Chapitre 2. Trigonométrie. 2.1 Mesure d un angle Angles et degrés

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1 hpitre Trigonométrie. Mesure d un ngle.. Angles et degrés Inventée pr les Grecs il y plus de 000 ns, l trigonométrie est une prtie des mthémtiques qui s occupe des reltions entre les longueurs et les ngles des tringles. Le mot trigonométrie est dérivé des trois mots grecs tri (trois, gonôs (ngles et metron (mesure. Un ngle est une grndeur permettnt de décrire l mplitude d une rottion. On utilise très souvent des lettres grecques (lph, β (êt, γ (gmm, φ (phi ou θ (thêt pour nommer les ngles (voir les conventions de nottion sous... s s Afin de résoudre des prolèmes ynt trit à l stronomie, les Byloniens ont divisé le disque en 60 prties égles identifint un degré[ ]. On mesure le nomre de degrés depuis l demi-droite de référence du 0 dns le sens trigonométrique (sens contrire de celui des iguilles d une montre. e choix se justifiit pr le fit que 60 un grnd nomre de diviseurs. En effet, 60 est divisile pr,, 4, 5, 6, 8, 9, 0,, 5, 8, 0, 4, 0, 6, 40, 45, 60, 7, 90, 0 et

2 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie A une même sitution peuvent correspondre plusieurs ngles (une infinité!. En effet, on peut fire utnt de tours que l on veut dns un sens comme dns l utre. Pr exemple, voici trois fçons d mener le segment s sur le segment s pr une rottion. s s s 0 90 s s s 0 Voici quelques-uns des ngles correspondnt à l sitution ci-dessus...., 050, 690, 0,0,90,750,00,... es ngles sont les mêmes à un multiple de 60 près, ce qui correspond à un tour. Définition. Un ngle est dit : - igu si > 0 et < droit si = otus si > 90 et < plt si = Angles et rdins Jusqu à présent, vous vez toujours représenté les ngles en degrés. est l mnière l plus cournte de se représenter les ngles, mis ce n est ps toujours l plus prtique en mthémtiques. Une utre fçon de mesurer un ngle serit de prendre l longueur de l rc correspondnt. Toutefois cette longueur dépend du ryon du cercle. Définition. Soit un cercle de centre O et de ryon r. Soit encore un ngle de sommet O. Si l longueur de l rc de cercle intercepté pr l ngle est égle à r, on dit que l ngle mesure un rdin (de rdius = ryon. O r r r omme l circonférence du cercle vut r, il en découle que : tour = rdins Or, tour correspond églement à 60. On donc l correspondnce suivnte : 60 ou 80 On prononce pi rdins correspond à 60 degrés. pge

3 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie Exemple 80 rdins =.4 rdins 80 rdins = rdin ( 80 Un ngle de rdin correspond à un ngle de = Ainsi, pour convertir des degrés en rdins, il fut multiplier le nomre de degrés pr. Inversement, pour convertir des rdins en degrés, il fut multiplier le nomre de 80 rdins pr 80. A vous : degrés rdins Pr convention, qund on ne précise ps l unité d un ngle, il est exprimé en rdins. Si vous voulez trviller en degrés, n ouliez ps le... Longueur d un rc de cercle et ire d un secteur circulire onsidérons un cercle de ryon r et un ngle u centre de θ rdins. D près l définition du rdin, l longueur l de l rc correspondnt à l ngle θ est donnée pr l = rθ θ r l De même, l ire S du secteur circulire correspondnt à l ngle θ est donnée pr S = r θ θ r. Le cercle trigonométrique Définition. On ppelle cercle trigonométrique le cercle de ryon centré à l origine O d un repère orthonormé. Dns ce cs, un ngle de rdin correspond à un rc de longueur et un ngle de θ rdins correspond à un rc de longueur θ. Nous llons enrouler l droite réelle utour du cercle trigonométrique de mnière à visuliser tout nomre réel comme l mesure en rdins d un ngle. pge 4

