Les bases de la mécanique Newtonienne classique (sous forme de rappel de notions déjà apparues dans ce cours)

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1 Les bases de la mécanique Newtonienne classique (sous fome de appel de notions déjà appaues dans ce cous) Les 3 lois de Newton. Loi d inetie mouvement ectiligne unifome F = 0. Loi fondamentale de la dynamique F = d p où p = m v 3. Loi de l action et de la éaction F = F F = ma si m = cste. Définit les «bons» éféentiels pou la ème loi, c est-à-die les éféentiels d inetie. Intoduit les gandeus physiques impotantes; de cette loi découle le théoème du moment cinétique: M O = d L O où M O = F L O = p O = point abitaie du éféentiel 3. Enonce une popiété généale des foces: Dans un système la somme des foces et des moments intenes est nulle la ème loi de Newton et le théoème du moment cinétique sont valables pou la quantité de mouvement totale et le moment cinétique total en ne considéant que les foces extéieues au système F ext = d ext M O = d Relativité Galiléenne (invaiance pa changement de éféentiel d inetie) Les intevalles de temps et d espace sont les mêmes dans tous les éféentiels (d inetie) Les lois de la mécanique sont les mêmes dans tous les éféentiels d inetie OS, mas p tot L O,tot

2 Lois (pincipes) de consevation (sous fome de appel de notions déjà appaues dans ce cous) Pou un système isolé: F ext = 0 et M ext O =0 ( ) Conséquence diecte des lois de Newton, mais ces lois sont fondamentales, valables mêmes en dehos du cade de la mécanique Newtonienne classique (pa ex. en elativité esteinte et en mécanique quantique) Elles peuvent ête compises comme l expession de syméties (homogénéité et isotopie de l espace) Pou un système patiellement isolé (isolé selon une diection u): ( u ˆ F ext = 0 et u ˆ ext M O =0) p tot u ˆ = constante Exemples: L O,tot u ˆ = constante O Objets su ail à ai hoizontal Tabouet tounant p tot = constante L O,tot = constante O Cas spécial: système soumis à une foce centale: ( ext M O =0) L O,tot = constante pou un point O OS, mas 006 9

3 Lois de consevation: emaques, exemples Il existe encoe une aute loi de consevation impotante en mécanique: la consevation de l énegie tout aussi fondamentale que la consevation de p et L l énegie cinétique totale d un système, même isolé, n est pas toujous consevée, ca il existe des fomes «cachées» d énegie (énegies potentielles, chaleu, énegie électique ou chimique, masse, ), dont cetaines seont abodées plus loin dans ce cous cette loi dépasse donc le cade stict de la mécanique! Les lois de consevation sont des concepts et des outils puissants: Analyse simplifiée de situations complexes Exemples et démonstations (pou constate la consevation de p et L, et cheche les fomes d énegie «cachées»): «voitue à boulets», «voitue à gaz» chocs élastiques, choc mou tabouet tounant OS, mas 006 9

4 Système de masse vaiable (fusée) démo On considèe, au temps t, la fusée et son gaz: temps t temps t+ p (t) = m(t) v (t) p (t + ) = ( m(t) +dm) ( v (t) +dv ) dm ( v (t) + u ) dp = p (t + ) p (t) = m(t) dv dm u Fusée F = d p = m(t) a (t) dm u v(t) v(t)+dv m(t) m(t)+dm Fusée au décollage: F (t) = m(t) g m(t) a (t) = m(t) g + dm Pojection su axe vetical: m(t) a(t) = m(t) g dm Condition de démaage (t=0): a(0) > 0 dm u > m(0) g 3 3 poussée poids Si u=constante, on obtient: v(t) v(0) { 0 OS, mas u u = gt u ln m(t) m(0) dm u Gaz masse dm > 0 v(t) = u ln m(0) m(t) vitesse u pa appot à la fusée! gt

5 Chocs ou collisions ente paticules Peuvent ête analysés su la base des lois de consevation et pemettent d étudie les foces en jeu Modélisation: le système des deux paticules est isolé: L tot et p tot consevés Bien avant le choc (t << 0): Les paticules n execent aucune foce l une su l aute (elles sont tès éloignées et on suppose une foce à coute potée) Chaque paticule est un système isolé Pendant le choc (t ~0): Les paticules inteagissent, sous l effet d une foce F (qu on ne décit pas) Bien apès le choc (t >> 0): Les paticules sont à nouveau libes état initial état final: les paticules ont échangé, ente autes, de la quantité de mouvement: p = F (t) = implusion collision: F0 F=??? état initial: F=0 état final: F=0 choc OS, mas

6 Choc ente deux points matéiels On choisit, sans pete de généalité, un éféentiel dans lequel l une des deux boules est initialement au epos (elativité!) y m x Consevation de la quantité de mouvement totale: = +m Pojections x et y v i =0 Vaiation d énegie cinétique totale: Q K final K initial = m v f 3 + m v f 3 m v i 3 v f toutes les vitesses sont dans un même plan = cos +m v f cos 0= sin m v f sin état initial (supposé connu) Pou un choc ente deux boules (pa exemple de billad), il faudait en plus teni compte de la consevation du moment cinétique et de l énegie cinétique de otation! K= mv + I G ( ) K f K f K i OS, mas m état final (à calcule) v f

7 Au tableau Choc élastique ente deux points matéiels Définition choc élastique: énegie cinétique consevée Q=0 = cos +m v f cos 0= sin m v f sin = m cos +m ± cos + m élimination m v i = m v f + m v f v i +v f cos = m m v f OS, mas élimination v f Conditions à satisfaie: a) si < m : ( cos ±... ) 0 et agument de la acine 0 signe exclu et l angle n est pas esteint: 0 b) si > m : les deux signes sont possibles, mais l angle doit satisfaie à: cos > m max et cos m >0 < (Exemples: chocs ente balle de ping-pong et boule de pétanque) où cos max = m

8 Au tableau Choc élastique ente deux points matéiels () Remaques: Le poblème n est pas complètement soluble sans infomation su la foce La donnée de la diection finale de la paticule pemettait de tout connaîte (on obtiendait et v f à pati des 4 équ. de consevation) Cas paticulie d une collision unidimensionnelle (entièement soluble avec les lois de consevation) On epend les ésultats pécédents avec = =0, mais,, et v f sont maintenant les coodonnées su l axe x (et non plus les nomes) On obtient: = ± m +m =v i v f = pas de choc! Cas limites: Si = m : = 0 et v f = Si << m : et v f 0 Si >> m : et v f Démos: ail à ai, chocs de plusieus billes OS, mas ou = m +m v f = +m échange des vitesses ebond su une masse «infinie» collision avec masse négligeable