COURS D ELECTROSTATIQUED

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1 COUR D LCTROTTIQUD emmanuel.main@univ-st-etienne.f Laboatoie Hubet Cuien i Canot Plan - CHP LCTRIQU POTNTIL LCTRIQU - LCTROTTIQU D CONDUCTUR (en éuilibe) C - NRGI LCTROTTIQU

2 CHP LCTRIQU - POTNTIL LCTRIQU I CHRG LCTRIQU tuctue de la matièe : Paticules élémentaies caactéisées pa : asse Chage pin Paité Popiétés abstais ou familèes Chage : péiences d'électicité statiue Tout le monde a déà vécu l'epéience désagéable d'une "déchage électiue". ttaction de cops léges avec des cops fottés. Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - péience Penons une boule tès légèe en polystyène pa eemple ecouve de métal fin. ppochons ensui une tige de vee ou d'ambe péalablement fottée avec un tissu mbe mbe Rien ne se passe lectisation pa contact Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 4

3 4 mbe Vee Répulsion ttaction On fait donc appaai deu classes d'electicité : Répulsion si de même classe (cas ) ttaction si de classe difféen (cas 4) Vidéos Pas d'électisation neu aucun effet Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 5 péience Qu'aive-t-il si la foce électiue pemet au deu boules de se touche? Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 6

4 La chage d'une paticule élémentaie peut donc ê : < : cas des électons > : cas des potons neus : cas des neutons (pas d'inaction électiue) Remaue : le signe < pou les électons est abitaie. Dimension des pous élémentaies de chage : électons : φ l -5 m & m e kg potons : φ l -5 m & m p.67-7 kg Chages : uantifiées e.6-9 Coulomb (C) électon : e -e poton : p e Densité de Chage avec: e p à pès! Conducu métalliue : 5. atomes/cm i un é de libe pa atome : 5. é/cm! - péience de illikan "Chage ponctuelle" Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 7 La chage électoniue paait "continue" Remaue : même chose ue la masse volumiue Répatition macoscopiue de la chage Q O O dτ Dans le Volume élémentaie dτ, il y a une chage dq Densité de chage en ρ(, t) volume : dq dτ ρ en C.m - éventuellement Isolants : Chages localisées au point de fotment ou de contact. Les pous de chages non compensé ne peuvent se déplace Conducus : Chages mobiles ui s'éndent à tout le cops (en suface à l'éuilibe) Les pous de chages non compensé peuvent se déplace Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 8 4

5 II : INTRCTION LNTIR LOI D COULO II- Chages ponctuelles Dans ses epéiences C. Coulomb a mise en évidence : - La foce est adiale, c est à die diigée selon la doi ui oint les deu chages - lle est popotionnelle au poduit des chages : attactive si elles sont de signe opposé, épulsive sinon ; - nfin, elle vaie comme l invese du caé de la distance en les deu chages. Loi de Coulomb : avec k ou 6π (.I. ) F 9. 9 k u 9 (.I. ) F : pemittivité électiue du "vide" F F D'apès le pincipe d'égalité de l'action et de la éaction : P P u Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 9 F Unité de la chage Coulomb : NOR chages de même signe de C chacune, situées à km l'une de l'au se epoussent avec une foce éuivalents de " tonne" (masse éuivalen) II- Distibution de chages : Pincipe de supeposition II--a nsemble de chages ponctuelles : ction d'un système,,,, n su une chage en L'epéience mon ue : n F u F F F omme vectoielle : F F n F F F y z Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 5

6 II--b Distibution "continue" de chages : ction d'une épatition en volume ρ(p) su une chage en F dτ P P V V ρ ( P) dτ avec u P F Remaues : * Intégale tiple ui se amène souvent à une intégale simple * Cet écitue peut se simplifie si une ou deu dimensions du volume V sont infinies : densité sufaciue σ(p) dimension infinie pa appot au aus : Intégale double dimensions infinies pa appot au aus : densité linéïue λ(p) Intégale simple Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - III : CHP LCTRIQU III- Définition Une paticule de chage située en P cée en tout point de l espace distinct de P un champ vectoiel : ( ) u appelé champ électiue. L unité, du.i., est le Volt/mè (symbole V/m) La foce eecée su une chage se calcul facilement : ( ) Pou une distibution de chages le champ électiue : n ( ) u F Pou une distibution de chages "continue" le champ électiue : ( ) ρ(p)dτp P avec P et u Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 6

7 Le champ électiue est décit comme une popiété locale de l'espace, liée à l'eisnce d'une épatition de chage (agissans) τ L'ensemble des chages ( ou ρd ) cée en un champ l ue si on met une chage en, elle est soumise à une foce : F ( ) Chage ponctuelle P u > : à le sens de u ( P ) < : à le sens de - u ( P) u Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - Distibution de chages : omme vectoielle Pincipe de supeposition III- emples de calcul Deu chages ponctuelles identiues < Le champ électiue en est donc la supeposition ou la somme du champ cée pa la chage en et de celui cée pa en : O u α d O D Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 4 7