4 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie Plus précisément, à tout nomre réel > 0, on fit correspondre le point M du cercle trigonométrique tel que : l rc IM une longueur égle à et est orienté positivement (sens contrire des iguilles d une montre. Si < 0, l rc est orienté négtivement. Le nomre est donc une mesure en rdins de l ngle ÎOM. ette mesure en rdins d un ngle est l longueur de l rc correspondnt sur le cercle trigonométrique et s écrit sns unité. M O y J(0; I(; 0 x Un ngle possède plusieurs mesures en rdins qui diffèrent entre elles d un multiple entier de... Les fonctions trigonométriques Les fonctions sinus et cosinus Définition.4 Soit P(; 0 sur le cercle trigonométrique. Soit encore M, l imge de P pr une rottion de centre O et d ngle. On ppelle cosinus de l ngle, noté cos(, l première coordonnée ou scisse de M. elle-ci correspond à l mesure lgérique du segment O, où est l projection de M sur l xe des scisses. S sin( y J M O cos( I x On ppelle sinus de l ngle, noté sin(, l seconde coordonnée ou ordonnée de M. elle-ci correspond à l mesure lgérique du segment OS, où S est l projection de M sur l xe des ordonnées. On note : M(cos(; sin( Remrques Si le point S est u-dessus de O, le sinus est positif; si S est u-dessous de O, le sinus est négtif. Si le point est à droite de O, le cosinus est positif; si est à guche de O, le cosinus est négtif. Des vleurs pproximtives de sin( et de cos(, pour tout ngle, peuvent être fcilement otenues u moyen d une mchine à clculer. Exemple : sin(5 = 0,575...; Propriétés Il découle de l définition que : cos( = 0, cos( et sin( pge 5

5 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie Les fonctions tngente et cotngente Définition.5 Soit M(cos(; sin( sur le cercle trigonométrique. On définit le point T comme l intersection entre l droite pssnt pr (0;0 et M et l droite verticle tngente u cercle u point I(;0. On définit encore le point K comme l intersection entre l droite pssnt pr (0;0 et M (l même que ci-dessus et l droite horizontle tngente u cercle u point J(0;. On ppelle tngente de l ngle, noté tn(, l ordonnée de T. elle-ci correspond à l mesure lgérique du segment IT. O y J cot( T M On ppelle cotngente de l ngle, noté cot(, l scisse de. elle-ci correspond à l mesure lgérique du segment JK. On note : T(;tn( et K(cot(;. Remrques Si T est u-dessus de I, l tngente est positive; si T est u-dessous de I, l tngente est négtive. Si K est à droite de J, l cotngente est positive; si K est à guche de J, l cotngente est négtive. Reltions fondmentles entre les fonctions trigonométriques d un même rc Les trois reltions suivntes permettent de déterminer le sinus, le cosinus, l tngente ou l cotngente d un ngle lorsqu une seule de ces vleurs est connue. Elles sont très importntes. Il fut donc les connître pr cœur. Proposition. Soit un ngle. On l églité cos (+sin ( = et, si toutes les expressions sont ien définies (si +k,k Z pour l première et si k,k Z pour l seconde, les églités tn( I K x tn( = sin( cos( et cot( = tn( = cos( sin( es églités seront étlies en exercices... Vleurs exctes des fonctions trigonométriques Il est on de connître pr cœur les vleurs exctes des fonctions trigonométriques de quelques ngles prticuliers qu on retrouve fréquemment. pge 6

6 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie (degrés (rdins cos( 0 0 sin( 0 0 tn( 0 0 cot( 0 0 Au lieu de représenter ces vleurs sous forme d un tleu, on peut églement utiliser le cercle trigonométrique. ( ( ; ; ( ;0 ( ; y (0; 90 ( 60 ; ( 45 4 ; ( 0 6 ; 0 0 (;0 x ( ; ( ( ; ; (0; ( 0 6 ( ( 5 00 ; ; ; Démonstrtion. Nous llons déterminer les vleurs du sinus et du cosinus pour les ngles 6, 4,. Les vleurs de l tngente et de l cotngente s otiennent ensuite isément en utilisnt les reltions : tn( = sin( cos( et cot( = tn(. pge 7

