Exemple d'introduction 1. Découverte des fonctions définies par une intégrale et premiers pas vers le théorème fondamental du calcul intégral.

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1 Eemple d'introduction 1. Découverte des fonctions définies pr une intégrle et premiers ps vers le théorème fondmentl du clcul intégrl. PARTIE I : Découverte de l fonction «ire sous l coure» et conjecture sur s dérivée 1) et c sont des réels quelconques. Soit f l fonction constnte égle à c et soit F l fonction définie sur [ ;+ [ pr F ( )= f (t) dt. Eprimer F( ) puis F ' () en fonction de. 2) Soit f l fonction définie sur R pr f (t )=2t + 3 et soit F l fonction définie sur [ 0 ; + [ pr F ( )= f (t) dt. Eprimer F( ) puis F' () en fonction de. 3) Émettre une conjecture sur l dérivée d'une fonction de l forme F ( )= fonction continue. f (t) dt où f est une PARTIE II : Un eemple pour se fmiliriser vec l conjecture et vec cette drôle de fonction On dmet dns cette prtie que l conjecture fite dns l prtie précédente est vrie. On l démontrer dns un cs prticulier dns l prtie III et dns le cs générl dns le cours. 1 Soit F l fonction définie sur R pr F ( )= 2 d t. (On ne chercher ps à eprimer F plus 0 1+ t simplement. De toute fçon on n'y rriverit ps!). 4) Utiliser l conjecture pour eprimer F ' () en fonction de. 5) Déterminer le tleu de signe de F sur R. 6) Déterminer l'éqution de l tngente T à l coure c de F u point d'scisse 0. 7) Dns cette question on v étudier l position reltive de c et T. 1 ) Prouver que t R, 1+ t 2 1 ) En déduire que 0, F( ). c) Étlir un résultt du même type pour < 0. d) Conclure sur l position reltive de c et T selon les vleurs de. PARTIE III: Démonstrtion de l conjecture dns le cs de l fonction crré Soit f l fonction définie sur [ 1; + [ pr f (t )=t 2. [Source : A. Reiss-Brde] On définit l fonction F sur [ 1; + [ pr F ( )= f (t )d t 1 8) Interpréter l fonction F en terme d'ire. 9) Soit un réel positif et h un réel strictement positif, justifier les inéglités : h f ( ) F( + h) F( ) h f (+ h). F( + h) F() 10) En déduire lim h 0 h h> 0 11) De l même mnière, déterminer lim h 0 h< 0 12) Justifier que F est dérivle sur [ 1; + [ et préciser F ' ().. F( + h) F() h 13) Soit G l fonction définie sur [ 1; + [ pr G( )= ) Clculer l dérivée de F G sur [ 1; + [. Que peut on déduire? ) Déterminer F(1) G(1) et en déduire F (). c) Eprimer F (2)= 1 2 f (t )d t en fonction de G (1) et G (2 ). COURS Mme Helme-Guizon 1

2 Intégrles, Prtie II (AVEC les primitives) T.S. Ojectifs : Liste à cocher u fur et à mesure de vos révisions Svoir prouver qu'une fonction est une primitive d'une utre. Svoir que sur un intervlle deu primitives d'une fonction différent d'une constnte. Svoir déterminer des primitives des fonctions usuelles pr lecture inverse du tleu des dérivées. Svoir que toute fonction continue des primitives. Svoir que si f est continue sur I lors F : f (t )d t (où, I ) est une fonction dérivle sur I de dérivée F ' ()= f ( ). Et surtout : Svoir clculer une intégrle connissnt une primitive de l fonction qui est dns l'intégrle : Tle des mtières f (t )d t=f () F () où F est une primitive de f. I. Notion de primitive...2 A. Définition d'une primitive et lien entre les différentes primitives d'une même fonction...2 B.Primitives des fonctions usuelles (A connître pr cœur!)...3 II. Lien entre primitives et intégrles...3 A.Les intégrles permettent de construire une primitive de n'importe quelle fonction continue...3 III.Appliction : Les ROC qu'on vit dû lisser de côté fute des outils mthémtiques nécessires L espérnce de l loi normle vut zéro...4 B.Loi normle : Intervlles centrés sur l moyenne de proilité donnée...5 I. Notion de primitive A. Définition d'une primitive et lien entre les différentes primitives d'une même fonction Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que F '= f sur I. Une fonction est souvent notée pr une lettre minuscule et l'usge est de noter les primitives pr l lettre mjuscule correspondnte. Eemple 2. 2 est l dérivée de 2 donc 2 est une primitive de 2. Remrquons que les fonctions 2 +15, et 2 +25,8 sont ussi des primitives de 2. Voilà pourquoi on dit UNE primitive et ps LA primitive. Cet eemple illustre en fit le cs générl : On psse toujours d'une primitive d'une fonction à une utre en joutnt une constnte et, sur un intervlle, c'est même l seule fçon d'otenir de nouvelles primitives à prtir d'une primitive connue. En effet, sur un intervlle deu primitives d'une même fonction diffèrent toujours d'une constnte comme le dit le théorème suivnt : Propriété 2. Lien entre les différentes primitives d'une même fonction Soit f une fonction dmettnt une primitive F sur un intervlle I, lors : pour tout réel c, l fonction G définie pr G( )=F()+ c est une primitive de f sur I toute primitive de f est du type F( )+ c. Autrement dit, si f possède des primitives sur un intervlle I, lors elle une infinité de primitives sur I et il suffit de connître une primitive F de f pour toutes les connître. On dit prfois que F est unique à une constnte dditive près. COURS Mme Helme-Guizon 2

