Probabilités - Lois continues

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1 Probbilités - Lois continues T le S I - Loi à densité Définition Une vrible létoire continue X est une fonction qui à chque issue de l univers Ω ssocie un nombre réel d un intervlle I de IR. Exemple : Loi de vieillissement. Pour une équipement produit en grnde série, on peut définir l vrible létoire X égle à l durée de vie (ou de bon fonctionnement) d un ppreil pris u hsrd. X est une vrible létoire continue. Définition Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle I = [;b] telle que : f(t)dt = 1. Dire que l vrible létoire continue X suit l loi de probbilité P de densité f signifie que, { pour tout intervlle J I, l } probbilité P (X J) est égle à l ire du domine M(x;y);x J et y f(x). C f C f O c d P (c X d) b O b P ( X b) = 1 Propriété Pour tout nombre réel c I, P (X = c) = Remrques : D près ce qui précède, P (c X d) = P (c < X d) = P (c X < d) = P (c < X < d) D près l définition de l intégrle d une fonction continue, on donc P (c X d) = d c f(t)dt 1. Dns le cs où l intervlle I n est ps borné, pr exemple I = [;+ [, on dpte ce qui précède en utilisnt + x P (X I) = f(t)dt = lim f(t)dt x + 2. Les propriétés des probbilités discrètes s étendent u cs continu : Probbilité du complémentire : P(X / J) = 1 P(X J) Probbilité conditionnelle : P (X J) (X J ) = P (X J J) P (X J) Exercice 1 Soit X une vrible létoire à vleurs dns I = [;1] dont l loi de probbilité pour densité l fonction f définie pr f(x) = 4x Vérifier que l fonction f définie bien une loi de probbilité. 2. Clculer l probbilité P (,3 X,6). 1/12

2 Exercice 2 Y est une vrible létoire à vleurs dns [;+ [ dont l loi de probbilité pour densité l fonction définie pr f(x) = 2e 2x. 1. Vérifier que l fonction f définie bien une loi de probbilité. 2. Soit n IN, clculer P (n Y n+1). 3. Soit m IN, déterminer l probbilité que Y soit inférieure à m. 4. Soit p et q deux entiers nturels, p q, déterminer l probbilité P (Y q) (Y p). Définition L espérnce d une vrible létoire X de densité f sur [; b] est le nombre réel E(X) = tf(t)dt Exercice 3 Soit Z l vrible létoire à vleurs dns [ 1;1] dont l loi de probbilité pour densité l fonction définie pr f(x) = 3 2 x2. 1. Vérifier que l fonction f définie bien une loi de probbilité. 2. Clculer l espérnce de l vrible létoire Z. 3. Déterminer le nombre réel tel que P ( X ) =,95. II - Loi uniforme L loi uniforme est l loi de probbilité qui générlise l loi équiprobble dns le cs discret. Définition L loi uniforme sur l intervlle [;b], vec < b, est l loi de probbilité dont l densité est une fonction constnte sur [; b]. Propriété L densité de probbilité de l loi uniforme sur [;b] est l fonction f définie sur [;b] pr f(x) = 1 b. Démonstrtion: f est une fonction constnte sur [;b], donc définie pr f(x) = λ, λ IR. Pour que f définisse une loi de probbilité sur [;b], on doit voir f(t)dt = 1 λdt = 1 λ(b ) = 1 λ = 1 b Propriété L espérnce d une vrible létoire X qui suit l loi uniforme sur [; b] est E(X) = +b 2 Démonstrtion: L densité de probbilité est définie pr f(x) = 1, et lors b E(X) = = 1 b tf(t)dt = ( 1 2 b t b dt = 1 b ) = 1 1 2b. tdt = 1 [ 1 ] b b 2 t2 (b )(b+) = b /12

