Chapitre 4.9b La mécanique relativiste
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- Thomas Pagé
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1 Chaire 4.9b La éanique relaiise La ièe loi e Newon en relaiié n éanique lassique, l aéléraion un obje es roorionnelle à la soe es fores aliquées sur l obje e inerseen roorionnelle à son inerie ( F a. n éanique relaiise, ee relaion n es lus alie, ar la iesse e l obje influene l effiaié e l aéléraion ar l ineréiaire un faeur. Voii l eression e la ièe loi e Newon en éanique relaiise : où Preue : a F a F : Fore aliquée sur l obje esurée ans le référeniel (N : Masse e l obje esurée au reos (kg a : Aéléraion e l obje ans le référeniel ( s : Le faeur gaa ae iesse e l obje ( : Viesse e l obje esurée ans le référeniel (s ( : Viesse e la luière ( s Pour éonrer la ièe loi e Newon en relaiié, nous aurons besoin e la règle e la ériée en haîne : ( X X X Débuons nore reue à l aie e la éfiniion e la ièe loi e Newon : F ( F (Relaer ( F (Sorir la onsane e la ériée F (Dériée en haîne : ( F a (Définiion e l aéléraion : F a (Disribuer e ( a z Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page Noe e ours réigée ar : Sion Vézina
2 Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page Noe e ours réigée ar : Sion Vézina Pour réaliser la ériée u faeur, nous aurons besoin e la règle e ériée un quoien : (nous uiliserons la ersion e roie X X X ou bien lorsque X Éaluons la ériée u faeur ar raor au es : (Relaer ( ( (Règle e la ériée un quoien ( (Silifier la raine ( (Aliquer n n n ( ( (Mere ere en oun ( (Relaer ( ( (Aliquer n n n, es onsan (Silifiaion Éaluons ainenan la ériée u oule e la iesse ar raor au es. Réérions le oule e la iesse à l aie e la éfiniion u roui salaire : ( z ( (Caluler ( (Aliquer n n n ( (Relaer
3 ffeuons la ériée en haîne u roui salaire ( ( a a ( a a a : (Dériée en haîne : ( X X X (Définiion e l aéléraion : (Couaiié u roui salaire (Silifiaion u faeur a Inrouisons e résula ans nore équaion rééene e silifions nore eression : a (Relaer a (Silifier Inrouisons e ernier résula ans nore équaion iniiale e aniulons l eression afin e rerouer la fore ésirée : F a a F a (Relaer a F a (Réériure Rearque : L orienaion e l aéléraion a n es lus arallèle à la fore F, ar elle éen u oule e e l orienaion la iesse e l obje. Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page Noe e ours réigée ar : Sion Vézina
4 La ièe loi e Newon en relaiié à une iension : fore arallèle La éfiniion rééene e la ièe loi e Newon es la lus générale, ar elle es eriée eorielleen. Lorsqu un obje se élae seuleen selon l ae e qu il subi la résene une fore alignée uniqueen selon l ae (fore arallèle à la iesse, alors la ièe loi e Newon se silifie à une équaion à une iension : F a où F : Fore aliquée sur l obje esurée ans le référeniel (N : Masse e l obje esurée au reos (kg a : Aéléraion e l obje selon l ae ans le référeniel ( s : Le faeur gaa ae iesse e l obje selon l ae ( : Viesse e l obje selon l ae esurée ans le référeniel (s : Viesse e la luière ( s Preue : À arir e la ièe loi e Newon relaiise eorielle, réuisons ee équaion à l aliaion une fore selon l ae sahan que l obje se élae uniqueen selon l ae. Les eres suians hangeron ériure : F F a a a r a Alors : a F a ( ièe loi e Newon relaiise a (Relaer les eres F a F a a F (Silifiaion e réériure a (Faoriser a F a (Uiliser l ienié : F a (Silifiaion Cee ienié fu éonrée ans le haire 4.4. Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page 4 Noe e ours réigée ar : Sion Vézina
