M coût marginal coût moyen demande inverse Recette marginale 50 0 CM(yM) ym (b) Suosons maintenant que ce marché devienne arfaitement concurrentiel. Déterminer la quantité de Kebab que vendrait une rme à l équilibre de long terme de cette situtation. Que serait alors le rix du kebab. la demande de coue de cheveux est-elle su sante (ar raort au coût de roduire les coues de cheveux) our ermettre l organisation concurrentielle de cette industrie? Réonse: A l équilibre de long terme d un marché de concurrence arfaite, le rix est égal au coût marginal et chaque rme fait des ro ts nuls, ce qui signi e que le coût marginal est égal au coût moyen. La quantité de kebab by our laquelle le coût marginal est égal au coût moyen satisfait donc l égalité y CM(by) = Cm(by) C(by) by 9 by + by = C 0 (by) = 9 by + by

3 by( by ) = 0 Cette équation quadratique a our solutions by = 0 et by = =. C est évidemment la deuxième de ces solutions qui doit être retenue ici (ourquoi?). Si une rme roduit 750 kilos de kebabs ar mois, son coût moyen (minimum) sera de 9 by + by = La quantité de kebabs qui eut être vendue dans ce quartier à un rix de 69=8 est de 8 = 7 8 milliers de kilos de kebabs ar mois.. Pour ouvoir roduire une telle quantité avec n rmes roduisant chacune 750 kilos de kebabs, il faudrait que n = 7 8 = 7=6 = ; 8 mes soient résentes. Ce nombre n est as entier. On ourra donc admettre qu il y ait rmes résente sur le marché à l équilibre de concurrence arfaite de long terme, chacune de ces rmes vendant à un rix très légèrement suérieur au coût moyen, et faisant des ro ts très légèrement ositifs. La e rme, si elle entrait sur le marché, ferait baisser le rix en bas du coût moyen. (c) Suosons que le maire de la ville n autorise que deux rmes à vendre des Kebabs dans ce quartier, et que ces deux rmes se fassent une concurrence à la Cournot. Déterminer le rix de vente des kebabs à l équilibre de Cournot- Nash de cette situation, et déterminer les ro ts que réaliserait chaque rme. Comarer ces ro ts avec les ro ts de monoole, et illustrer grahiquement votre réonse. Réonse: On détermine la fonction de réaction de la rme i à l outut y j de la rme j en résolvant: (00 y j ) 9 + y i (9 y j ) y i y i La fonction de réaction y i (y j) véri e la condition de er ordre: yi (y j ) = ( 9 On a donc, our i = ;, j = ; et j 6= i: y j ) = et y(y ) = ( 9 y ) = () y(y ) = ( 9 y ) = L équilibre de Cournot-Nash est une aire de niveaux de roduction (y C ; y C ) qui véri ent y C = y (y C ) et y C = y (y C ). Dans la mesure où les deux entrerises ont la même fonction de coûts, l équilibre de Cournot-Nash doit être

4 symmétrique de sorte que l on doit avoir y C = y C = y C our un certain y C. On eut donc écrire: y C = ( 9 yc ) = ou: (y C ) + y C 9 = 0 y C = = = (arès choix de la bonne racine). En choisissant ces quantités, chaque rme fait un ro t de (9 =)= = 66:7. Ce ro t, fait ar chaque rme, est lus etit que le ro t que réalisait la rme en monoole. Mais la di rence n est as très grande. En notant que la courbe d iso-ro t rerésentative de la rme i (our un ro t > 0 quelconque) est rerésentée ar l ensemble des combinaisons (y ; y ) qui véri ent: (9 y j ) y i = y j = 9 y i On eut rerésenter la situation grahiquement comme suit

5 y 0 fonction de réaction inverse de la fonction de réact On voit que la zone de niveaux de roduction qui ermettent à chacune des niveaux de roduction est ténue. Si on agrandit ce dessin en limitant les niveaux de roduction de la rme à l intervalle [6; 7], on a: 5

6 y fonction de réaction inverse de fonction de réa accords efficaces our les firmes d) Suosons que les deux rmes autorisées à vendre des Kebabs établissent un accord de collusion. Déterminer les quantités que choisiraient de roduire les rmes d arès cet accord si celui-ci réconisait la imisation de la somme des ro ts. Illustrer grahiquement votre réonse. Quel est la fraction minimale des ro ts totaux qu acceterait l une des rmes our articier à l accord collusif? Réonse: Puisque les deux rmes sont symmétriques, elles choisiront la même quantité 6

7 ey avec comme objectif de résoudre le rogramme:: y y (00 y)y 8y + y y 8y y y dont la condition de er ordre est: 8 ey ey = 0 Résolvant cette équation quadratique en renant la bonne racine, nous obtenons: ey = 8= 6:6 Avec cette quantite roduite ar chacune d entre elle, les deux rmes réalisent des ro ts totaux de : 8ey ey ey = 8 6:6 (6:6) (6:6) 7; 86 qui sont suérieurs, on le remarquera, au ro t réalisé ar la rme seule lorsque elle est lacée en situation de monoole (ourquoi d arès vous?). Si ces ro ts totaux sont artagés également entre les deux entrerise, chacune d entre elle réalisera un ro t de (7; 86)= = 66; 9: Cette solution est rerésentée dans la gure suivante: 7

