Les équations du premier et du second degré à la règle et au compas

Transcription

1 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps Scienceinfuse - ntenne de formtion et de promotion du secteur sciences & technologies rue des Wllons 72 L Louvin-l-Neuve

2 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps 2 Dns ce document, nous llons montrer que les qutre opértions rithmétiques de se (ddition, soustrction, multipliction et division) insi que l rcine crrée peuvent être rélisées à l ide de l règle et du comps. Les solutions d équtions du premier et du second degré pouvnt s otenir uniquement à prtir des qutre opértions rithmétiques de se et de l rcine crrée, nous pourrons donc résoudre les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps. Nous commençons pr rppeler quelques résultts sur les équtions des premier et second degré insi que les deux principux outils que nous utiliserons : les Théorèmes de Thlès et Pythgore. 1 Résultts préliminires 1.1 Eqution du premier degré L éqution du premier degré vec 0peut se récrire et donc s solution est donnée pr x =. 1.2 Eqution du second degré L éqution du second degré vec 0peut se récrire ou encore x + =0 x = x 2 + x + c =0 x 2 + x + c =0 x x = c 2. En réduisnt le memre de droite u même dénominteur, on otient ( x + ) 2 = 2 4c et donc x + 2 = ± 2 4c. 4 2 Vous pouvez prendre contct u 010/ ou pr mil à l Suivez les ctulités scientifiques insi que nos événements sur fceook

3 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps 3 On en déduit x = 2 ± 2 4c. 2 Cette expression un sens dns R si 2 4c Théorème de Thlès Ce résultt trduit le fit que l projection d une droite sur une utre, suivnt une direction donnée, conserve les proportions. Théorème 1. Troisdroitesprllèlesdéterminentsurdeuxsécntesdessegmentshomologues proportionnels. utrement dit, si trois droites prllèles rencontrent deux droites d et d,respectivementetdns cet ordre, en,, C et,, C,lors = C C = C C. C C En permutnt les termes moyens des frctions, on peut fire nître d utres églités de rpports : C = C, C C = C C, C = C. Vous pouvez prendre contct u 010/ ou pr mil à l Suivez les ctulités scientifiques insi que nos événements sur fceook

4 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps Théorème de Pythgore Théorème 2. Dnsuntringlerectngle,lecrrédellongueurdel hypoténuseestéglàl somme des crrés des longueurs des deux utres côtés : = c 2. c C Ce résultt permet de clculer l longueur d un des côtés d un tringle rectngle si l on connît les deux utres. 2 Constructions à l règle et u comps Les qutre opértions rithmétiques de se (ddition, soustrction, multipliction et division) insi que l rcine crrée peuvent être rélisées à l règle et u comps. Soit et deux nomres réels positifs. 2.1 ddition de deux nomres Pour dditionner et,ilsuffitdemettreuoutdusegmentdelongueur le segment de longueur : Vous pouvez prendre contct u 010/ ou pr mil à l Suivez les ctulités scientifiques insi que nos événements sur fceook

5 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps Soustrction de deux nomres Pour soustrire et, ilsuffitdemettreuoutdusegmentdelongueur le segment de longueur dns l utre sens : Multipliction de deux nomres Pour multiplier et, onreportedessegmentsdelongueur et insi que le segment unité sur deux droites sécntes comme indiqué sur l figure ci-dessous. O 1 U On trce ensuite l droite prllèle à l droite U pssnt pr. SoitC le point d intersection de cette droite vec l droite O et c l distnce entre les points et C. c C O 1 U Vous pouvez prendre contct u 010/ ou pr mil à l Suivez les ctulités scientifiques insi que nos événements sur fceook

6 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps 6 Pr une ppliction du Théorème de Thlès, on otient 1 = c et donc c =. 2.4 Division de deux nomres Pour diviser pr 0,onreportedessegmentsdelongueur et insi que le segment unité sur deux droites sécntes comme indiqué sur l figure ci-dessous. O 1 U On trce ensuite l droite prllèle à l droite U pssnt pr. SoitC le point d intersection de cette droite vec l droite OU et c l distnce entre les points U et C. O 1 U c C Pr une ppliction du Théorème de Thlès, on otient 1 = c et donc c =. Vous pouvez prendre contct u 010/ ou pr mil à l Suivez les ctulités scientifiques insi que nos événements sur fceook

7 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps Rcine crrée d un nomre >0 On commence pr construire le segment 1+ en mettnt out à out des segments de longueur 1 et et on trce ensuite le cercle de dimètre 1+. Notons et D les origine et extrémité du segment de longueur 1 et l extrémité du segment de longueur. Pr le point D, ontrceuneperpendiculireusegment1+. Cetteperpendiculirecoupele cerlce en un point C. Le tringle C insi otenu est rectngle puisqu il est inscrit dns un demi-cercle. C y x z 1 D Soit x l longueur du segment DC, y l longueur du segment C et z l longueur du segment C. Des pplictions du Théorème de Pythgore dns les tringles rectngles CD, DC et C donnent x 2 = y 2, 2 + x 2 = z 2, y 2 + z 2 =(1+) 2. En injectnt les deux premières églités dns l troisième, on otient 1+x x 2 =(1+) 2 et donc près simplifiction, on trouve 1+2x = x 2 = et donc x =. Vous pouvez prendre contct u 010/ ou pr mil à l Suivez les ctulités scientifiques insi que nos événements sur fceook