5 La ièe loi e Newon en relaiié à une iension : fore ereniulaire Lorsqu un obje se élae seuleen selon l ae e qu il subi la résene une fore alignée uniqueen selon l ae (fore ereniulaire à la iesse, alors la ièe loi e Newon se silifie à une équaion à une iension : F a où F : Fore aliquée sur l obje selon l ae esurée ans le référeniel (N : Masse e l obje esurée au reos (kg a : Aéléraion e l obje selon l ae ( s Preue : : Le faeur gaa ae iesse e l obje selon l ae ( : Viesse e l obje selon l ae esurée ans le référeniel (s : Viesse e la luière ( s Consiérons un obje se élaçan à iesse selon l ae e subissan une fore F selon l ae ereniulaireen au sens e la iesse. Éaluons la relaion enre la fore e l aéléraion à arir e la ièe loi e Newon relaiise : F F j i a a i a j a r a Alors : a F a ( ièe loi e Newon relaiise a F j ai a j (Relaer les eres a F j a i a j (Isoler ere i e j ( i Puisque le ôé gauhe e l équaion es uniqueen éfini selon l ae, le ôé roi e l équaion se oi aoir un ere nul selon l ae. Ainsi, nous ouons affirer que : a a Ainsi, nous aons l équaion suiane qui eu êre généralisée à oue fore e fore ereniulaire à la iesse : a F j a j (Usage a F a (Silifier j Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page 5 Noe e ours réigée ar : Sion Vézina
6 L énergie inéique en relaiié À arir e la ièe loi e Newon sous sa fore relaiise e e la éfiniion u raail, nous ouons éaluer l augenaion e l énergie inéique un obje souis à une fore aliquée sur un élaeen : ( où : Énergie inéique relaiise (J : Masse e l obje au reos (kg : Le faeur gaa ae iesse e l obje ( : Viesse e la ariule (s : Viesse e la luière ( s Preue : Débuons nore reue ae la éfiniion u raail e aliquons ee éfiniion ae une fore F arallèle au élaeen infiniésial s le long e l ae. Suosons que la iesse es uniqueen selon l ae. Ainsi nore eression générale e assera à : W F s W ( F i ( i (Relaer F Fi, s i W F (ffeuer le roui salaire W a (Relaer F a W (Définiion e l aéléraion : a W (Aliquer à la ériée u es W (Définiion e la iesse : W ( (Relaer Par éfiniion, un obje qui ossèe une iesse iniiale nulle ne ossèe as énergie inéique. Aliquons nore raail W sur une ariule iniialeen nulle e éablissons une relaion enre le raail e l énergie inéique finale : W W f i (Relaer i W (Viesse iniiale nulle : f W ( f i Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page 6 Noe e ours réigée ar : Sion Vézina
7 Voii l inégrale à résoure arès aoir inroui l eression u raail ans l égalié W f. Les bornes e l inégrale son éfinies enre e : ( (Borne inégrale : Pour résoure l inégrale, osons le hangeen e ariable suian : u e u u Éaluons la riiie e l inégrale sans se souier es bornes inégraions : ( ( u (Relaer u u u (Sorir les onsanes e l inégrale u u u (Réériure n u n (Aliquer C n u (Silifiaion ffeuons nore hangeen e ariable inerse ( u e éaluons les bornes e la soluion e l inégrale : ( (Résoure l inégrale e relaer u (Éaluer les bornes ( (Relaer Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page 7 Noe e ours réigée ar : Sion Vézina
8 Classique s relaiié La éanique lassique (Newonienne rerésene une aroiaion à basse iesse e la éanique relaiise. lle es alie seuleen lorsque la iesse e l obje ar raor au référeniel e esure es beauou inférieure à la iesse e la luière ( <<. Analsons grahiqueen à quelle iesse l équaion lassique ierge e la soluion relaiise : Quanié e oueen Équaion lassique : (bleu Équaion relaiise : (rouge ièe loi e newon lassique, fore arallèle au oueen selon l ae Équaion lassique : (bleu F a a F a F Équaion relaiise : (rouge F a a F Énergie inéique Équaion lassique : (bleu Équaion relaiise : (rouge ( Vérifions que l eression lassique e l énergie inéique eu s obenir à arir e l eression relaiise e e l aroiaion es eies iesse : ( << ( (Disribuer (, << (Silifiaion Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page Noe e ours réigée ar : Sion Vézina