3 Démonstrtion : Soient F et G deu primitives de l fonction f sur I. On I,(G F)' ( )=G ' ( ) F' ( )= f ( ) f ()=0. I étnt un intervlle G F est une fonction constnte. Il eiste donc un réel c tel que G F=c. D où le résultt G = F + c. [P3] Rppel : Si une fonction une dérivée nulle sur un intervlle lors cette fonction est constnte sur l'intervlle. (Voilà pourquoi on se plce sur un intervlle.) Et si on n'est ps sur un intervlle? Et ien dns ce cs, deu primitives ne différent ps forcément d'une constnte! Pr eemple, F ( ln( ) si > 0 )={ ln( ) si < 0 et { G( )= ln( ) 3 si > 0 sont deu primitives de l fonction f ln( )+ 5 si < 0 définie sur R {0} pr f ()= 1 mis on ne peut ps psser de F à G en joutnt une constnte. Conséquences 4. Interpréttion grphique : Soit f une fonction qui dmet une primitive F sur un intervlle I. Si F =G +c, lors c F est l'imge de c G pr l trnsltion de vecteur c j. Les coures représenttives de deu primitives de f se donc déduisent l'une de l'utre pr trnsltion selon un vecteur colinéire à l'es des ordonnées. L interpréttion grphique ci-dessus nous mène à nous demnder si l coure représenttive d une des primitives psse pr un point M ( 0 ; y 0 ) donné vec 0 pprtennt à I. En d utres termes, eiste-t-il une primitive F de f telle que F( 0 )= y 0 Propriété 5. Unicité d'une primitive vérifint une condition initile Il eiste une unique primitive de f pssnt pr un point donné. Soit f une fonction définie sur un intervlle I dmettnt des primitives sur I. _0 et y_0 sont deu réels fiés vec _0 pprtennt à I. f dmet une unique primitive F 0 sur I vérifint l condition initile F 0 ( 0 )=y 0. B. Primitives des fonctions usuelles (A connître pr cœur!) Une lecture inverse du tleu des dérivées des fonctions de référence nous donne le tleu suivnt : SUR LA FONCTION ADMET POUR PRIMITIVES LES FONCTIONS L INTERVALLE Remrque : L primitive d un produit ne ser ps otenue en prennt le produit des primitives : en effet l dérivée d un produit n est ps le produit des dérivées. II. Lien entre primitives et intégrles A. Les intégrles permettent de construire une primitive de n'importe quelle fonction continue Propriété 6. Toute fonction continue des primitives. Soit f une fonction continue sur un intervlle I, et un réel de I. L fonction F définie sur I pr F ( )= f (t )d t est une primitive de f ; c'est l'unique primitive de f qui s'nnule en. Démonstrtion dns le cs où f est croissnte (Le cs générl est dmis). Remrque : On donc prouvé que toute fonction continue sur un intervlle I dmet une primitive sur I mis cel ne veut ps dire que seules les fonctions continues ont des primitives: il eiste des fonctions non COURS Mme Helme-Guizon 3

4 continues qui en dmettent ussi. Pr eemple, on peut prouver (fites-le! ) que l fonction F définie pr F ( )= 2 sin (1 ) si 0 { est continue et dérivle sur R et qu'elle pour dérivée fonction définie pr F (0)=0 1 1 {f ( )=2 sin ( ) cos ( ) si 0. Or f n'est ps continue en 0 (prouvez-le ) et pourtnt elle dmet F f (0)=0 comme primitive. B. Les primitives donnent une méthode très efficce de clcul d'intégrles On déduit de P5 le résultt suivnt, prolement le plus importnt du chpitre : Théorème fondmentl du clcul intégrl 6. Soit f une fonction continue sur un intervlle I contennt et et soit F une primitive quelconque de f. On lors f (t )d t =F ( ) F ( ). Prtique : Il suffit donc d'être cple de trouver une primitive de f pour pouvoir clculer l'intégrle! Cel vut vriment le coup de connître le tleu donnnt les primitives des fonctions usuelles, non? Nottion : L différence F ( ) F ( ) peut se noter [F ( )] clculs sous. On rédige donc souvent les l forme f (t )dt = F ( ) =F () F () ce qui permet d'indiquer l primitive utilisée. Pr eemple on [ ] 6 écrit 1 d =[ln ]6 =ln 6 ln 2 =ln 3. Limites de l méthode : Évidemment il n'est ps possile d'utiliser cette méthode de clcul d'intégrle lorsque l'on ne connît ps de primitive eplicite ( = eprimle vec les fonctions usuelles) de l fonctions à intégrer. C'est le cs, pr eemple de l fonction ϕ : π e 2 étudiée rencontrée dns l'utilistion de l loi normle (On s'est contenté de vleurs pprochées de l'intégrle). III. Appliction : Les ROC qu'on vit dû lisser de côté fute des outils mthémtiques nécessires 1. L espérnce de l loi normle vut zéro Propriété 7. [ ROC!] Espérnce d'une loi normle centrée réduite Si une vrile létoire Z suit une loi normle centrée réduite, lors son espérnce est E (Z)=0 (d'où le qulifictif «centrée») ; Elle est définie pr E (Z ) lim 0 t ϕ(t )d t+ lim y + y t ϕ(t )d t vec ϕ(t )= 1 0 2π e COURS Mme Helme-Guizon 4 t 2 2.