7 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie = 4 S sin( 4 O y J (= 45 4 cos( 4 M ( ( On donc : cos = sin = 4 4 = 6 O y J (= 0 6 I M I M ( On finlement : cos = 6 x x ( ( On sit que cos +sin =. ( 4 4 ( Or cos = sin. En effet le tringle OM est 4 4 isocèle ( MO = ÔM =, voir le dessin. 4 ( ( Donc cos = cos = ( 4 4 cos = 4 = =.. Dns le dessin ci-contre, on voit que comme l ngle ĈOM vut 6, l ngle ÔM vut, de même que l ngle ÔM (pr symétrie. Le tringle OMM est donc équiltérl et l longueur de chcun de ses côtés vut (ryon du cercle. ( On en déduit que sin = M = 6. De plus, le théorème de Pythgore ( écrit dns le tringle OM permet d écrire cos + ( 6 4 = cos = 6 ( 4. Ainsi cos = 6 4 =. ( et sin = 6. = (= 60 ( ( On peut montrer que cos( = sin et sin( = cos (voir le chpitre sur les fonctions trigonométriques en nlyse. ( ( On lors que : cos = sin = 6 ( et sin ( = cos = 6.. Les tringles rectngles Définition.6 (Rppel Un tringle rectngle est un tringle possédnt un ngle droit. Dns ce cs, le côté opposé à l ngle droit est ppelé hypoténuse et les côtés de l ngle droit les cthètes. pge 8

8 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie Une prticulrité intéressnte des tringles rectngles est le fit que tous ces tringles qui ont un ngle igu de même mesure sont semlles : leur côtés sont donc proportionnels. Le théorème de Thlès nous permet d écrire pour lestringlesab,ab et AB (ngleigu commun : B A = B A = B A. A B B B e rpport ne dépend que de l mesure de. On peut donc définir le rpport : sinus défini pr sin( = longueur de l cthète opposée à longueur de l hypoténuse = c On utilise les nottions définies pr l figure ci-dessous. On définit églement les deux utres rpports : cosinus défini pr cos( = longueur de l cthète djcente à longueur de l hypoténuse = c tngente défini pr tn( = longueur de l cthète opposée à longueur de l cthète djcente à = c β On peut, de l même mnière, définir le sinus, le cosinus et l tngente pour le second ngle igu du tringle rectngle, l ngle β. Proposition. Les rpports sinus, cosinus et tngente définis ci-dessus correspondent ien ux définitions des fonctions trigonométriques pour les ngles igus. Démonstrtion. A chque ngle igu (0 < <, on peut ssocier un tringle rectngle de côtés de longueur pour l hypothénuse et cos(, sin( pour les deux cthètes. Tout tringle rectngle vec un ngle de même mesure est semlle u tringle rectngle défini ci-dessus. On oriente ce tringle pour otenir l figure représentée ci-dessous. pge 9

9 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie c cos( sin( En utilisnt le théorème de Thlès, on trouve : cos( = c et sin( = c. De plus, on ien que tn( = sin( cos(... Résolution de tringles rectngles Définition.7 Résoudre un tringle consiste à clculer les éléments non donnés (côtés et ngles On pourr s ider de l mchine pour le clcul des fonctions trigonométriques. Exemple Résoudre le tringle AB rectngle en dont on donne le côté c = 4.5 et l ngle β = 67.. On otient d ord = 90 β =.8. omme cos(67. =, on otient vec l mchine : 4.5 = 4.5 cos(67. =.65 omme sin(67. =, on otient vec l mchine : 4.5 = 4.5 sin(67. =.9 Pour résoudre un tringle rectngle (i.e. déterminer toutes ses crctéristiques, il fut connître : l longueur d u moins deux côtés de ce tringle, ou l longueur d un côté de ce tringle et un ngle. pge 0