8 y fonction de réaction inverse de fonction de ré accords efficaces our les firmes : (e) Suosons mainenant que le maire de la ville n autorise que n rmes à vendre des kebabs dans ce quartier et que les rmes se font une concurrence à la Cournot. Déterminer la quantité de kebab que vendra chaque rme, ainsi que le rix des kebab, à l équilibre de Cournot-Nash de cette situation. Déterminer également les ro ts que fera chaque rme (votre réonse déendra de n). Réonse: Soit une quantité totale roduite ar toutes les rmes autre que la rme i (our i = ; :::; n). Etant donné cette quantité totale, la rme i résoud le 8

9 rogramme (00 ) 9 + y i (9 ) y i y i de sorte que, comme our la question (b), la meilleure réonse de i à satisfait la condition de er ordre: y i ( ) = ( 9 ) = Dans la mesure où les n rmes sont identiques, elles choisiront toutes la même quantité y C (n) à l équilibre de Cournot-Nash. Cette quantité y C (n) doit donc véri er: y C (n) = ( 9 (n )yc (n) ) = ou: [y C (n)] + (n )y C (n) 9 = 0 En résolvant cette équation quadratique (et en renant la bonne racine), on trouve: y C (n ) + (n ) (n) = =(n ) = (n )[ ] +78=(n ) Le rix qui révaudra alors sur le marché sera de 00 n(n )[ ] et une rme fera un ro t de (9 (n )y C (n))y C (y C (n)) (n) + 78=(n ) + 78=(n ) = 9(n )[ ] (n ) + 78=(n ) [ ] [ + [ ]=] + 78=(n ) + 78=(n ) = (n )[ ][9 (n ) + 78=(n ) [ ][ + ] 6 (f) montrer que lorsque n devient grand, le rix du kebab qui s établit à l équilibre de Cournot se raroche du rix de concurrence arfaite. Comarer en articulier le rix de Cournot lorsque n = avec le rix de l équilibre de long terme de concurrence arfaite trouvé en (b). Réonse: La limite de cette exression lorque n devient grand n est as facile à trouver. Remarquons toutefois que si n =, le ro t devient: + 9= = =800 = 0( )(9 00( )(+ )) 6 9

10 : 0:560 ce qui est de fait très roche de 0. Question. On considère un duoole confronté à une fonction de demande Q = f() où Q est la quantité et est le rix. La fonction f est suosée décroissante ar raort au rix. Les deux entrerises de ce duoole se font une concurrence en rix à la Bertrand. La rme a un fonction de coût donnée ar c (q) = q alors que la rme a une fonction de coût donnée ar c (q) = q. On suose que si les deux rmes choisissent le même rix, elles se artagent la demande moitié-moitié. (a) Montrer qu il n y a as d équilibre de Nash si l on suose que le bien est arfaitement divisible et que chaque rme eut varier aussi nement qu elle le souhaite la quantité du bien qu elle vend. Réonse:: Une situation où < et < dans laquelle l une des rmes vend des quantités ositives du bien ne eut as être un équilibre de Nash car toute rme vendant des quantités ositives de bien ferait des erte, alors qu elle ourrait faire des ro ts nuls en vendant lus cher que sa rivale. = = < ne eut as être un équilibre de Nash, car la rme qui vend f()= unités à ce rix suorte des ro ts négatifs (sauf si f()= = 0), alors qu elle aurait des ro ts nuls en xant un rix lus élevé. < ne eut as être un équilibre de Nash, car la rme aurait intérêt à augmenter (un eu) son rix. Tant que son rix est inférieur à celui de la rme, la rme ferait des ro ts ositifs suérieurs à ceux, ositifs ou nuls, qu elle fait avec : < < ne eut as être un équilibre de Nash car la rme, qui fait des ro ts négatifs, ferait des ro ts nuls en vendant lus cher que la rme. = = : La rme ourrait, en baissant légèrement son rix d un montant " > 0, faire un ro t ar unité de f( ") alors qu elle fait un ro t unitaire de f= en xant =. Pour un " su samment etit, f( ") > f=. La rme a donc intérêt à baisser son rix. On eut véri er que les autres ossibilités imliquant, chez l une ou l autre des deux rmes, un rix suérieur à n est as un équilibre de Nash our les mêmes raisons que celles évoquées en classe. Il n y a donc as d équilibre de Nash de ce jeu si les rmes euvent varier in nitésimalement leur rix. (b) Déterminer l unique équilibre de Nash de ce duoole si on suose que le bien est disonible en unités discrètes, (en suosant que f > f ). Réonse: L unique équilibre de Nash dans ce cas est = et =. Cette combinaison de rix est un équilibre de Nash. En augmentant son rix, la rme continue de faire des ro ts nuls. Si elle diminue son rix, la rme fera des ro ts négatifs. La rme, si elle baisse son rix à, fait des ro ts nuls, alors qu elle fait des ro ts unitaires de f (qu on suose ositif) si elle chosit 0

11 un rix de. Par ailleurs, en augmentant son rix à, la rme ne ferait qu un ro t unitaire de f qui est inférieur à celui de f qu elle fait en, xant un rix de et en étant confrontée à l intégralité de la demande de marché à ce rix. (c) Comarer avec la situation symmétrique étudiée en classe où les deux rmes ont la même fonction de coût marginal. Réonse: Nous remarquons que dans ce cas où les deux rmes ne sont as symmétriques, la rme qui a le coût marginal le lus bas xe un rix suérieur à son coût marginal. Modulo les etits roblèmes d existence d équilibre induits ar la ossibilité de faire varier in tésimalement son rix, les rix qu on observera seront roches du coût marginal de la rme la moins erformante. La rme la lus erformante réalisera donc un ro t, et la concurrence à la Bertrand emêchera les consommateurs de béné cier de la technologie la lus erformante our roduire le bien..