8 cosα ( D d ) D cosα D d D d ( ) π ( ) D D d D d D π D u avec u O ( D d ) O Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 5 Répatition unifome su une doi infinie dl P O d Chage "ponctuelle" λdl dq en P cée en d P dq P d P P P Densité linéïue : dq λ ( > ) dl O fil d P d P Pemièe méthode : y fil fil d d y y Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 6 8

9 dq Deuième méthode : O dq P,P' P,P' P P' P,P' u d d P,P'..d.cos α O D. α P dq P Considéation de symétie.cos α α d P d P' P o tousles d selon O selon O π d. d p λ.dl P d p.cos α en P : en P' : dq d P dq d P' P' symétiue de P pa appot à O d symétiue d P P Vecu selon O d (dans ce cas dl>) Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 7 OP l dl dop OP D.tgα D O D dl dα cos α D P cos α P π π π P λ. D λ.d cos α..dα. cos α cos α D λ..cos α.dα D π α π α cos α.dα π λ π λ. D λ. D P cos α.dα [ sin α] u D π λ π D Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 8 9

10 IV : POTNTIL LCTRIQU IV- negie pontielle électiue ystème à deu chages : et st de même signe; > pa eemple O W if i dl t... t u F f i d Le tavail de la foce électiue F f Tavail de la foce au cous du déplacement i f de la chage t f f. t Wif F.dl u. dl i i et u.dl.dl.cos u,dl W if F.. t. f ne dépend pas du chemin suivi ( ) d i Foce Consevatice Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 9 On écit : W U Vaiation de l'énegie pontielle électiue U.. t. i f negie pontielle électiue U est définie à une constan pès : U.. t. C On pend comme valeu de éféence : d'où : U. U. losue t U epésen le tavail à founi pou "Constuie" le système : c'est-à-die pou amene et t depuis l'infini usu'à la distance l'une de l'au. Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue -

11 IV- Pontiel électiue IV--a : U On pose : V 4 t π V seait l'énegie pontielle électiue pa unité de chage st V() caactéistiue de (et de ) dépend (comme U) d'une éféence abitaie : ici V à l'infini (si pas de chages agissans à l'infini) ce n'est pas une énegie (J/C) Unité : Volt IV--b : On calcule la ciculation de dû à une chage ponctuelle : C f C i.dl f i f i d. u.dl o C d u.dl i f C V Ne dépend pas du taet Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - On dit ue le champ électiue déive d'un pontiel V : La chage ponctuelle : V( ) f.dl V i Distibution de chages : Pincipe de supeposition ou ( ) V ( ) V ( P) ρ dτ V P (omme scalaie) P dτ P V Chages de volume V fini pou ue l'hypothèse V( ) es valable Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue -

12 IV- Tavail de la foce électiue On a vu ue pou un système de deu chages ponctuelles et t, le tavail de F ( t ) W U U U d'où; avec V U t W if if. t ( V V ) i f ( ) Cas généal: Distibution de chages cée un champ électiue ( ) ; c'est-à-die un pontiel électiue V(). Quand on déplace un chage dans ce champ, elle est soumise à une foce F et le tavail en et s'écit : W. f ( V V ) i Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - IV-4 Relation généale Champ - Pontiel On a vu ue : c.à.d f.dl V Dans un epèe O,,y,z: y z i et dl d'où pa identification : d dy dz gad V ( V).dl dv.dl d dy dz dv difféentielle totale V V V dv d dy dz y z ; y V y ; y z eac Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 4 z V z La composan du vecu champ électiue suivant un diection l uelconue est donnée pa: l V l

13 uface éuipontielle : tou suface lle ue ( ) gad ( V) Le champ électiue est pependiculaie à la suface éuipontielle passant pa. Les lignes de foce du champ V C Le vecu est othogonal à la suface éuipontielle passant pa. Démonstation : soit un point où V On envisage une ciculation élémentaie de V(). gad ( ) V( ) V ' dc.dl dv ( V ).dl ( ) v gad( V) ' gad v dl, de à ' su la suface éuipontielle ( V) dl ( dl su la suface) d'où :gad ( V) uface éuipontielle sont pependiculaie au sufaces éuipontielles Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 5 IV-5 emples IV-5-a : champ et pontiel d'un dipôle électiue d Pontiel en : V V Dans le cas où : O >> c'est-à-die : >> d d cos V ( θ) et cos( θ) dcos (-) ( θ) et cos ( θ) d cos ( θ) d d 4 O () Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 6 θ

