. τ. avec τ = 1. R + r. R + r R + r τ r exp t τ

Transcription

1 8-9 xrccs d Élctrocnétq égm transtor t régm forcé contn x-4. rct d ordr ) xprmr t) t t), ps tracr ls corbs rprésntatvs. On posra τ =. I I I I 4 ép : t) = I xp t )) t t) = I xp t ). τ τ t x-4. rct parallèl ) Détrmnr l éqaton dfférntll vérfé par n foncton d : ω = t Q = ω. ) On pos λ =. Détrmnr t) sachant q t = ) = Q t t = ) =. On dstngra tros cas : a) λ =, b) λ > t c) λ <. ép : ) d dt + ω d Q dt + ω = avc ω = t Q = ω = ; ω.a) λ > : t) = r r r r t + r r t ) avc r / = λω ω λ ;.b) λ = : t) = + λω t) λωt ;.c) λ < : t) = cos ωt + snωt τω )xp t ) avc τ = t ω = ω λ τ λω. x-4.3 rct d ordr ) Dans l crct rprésnté c-contr on frm l ntrrptr à la dat t =, l condnsatr étant ntalmnt q r déchargé. I) ) Établr l xprsson d qt) où q st la charg d condnsatr, n dédr, t n foncton d tmps. ) alclr à la dat t l énrg stocké dans l condnsatr. 3) Écrr sos la form d n somm d ntégrals n blan d énrg ntr ls dats t t. ép : ) n posant τ = r : qt) = xp t )) ; t) = + r + r τ r xp t τ t) = + r xp t τ )) ; t) = + r + r xp t τ )). x-4.4 rct d ordr 3) Détrmnr l ntnsté d corant t) dans l condnsatr, ans q la tnson t) à ss borns sachant q l on frm l ntrrptr à la dat t = t q l condnsatr n st pas chargé ntalmnt. 3 présntr graphqmnt t) t t). ép : t) = 4 + r xp t ) avc τ = + r ) 4 ; τ 4 t) = 5 xp t )). τ II) r r r r ) ; qadrpcs@aol.com http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ 9

2 xrccs d Élctrocnétq 8-9 x-4.5 égm transtor apérodq *) À t =, ls condnsatrs sont déchargés. On frm alors l ntrrptr. ) Établr l éqaton dfférntll n. ) Détrmnr ls condtons ntals + ) t d dt + ). 3) xprmr t). ép : ) vérf l éqaton canonq d ordr avc ω = t Q = 3 ; ) + ) = [ t d dt + ) = ; 3) t) = ) 5 ch t )] 5.sh 5 t xp 3t ) x-4.6 obn t condnsatr réls n sér ) ) Détrmnr l éqaton dfférntll vérfé par. ) À qlls condtons l régm transtor st-l : a) crtq ; b) apérodq ; c) psdo-pérodq? ép : ) d ω d d+ Q dt + ω = avc ω = + t Q = + + ). ω ) f ors 4 : rgardr l sgn d, dscrmnant d l éqaton caractértq, t donc la valr d Q Q <, Q =, Q < ). x-4.7 obn t condnsatr réls n sér ) : régm transtor psdo-pérodq *) montag c-contr modéls n bobn réll, ) n sér avc n condnsatr rél, ) ntalmnt déchargé. On frm l ntrrptr à la dat t = On mpos la rlaton svant : τ = =. Intalmnt : ) = t ) =. ) Établr l éqaton dfférntll régssant t), tnson ax borns d condnsatr lorsq l crct st branché, à t =, sr n génératr d tnson. ) Détrmnr t) por t. 3) Détrmnr t), ntnsté crclant dans la bobn. 4) Pt-on prévor l régm prmannt sans calcl? S o, détrmnr U, tnson ax borns d condnsatr, t I, corant dans la bobn, n régm prmannt. ép : 3) t) = [ + cos t τ + sn t ) xp t )] ; 4) Far n schéma éqvalnt d τ τ montag lorsq l régm prmannt contn st attnt : I = t U =. x-4.8 Tros résstancs t n bobn crct étdé comport tros résstancs, t 3, n bobn parfat d ndctanc, n génératr d f.é.m. 3 t n ntrrptr. ) Intalmnt, la bobn n st parcor par acn corant. À l nstant t =, on frm l ntrptr. Établr la lo d évolton d t) t détrmnr l corant I n régm prmannt dans la + 3 ) bobn. On posra τ = ) corant d ntnsté I st établ, on ovr à t = réntalsaton d tmps!). http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ qadrpcs@aol.com