8 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps 8 3 Résolution des équtions Nous venons donc de prouver que les qutre opértions rithmétiques élémentires insi que l rcine crrée sont rélisles à l règle et u comps. Nous pouvons lors fcilement montrer le résultt suivnt. Théorème 3. Onpeutrésoudredeséqutionsdupremieretduseconddegréàl idedel règle et du comps. Eqution du premier degré :nousvonsvudnslepoint1.1ci-dessusquelsolutionde l éqution x + =0peut s écrire x =.Cettesolutionétntlequotientdedeuxnomres,elle peut, selon le point 2.4 ci-dessus, se construire à l règle et u comps. Eqution du second degré :nousvonsvudnslepoint1.2ci-dessusquelessolutionsde l éqution x 2 + x + c =0peuvent s écrire x = ± 2 4c 2 àconditionque 2 4c 0. Cessolutionsnecontenntquedesopértionsrithmétiquesélémentires et des rcines crrées, peuvent se construire à l règle et u comps en vertu du point 2ci-dessus. On peut églement montrer l réciproque du résultt ci-dessus. Théorème 4. Entrçntdesdroitesetdescercles,onnefitqueconstruiredesrcines d équtions du premier ou du second degré. On munit le pln d un repère orthonormé. Cs 1 :Les coordonnées du point d intersection de deux droites sont solution d une éqution du premier degré dont les coefficients sont otenus à prtir des coefficients des deux droites et des qutres opértions rithmétiques de se. En effet, l intersection de deux droites s otient en résolvnt le système formé pr les équtions des deux droites { x + y = c (1) x + y = c (2) Vous pouvez prendre contct u 010/ ou pr mil à l Suivez les ctulités scientifiques insi que nos événements sur fceook

9 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps 9 Si 0,onpeutisolery dns (1) y = x + c et en remplçnt dns (2), onotient ( x + x + c ) = c ) x ( = c c x est donc solution de l éqution du premier degré x( )=c c otenue à l ide des coefficients,, c,,, c et des qutre opértions rithmétiques de se. En remplçnt l vleur de x dns (1), on trouve ( ) c c + y = c y est donc solution de l éqution du premier degré ( ) c c y = c otenue à l ide des coefficients,, c,,, c et des qutre opértions rithmétiques de se. Si =0, lors dns (1) on 0et x = c et en remplçnt dns (2) ( c ) + y = c y = c c x et y sont donc solutions d une éqution du premier degrédontlescoefficientssontotenusà l ide de,, c,,, c et des qutre opértions rithmétiques de se. Cs 2 :Les coordonnées du point d intersection d une droite et d un cercle sont solution d équtions du premier et second degré dont les coefficients sont otenus à prtir des coefficients de l droite et du cercle et des qutres opértions rithmétiques de se. Vous pouvez prendre contct u 010/ ou pr mil à l Suivez les ctulités scientifiques insi que nos événements sur fceook

10 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps 10 En effet, l intersection d une droite et d un cercle s otient en résolvnt le système { x + y = c (1) (x ) 2 +(y ) 2 = R 2 (2) Si 0,onpeutisolery dns (1) et en remplçnt dns (2), onotient y = x + c ( c (x ) 2 + ) 2 x = R 2 ( c (x ) 2 + ) 2 x = R 2 ( ) ) ( ) x x ( c c ( ) 2 R 2 =0 2 2 x est donc solution d une éqution du second degré dont les coefficients sont otenus à l ide de,, c,,, R et des qutre opértions rithmétiques de se. près voir résolu cette éqution, on remplce x pr l vleur trouvée dns (1). y est lors solution d une éqution du premier degré dont les coefficients sont otenus à l ide de,, c,,, R et des qutre opértions rithmétiques de se. Si =0, lors dns (1) on 0et et en remplçnt dns (2) x = c ( c ) 2 +(y ) 2 = R 2 ( ) c 2 y 2 +( ) 2 2 y + R 2 =0 x est donc solution d une éqution du premier degré et y est solution d une éqution du second degré dont les coefficients sont otenus à l ide de,, c,,, R et des qutre opértions rithmétiques de se. Cs 3 :Les coordonnées du point d intersection de deux cercles sont solution d équtions du premier et second degré dont les coefficients sont otenus à prtir des coefficients des deux cercles et des qutres opértions rithmétiques de se. Vous pouvez prendre contct u 010/ ou pr mil à l Suivez les ctulités scientifiques insi que nos événements sur fceook

11 Les équtions du premier et du second degré à l règle et u comps 11 En effet, l intersection de deux cercles s otient en résolvnt le système { (x ) 2 +(y ) 2 = R 2 (x ) 2 +(y ) 2 =(R ) 2 Ce système est équivlent u système { (x ) 2 +(y ) 2 = R 2 (x ) 2 (x ) 2 +(y ) 2 (y ) 2 = R 2 (R ) 2 ou encore u système { (x ) 2 +(y ) 2 = R 2 (2 2)x +(2 2)y = R 2 (R ) 2 +( ) 2 2 +( ) 2 2 Cette deuxième éqution est l éqution d une droite. On est donc rmené u Cs 2. Vous pouvez prendre contct u 010/ ou pr mil à l Suivez les ctulités scientifiques insi que nos événements sur fceook