3 Exercice 4 X est une vrible létoire qui suit l loi uniforme sur l intervlle I = [ 2;2]. 1. Déterminer l fonction de densité de probbilité de X. 2. Clculer P (X < 1) et P (X 1,5). 3. Clculer P (X>) (X < 1). 4. Donner l espérnce de X. Exercice 5 1. Résoudre dns IR l inéqution 9x 2 33x+1 >. 2. On choisit u hsrd un nombre réel dns l intervlle [; 2]. ) Quelle est l probbilité que ce nombre soit solution de l inéqution 9x 2 33x+1 >? b) Quelle est l probbilité que ce nombre soit solution de l éqution 9x 2 33x+1 =. Exercice 6 Je n i ps de monnie pour pyer le prking où m voiture est sttionnée. Les gents municipux pssent létoirement une fois pr jour durnt les heures de sttionnement pynt de 9h à 19h. Je compte lisser m voiture là pendnt 2h. Quelle est l probbilité que je sois verblisé? Remrque : On pourrit utiliser d utres profils (plus précisément densités ) de probbilités plus rélistes (prennt en compte une éventuelle puse reps...) : Densité uniforme 9h 1h 12h 14h 18h 19h Exercice 7 1. X est une vrible létoire qui suit l loi uniforme sur l intervlle [; 1]. Déterminer E(X), et interpréter cette vleur pr une phrse. 2. Quel est le rôle de l lgorithme suivnt? Quel résultt, pproximtivement, s fficher en sortie de cet lgorithme? Trduire cet lgorithme dns un lngge (clcultrice pr exemple), le progrmmer et l exécuter. Initilistion S prend l vleur i prend l vleur Tritement Tnt que i < 1 x prend une vleur létoire dns [;1[ S prend l vleur S +x i prend l vleur i+1 Fin Tnt que Sortie Afficher S/1 III - Lois exponentielles Définition Soit un réel λ >. L loi exponentielle de prmètre λ sur [;+ [ est l loi de densité définie pr f(x) = λe λx. 3/12

4 Exercice 8 Soit X une vrible létoire suivnt l loi exponentielle de prmètre λ = Déterminer l probbilité P ( X 1). 2. Soit et b deux réels, b, déterminer l probbilité P ( X b). 3. Déterminer l probbilité P (X 1). 4. ) Déterminer deux réels α et β tels que l fonction F définie F(x) = (αx+β)e 1x soit une primitive de f(x) = 1xe 1x. b) En déduire l espérnce de X. Propriété L espérnce d une vrible létoire X qui suit l loi exponentielle de prmètre λ est : E(X) = 1 λ. Démonstrtion: E(X) = + tf(t)dt = lim x + x x tf(t)dt = lim tλe λt dt x + Pourclculerl intégrle,onchercheuneprimitivegdeg(t) = λte λt souslformeg(t) = (αt+β)e λt. ( ) G est dérivble sur [;+ [, vec G (t) = αe λt λ(αt+β)e λt = λαt+(α λβ) e λt Ainsi, pour tout t [;+ [, { { λα = λ α = 1 G (t) = g(t) α λβ = β = 1 G(t) = λ On lors, E(X) = x [ ] x + g(t)dt = lim g(t)dt = lim G(t) x + x + ( t 1 ) e λt λ = lim (G(x) G()) Or, x + lim x + xe λx =, et lim x + e λx =, d où, lim G(x) =, et donc, E(X) = G() = 1 x + λ. Exemple : On dmet que les phénomènes d ttente peuvent se modéliser pr une loi exponentielle. Un mgsin nnonce que le temps d ttente moyen en cisse est de 5 min. 1. Que vut le prmètre de l loi exponentielle? 2. Quelle est l probbilité, dns ce mgsin, que j ttende à l cisse : ) moins de 5 min? b) entre 5 et 1 min? c) plus de 15 min? Exercice 9 Loi de durée de vie sns vieillissement L durée de vie d un produit est une vrible létoire T à vleurs dns [;+ [. L événement (T t) désigne l événement : L élément est encore en vie à l instnt t. On suppose que T suit une loi de probbilité exponentielle de prmètre λ. On dit que T suit une loi de durée de vie sns vieillissement si l probbilité que l élément soit encore en vie à l instnt t+h schnt qu il est en vie à l instnt t ne dépend que de l durée h (et donc ps de l instnt t). Montrer que T suit une loi de durée de vie sns vieillissement. Remrque : Pr exemple, lors de l désintégrtion rdioctive, le durée de vie d un noyu est une loi sns vieillissement. Exercice 1 L durée de vie de certines mpoules peut-être modélisée pr une loi exponentielle. Ces mpoules ont une durée de vie de 8 heures. 1. Déterminer le prmètre de cette loi et donner l densité de probbilité ssociée. 2. Clculer l probbilité qu une mpoule choisie u hsrd it une durée de vie supérieure à 1 heures. 3. Schnt que l mpoule à mon plfond fonctionne depuis déjà 1 heures, quelle est l probbilité qu elle fonctionne encore u moins 1 heures? 4. Une mpoule provennt du même stock brille depuis déjà 1 heures. Quelle est l probbilité qu elle continue de briller pendnt encore 1 heures de plus? 4/12