3 8-9 xrccs d Élctrocnétq Détrmnr la novll lo donnant t) t l énrg dsspé par fft Jol dans ls résstancs. On posra τ =. + ép : ) t) = I xp ) t) = I xp t ) τ t J = I. t )) avc I = τ ; x-4.9 Transfrt d charg ntr dx condnsatrs : Un condnsatr d capacté st chargé sos n ddp, ps, à t =, st rlé, par frmtr d l ntrrptr, à n crct, ) sér l condnsatr d capacté st ntalmnt non chargé). ) Détrmnr ls varatons d corant t) d décharg d condnsatr. ) alclr la varaton d énrg d systèm constté par la résstanc t ls dx condnsatrs t. 3) Démontrr q st ass l énrg dsspé par fft Jol J dans la résstanc. 4) xprsson d étant ndépndant d, q s pass-t-l lorsq tnd vrs? ép : ) t) = xp t ) avc τ τ = + ) ; ) = t) +. 't) t) ' égm snsoïdal x-4/5. rct Sér ) onsdérons l crct dpolar sér d cors almnté par n tnson snsoïdal t) = cosωt)). Établr q l éqaton dfférntll q régt la tnson ax borns d la capacté st : d dt + d + = cosωt) dt Donnr l xprsson ntrnsèq d ctt éqaton dfférntll n foncton d Q, factr d qalté t d la plsaton propr ω. Donnr l xprsson ntrnsèq d ctt éqaton dfférntll n foncton d α, cœffcnt d amortssmnt t d la plsaton propr ω. ) Établr q t) = [ snω t) 3 ) )] 3 ω t sn ω t 3 xp lorsq l crct vérf ls qatr condtons svants : ) l condnsatr st ntalmnt déchargé ; ) l ntnsté st nll avant la frmtr d l ntrrptr ; 3) la plsaton d génératr st ω = ω t 4) l cœffcnt d amortssmnt vat α =. x-5. ddton d dx sgnax d mêm fréqnc Spposons dx sgnax snsoïdax S t) = S cosωt) t S t) = S snωt). n tlsant ls rprésntatons complxs, calclr la somm St) = S t) + S t). Précsr l ampltd t la phas à l orgn d c sgnal. Tracr ls fonctons S t), S t) t St) ; vérfr l résltat précédnt. S cs dx sgnax sont dx tnsons tlls q S t) sot la tnson ax borns d n résstanc t S t) la tnson ax borns d n scond dpôl, n dédr la natr d c scond dpôl. 5 qadrpcs@aol.com http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/

4 xrccs d Élctrocnétq 8-9 x-5.3 ésa à tros malls On consdèr l résa à tros malls ndépndants, rprésnté c-contr, almnté par la sorc d tnson altrnatv d f.é.m. : t) = cos ωt. a fréqnc d génératr st réglé d manèr à avor : ω = ω =. Détrmnr tots ls caractérstqs d l ntnsté d corant dans la résstanc.. N. : = V ; = Ω. ép : t) =, 686 cosωt, 8), où, 8 rad = 4. x-5.4 Modélsaton d Thévnn On consdèr l crct svant almnté ntr t par n sorc d tnson altrnatv snsoïdal d f.é.m. : t) = cos ωt. Détrmnr ls caractérstqs d génératr d tnson modèl d Thévnn) éqvalnt ntr F t D sachant q ω st tll q : ω = t ω = ép : Th = j 5 Tht) = cosωt, 464), où, 464 rad = arctan ) = arg j). 5 tt f.é.m. st n sér avc Zéq = éq + jéq ω sot n résstanc éq = 3 n sér avc 5 n capacté éq = 5 4. x-5.5 alcls d mpédancs Détrmnr l mpédanc complx Z d résa dpolar ntr ls borns t dans ls qatr cas svants. n dédr à chaq fos l mpédanc réll Z ans q l déphasag d la tnson par rapport a corant. a c x-5.6 rct parallèl n régm snsoïdal xprmr la tnson ax borns d n résa dpolar constté d n résstanc n parallèl avc n bobn n parallèl avc n condnsatr n foncton d,,, w t d I xpjωt) ntnsté forn a dpôl). Vérfr q l étd d la résonanc n tnson d c crdt parallèl lorsq on applq n corant snsoïdal st dntq à cll d la résonanc n corant dans l crct sér. xprmr alors ω, la plsaton propr, Q, l factr d qalté d crct parallèl ans q α Q, son cœffcnt d amortssmnt. ép : ω = t Q = ω. http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ qadrpcs@aol.com b d M N F D