14 Champ en : On a : gad( V) touous dans l'hypothèse >> d Coodonnées polaies : (, ) et d( d, ) Composan adiale (selon O) V π θ dθ Composan othoadiale (selon O) V θ θ dcosθ dsin θ Remaue : Dans le cas uelconue on calcule: u u gad gad ( V) Coodonnées catésiennes ( V) gad Coodonnées cylindiues ( V) Coodonnées sphéiues V V y V z V ρ V ρ θ V z V V θ V sin θ ϕ Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 7 IV-5-b : pontiel d'un fil infini potant λ chage pa unité de longueu λ > H u H Pontiel λ u π On peut pende comme pontiel électiue dû au fil chagé : V λ V ln π ( ) C V λ π Poblème des chages à l'infini.d [ ln( ) ln( )] On voit bien ue pou V Le fil étant infini, on ne peut pas pende le pontiel nul à l'infini ; la constan deva ê déminée en choisissant abitaiement la position coespondant au pontiel nul. Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 8 4

15 V FLUX de - THOR D GU V--a ngle solide La notion d angle solide est l ension dans l espace de l angle défini dans un plan. Pa eemple, le cône de lumièe constuit pa l ensemble des ayons lumineu issus d une lampe toche Définition : l angle solide élémentaie dω, délimité pa un cône coupant un élément de suface élémentaie d située à une distance de son sommet O vaut O d d Ω dω O α d Cet angle solide est touous positif et indépendant de la distance. on unité est le «stéadian» (symbole s) O Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 9 n coodonnées sphéiues dω sin θdθdϕ Ω dω d sin θdθdϕ π α dϕ sin θdθ π Quelues valeus typiues π Le demi - espace α Ω π L'espace complet α π Ω π ( cosα) ( cosα) π s ( cosα) 4π s D une façon généale, le cône peut incep une suface uelconue, dont la nomale n fait un angle θ. L angle solide élémentaie est alos défini pa : d u dn u dcosθ d dω O u α d d n θ d est la suface effective ou "vue" pa un obsevau situé en O. Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 5

16 V--b Flu d'un champ de vecus Chaue élément d est caactéisé pa un vecu Le flu de à taves d est Le flu de à taves tou la suface est : V- Flu du champ électiue V--a Chage ponctuelle : d d.n dφ.d.n.d Φ u.d uface élémentaie d d n θ O u > dφ.d O u > Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - dφ u dφ dφ nd d cosθ dω ca Flu à taves un suface finie (non femée) Φ Φ d dω dω u n cosθ ngle solide sous leuel on voit d depuis O. dω suface algébiue découpée su la sphèe de cen O et de ayon unité, pa le cône de sommet O s'appuyant su d. d d () d () O Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 6

17 Cône () : Le flu algébiue est nul ca : dω d cosθ Cône () : Le flu algébiue n'est pas nul Flu à taves un suface femée dω i est à l'etéieu de : tous les cônes de sommet O () sont du type () et donc i est à l'intéieu de : et donc dω Φ dω 4π Φ d d d cosθ Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - V--b Distibution de Chages : dφ d n utilisant le pincipe de supeposition : dφ d d'où : Φ d dφ { d} Cas d'une suface femée Φ d { d} i à l'etéieu de Φ i à l'intéieu de i su Φ Φ Φ Résultat vai ue la distibution de chage soit discè ou continue. d int. suf. Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 4 7

18 V--c Généalisation : Théoème de Gauss Le flu du champ électiue, cée pa une distibution uelconue de chages, à taves une suface femée est égal au uotient pa de la somme des chages intéieues et de la demi-somme des chages supeficielles, uelles ue soient les chages etéieues. Φ d int. V- pplication du Théoème de Gauss V--a Fome des lignes (de foce) du champ d suf. Dans l'espace où il n'y a pas de chages uface femée fomée pa un tube de foce limité pa deu section d et d d Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 5 Le flu à taves cet suface est nul ca Σ l'aide du théoème de Gauss : d d Φ d d d d d d d lat ca est tangent lat d lat ca est tangent d vaie en sens invese de les lignes de champ convegent uand on va ves une zône de champ élevé. n paticulie, poche des souces (chages) le champ est plus fot les lignes de champ sont plus seées. Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 6 8