5 Exercice 11 Le temps d ttente à une cisse été estimé sttistiquement dns un grnd mgsin. En notnt Y l vrible létoire, à vleurs dns [;+ [, égle u temps d ttente en minutes, d un client à cette cisse, on modélise l loi de probbilité de Y pr une loi exponentielle. 1. Onestimé que l probbilité qu un client ttende plus de1 minutes à cettecisse est de,13. Déterminer le prmètre de l loi exponentielle. 2. Déterminer l probbilité qu un client ttende moins de 1 minutes à cette cisse. 3. Déterminer le temps moyen d ttente à cette cisse. 4. J ttends déjà depuis 5 minutes à cette cisse. Quelle est l probbilité que je psse à l cisse dns plus de 5 minutes? L cisse d à côté m l ir bien plus rpide. Quelle est l probbilité pour que je psse à l cisse d à côté dns plus de 5 minutes. Ai-je intérêt à chnger de file d ttente? (On suppose que les temps d ttente à toutes les cisses de ce mgsin sont modélisés pr l même loi). Exercice 12 D près Bc Dns un mgsin, des composnts, en pprence tous identiques, peuvent présenter certins défuts. On estime que l probbilité qu un composnt vendu dns ce mgsin soit défectueux est égle à,2. Les prties A et B sont indépendntes. Prtie A On dmet que le nombre de composnts présentés dns le mgsin est suffismment importnt pour que l cht de 5 composnts soit ssimilé à 5 tirges indépendnts vec remise. On ppelle X le nombre de composnts défectueux chetés. J chète 5 composnts. 1. Quelle est l probbilité qu exctement deux des composnts chetés soient défectueux? Arrondir u dix-millième. 2. Quelle est l probbilité qu u moins un des composnts chetés soit défectueux? Arrondir u dix-millième. 3. Quel est, pr lot de 5 composnts chetés, le nombre moyen de composnts défectueux? Prtie B On suppose que l durée de vie T 1 (en heures) de chque composnt défectueux suit l loi exponentielle de prmètre λ 1 = On suppose ussi que l durée de vie T 2 (en heures) de chque composnt non défectueux suit l loi exponentielle de prmètre λ 2 = Clculer l probbilité que l durée de vie d un composnt soit supérieur à 1 heures (on donner l vleur excte et rrondie u centième) : ) si ce composnt est défectueux; b) si ce composnt n est ps défectueux. 2. Clculer l probbilité que l durée de vie d un composnt non défectueux soit supérieure à 2 heures schnt qu il fonctionne encore prfitement près 15 heures d utilistion. 3. Soit T l durée de vie (en heures) d un composnt cheté u hsrd. Démontrer que l probbilité que ce composnt soit en étt de mrche près t heures de fonctionnement est : P(T > t) =,2e 5.1 4t +,98e 1 4t. 4. Schnt que le composnt cheté est encore en étt de fonctionner 1 heures près son instlltion, quelle est l probbilité que ce composnt soit défectueux? 5/12