9 L hohèse Alber insein n analsan l eression e l énergie inéique relaiise (, on réalise que ee eression eu êre éoosée en eu eres : ere éenan e la iesse e ere inéenan e la iesse. Alber insein éi l hohèse que l eression inéenane e la iesse enai à la éouere une nouelle fore énergie jaais onsiérée auaraan : énergie e asse. Bien qu à reière ue, ee énergie n es que le résula ahéaique une onsane inégraion, elle fu obserée lors eériene sur la fore nuléaire lusieurs années lus ar. Voii un alul qui eu ener Alber insein au ere énergie e asse : ( (Disribuer (Isoler (Relaer, L énergie au reos À arir e l hohèse Alber insein, on eu éfinir l énergie e asse au reos un ors grâe à l eression suiane : où : Énergie e asse un obje au reos (J : Masse e l obje au reos (kg : Viesse e la luière ( s L énergie oale relaiise n relaiié, nous ouons éfinir l énergie oale assoiée à un ors en oueen grâe à l eression suiane. Cee énergie regroue l énergie inéique e énergie e asse : où : Énergie oale un obje en oueen (J ( : Faeur gaa ae iesse orinaire e l obje ( : Masse e l obje au reos (kg : Viesse e la luière ( s Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page 9 Noe e ours réigée ar : Sion Vézina
10 L énergie oale e la quanié e oueen À arir e l énergie oale assoiée à un ors, nous ouons éablir une relaion enre ee énergie e la quanié e oueen : où Preue : : L énergie oale un obje (asse e inéique (J : Quanié e oueen relaiise ( kg s ( : Masse e l obje au reos (kg : Viesse e la luière ( s Déeloons l eression e l énergie oale un obje se élaçan selon l ae afin inlure la noion e quanié e oueen : 4 4 (Mere les équaions au arrés (Relaer 4 4 (Mulilier ar ans la arenhèse 4 (Ajouer zéro sous la fore 4 (Réériure 4 (Silifiaion (Disribuer ( (Relaer 4 (Disribuer 4 ( (Réériure 4 (Relaer Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page Noe e ours réigée ar : Sion Vézina
11 Siuaion A : La guerre es éoiles ores, arie. Rerenons la siuaion La guerre es éoiles ores, arie e éaluons (a la asse e (b la iesse u ssèe foré ar l union es eu rous noirs A e B arès la ollision en suosan que la ere énergie graiaionnelle assoiée au raroheen es eu rous noirs es négligeable oaraieen à leur énergie inéique e leur énergie e asse. Voii un rael es résulas obenus ans la siuaion rééene : Aan Arès Cors Trou A Trou B Ssèe rou A e B Masse Viesse Quanié oueen 9 6 kg, 5,66 kg s 9 4 kg,5 6,99 kg s Éaluons l énergie oale es rous noirs A e B aan la ollision : A A A 9??,6 kg s (, ( 6 4 A A 5,66 J B B B (,5 ( 4 4 A B 4,57 J Aliquons la onseraion e l énergie à l union e nos eu rous noirs sans ere énergie êe si la ollision es arfaieen inélasique en négligean les ariaions énergie graiaionnelle ( U g : i W A B A B ( U g e W f 4 4 ( 5,66 ( 4,57 A B Éaluons la asse e l union e nos eu rous noirs : 4 4 Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page Noe e ours réigée ar : Sion Vézina (Relaer 4 A B 9, J (Éaluer B (Isoler 4 9 ( 9, (,6 A B (Relaer 4 A B 9 kg (a (Éaluer A B On réalise que la ere énergie inéique résule en augenaion e la asse. A
12 Éaluons la iesse e l union es eu rous noirs en uilisan la quanié e oueen e la asse rouée : (Quanié e oueen relaiise (Relaer (Mere au arré ( (Reirer le énoinaeur (Disribuer (Regrouer ere en (Faoriser (Dénoinaeur oun ± (Isoler 9 (,6 A B ± 9 (,6 ( 9 (Relaer aleurs nuériques 7,64 s (Calul A B A B, 7 (b (Éaluer A B Si l on aliquai les lois e la éanique lassique ( à ee ollision arfaieen inélasique, le résula sera égal à A B,. (ae alul lassique Référene : Mar Séguin, Phsique XXI Volue C Page Noe e ours réigée ar : Sion Vézina
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