10 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie.4 Les tringles quelconques Dns ce prgrphe, on considère un tringle quelconque AB. On note ses sommets dns le sens positif pr A, B et. Les ngles ssociés ux sommets γ seront notés,β et γ et lescôtés opposés ux sommets, et c. A c β B ette convention doit être respectée dns le ut de pouvoir ppliquer les théorèmes qui suivent. Lorsqu on prlé des tringles rectngles, l connissnce de deux crctéristiques (ngle ou longueur de côté nous permettit de trouver toutes ses crctéristiques. Dns le cs d un tringle quelconque, c est u moins trois crctéristiques qu il fut connître pour pouvoir déterminer toutes les utres. Les théorèmes ci-dessous nous permettront de résoudre un tringle quelconque..4. Théorème du sinus Théorème. onsidérons un tringle quelconque AB inscrit dns un cercle de centre O et de ryon r. On les reltions suivntes : sin( = sin(β = c sin(γ = r où r est le ryon du cercle circonscrit u tringle. B c β A O r γ Autrement dit : dns un tringle quelconque, le rpport entre le côté opposé à un ngle et le sinus de cet ngle est égl u rpport entre le côté opposé à un utre ngle et le sinus de cet utre ngle. e rpport est ussi égl u doule du ryon du cercle circonscrit. Démonstrtion. onsidérons un tringle quelconque AB inscrit dns un cercle de ryon r et de centre O. B c A r r O r B r O Le tringle OB est isocèle en O, cr les côtés [OB] et [O] sont d égle longueur. pge H r

11 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie On en déduit que [OH] est en même temps issectrice de l ngle en O et huteur issue de O. Or l ngle en O vut ; et l ngle ĈOH =. On donc H O = sin(. Or H = et O = r. On peut donc réécrire l églité précédente sous l forme : sin( = r. Finlement, en trnsformnt cette églité, on : r = sin( Pour chever l démonstrtion, il suffit de choisir les tringles OA et OAB et ppliquer le même risonnement..4. Théorème du cosinus Théorème.4 onsidérons un tringle quelconque AB. On les reltions suivntes : = +c ccos( = c + γ ccos(β c = + cos(γ β A c B Autrement dit : le crré de l longueur d un côté d un tringle quelconque est égl à l somme des crrés des longueurs des deux utres côtés moins deux fois le produit des longueurs des deux utres côtés multiplié pr le cosinus de l ngle entre eux. Pour psser d une reltion à l utre, on fit les permuttions circulires suivntes. β c γ el nous permet de ne mémoriser qu une seule reltion. Démonstrtion. onsidérons un tringle quelconque AB. Nous llons démontrer l formule = +c ccos(. Pour cel, nous llons exminer l huteur prtnt du sommet. On doit distinguer trois cs suivnt où se situe le pied de cet huteur : entre A et B, à guche de A ou à droite de B.. Premier cs : l huteur tome entre A et B : les trois ngles du tringle sont igus. pge

12 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie En ppliqunt des résultts de trigonométrie sur le tringle AH, on otient : sin( = H H = sin( cos( = AH AH = cos( De plus, le segment [HB] pour longueur HB = c AH = c cos(. A c H Pourotenir,onpeutmintenntutiliserlethéorèmedePythgoresurletringle HB : = H +HB = sin (+(c cos( = sin (+c + cos ( ccos( = (sin (+cos ( +c ccos( }{{} = +c ccos(. Deuxième cs : l huteur tome à guche de A : l ngle est otus. En ppliqunt des résultts de trigonométrie sur le tringle AH, on otient : sin( = H sin( cos( = AH cos( H = sin( = AH = cos( = De plus, le segment [HB] pour longueur HB = c+ah = c cos(. H omme pour le cs, on utilise le théorème de Pythgore sur le tringle HB pour otenir. On peut reprendre ici l démonstrtion du cs, puisque HB à l même forme qu en.. Troisième cs : l huteur tome à droite de B : l ngle β est otus. En ppliqunt des résultts de trigonométrie sur le tringle AH, on otient : sin( = H H = sin( cos( = AH AH = cos( De plus, le segment [HB] pour longueur HB = AH c = cos( c. omme pour le cs, on utilise le théorème de Pythgore sur le tringle HB pour otenir. On peut reprendre ici l démonstrtion du cs, puisque HB pour est l opposé de HB pour et que l on considère le crré de HB dns le développement. On peut, de l même mnière, montrer les reltions pour et c. pge A A c β c B H B B