5 8-9 xrccs d Élctrocnétq x-5.7 ) xprmr U n foncton d I, Z,, t ω, plsaton d régm snsoïdal mposé à c crct. Z ) À qll condton sr, t ω, U U U t l déphasag ntr I t n dépndnt-ls pas d Z? ép : ) ω =. x-5.8 On almnt l dpôl avc n tnson snsoïdal d plsaton ω. Détrmnr l mpédanc complx d. Tracr Z = Zω), ps montrr q ctt corb présnt dx snglartés por ls plsatons ω t ω ω < ω ). ω ép : Z = j[ + )ω ω 3 ]. x-5.9 Modélsaton d n condnsatr rél On consdèr n délctrq mparfat solant mparfat) d prmttvté complx ɛ = ɛ.x jx ) avc x t x dx réls. st l solant d n condnsatr d capacté = ɛ. ɛ condnsatr st soms à n tnson snsoïdal t) = U m.cosωt). xprmr l mpédanc complx d condnsatr. n dédr q on pt l consdérr comm l assocaton d n condnsatr parfat d capacté t d n résstanc q on xprmra. ép : t n parallèl, avc : = x ω t = x. x-5. Sachant q = m.cosωt), trovr la condton por q t sont n phas qll q sot ω. ép : =, alors U I =. x-5. Pssanc élctrq ) On donn : = Ω, = µh, = µf, ω = 5. 6 rad.s, ff = 5 V. Détrmnr t calclr : l mpédanc complx d dpôl, l factr d pssanc t la pssanc moynn dsspé. ép : cos ϕ =, t < P >= mw car : Z = + j ω ) ; cos ϕ = ω + ω ) ; < P >= + ω x-5. épons harmonq d n dpôl Détrmnr la répons harmonq t) d dpôl //) lorsq l st soms à l xctaton snsoïdal t) = m. cosωt). ép : t) = U m cosωt + ϕ ) avc, n posant ω = : U m = mω ω + ω t ϕ = arctan ω ω.. ff ω ω ) t) t) qadrpcs@aol.com http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ 3