19 V--a Calcul d'un champ électiue Le théoème de Gauss founit une méthode tès utile pou calcule le champ. n effet, on peut pende une suface uelconue ui nous pemetta de calcule les Σ int et Σ sup. n evanche il est impossible d'alle plus loin si on ne connait pas cetaines caactéistiues de Donc, le calcul de cée pa une distibution de chages (en utilisant le Th. de Gauss) impose u'on puisse die "uelue chose" de l'allue de et u'on ne choisisse pas femée au hasad! La distibution de chages doit avoi des éléments de symétie La suface femée doit avoi les mêmes syméties Il est alos possible de tansfome pou la ende eploitable d Remaue : Le pincipe de symétie de Piee Cuie affime ue «Losue les causes d'un phénomène possèdent des éléments de symétie, ces éléments de symétie se etouvent dans les effets. La écipoue n'est pas vaie, c'est-à-die ue les effets poduits peuvent ê plus symétiues ue les causes» Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 7 emples de calcul d'un champ électiue Fil chagé unifomément et infiniment long λ > ymétie de évolution autou de l'ae du fil : uface de Gauss H d d bases d lat d touous au fil est C si C uface femée cylinde d'ae le fil, de ayon et de hauu h bases lat ca d en tout point d ca // d en tout point lat d.. π..h lat ca est C si C Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 8 9

20 Théoème de Gauss : suf int λh d int Champ cée pa un Plan infini potant une densité de chage unifome : σ > H λh λ.. π..h. π.. d σ d focément au plan est C l ue H C suf Le plan chagé est un plan symétie pou On choisit une suface femée ayant le plan chagé comme plan de symétie : donc, pa eemple, un cylinde d'ae au plan chagé, de longueu place symétiuement de pat etd'au du plan chagé. Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 9 uface de Gauss σ > H Théoème de Gauss : suf int σ d d d lat d bases d int σ "Th. Gauss".. bases lat ca d d ca // d bases d.. bases ca est C si suf σ. Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 4 C Il s'agit ici de la nome de

21 σ. ne dépend pas de la distance au plan σ. Discontinuité σ Il y a une discontinuité de à la tavesé du plan chagé : on passe de à - Champ cée dans tout l'espace pa une sphèe (Σ) de ayon R, emplie de chages avec une densité en volume unifome : d ρ C ρ > O R dτ Nous utiliseons ici les coodonnées sphéiues θ, ϕ : ρ ρ C > R < R Les considéation de symétie donnent : est adial C si O C Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 4 On choisit une suface femée pou appliue le théoème de Gauss ayant donc une sphèe de cen O et de ayon O. Cas > R d d ca // d d ca C à C.4π int sup 4 ρ πr Q "Th. Gauss".4π Q ρr 4 ρ πr (en nome) Q uface de Gauss ρ > O R Tout se passe (pou >R) comme si la chage était en O Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 4

22 Pontiel V dv dl d ( ) V( ) V V Q d Q ( ) avec V( ) d ême ésultat (pou >R) ue si on a une chage ponctuelle Q en Cas R Pas de chages supeficielles su la "suface de Gauss" ca ρ en volume. Le calcul pécédent s'appliue avec R Q ρr V( R) R Q ρr R Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 4 Cas < R De même ue pécédement d.4π int sup 4 ρ π ca ρ est en volume seulement "Th. Gauss".4π Pontiel V 4 ρ π ρ L'epession du champ électiue touvé plus haut n'est valable ue su le domaine [,R[, d'où V( ) V( R) dl O R ρ > ( R) ρ ρ R ( ) V( R) d V R R R d ( ) uface de Gauss ρr Il y a continuité de Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 44

23 mais V R ρr ρ ( ) est connu V( R) R ( ) V( ) ( R ) ρ 6 ( ) R V ρr ecice : efaie les calculs avec pa eemple : ρr ρ( ) k k C R Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 45 V-4 Fomes Locales du théoème de Gauss Φ d int. suf. Théoème de la divegence d V div.dτ ( ) Où div() est un scalaie ui, en coodonnées catésiennes s'epime : div ( ) y y z upposons ue les chages soient épaties de façon continue : z Théoème d'ostogadsky Le pt, on aua dans l'élément de volume dτ centé e su une chage ρdτ Th. de Gauss d' où int ρdτ (pas de suf ) V d ρdτ Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 46 V

24 n combinant les deu écitues du flu, on obtient : Th. Gauss : Th. de la divegence: uation de Poisson d ρdτ V d u fome utilisant le pontiel gad div div ( V) [ ] ( ) div gad( V) V div.dτ ( ) ( ) V Laplacien de V Fome locale du théoème de Gauss V V V y z div ( ).d τ V V Cet elation est vaie div ( ) V ρ ρ uation de Poisson ρdτ Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue - 47 Remaues : - Dans un espace sans chages : ρ n dehos des chages : V uation de Laplace Le champ est à divegence nul c-à-d à flu consevatif Le laplacien du pontiel est nul La elation V est une éuation difféentielle. C'est le même type d'éuation ui pemet de décie un écoulement de fluide sans toubillons (c-à-d iotationnel) Cous lectostatiue Chage électiue Pontiel électiue