13 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie.4. Résolution de tringles quelconques A prtir de ces deux théorèmes, les informtions minimles que l on doit connître pour résoudre un tringle quelconque (i.e. déterminer toutes ses crctéristiques sont : l longueur des trois côtés de ce tringle, ou l longueur de deux côtés de ce tringle et un ngle, ou l longueur d un côté de ce tringle et deux ngles. Exemple Résoudre le tringle AB dont on donne le côté = 70.4, le côté = 8. et l ngle γ = Pr le théorème du cosinus, on otient que le crré du côté c vut c = + cos(γ = (70.4 +( cos(0.69 = Et donc que c = 4.9 Avec cette informtion, on peut utiliser le théorème du sinus pour déterminer. On sit que = c. On en déduit que sin( sin(γ sin( = sin(γ c = 70.4 sin( = A l ide de l mchine à clculer, on détermine l ngle qui pour sinus : = Finlement, on trouve que β = 80 γ = pge 4

14 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie.5 Exercices Sur les trois cercles trigonométriques ci-dessous, représenter grphiquement le sinus, le cosinus, l tngente et l cotngente des ngles indiqués sous le cercle ( 6, et 7 4. Pour chque dessin, évluer ensuite les vleurs de ces qutre mesures et les contrôler à l ide d une mchine à clculer. (Pour dessiner les ngles, les convertir u prélle en degrés y y - 0 x - 0 x - - = 6 = y - 0 x - = 7 4 En utilisnt une mchine à clculer, trouver les vleurs de : sin(8 cos(5 c tn( d sin( e cos(0.7 f tn(4 En utilisnt le cercle trigonométrique et des théorèmes de géométrie élémentire, prouver les reltions suivntes : cos (+sin ( = tn( = sin( cos( c cot( = tn( pge 5

15 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie 4 onstruire les ngles igus ynt 0.4 pour sinus puis les mesurer. 5 Est-il possile de construire un ngle tel que pour cosinus, sin( =.4 cos( =. c tn( =.5 6 Utiliser les reltions fondmentles entre cos(, sin( et tn( (voir exercice pour résoudre (sns mchine les questions suivntes. Si est un ngle du deuxième qudrnt tel que sin( = 0.8 que vut cos(? Le cosinus d un ngle du qutrième qudrnt vut. Que vut son sinus? c Trouver sin( et cos( schnt que est un ngle du deuxième qudrnt et que tn( = 8. d Trouver sin( et cos( schnt que est un ngle du qutrième qudrnt et que tn( = 5. e Montrer que : +tn ( = cos (. 7 Simplifier utnt que possile les expressions suivntes : c cos ( sin ( sin ( sin 4 ( cos ( cos 4 ( sin (+sin(cos ( d tn( cos( e cos (+cos (tn ( f cos(+sin(tn( 8 Unoservteur,couchésurlesol,voitunstellitesousunnglede5 veclverticle. Schntquelestellitegrviteà000kmdelsurfcedelTerre,quelleestldistnce séprnt le stellite de l oservteur? (Ryon de l Terre : 670 km 9 Un teu quitte le port à h00 et fit route dns l direction 55 W à l vitesse de 8 km/h (les ngles sont mesurés vec l direction N. Un deuxième teu quitte le même port à h0 et vogue dns l direction 70 E à 8.5 km/h. lculer l distnce séprnt les teux à 5h00. 0 Pour déterminer l ltitude du sommet d une montgne, on choisit deux point A et B u s de l montgne d où l on voit le sommet. A et B ne sont ps forcément à l même ltitude mis ils sont séprés d une distnce d. On mesure les ngles = BA, β = ÂB, insi que l ngle d élévtion θ sous lequel on voit depuis A (ngle entre A et l horizontle. Quelle est l ltitude de si celle de A est h A? Appliction numérique : d = 450 m, h A = 90 m, = 5.4, β = 05.8, θ =.5. pge 6