6 xrccs d Élctrocnétq 8-9 x-5.3 daptaton d mpédanc ) Por transmttr n pssanc maxmal d génératr, g ) à l mpédanc d charg d tlsatr) g g, on ntrcal ntr l génératr t l tlsatr n qadpôl réalsé avc n bobn d ndctanc t n condnsatr d capacté. Montrr q l qadrpôl prmt l adaptaton d mpédanc sohaté lorsq < g. alclr t n foncton d, g t ω plsaton d génératr, afn d réalsr n transfrt maxmal d énrg. Solton x-5.3 génératr st branché sr n dpôl constté d n bobn n parallèl avc n condnsatr n sér avc n résstanc. pplons Z son mpédanc éqvalnt Z = jω// + jω )). a pssanc moynn rç par n condnsatr o n bobn st nll < P >=< P >= ; f ors 5.V. t 5.VI). qadrpôl ntrcalé ntr l génératr t l récptr étant constté d tls dpôls réactfs, la pssanc forn par l génératr st transms sans prts à l tlsatr ). Donc «chrchr la condton d transfrt maxmal d énrg ntr l génératr t» rvnt à chrchr la condton d transfrt maxmal d énrg ntr l génératr t l dpôl d mpédanc Z. Or por q l génératr fornss n pssanc maxmal, l fat q l sot branché sr n mpédanc Z tll q : Z = Z g = g condton d adaptaton d mpédanc; f 5.V.4) ) xprmons Z : Z = jω// + ) = jω jω + j D où, n rgropant ls trms réls t magnars : + jω ω ω g ) [ + jω g ) ] g ω = ) égalté à zéro ntraîn : = g t = On n dédt : = g ω g t = g ω g ) > ω g ) g > x-5.4 daptaton d mpédanc ) Un nstallaton élctrq st almnté sos n tnson ffcac U ff = V. ll consomm n pssanc P = kw. a fréqnc vat f = 5 Hz t l ntnsté ffcac I ff = 8. ) Sachant q ctt nstallaton st d typ ndctf, calclr la résstanc t l ndctanc propr q, placés n sér t avc la mêm almntaton, srant éqvalnts à l nstallaton. ) alclr l factr d pssanc d ctt nstallaton. alclr la capacté à placr n parallèl sr l nstallaton por rlvr l factr d pssanc à la valr, 9. ép : ) Établr q = < P > Iff, 9 Ω ; = Uff ω Iff < P > Iff 4 6, 4 mh ; ) stc : cos ϕ pt s obtnr n xprmant l admttanc Y assocé à Z car cos ϕ = Y ) f ors 5.V.). On trov = ω + ω ) [ ± cos ϕ + ω ] Y, d où valrs possbls por 4 http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ qadrpcs@aol.com

7 8-9 xrccs d Élctrocnétq cos ϕ =, 9 : max, 3 mf t mn, 46 mf. x-5.5 daptaton d mpédanc 3) Por transmttr n pssanc maxmal d génératr, g ) à l mpédanc d charg d tlsatr) g, on ntrcal ntr l génératr t l tlsatr n qadpôl g réalsé avc n bobn d ndctanc t n condnsatr d capacté. Montrr q l qadrpôl prmt l adaptaton d mpédanc sohaté lorsq > g. alclr t n foncton d, g t ω plsaton d génératr, afn d réalsr n transfrt maxmal d énrg. ép : = g t = g. ω g ω g g x-5.6 Éqlbr d n pont n régm snsoïdal pont c-contr st almnté n régm altrnatf. À qll condton l pont st-l éqlbré? c st dr à qll condton =? Montrr q l on pt détrmnr t r n foncton d t ds résstancs, t. M ép : = { r = = r N x-5.7 Dx montags déphasrs On consdèr ls dx montags svants almntés par n tnson altrnatv snsoïdal t) = cosωt). amplfcatr opératonnl st déal. ) Dans l prmr montag avc pont), montrr q la tnson ntr M t N : v = V cos ωt + ϕ) N M t) a n valr ffcac ndépndant d ω. alclr l déphasag ϕ t donnr ss varatons n foncton d. ) Dans l scond montag avc O), calclr la tnson d sort v s. n dédr la valr ffcac d ctt tnson t l déphasag ϕ par rapport à v. 3) Ql rôl jont cs dx montags? ép : ) v = NM = U NM cosωt + ϕ) avc U NM = xx xx V = t ϕ = arctanω). ) V s = jω + jω V sot : V = t ϕ = arctanω). v =t) jω + jω) sot : - + v s qadrpcs@aol.com http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ 5