5 B. Loi normle : Intervlles centrés sur l moyenne de proilité donnée Propriété 8. [ ROC!] Soit Z une v.. qui suit une loi normle centrée réduite et soit e ]0;1[. Il eiste un unique nomre strictement positif u e tel que P ( u e Z u e )=1 e dem : ROC u c Clédonie mrs 2014, eo 2. Sources : Cours de Lomths, cours de M. Reiss-Brde, mnuel Trnsmths, mnuel Mth', mnuel Repères. Remrque : Prtons de l'inéglité de l moyenne et fisons le lien vec l vleur moyenne de l fonction. Dns le cs où <, en divisnt tous les termes de m( ) f ( )d M ( ) pr (l'inéglité est conservée puisque >0 ), on otient m μ M, utrement dit l vleur moyenne de l fonction est comprise entre le mimum et le minimum de l fonction. Ce résultt n' rien d'époustouflnt en soi compte tenu de l interpréttion de l vleur moyenne mis il eplique pourquoi l'inéglité de l moyenne s'ppelle insi : Elle donne un encdrement de l vleur moyenne de l fonction (pr le mimum et le minimum de l fonction.) COURS Mme Helme-Guizon 5

6 Démonstrtions Démonstrtion de P5. Démonstrtion : Soit F une primitive de f sur I, F est fiée. Toutes les primitives G de f sont de l forme G =F +c où c est une constnte réelle. Condition nécessire : Supposons qu'une primitive G de f stisfsse l condition G ( )=y_0. G est une primitive de f donc il eiste une nomre c tel que I, G ( )=F ( )+c. Pour = 0, ceci entrîne y =F ( )+c c est à dire c =y F ( ). On donc nécessirement I, G ( )=F ( )+y F ( ). F étnt fiée, il y donc u plus une primitive qui convient. [Il eiste u plus une solution u prolème] Condition suffisnte : On vérifie que l fonction F : F ( )+y F ( ) est une primitive de f qui vérifie 0 F ( )=y. [Il eiste u moins une solution u prolème] Démonstrtion de P6. Soit 0 I et h un réel tel que 0 +h I. 0 +h +h 0 +h F +h F = f (t )d t f (t )d t = f (t )d t + f (t )d t = f (t )d t pr Chsles. ( 0 ) ( 0 ) Premier cs : h >0. Comme f est croissnte, t [ 0, 0 +h ], on f ( 0 ) f (t ) f ( 0 +h ). En intégrnt cette reltion, pr l propriété de conservtion de l'ordre qund les ornes sont dns le on sens, on otient 0 +h 0 +h 0 +h. f ( )d t f (t )d t f ( +h )d t càd h f ( ) F ( +h ) F ( ) h f ( +h ) 0 F ( +h ) F ( ) En divisnt pr h >0, on f ( ) f ( +h ). Comme f est continue en 0, 0 h 0 lim f ( +h )=f ( ) h 0 et grâce u théorème des gendrmes, on en déduit F ( +h ) F ( ) lim =f ( ) 0 h 0 h. COURS Mme Helme-Guizon 6

7 h >0 Deuième cs : h <0, comme f est croissnte, t [ +h, ], on f ( +h ) f (t ) f ( ). En intégrnt cette reltion, pr l propriété de conservtion de l'ordre qund les ornes sont dns le on sens (Attention! Avec h <0, on 0 +h < 0 ), on otient 0 f ( +h )d t f (t )d t f ( )d t càd h f ( +h ) [F ( +h ) F ( )] h f ( ). +h +h +h 0 F ( +h ) F ( ) En divisnt pr h>0, on f ( 0 +h ) f ( 0 ) Comme f est continue en 0, h lim f ( +h )=f ( ) et grâce u théorème des gendrmes, on en déduit h 0 F ( +h ) F ( ) lim =f ( ) COURS Mme Helme-Guizon 7

8 0 h 0 h. h >0 F ( +h ) F ( ) F ( +h ) F ( ) lim =lim =f ( ) Finlement, h 0 h h 0 h 0 donc h <0 h >0 F ( +h ) F ( ) lim =f ( ) ce qui prouve que F est dérivle en 0 BO : Demndez le progrmme COURS Mme Helme-Guizon 8