6 Exercice 13 On lnce 1 fois de suite un dé bien équilibré à six fces. On note X l vrible létoire qui compte le nombre de fois où les chiffres 2 ou 3 sont pprus. 1. Quelle est l loi de probbilité suivie pr X? 2. Déterminer l espérnce et l écrt-type de X. 3. Compléter le tbleu donnnt l loi de probbilité de X et l histogrmme suivnt : k P (X = k) P (X = k),3,2, k IV - Loi normle Lloi normle(ouloi deguss, oudelplce, ouencore de Lplce-Guss) est uneloi théorique : c est une idélistion mthémtique qui ne se rencontre jmis exctement dns l nture (ps plus qu un cercle...). Nénmoins, de nombreuses distributions réellement observées s en rpprochent de mnière ssez flgrnte en présentnt cette forme type en cloche. Un théorème très importnt en sttistique et probbilité, le théorème centrl limite (lrgement hors progrmme en terminle S), montre l plce prépondérnte que cette loi occupe dns l modélistion de phénomènes nturels. 1) Loi normle centrée réduite Définition Une vrible létoire X est dite centrée lorsque son espérnce est nulle : E(X) =. réduite lorsque son écrt type est 1 : σ(x) = 1. Définition L loi normle centrée réduite, notée N(;1), est l loi de probbilité dont l densité l fonction f définie sur IR pr f(x) = 1 e x π 6/12

7 Propriété f est continue et pire : s courbe représenttive est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. C f L courbe représenttive de f est dite courbe en cloche, ou courbe gussienne. Si X suit l loi normle centrée réduite N(;1), s fonction de réprtition est définie pr Π(x) = P (X x) = x f(t)dt = lim t x t f(t)dt On ne connît ps de primitive de f, et donc on ne sit ps clculer explicitement l intégrle de f. Les vleurs des probbilités Π(x) sont clculées pr les clcultrices, tbleurs,... et sont tbulées. Π(x) x C f Les vleurs de Π(x) sont tbulées en générl pour x. Pour x, on peut lors utiliser l reltion : Π( x) 1 Π(x) Π( x) = 1 Π(x). x x C f Propriété Si X est une vrible létoire qui suit l loi normle centrée réduite N(;1), on donc, P (X ) = P (X ) =,5 Pour tous b, P ( X b) = Π(b) Π(). Csio : Grph 35+ et modèles supérieurs Menu STAT, puis DIST, et enfin NORM Clcul de P( X b) Ncd (Norml, cumultive distribution) vec pour vleurs : Lower : Upper : b σ : 1 µ : puis Clc (F1)... Clcul de P(X b) : on peut procéder de même, en entrnt l borne inférieure Lower : 1E+99 TI82 Stts et modèles supérieurs 2nd DISTR (ou distrib) Clcul de P( X b) normlcdf (ou normlfrep) puis : normlcdf(,b,,1) Clcul de P(X b) on procède de même en entrnt l borne inférieure = 1E+99 : normlcdf(,b,,1) 7/12

8 Exercice 1 Soit X une v.. suivnt l loi N(;1). Clculer, à l ide de l tble des vleurs de Π et de l clcultrice, les probbilités : ) p 1 = P (X,43) b) p 2 = P (X 1,38) c) p 3 = P (,43 X 1,38) d) p 4 = P (X,96) e) p 5 = P ( 1,1 X 2,57) f) p 6 = P ( 1,5 X 1,5) g) p 7 = P ( 1 X 1) h) p 8 = P ( 1,96 X 1,96) i) p 9 = P ( X 1,96) Csio : Grph 35+ et modèles supérieurs Menu STAT, puis DIST, et enfin NORM Clcul de tel que P(X ) = p InvN (Inverse Norml) vec pour vleurs : Til : Left Are : p σ : 1 µ : puis Clc (F1)... TI82 Stts et modèles supérieurs 2nd DISTR (ou distrib) Clcul de tel que P(X ) = p InvNorm (ou FrcNormle) puis : invnorm(p,,1) Exercice 2 Soit α =,5 et X une v.. suivnt l loi N(;1). Déterminer le nombre v α tel que : P (X v α ) = 1 α. Théorème L espérnce d une vrible létoire X suivnt l loi normle centrée réduite N(; 1) est : E(X) =. S vrince est : V(X) = 1 et donc son écrt-type est : σ(x) = V = 1 (dmis). Démonstrtion: Pour tout x réel, on f (x) = xf(x), et donc, vec, tf(t)dt = lim x E(X) = or, lim f(x) =, et donc, x De même, + x + tf(t)dt = tf(t)dt = lim x x tf(t)dt = f(). tf(t)dt = f(), et donc, E(X) = tf(t)dt+ + tf(t)dt [ ] ( ) f (t)dt = lim f(t) = lim f()+f(x) x x x tf(t)dt+ + tf(t)dt = f()+f() =. Propriété Soit T une vrible létoire qui suit l loi normle centrée réduite N(; 1), lors, pour tout nombre réel < α < 1, il existe un unique nombre réel u α > tel que P ( u α T u α ) = 1 α. 8/12