8 xrccs d Élctrocnétq 8-9 x-5.8 Oscllatr avc.o. amplfcatr opératonnl st déal t fonctonn n régm lnéar. - 3 ) st ovrt. xprmr n spposant q ls tnsons xstnt t sont snsoïdals) : + v V V 3 V s V 3 ; ; V V ) st frmé. Détrmnr ls condtons por q l montag sot n oscllatr d plsaton ω. xprmr ω. v vs v 3 D n o 8 sér : pssanc t factr d qalté Un crct,, ) sér st soms à n tnson altrnatv snsoïdal défn par : t) = U snωt. On étd l régm d oscllatons snsoïdals forcés, à la plsaton ω. ) a plsaton ω étant fxé, détrmnr la pssanc moynn < P > dsspé par c crct par fft Jol. ) Por qll valr ω o d ω ctt pssanc st-ll maxmal? ql phénomèn physq corrspond ctt valr ω o? 3) Détrmnr ls lmts ω mn t ω max d l ntrvall d plsaton sr lql < P > st a mons égal à la moté d sa valr maxmal P. ω n dédr l xprsson d factr Q = n foncton d, t ω o. ω max ω mn Por t fxés, commnt Q var-t-l avc? Ql st l ntérêt d n crct possédant n factr Q élvé? n dédr n jstfcaton d la dénomnaton : "factr d qalté" d crct. 4) xprmr, n foncton d, t U, l énrg élctromagnétq moynn < > stocké, por la plsaton ω o, dans la bobn o l condnsatr vérfr q c st la mêm). n dédr n rlaton ntr Q, ω o, < o > t < P o >. trov-t-on, d pont d v énrgétq, l ntérêt d n crct à Q élvé? t) 6 http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ qadrpcs@aol.com

9 8-9 xrccs d Élctrocnétq Fltrs Qadrpôls n égm snsoïdal) Por ls xrccs svants x-6.-3/5-6), n méthod possbl consst à notatons d x-6.) : - xprmr Z, mpédanc corrspondant à l assocaton d mpédanc ntr ls borns t - xprmr n foncton d Dvsr d tnson avc Z ntr t ) - xprmr sr l schéma d départ s n foncton d Dvsr d tnson) - d cs dx xprssons, élmnr t n dédr H = s. 6 x-6. Étant donné l crct c-contr n régm snsoïal forcé : ) Détrmnr la foncton d transfrt d fltr. ) n dédr la gan n décbls on posra τ = = 4 s). 3) alclr ω c, la plsaton d copr à 3 d. 4) Tracr G d n foncton d logωτ). ép : ) H = ω + j3ω ; 3) ω c 3, rad.s, sot : f c 596 Hz. s x-6. On consdèr l schéma c-contr : ) Établr la foncton d transfrt H = s = Hjϕ n posant X = ω. ) onstrr ls) dagramms) d od G d = G d log X) t ϕ = ϕlog X)). D s jx ép : ) H = X + 3jX ; ) Fltr pass-band d band-passant ω = ω ω = 3. x-6.3 ssocaton n cascad d fltrs d ordr On consdèr ls dx cllls d schéma c-contr : ) Établr la foncton d transfrt H = s D = n posant X = ω. ) onstrr ls) dagramms) d od G d = G d log X) t ϕ = ϕlog X)). 3) Détrmnr la foncton d transfrt d l assocaton d tros cllls. jx) ép : ) H = + jx avc Q = Q + 3 jx) ; 3) H = jx)3 + 5jX + 6jX) + jx) 3. x-6.4 Fltr d Wn ) Établr la foncton d transfrt d fltr d Wn tlsé n sort ovrt = ) t la présntr sos la form : H = ω + jq ω ) = ω ω + jq x ) x xplctr ls caractérstqs ω, Q t n foncton d ss composants t. Qll st la sgnfcaton d chacn d cs caractérstqs? = qadrpcs@aol.com http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ 7

10 xrccs d Élctrocnétq 8-9 ) Tracr l dagramm asymptotq d od d c fltr. ép : ) = Q = 3 t ω = ; ) G df) = log log Q + log x = log x ; G d HF) = log log Q log x = log x. x-6.5 Fltr d olptts ) Établr la foncton d transfrt d fltr d olptts tlsé n sort ovrt = ) t la présntr sos la form : H = ω + jq ω ) = ω ω + jq x ) x D = xplctr ls caractérstqs ω, Q t n foncton d ss composants,, t. Qll st la sgnfcaton d chacn d cs caractérstqs? ) Tracr l dagramm asymptotq d od d c fltr por Q = 3 t Q = 3 ). ép : ) = avc = ; Q = ω = = + ω t ω =. x-6.6 Fltr d Hartly ) Établr la foncton d transfrt d fltr d Hartly tlsé n sort ovrt = ) t la présntr sos la form : H = ω + jq ω ) = ω ω + jq x ) x D = xplctr ls caractérstqs ω, Q t n foncton d ss composants,, t. Qll st la sgnfcaton d chacn d cs caractérstqs? ) Tracr l dagramm asymptotq d od d c fltr por Q = 3 t Q = 3 ). ép : ) = ; Q = ω = = ω t ω =. x-6.7 On consdèr l fltr c-contr branché sr n résstanc d charg. Sot la résstanc éqvalnt à t n parallèl. V V s ) alclr la foncton d transfrt : Hjω) = V s V. ) On sppos nfn : commnt fat-l chosr t n foncton d t ω por q Hjω) ) sot d la form : Hjω) = + ω4? ω 4 8 http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ qadrpcs@aol.com

