L accélération tangentielle est la composante parallèle à la vitesse: = = ( e. = τ = ( θe

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1 HYSIQUE Section hysique hie ÉCOLE OLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Coigé Séie 5 21 noembe Système: la foumi Réféentiel: le laboatoie Repèe: (F, e, e ) lié à la foumi Coodonnées polaies y O e FR e Disque a) L éolution tempoelle du système est t () = 0 t Y () t = ω 0 t ou toue la tajectoie, on élimine le temps t dans les équations de l éolution tempoelle, et on obtient: ( ) = ω 0 La tajectoie est une spiale d Achimède X b) Vitesse en coodonnées polaies: = ṙe + e = 0 ( e + e ) Accéléation: a = ( ṙ 2 )e + ( + 2ṙ )e = 0 ω 0 ( e + 2e ) L accéléation tangentielle est la composante paallèle à la itesse: a τ a ω 0 = = ( e e ) Accéléation nomale : a n a a 0 ω 0 ( ) = τ = ( e e ) c) Rayon de coubue: ρ ( 1 + 2) = = = a n 0 ω 0 ( ) ( ) ω 0 ( )

2 2 Système: paticule (point ) Réféentiel: Tee Repèe: e e, lié au point Coodonnées polaies e y Equation: = C( 1 cos) (1) e Schéma de la cadioïde aec C=1: a) Vecteu itesse en coodonnées polaies: = ṙe + e En déiant l équation (1) pa appot au temps, nous aons ṙ = C sin (2) Ainsi = C sin e + C1 ( cos) e = Cω 0 ( sin e + ( 1 cos)e ) La itesse scalaie aut donc ṙ 2 + ( ) 2 = = Cω 0 2 2cos = 2Cω 0 sin -- 2 b)accéléation en coodonnées polaies: a = ( ṙ 2 )e + ( + 2ṙ )e a [ C 2 cos C1 ( cos) 2 ]e 2C 2 2 = + sin e = Cω 0 [( 2cos 1)e + 2sine ] c) Il faut epime ṙ en fonction de De l équation (1), on tie cos = C et de l équation (2), on tie sin = ṙ Cω 0 uisque ( cos) 2 + ( sin) 2 = 1, l équation de l obite dans l espace de phase (, ṙ) s écit ṙ = 1 C Cω 0 ṙ C est une ellipse centée en (C, 0), de demi-aes C et Cω 0 Ci-conte, esquisse de l obite pou C = 1 et ω 0 = 1

3 3 ROBLEME DE L HELICE D AVION Système: l hélice Réféentiel: le sol On utilise les coodonnées polaies (, ) pou donne la position du point pa appot au cente de l hélice A, puis on intoduit d autes coodonnées polaies (R, ) pou pouoi indique la position de A pa appot au cente O e 1 O'=O e 3 e 2 R A er e e e OA On cheche la position du point pa appot au epèe catésien Oe 1 e 2 e 3 en utilisant les paamètes d angle et et les distances R et (pojection su les aes) Soit = O = R A = ( R+ sin) cos = ( R+ sin) sin cos ou obteni la itesse et l accéléation a de ce point dans le epèe Oe 1 e 2 e 3, il suffit de déie cette epession pa appot au temps espectiement une et deu fois Cependant, ce epèe ne sea pas commode si on s intéesse au foces eecées pa l hélice su l aion: ces foces tounent aec l hélice et leu décomposition dans le epèe immobile Oe 1 e 2 e 3 n aua pas beaucoup de sens De plus, losqu on ouda calcule le tenseu d inetie de l hélice (losque le cous abodea la dynamique du solide), il sea plus aisé de le calcule pa appot à un epèe lié à l hélice en tenant compte de sa symétie C est pouquoi on choisia plutôt un epèe natuel tangent au mouement du point : le epèe e e e (oi figue ci-dessus) Ce sont les coodonnées toiques: deu systèmes de coodonnées polaies (, ) et (R, ) définis dans deu plans non paallèles On appelle la ligne de coodonnée X (aec X =, ou ) la coube oientée, définie en faisant aie la coodonnée X, les autes coodonnées étant maintenues constantes e 3 () On utilise la figue pécédente pou epésente les tois lignes de coodonnée e 1 O R e 2 A () ()

