ÉLÉMENTS D'ANALYSE : RAPPELS SUR LES FONCTIONS

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1 ÉLÉMENTS D'ANALYSE : RAPPELS SUR LES FONCTIONS Sénce 1 NOTION DE FONCTION Le terme de onction eucoup évolué selon les époques et recouvre ujourd'hui plusieurs domines mthémtiques. Pour ce qui nous intéresse, on prendr l déinition ormlisée pr Cuchy ( ), on considérer que : Une onction d'un ensemle X dns un ensemle Y est une loi, qui, à chque élément de X, ssocie un et un seul élément de Y. On note : : X Y : x y [Attention, ceci ien qu'étnt une signiiction cournte, ne recouvre ps le chmp de toutes les onctions. Bien entendu, des onctions peuvent voir plus de vriles permettnt de trviller sur plus de dimensions, mis elles peuvent être ussi d'une utre nture c. pr exemple les hystérésis (exemple de l'eu qui out)]. Une onction nécessite souvent de déinir des domines sur lesquels elle peut s'ppliquer. (Exemples x 2, x et 1/x). L'ensemle des points du pln (x,y) dont les coordonnées stisont y = (x) orme le grphe de l onction. (ex. x 2 ). Quelques reltions simples entre une onction et son grphe (illustrtion à prtir de l onction x 2 mnipulée vec l'outil numérique permettnt les trcés de grphes). Trnsltion verticle : g(x) = (x) + c Trnsltion horizontle : g(x) = (x + c) Dilttion ou contrction verticle : g(x) = c (x) Dilttion ou contrction horizontle : g(x) = (c x) Une onction ser dite pire si pour tout x, on : (-x) = (x) ex. cos (x) Une onction ser dite impire si pour tout x, on : (-x) = - (x) ex. sin (x) Une onction composée de et g est l onction o g. Elle est déinie pr ( o g)(x) = (g(x)). On évlue d'ord g puis ensuite. Une onction réciproque de (ou onction inverse de ) est une onction que l'on note -1 : Lorsque à chque élément y il correspond une et une seule vleur en x. (Ex. de onction non réciproque x 2 ). Une onction ine engendre une droite sur un grphe. Toute droite, toujours dns un pln à deux dimensions, une éqution du type : y = mx + p. Qund p = 0, l onction est dite linéire. m est ppelé l pente de l droite. Exemple des pnneux routiers indiqunt l'inclinison des routes. Une route dont l'inclinison est de 7,5 % est une route pour lquelle l'ltitude vrie de 7,5 m lorsque l'on un déplcement horizontl de 100 m. Les pnneux routiers indiquent les pentes, c'est-à-dire l vleur m. Si on veut l'ngle correspondnt, on est oligé de pssé pr rctn (7,5 / 100). [Psser pr le tringle de Pythgore]. DEA Aminces Architecturles et Urines > Pln du cours > Nicols.Tixier@grenole.rchi.r > Éd. du 21/10/02 1

2 DÉRIVATION Le clcul diérentiel et intégrl est né u XVIIe siècle vec les trvux de Newton ( ) et de Leiniz ( ). Il été mené pour résoudre des prolèmes ctuellement élémentires : Trouver l droite tngente en un point d'une coure d'éqution donnée Trouver l vitesse instntnée d'un moile se déplçnt le long d'une droite suivnt une loi donnée. Donc, un moile (ponctuel) qui se déplce le long d'une droite, si x(t) désigne l distnce à l'origine du moile u temps t, s vitesse moyenne durnt l'intervlle de temps [t0, t0 + h] est donnée pr le quotient (distnce / temps) : (x(t0 + h) - x(t0)) / h. Plus h est petit, plus le quotient est proche de l vitesse instntnée du moile u temps t0. Le quotient ne peut ps exister qund h = 0 (division pr zéro). Mis on peut chercher l limite de ce quotient qund h tend vers zéro. En générlisnt à tous les instnts on otient : [grphe] - (principe de l cinémtique) x(t 0 + h) x(t0) vitesse (t) = lim h 0 h De çon identique, on regrde le prolème de l tngente. Si on s'intéresse à l tngente u point 0, on regrde en h, point voisin, ce qui se psse. L pente de l droite pssnt pr les points (0, (0)) et (h, (h)) est donné pr le quotient ((h) - (0)) / h. Plus h est petit, plus l pente que l'on otient est proche de l tngente u point 0. En générlisnt à tous les points, on otient : [grphe] (x + h) (x) pente (x) = lim h 0 h Cette limite, c'est le nomre dérivé de en x. Si est dérivle en tous les points de son domine, on dit que est dérivle et l'on déinit s onction dérivée pr '. On peut noter l dérivée de en x0 de plusieurs çons : (x0 + h) (x0) (x) (x0) '(x0)=lim = lim h 0 h h 0 x x 0 '(x0) (Newton) et d dx (x0) ou d (x0) (Leiniz) dx L dérivée d'une onction est une onction que l'on peut à nouveu dériver, et l'on otient l dérivée seconde, etc. (exemples du principe de nottion) Théorème : si est dérivle en x0 lors est continue en x0. [L'inverse n'est ps toujours vri. Exemple, l onction (x) = ıxı est continue en 0, mis n'y est ps dérivle, voir ussi les point nguleux (points dmettnt deux demitngentes non lignées), les point de reroussement] Le nomre dérivé de en x0, donne le tux instntné de vrition de y pr rpport à l vrition de x. L pente de l tngente représente donc le tux instntné de vrition. Exemples cournts : y x tux instntné de vrition de y pr rpport à x Espce Temps Vitesse Vitesse Temps Accélértion Énergie Temps Puissnce Angle Temps Vitesse ngulire Chrge électrique Temps Intensité de cournt Nissnce Temps Tux de ntlité Volume Temps Déit Longueur Tempérture Coeicients de dilttion [Exercice : on peut trouver l'éqution de l tngente u point x0 connissnt '(x0)] Pour dériver des onctions élémentires, nous vons esoin de connître quelques opértions de ses et quelques onctions dérivées. Le tout est regroupé dns un ormulire joint. C. ussi le site pour otenir et clculer utomtiquement les dérivées et les intégrles d'une onction. (outil Jv script). [Exercice de mnipultion] Correspondnce entre l vleur de l dérivée en un point et l crctéristique grphique correspondnte. Dérivée nulle, dérivée ininie, dérivée positive, dérivée négtive. [Grphes en exemples] DEA Aminces Architecturles et Urines > Pln du cours > Nicols.Tixier@grenole.rchi.r > Éd. du 21/10/02 2