11 8-9 xrccs d Élctrocnétq On consdèr mantnant l dxèm fltr ccontr où l O st déal : 3) alclr la foncton d transfrt H jω) d c fltr. 4) ommnt chosr por q H jω) sot d la form : H jω) = + ω4 ω 4 ) Qll st alors la valr d ω? 5) Ql st l avantag d c montag par rapport a précédnt?? v - + v s x-6.8 Fltrs déphasrs ) Détrmnr la foncton d transfrt d fltr sachant q l O st déal. ) Z st n résstanc t Z n condnsatr d capacté. Tracr l dagramm d od. 3) Mêm qston n échangant Z t Z. V Z Z - + V s x x x ép : ) H = V s = Z Z ; ) H = jx V Z + Z + jx = Hjϕ avc x = ω = ω G d = d ω t ϕ = arctan x ; 3) G d = d t ϕ = π arctanx. x-6.9 On assoc n fltr pass-bas t n O monté n amplfcatr non nvrsr l O st déal t fonctonn n régm lnéar). ) Détrmnr la foncton d transfrt d fltr. n dédr sa plsaton d copr ω à 3 d t son gan G dans la band-passant. ) Tracr l dagramm d od. 3) alclr ls valrs d t por q f, fréqnc propr, sot khz t G = 3 d, avc = = kω. v ép : ) H = H + jx avc H = +, ω = t x = ω ; 3) 6 nf t 4, kω. ω x-6. Détrmnaton d n capacté nconn On a réalsé n fltr pass-bas à l ad d n condnsatr d capacté t d n résstanc = kω. a tnson d ntré a la valr ffcac U = 6 V. On a msré la tnson d sort U s n foncton d la fréqnc ; d où l tabla svant : f Hz) U s V ) 5,95 5,7 5,8 3,73,8,943,476,9 95, 5. 3 ) Tracr l dagramm d od n gan d c fltr sr n fll sm-logarthmq). ) Détrmnr la fréqnc d copr. 3) n dédr la capacté d condnsatr. qadrpcs@aol.com http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ v s

12 xrccs d Élctrocnétq 8-9 x-6. d après NSI) s amplfcatrs opératonnls tlsés sont déax. ) Détrmnr ls xprssons d la foncton d transfrt d chacn ds crcts élémntars svants almntés par n tnson snsoïdal d plsaton ω : ) s montags sont assocés por consttr l fltr c-dssos. n donnr la foncton d transfrt Hjω) = s. 3) xprmr l gan n décbl n foncton d,, 3 t d x ω ω la plsaton rédt. On ara a préalabl calclé la plsaton d résonanc ω. 4) Montrr q l s agt d n fltr pass-band t n détrmnr ls fréqncs d copr. 5) Tracr la corb G d = fx). ép : ) H = s = + jω ; H = s = ; H 3 = s 3 3 = j ω ; ) H = s = H ) d la form H = + j ω + jq x ) avc H =, 3 ω x x = ω ω, Q = sot ω ω = t donc Q =. 3 ω 3 3 [ 3) G d = log H = log + x ) ] ; 4) ω = ω 3 x Q = 5) G d F) = log x log 3 = log x log Q; G d HF) = log x log 3 = log x log Q. http ://pcs-natrrgard.ovr-blog.com/ qadrpcs@aol.com