9 Démonstrtion: Pr symétrie de l densité de probbilité f de l loi normle centrée réduite, on P ( u X u) P ( u X u) = 2P ( X u) = 2 u où F est l primitive de f sur IR qui s nnule en. f(x)dx = 2F(u), F est continue (et même dérivble) et croissnte sur [;+ [ cr F = f et f >. De plus, lim F(u) = 1 : il s git de l moitié de l ire sous l courbe de f qui est symétrique u + 2 pr rpport à l xe des ordonnées et dont l ire totle (de à + ) vut 1. On donc le tbleu de vrition de l fonction 2F : x + 1 2F u u C f Comme pour tout nombre α ];1[, le nombre 1 α ];1[, d près le théorème des vleurs intermédiires, il existe un unique u α ];+ [ tel que 2F (u α ) = 1 α, c est-à-dire tel que P ( u α X u α ) = 1 α. x u α + 1 2F 1 α Exercice 3 Soit X une v.. qui suit l loi N(;1). Déterminer, à l ide de l tble de vleurs de Π et de l clcultrice, les vleurs de u et v telles que : ) P ( u X u) =,95 b) P ( u X u) =,99 Propriété Soit X une vrible létoire qui suit l loi normle centrée réduite N(;1), lors : u,5 1,96 : P ( 1,96 X 1,96) 1 5% = 95% =,95 u,1 2,58 : P ( 2,58 X 2,58) 1 1% = 99% =,99 Rppel : Soit X une vrible létoire discrète qui suit l loi binomile B(n; p), lors l espérnce de X est µ = E(X) = np et son écrt type σ = npq = np(1 p). L vrible létoire Y = X µ est lors centrée et Z = X µ est centrée réduite. σ Théorème Moivre-Lplce Soit, pour tout entier n, X n une vrible létoire qui suit l loi binomile B(n;p). Alors, Y n = X n µ = X n np est une vrible létoire centrée réduite et, lorsque σ np(1 p) n tend vers +, P ( Y n b) tend vers 1 e x 2 2 dx. 2π En prtique, on pproche les probbilités de l loi binomile pr celles de l loi normle lorsque n 3 et np 5 et n(1 p) /12