3 Théorème de Rolle ( ) : (théorème de se du clcul ininitésiml) Soit une onction réelle déinie et continue sur un intervlle ermé [,] de ; si est dérivle sur l'intervlle ouvert ],[ et si () = (), lors il existe un réel c ],[ tel que '(c) = 0. [Grphe] Le théorème de Rolle s'interprète grphiquement pr le it qu'il existe u moins un point c du grphe ou l tngente est prllèle à l'xe des x. (Autrement dit un point c ou l onction possède un extremum). Il s'en suit le théorème des ccroissements inis : Soit une onction réelle déinie et continue sur un intervlle ermé [,] de ; si est dérivle sur l'intervlle ouvert ],[ et si () = (), lors il existe un réel c ],[ tel que '(c) = (() - ()) / (-). Ni le théorème de Rolle, ni celui des ccroissements inis ne donnent d'indictions sur l loclistion de l vleur c. Nous svons juste que cette vleur existe. Exemple vec les coures de sensiilité spectrle de l'œil humin [commentires] : L'œil ne présente ps l même sensiilité dns toutes les longueurs d'onde. Une étude sttistique rélisée pr l CIE permis de déterminer l sensiilité spectrle moyenne de l'œil humin. L coure otenue [moyenne!], ppelée coure de visiilité, est intégrée dns certins ppreils de mesure, in qu'ils nlysent les couleurs de l même mnière que l'homme les perçoit. Notion de dérivées prtielles : On utilise les dérivées prtielles pour étudier les onctions numériques de deux vriles déinies sur 2, c'est-àdire, une onction qui tout point (x,y) de 2 ssocie un nomre réel noté (x,y). L'idée est de se rmener u cs d'une onction d'une vrile en ixnt l'une des deux vriles x ou y. Soit (x0,y0) un point de 2. On ppelle dérivée prtielle de pr rpport à x u point (x0,y0) et on note x (x 0, y 0) l dérivée u point x0 de l onction d'une vrile x (x0,y0). On note l onction de x deux vriles insi déinie. On it de même pour y. INTÉGRATION L'intégrle d'une onction entre les ornes et donne l'ire sous-tendue pr l onction entre et. Cette ire peut être clculé u moyen d'une primitive de. Déinition d'une primitive d'une onction numérique déinie sur un intervlle I de : Fonction numérique g déinie et dérivle sur I dont l dérivée g' est égle à. Exemple une primitive de x x 2 sur est x x 3 / 3. Deux primitives quelconques d'une même onction dièrent d'une constnte. Toute onction déinie et continue sur I dmet une primitive F déinie pr : F(x) = (t)dt où est un réel ixé de I et où x I. (t est une vrile muette) Les primitives permettent de clculer de nomreuses intégrles : si F est une primitive de continue sur I, on pour tous réels et de I tels que < : (x)dx = F() F() se note ussi [ F(t) ] On n' ps toujours l chnce de connître ou de pouvoir trouver une primitive explicite. Toutes les onctions ne sont ps toutes primitivles. [Voir le ormulire pour celles qui le sont]. DEA Aminces Architecturles et Urines > Pln du cours > Nicols.Tixier@grenole.rchi.r > Éd. du 21/10/02 3