4 Repenons = O mais pa appot à e e e = Re R + e = R( sine + cose ) + e = ( + Rsin)e + Rcose (1) ou obteni la itesse et l accéléation a du point dans ce epèe, il suffit de déie l epession (1) pa appot au temps espectiement une et deu fois Mais cette fois-ci, le epèe n est pas immobile: il faut calcule les déiées tempoelles des ecteus e, e et e! ou calcule ces déiées, epimons ces ecteus dans le epèe catésien Oe 1 e 2 e 3 : e sincos = sinsin e cos coscos sin = cossin e = cos sin 0 Cela entaîne: ė ė coscos sinsin = cossin + sincos sin 0 = e + sine sincos cossin = sinsin + coscos cos 0 = e + cose ė cos = sin = 0 ( sine cose ) On peut alos calcule la itesse du point en coodonnées toiques: = ( ṙ + R cos)e + ( + Rsin)ė R sine + Rcosė En intoduisant les ésultats ė = e + sine et ė = e + cose, on toue = ṙe + e +( sin + R) e ou l accéléation du point en coodonnées toiques: on déie le ésultat pécédent: a = ṙ e + ṙė + ( ṙ + )e + ė + [( ṙsin + cos) + ( sin + R) ]e +( sin + R) ė En intoduisant de même les ésultats pou ė, ė et ė, il ient a = [ ṙ 2 ( sin + R) 2 sin]e + [ 2ṙ + ( sin + R) 2 cos]e + [ 2ṙ sin + 2 cos + ( sin + R) ]e Dans note cas, on a les conditions = cste, = Ω = cste et = ω = cste Ainsi : = e + ( sin + R) e a = [ ω 2 + ( sin + R)Ω 2 sin] e ( sin + R)Ω 2 cose + 2Ωωcose

5 Aute méthode La itesse peut également ête déteminée diectement en utilisant la elation suiante: d = O = dt O + O + O ṙ,,, Dans note cas, le point este su l hélice, pa conséquent denie teme de l epession ci-dessus est nul = constante ṙ = 0, le Calculons O, Il s agit d un ecteu tangent à la ligne de coodonnée, diigé dans le sens des coissants Ce ecteu sea donc colinéaie à e, et sa nome est déteminée en considéant un déplacement élémentaie du point selon en gadant et constants, soit Et donc O = e, De façon identique, calculons O, On emaque cette fois-ci que dans le déplacement élémentaie du point suiant gadant et constants), la nome de O sea égale à R+ sin, Et donc O = ( R+ sin) e, On etoue donc l epession pou la itesse: = e + ( sin + R) e (en

6 4 Réféentiel: lié au cente de la Tee Repèe: Oyz (coodonnées catésiennes) z O R y 2π Ici, = ω = = [ ad s] et = On epime les coodonnées du point dans Oyz: = y = z Rsincos Rsinsin Rcos On calcule ensuite la itesse: ẋ Rsinsin = ẏ = Rsincos = ż 0 ωrsinsin ωrsincos 0 On a donc la itesse scalaie = ωrsin L accéléation est alos: a ẋ = ẏ = ż ω 2 Rsincos ω 2 Rsinsin 0 Et donc sa nome aut: a = ω 2 Rsin Application numéique: A note latitude de 465 ( = 435 ) = 318 m/s et a = 0023 m/s 2 A l équateu, ( = 90 ) = 463 m/s et a = 0034 m/s 2 On emaquea que les accéléations obtenues sont bien inféieues à l accéléation due à la gaité (g = 981 m/s 2 )