16 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie γ h θ A B β d Une cthédrle est située u sommet d une colline (voir schém ci-dessous. En oservnt le sommet de s flèche depuis le pied de l colline, l ngle d élévtion est de 48. Si on l oserve à 60 m de l se de l colline, l ngle d élévtion de l flèche est de 4. L pente de l colline forme un ngle de. lculer l huteur de l cthédrle. Un tringle AB est donné pr = 5,, c = 6, et =,. lculer l longueur du segment [AP], où P est le point d intersection entre l issectrice de l ngle BA et le côté [B]. On doit percer un tunnel pour une nouvelle utoroute à trvers une montgne de 80 m de hut. A une distnce de 60 m de l se de l montgne, l ngle d élévtion est de 6 (voir figure. Sur l utre fce, l ngle d élévtion à une distnce de 45 m est de 47. lculer l longueur du tunnel u mètre près. pge 7

17 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie 4 Un hélicoptère est en vol sttionnire à 00 m u-dessus du sommet d une montgne qui culmine à 560 m, comme le montre l figure. Dusommet de cette montgne ou de l hélicoptère, on peut voir un deuxième pic, plus élevé. Vu de l hélicoptère, son ngle de dépression est de 4 et vu du petit sommet, son ngle d élévtion est de 8. lculer l ltitude du sommet le plus élevé et l distnce séprnt l hélicoptère de ce sommet. 5 En oservnt le sommet d une montgne à prtir d un point P u sud de l montgne, l ngle d élévtion est (voir figure. L oservtion à prtir d un point Q, situé à d km à l est de P, donne un ngle d élévtion β. Déterminer l huteur h de l montgne si = 0, β = 0 et d = 6 km. 6 Si on oserve le sommet d une montgne à prtir du point P représenté dns l figure, l ngle d élévtion est de = 5. A prtir du point Q, plus proche de l montgne de d = km, l ngle d élévtion est de β = 0. lculer l huteur de l montgne. pge 8

18 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie 7 L figure ci-dessous représente un pnneu solire de m de lrge qui doit être fixé sur un toit qui forme un ngle de 5 vec l horizontle. lculer l longueur d du support fin que le pnneu fsse un ngle de 45 vec l horizontle. 8 L figure ci-dessous représente un téléphérique trnsportnt des pssgers d un point A, qui se trouve à km du point B situé u pied de l montgne, à un point P u sommet de l montgne. Les ngles d élévtion de P ux points A et B sont respectivement de et 65. lculer l huteur de l montgne (pr rpport u point B. 9 L figure ci-dessous représente une prtie d un pln de tooggn d une piscine. Trouver l longueur totle du tooggn. 5 5 m 5 5 m 0 m 0 Un géomètre, situé à une ltitude de 9 m, oserve une ntenne de communiction située sur une colline en fce de lui. Il mesure, u moyen d un théodolite, les ngles pge 9

19 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie d élévtion du sommet et du pied de l ntenne et détermine comme vleurs pour ces ngles : respectivement 7.5 et 4.0. Si l huteur de l ntenne est de 5 m, à quelle ltitude se trouve le pied de cette dernière? Un ingénieur se promène sur le hmp-de-mrs en direction de l tour Eiffel, qui culmine à une huteur de 4 mètres. Il remrque lors que l ngle d élévtion sous lequel il voit le sommet de l tour est de.8. 5 minutes plus trd, il constte que cet ngle est pssé à 5. A quelle vitesse l ingénieur s est-il déplcé entre ses deux oservtions du sommet de l tour Eiffel? L réponse doit être donnée en km/h. (On suppose que le sommet de l tour et les points où sont effectués les oservtion sont dns le même pln verticl. On suppose églement que l vitesse, à lquelle l ingénieur se déplce, est constnte. pge 40

20 Mthémtiques, MAT-MAB-MAP ère nnée. Trigonométrie.6 Solutions des exercices 0,788 0,707 c,59 d 0,909 e 0,765 f,58 6 cos( = 0,6 sin( = c cos( = 8 ; sin( = d cos( = 5 6 ; sin( = 6 7 sin( sin( c d sin( e f 8 8 km 9 06,5 km 0 96 m 05 m 4,8 80 m 4 67,5 m et 6, m 5 7,50 km 6,05 km 7, m 8 95 m 9 8, m 0 06 m environ km/h cos( pge 4