4 Lorsque l'on ne connît ps l primitive explicite, on peut qund même otenir les vleurs numériques à prtir de l'intégrle. Soit un point de I, l'unique primitive de s'nnulnt u point est l onction x x (t)dt. Cet énoncé permet d'étudier les propriétés des primitives d'une onction lorsque l'on ne sit ps l clculer explicitement, en utilisnt les ressources du clcul intégrl, notmment l croissnce, l'intégrtion pr prtie, les chngements de vriles. [Prtie non tritée]. Interpréttion géométrique : Aire lgérique déinie pr le grphe entre et : [c. Grphe] Découpge pr intervlles : Somme inérieure [c. Grphe] Découpge pr intervlles : Somme supérieure [c. Grphe] Aire géométrique déinie pr le grphe entre et : Quelques règles de clcul : [c. Grphe] Reltion de Chsles ( ) :,,c I : (t)dt = (t)dt + (t)dt Reltion de linérité : [ (t) + g(t)]dt = (t)dt + g(t)dt et [ (t)]dt = (t)dt c c FONCTIONS LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLES Fonction logrithmique C'est à John Néper que l'on doit l'invention du logrithme. (ou Npier ). Amorce : un nomre x élevé à une puissnce n donne un résultt y : y = x n. L puissnce n représente le logrithme de y en se x. Exemples : 10 3 = 1000 Le logrithme de 1000 en se 10 est = 16 Le logrithme de 16 en se 2 est 4 Déinition : l onction logrithme de se est l onction qui x ssocie son logrithme en se. Log x = x Le logrithme est dit déciml si = 10 [on écrit log (x) pour log10 (x)] On remrque que : log 1 = 0 log 10 = 1 log 10 n = n Le logrithme est dit népérien si = e [on écrit Log (x) ou ln (x) pour loge (x)] e = 2, nomre de Néper on l'otient pr ln (e) = 1 On ppelle onction logrithmique népérien l primitive déinie sur ]0, [ de l onction x 1/x et qui s'nnule pour x = 1. On donc (ln x)' = 1/x et ln 1 = 0. [c. Grphe] Opértion de clcul : log 1 = 0 log (xy) = log (x) + log (y) log (x y ) = y log (x) log (x/y) = log (x) - log (y) DEA Aminces Architecturles et Urines > Pln du cours > Nicols.Tixier@grenole.rchi.r > Éd. du 21/10/02 4

5 Les logrithmes sont utilisés : Dns les clculs, où ils permettent de remplcer les multipliction et les divisions pr des dditions et des soustrctions. Dns certines représenttions grphiques de lois mthémtiques ou physiques (ques). Pr exemple, l'emploi d'une échelle logrithmique permet de remplcer certines coures pr des droites. Si on prend le cs de l coure y = x 2 (prole), on peut l représenter pr l'expression log y = 2 log x. Mintennt, si on utilise un grphique grdué logrithmiquement (c'est-à-dire Y = log y et x = log x), l coure représenttive est lors une droite d'éqution Y = 2 X. [c. Grphe] Fonction exponentielle L onction exponentielle est déinie comme l réciproque de l onction logrithme. y = e x ln y = x y = 10 x log y = x Plus générlement, quel que soit >0, quel que soit x réel on : x = e x ln c'est l onction exponentielle de se Opértion de clcul : e x + y = e x e y e 1 = 1/ e x (e x ) n = e nx vec n Z [Exemple de l'échiquier et des grins de riz] APPLICATION À L'ACOUSTIQUE En coustique, on mesure l'intensité d'un son en els ou en déciels (1dB = 10-1 el). L'intensité d'un son en déciel est donnée pr l reltion suivnte : I = 10log 10 ( J J 0 )db J est l puissnce coustique du son (en W.m -2 ) et J0 est l plus ile puissnce udile pr un humin à une réquence de 1 khz (J0 = W.m -2 ). Cette déinition est telle que l plus ile puissnce udile pr un être humin est égle à 0 db. L gmme d'intensité perceptile à l'oreille humine v de 0 db à 120 db, ce qui correspond lors à un seuil de douleur. On l'hitude de prler de niveu sonore en lien vec une pression exprimée en Pscl. Niveu sonore L p = log 10 ( P 2 P 0 2 ) el vec P 0 = P L p = 10log 10 ( P 2 2 ) décie P 0 [Exercice sur l puissnce sonore] [Exercice sur les niveux de pression coustique] DEA Aminces Architecturles et Urines > Pln du cours > Nicols.Tixier@grenole.rchi.r > Éd. du 21/10/02 5