10 Exercice 4 On lnce 36 fois un dé équilibré. On souhite évluer l probbilité que le nombre d pprition du 6 soit compris strictement entre 575 et 65. On note X l v.. égle u nombre d ppritions du 6 lors de ces 36 lncers. 1. Quelle est l loi de probbilité suivie pr X? Justifier. 2. Appliquer, en justifint son utilistion, le théorème de Moivre-Lplce à l v.. X. 3. En déduire une vleur pprochée de l probbilité recherchée. 2) Lois normles Définition Une vrible létoire X suit l loi normle N(µ;σ 2 ) si et seulement si l vrible létoire Y = X µ suit l loi normle centrée réduite N(;1). σ Propriété Si X suit une loi normle N(m;σ 2 ) lors E(X) = m σ(x) = σ V(X) = σ 2 68% des vleurs sont dns [m σ; m+σ] 95% des vleurs sont dns [m 2σ; m+2σ] 99,7% des vleurs sont dns [m 3σ; m+3σ] 34,1% 34,1% 14% 14%,1% 2% 2%,1% 3σ 2σ σ m σ 2σ 3σ Remrque : cel signifie ussi que l probbilité d obtenir une vleur de X distnte de plus de σ de l moyenne µ est d environ 32%, soit environ 1/3, l probbilité d obtenir une vleur de X distnte de plus de 2σ de l moyenne µ est d environ 5%, et celle d obtenir une vleur de X distnte de plus de 3σ de l moyenne µ est presque nulle (inférieure à,3%). Exemple : Les mchines d une usine produisent des éléments dont l msse ffichée est de 2g. En rélité, ces mchines ne produisent ps exctement des éléments pesnt 2g, mis vec une certine imprécision (ou incertitude). Une étude sttistique (ou physique sur l précision des mchines) montre que, si X désigne l vrible létoire (continue) égle à l msse d un élément à l sortie de l usine, lors X suit l loi normle N(2; 16). L msse moyenne des objets produits est de µ = 2g, mis vec un écrt type σ = 16 = 4g. Cel signifie, entre utre, que 68% des éléments pèsent entre µ σ = 196g et µ+σ = 24g; (et il y donc une probbilité d environ 32%, soit environ 1 chnce sur 3, pour qu un élément pris u hsrd pèse moins de 196g ou plus de 24g...) 95% des éléments pèsent entre µ 2σ = 192g et µ+2σ = 28g; 99,7% des éléments pèsent entre µ 3σ = 188g et µ+3σ = 212g. L vleur moyenne est l vleur ffiché (sur l embllge du produit pr exemple, l écrt-type est bien souvent très difficile à trouver...) 1/12

11 Exercice 5 Soit X une v.. suivnt l loi N(µ;σ 2 ) vec µ = 8 et σ = 5. Clculer les porbbilités P (X 84), P (X 76) et P (75 X 85) à l ide de l clcultrice, puis à l ide de l tble des vleurs de Π(x). Exercice 6 Une usine de composnts électroniques fbrique des résistnces. En mesurnt un grnd échntillon de ces composnts, on constte que l résistnce nominle, exprimée en ohms, de chque composnt tiré u hsrd est une vrible létoire X de loi normle N(1;1). Pour cet exercice, on utiliser uniquement les trois résultts suivnts pour une vrible U suivnt l loi N(;1) : P ( 1,96 U 1,96) =,95, P ( 1,64 U 1,64) =,9, P (U 1) =,84. Vri ou Fux? 1. L probbilité que l résistnce d un composnt tiré u hsrd soit comprise entre 98 Ω et 12Ω est supérieure à, L probbilité que l résistnce d un composnt soit comprise entre 991 Ω et 19 Ω est supérieure à,9. 3. L probbilité que l résistnce d un composnt soit supérieure à 983,6 Ω est supérieure à, L probbilité que l résistnce d un composnt soit comprise entre 99Ω et 11Ω est égle à, L probbilité que l résistnce d un composnt soit comprise entre 983,6 Ω et 119,6 Ω est égle à,925. Exercice 7 Soit X une v.. suivnt l loi N(µ;σ 2 ). On sit de plus que l écrt-type de X vut,1 et que P (X ) =,5478. Quelle est l espérnce de X? Exercice 8 L durée de vie d une clé USB, exprimée en mois, est modélisée pr une vrible létoire suivnt une loi normle de moyenne et d écrt-type inconnus. Selon le fbricnt, 75% des clés produites ont une durée de vie comprise entre 15 et 25 mois. L grntie s pplique sur cette période en considérnt que 5% des clés de l production ont une durée de vie inférieure à 15 mois. 1. Déterminer l moyenne et l écrt-type de l loi. 2. Quelle est l probbilité d voir un ppreil dont l durée de vie soit comprise entre 25 et 3 mois? 11/12

12 Extrit de l tble de l fonction intégrle de l loi normle centrée réduit N(;1) L loi normle centrée réduite N(;1) est l loi de probbilité de densité f(x) = 1 2π e x2 2 Π(t) = P (X t) = t f(x)dx Π(t) t t,,1,2,3,4,5,6,7,8, Tble pour les grndes vleurs de t t Π(t) /12